Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z"

Transcrição

1 3 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 31 Divisibilidade Em nossa educa»c~ao b asica, aprendemos que quando um n umero inteiro e dividido por um n umero inteiro n~ao nulo, o quociente pode ou n~ao ser um n umero inteiro Esta observa»c~ao nos leva µa seguinte de ni»c~ao De ni»c~ao 31 Um inteiro a divide um inteiro b quando existe um n umero inteiro m tal que b = a m Quando a 6= 0(e somente neste caso), dizemos tamb em que b e divis ³vel por a Neste caso, o inteiro m e chamado quociente de b por a e e indicado por m = b a Quando a divide b denotamos a j b e dizemos tamb em que a e umdivisor de b ou que a e umfator de b ou ainda que b e umm ultiplo de a No caso em que a 6= 0, dizemos ainda que b e divis ³vel por a Quando a n~ao divide b escrevemos a6j b N~ao escreva a= b enemanb para denotar que a divide b A nota»c~ao correta e a j b Exemplo 31 7 divide 161 j a que existe um inteiro, 3, tal que 161 = 7 3 Os divisores de 1 s~ao 1,, 3, 4, 6, 1, 1,, 3 4, 6, e 1 J a os divisores de 3 s~ao 1, 3, 1 e 3 0

2 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 1 Proposi»c~ao 31 Se a, b e c s~ao inteiros, tais que a j b e b j c, ent~ao a j c Demonstra»c~ao Comoa j b e b j c, existem inteiros m e n tais que b = am e c = bn Logo, c =(am)n = a(mn), eportantoa j c Proposi»c~ao 3 Se a, b, c, m e n s~ao inteiros, tais que a j b e a j c, ent~ao a j (mb+nc) Demonstra»c~ao Como a j b e a j c existem inteiros e e f tais que b = ae e c = af Logo mb + nc = m(ae)+n(af) =(me + nf)a Portanto,a j (mb + nc) Para exempli car a proposi»c~ao acima, note que 3 j 1, 3 j 33 e, conseqäuentemente, 3 j ( ), isto e, 3 j 6 3 O algoritmo da divis~ao em Z Teorema 31 (Teorema do algoritmo da divis~ao em Z) Se a e b s~ao inteiros, e b 6= 0,ent~ao existem inteiros q e r tais que a = bq + r, e0 r<jbj Osinteirosq e r, nas condi»c~oes acima, s~ao unicos Os inteiros q e r s~ao chamados, respectivamente, de quociente e resto da divis~ao euclidiana de a por b Demonstra»c~ao Demonstraremos o teorema supondo b>0 e deixaremos o caso b<0 para ser completado pelo leitor Pelo teorema 4, do algoritmo da divis~ao em N, cap ³tulo, se a 0, existem n umeros naturais q e r satisfazendo a = bq + r e 0 r<b Se a < 0, ent~ao jaj > 0 Aplicando o teorema 4, existem naturais q e r satisfazendo jaj = bq + r; e 0 r<b Como jaj = a, temos ent~ao a = bq + r, ouseja,a = b( q)+( r) Ser =0, temos a = b( q)+0, sendo ent~ao q e 0 o quociente e o resto da divis~ao de a por b, respectivamente Se r>0, temos a = b( q)+( r) = b( q) b + b r, logo = b( q 1) + (b r) Como 0 <r<b,temos b < r <0 eent~ao, somando b aos tr^es membros desta ultima desigualdade, 0 <b r < b Fazendo q 0 = q 1, er 0 = b r, temos a = bq 0 + r 0,com0 <r 0 <b No caso em que b<0, fazendo a divis~ao euclidiana de a por jbj, obtemos quociente e resto da divis~ao de a por b

3 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z Para demonstrar a unicidade do quociente q e do resto r, suponhamos que seja poss ³vel fazer a = bq 1 + r 1 = bq + r com q 1 ;q ;r 1 e r inteiros, 0 r 1 <be 0 r <b Mostraremos que necessariamente q 1 = q e r 1 = r A partir da igualdade bq 1 + r 1 = bq + r,obtemos0=b(q 1 q )+(r 1 r ) ou, equivalentemente, (r r 1 )=b(q 1 q ) Logo b divide r r 1 Por outro lado, como 0 r 1 <be 0 r <bsegue que b <r r 1 <b,eportantojr r 1 j <b Como b divide jr r 1 j <b(pois divide r r 1 ), temos necessariamente (justi que) r r 1 =0e, conseqäuentemente, q 1 q =0 Segue portanto a unicidade q 1 = q e r 1 = r Observa»c~ao 31 Fixado um inteiro positivo d,em v arias inst^ancias, na teoria do n umeros, classi camos os n umeros inteiros pelos restos da divis~ao por d Por exemplo, se d =ent~ao o resto da divis~ao de qualquer inteiro n por satisfaz 0 r<, isto e, r =0ou r =1 No primeiro caso, n =q, dizemos que n e um inteiro par, e no segundo caso, n =q +1, dizemos que n e uminteiro ³mpar De forma an aloga, se d =4temos 0 r<4 Conclu ³mos ent~ao que cada inteiro n tem uma e apenas uma das formas: n =4q, n =4q +1, n =4q +, n =4q +3(com q Z) Assim, o conjunto Z, dos n umeros inteiros, ca subdividido em quatro classes de inteiros, cada uma das classes contendo todos os inteiros que deixam um mesmo resto quando divididos por 4 33 Divis~ao euclidiana na calculadora Nesta se»c~ao, assumiremos familiaridade com os n umeros reais, e exploraremos um m etodo simplesparaobterquocienteeresto,deumadivis~ao euclidiana em Z, usandoumacalculadora comum De ni»c~ao 3 (Fun»c~ao maior inteiro) Para cada x R, de ne-se o maior inteiro contido em x, como sendo o n umero [x] Z tal que x = [x] +, sendo real, 0 <1 Exemplo 3 [8=3] =, pois 8=3 =+=3; [¼] =3, pois ¼ =3+, sendo ¼ 0; 14 [ 1;5] =, pois 1;5 = + 0;5

4 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 3 Lema 31 Para cada x R, x 1 < [x] x Demonstra»c~ao Sejax um n umero real Ent~ao x =[x]+, com[x] Z e 0 <1 Da ³ temos[x] [x]+ = x Agora, x 1=[x]+( 1) Como 0 <1, temos 1 1 < 0 eent~ao [x]+( 1) < [x] Portanto, x 1 < [x] Assim, x 1 < [x] x Proposi»c~ao 33 (Obtendo quociente e resto em uma calculadora) Sejam a e b a inteiros, com b>0 Consideremos o n umero racional b Ent~ao o quociente q eo resto r, da divis~ao euclidiana de a por b, s~ao dados por h a i ³ a h a i q = e r = b b b b h a i Demonstra»c~ao Tomemos q = e r = b b ³ a b h a b i Temos ent~ao a = bq + r, sendo q =[ a b ] e r = a b[ a ]=a bq ambos inteiros b Basta veri car agora que 0 r<b Pelo lema 31 temos a b 1 < a b a b,isto e, a b 1 <q a b Sendo b>0, temos ent~ao a b<bq a, de onde a bq < b a, eent~ao 0 a bq < b Exemplo 33 Como exemplo, ao dividir 6795 por 15, em uma calculadora obtemos 6795=15 = 14;36, portantoq = [14;36] = 14 e r = (14;36 14) 15 = 0;36 15 = 45 Se a =536e b =18ent~ao q = [536=18] = 9 e r = 536 [536=18] 18 = = 14 Se a = 380 e b =75ent~ao q =[ 380=75] = 6 e r = 380 [ 380=75] 75 = 380 ( 6) 75 = 70 Este algoritmo funciona bem em calculadoras eletr^onicas, desde que os inteiros envolvidos n~ao sejam muito grandes, por causa de limita»c~oes de mem oria Sabemos que r =( a b [ a b ]) b e um inteiro Se aparecer, no visor de sua calculadora, um resultado para r tal como 6; , simplesmente arredonde-o para 7

5 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 4 34 Exerc ³cios 1 De acordo com a de ni»c~ao 31, podemos dizer que 0 divide 0? (N~ao se apresse em dar a resposta Pense: 0 e fator de 0?) Podemos dizer que 0 e divis ³vel por 0? Mostre que 160 e divis ³vel por 7, por5 epor9 3 Encontre o quociente e o resto da divis~ao por 17, sendo o dividendo (a) 100 (b) 89 (c) 44 (d) 100 Respostas (a) q =5, r =15 (b) q =17, r =0 (c) q = 3, r =7 (d) q = 6, r = 4 Use uma calculadora, para obter quociente e resto da divis~ao, por 135, sendo o dividendo (a) (b) Respostas (a) q =385, r = 1571 (b)q = 10 11, r = Sendo a e b inteiros, demonstre que a j b e b j a, a = b 6 Mostre que sendo a, b, c e d inteiros, se a j b e c j d ent~ao ac j bd 7 Existem inteiros a, b e c tais que a j bc mas a6j b e a6j c? 8 Mostre que a soma de dois inteiros pares e sempre par, que a soma de dois inteiros ³mpares e sempre par, e que a soma de um inteiro par com um inteiro ³mpar e sempre ³mpar 9 Mostre que se a e um inteiro ent~ao a 3 a e divis ³vel por 6 Sugest~ao Pelo teorema 31, a =6q + r, comr f0; 1; ; 3; 4; 5g 10 Mostre que o quadrado de um inteiro ³mpar e daforma8k +1,comk inteiro 11 Mostre que o produto de dois inteiros da forma 6k +5 e um inteiro da forma 6k +1 Sugest~ao Os dois inteiros tem a forma 6k 1 +5e 6k +5,paracertosinteirosk 1 e k 1 Mostre que o cubo de um inteiro e deumadasformas:9k, 9k 1, 9k +1,com k inteiro Sugest~ao Pelo algoritmo da divis~ao por 3, todointeiron tem a forma 3q + r, sendo r f0; 1; g 13 Seja f n o n- esimo n umero de Fibonacci Recorde-se de que f 1 = f =1,e f n = f n 1 + f n para cada n 3 (a) Mostre que f n epar, n e divis ³vel por 3 Sugest~ao Mostre, por indu»c~ao sobre k, que para cada inteiro k 0, f 3k e par, enquanto que f 3k+1 e f 3k+ s~ao ³mpares (podemos considerar f 0 =0)

6 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 5 (b) Mostre que f n e divis ³vel por 3, n e divis ³vel por 4 (c) Mostre que f n+m = f n f m 1 + f n+1 f m se m e n 1 Sugest~ao Mostre que, para cada n 1, aigualdade e valida para m =e para m =3 Demonstre ent~ao a igualdade, para cada n, por indu»c~ao sobre m, pelo o princ ³pio de indu»c~ao (d) Usando o resultado do item anterior, mostre que se n j m ent~ao f n j f m Sugest~ao Mostre, por indu»c~ao sobre k, k 1, que f kn e divis ³vel por f n 14 Sejam a; b; c; d quatro inteiros com a e c n~ao nulos Mostre que se a j b e c j d ent~ao ac j bd 15 Existem inteiros a; b; c tais que a j bc mas a6j b e a6j c? 16 Sejam a; b; c tr^es inteiros com c 6= 0 Mostre que a j b se e somente se ac j bc 17 Sejam a e b dois inteiros tais que a j b Mostre que a jbj 18 Complete a demonstra»c~ao do teorema 31, com o caso em que b<0 19 Demonstre que (a) Se x e y s~ao dois n umeros reais ent~ao [x + y] [x]+[y] Sugest~ao Considere que [x] =a, x = a +, sendo a inteiro e um n umero real satisfazendo 0 < <1 (b) Se x e umn umero real, e x 6= n + 1 para todo inteiro n, ent~ao x + 1 eo inteiro mais pr oximo de x Sugest~ao Quando x 6= n + 1 para todo inteiro n, o inteiro m mais pr oximo de x e aquele satisfazendo x = m +, com 1 < < 1 (c) Se x = n + 1, para algum inteiro n, ent~ao n e n +1s~ao eqäuidistantes de x, sendo os inteiros mais pr oximos de x 0 (a) Mostre que, se x e d s~ao inteiros positivos, o n umero de inteiros positivos, menores do que ou iguais a x, que s~ao divis ³veis por d, e calculado por x d Sugest~ao Os inteiros positivos m ultiplos de d s~ao d, d, 3d, etc Existeum unico inteiro positivo n satisfazendo nd x e (n +1)d>x (b) Calcule o n umero de inteiros positivos que n~ao excedem 1000 e que s~ao divis ³veis por 5, por5, por15 epor65 (c) Quantos inteiros entre 100 e 1000 s~ao divis ³veis por 7?Epor49? 1 Seja T (n) uma fun»c~ao com dom ³nio nos inteiros positivos de nida por ( n se n e par T (n) = 3n+1 se n e ³mpar

7 Divisibilidade e o algoritmo da divis~ao em Z 6 Iterando a fun»c~ao T podemos construir, a partir de um inteiro positivo n xado, uma seqäu^encia de inteiros conforme mostra o quadro abaixo: n n; T (n);t(t (n));t(t (T (n)));t 4 (n);t 5 (n);::: 1 1; ; 1; ; 1; ; 1;::: ; 1; ; 1; ; 1; ; 1;::: 3 3; 5; 8; 4; ; 1; ; 1;::: 4 4; ; 1; ; 1; ; 1;::: 5 5; 8; 4; ; 1; ; 1;::: 6 6; 3; 5; 8; 4; ; 1; ; 1;::: 7 7; 11; 17; 6; 13; 0; 10; 5; 8; 4; ; 1; ; 1;::: Uma conjectura muito conhecida, as vezes chamada de Conjectura de Collatz, a rma que a seqäu^encia obtida pelas itera»c~oes de T sempre recaem na repeti»c~ao 1; ; 1; ; 1;:::, independentemente do valor do inteiro inicial n (a) Encontre a seqäu^encia obtida pelas itera»c~oes de T,come»cando com n =9 (b) Mostre que se k e uminteiro,( k 1)=3 e sempreuminteiro ³mpar (c) Mostre que a seqäu^encia obtida pelas itera»c~oes de T,come»cando com n = ( k 1)=3, sendo k um inteiro, sempre recai em 1,, 1,, 1, :::

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

M aximo divisor comum

M aximo divisor comum 6 M aximo divisor comum 6.1 Conceitua»c~ao e propriedades elementares Se x e a s~ao inteiros, com a 6= 0,ex j a (lembre-se de que \x j a" signi ca \x divide a") ent~ao jxj jaj. Defato,comoa = xc, para

Leia mais

Inteiros e Indu»c~ao Finita

Inteiros e Indu»c~ao Finita 1 Inteiros e Indu»c~ao Finita Neste cap ³tulo estudaremos uma estrutura alg ebrica que j a nos e familiar: a estrutura alg ebrica do conjunto Z dos n umeros inteiros. Por estrutura alg ebrica do conjunto

Leia mais

Deriva»c~ao em cadeia e deriva»c~ao impl ³cita

Deriva»c~ao em cadeia e deriva»c~ao impl ³cita Aula 3 Deriva»c~ao em cadeia e deriva»c~ao impl ³cita A regradacadeia e umaregradederiva»c~ao que nos permite calcular a derivada de uma composi»c~ao (ou um encadeamento) de fun»c~oes, tais como f(g(x))

Leia mais

Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides

Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos,

Leia mais

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como

Leia mais

Sub-an eis, ideais e an eis quocientes

Sub-an eis, ideais e an eis quocientes 3 Sub-an eis, ideais e an eis quocientes 3.1 Sub-an eis e ideais De ni»c~ao 3.1.1 (Sub-anel de um anel) Seja (A; +; ) um anel e seja B um subconjunto n~ao vazio de A. Dizemos que B e um sub-anel de A se

Leia mais

MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Abril 2012

MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz. EST Setúbal / IPS Abril 2012 MATEMÁTICA DISCRETA ARITMÉTICA RACIONAL (2/6) Carlos Luz EST Setúbal / IPS 16 22 Abril 2012 Carlos Luz (EST Setúbal / IPS) Aritmética Racional (2/6) 16 22 Abril 2012 1 / 15 Divisão Inteira Teorema Sendo

Leia mais

Primeiros conceitos da teoria dos an eis

Primeiros conceitos da teoria dos an eis 1 Primeiros conceitos da teoria dos an eis 1.1 Coisas elementares De ni»c~ao 1.1.1 Um anel e uma estrutura alg ebrica (A; +; ), (isto e, um conjunto n~ao vazio A, juntamente com duas opera»c~oes + e em

Leia mais

MATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA 1 MÓDULO 2. Divisibilidade. Professor Matheus Secco MATEMÁTICA 1 Professor Matheus Secco MÓDULO 2 Divisibilidade 1. DIVISIBILIDADE 1.1 DEFINIÇÃO: Dizemos que o inteiro a é divisível pelo inteiro b (ou ainda que a é múltiplo de b) se existe um inteiro c

Leia mais

O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ANA PAULA CHAVES AND THIAGO PORTO 1. Introdução Os temas centrais deste texto - bases numéricas e critérios de divisibilidade

Leia mais

1.1 Propriedades Básicas

1.1 Propriedades Básicas 1.1 Propriedades Básicas 1. Classi que as a rmações em verdadeiras ou falsas, justi cando cada resposta. (a) Se x < 2, então x 2 < 4: (b) Se x 2 < 4, então x < 2: (c) Se 0 x 2, então x 2 4: (d) Se x

Leia mais

a = bq + r e 0 r < b.

a = bq + r e 0 r < b. 1 Aritmética dos Inteiros 1.1 Lema da Divisão e o Algoritmo de Euclides Recorde-se que a, o módulo ou valor absoluto de a, designa a se a N a = a se a / N Dados a, b, c Z denotamos por a b : a divide b

Leia mais

ENFOQUE USANDO CORTES DE DEDEKIND

ENFOQUE USANDO CORTES DE DEDEKIND Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit CONSTRUÇÃO DOS REAIS: UM ENFOQUE

Leia mais

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x

Diagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x Diagonal mais curta Seja P um polígono regular de lados ( > 6), d a medida da sua diagonal mais curta e l a medida do seu lado. Supondo que d e l são comensuráveis, temos d mx e l nx, onde m e n são inteiros

Leia mais

Elementos de Matemática Finita

Elementos de Matemática Finita Elementos de Matemática Finita Exercícios Resolvidos 1 - Algoritmo de Euclides; Indução Matemática; Teorema Fundamental da Aritmética 1. Considere os inteiros a 406 e b 654. (a) Encontre d mdc(a,b), o

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Potenciação Oitavo Ano Prof Ulisses Lima Parente 1 Potência de expoente inteiro positivo Antes de estudar potências, é conveniente relembrar

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo. Divisão Euclidiana

MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo. Divisão Euclidiana MA14 - Aritmética Unidade 2 Resumo Divisão Euclidiana Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

MA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2

MA14 - Aritmética Lista 1. Unidades 1 e 2 MA14 - Aritmética Lista 1 Unidades 1 e 2 Abramo Hefez PROFMAT - SBM 05 a 11 de agosto 2013 Unidade 1 1. Mostre, por indução matemática, que, para todo n N {0}, a) 8 3 2n + 7 b) 9 10 n + 3.4 n+2 + 5 2.

Leia mais

Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva

Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva Aula 4 Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva Nos cap ³tulos anteriores, zemos uso de um ite especial para calcular derivadas: f 0 f(+ ) f() () =.!0 Neste cap ³tulo veremos os ites como ferramentas de estudo

Leia mais

1 Congruências e aritmética modular

1 Congruências e aritmética modular 1 Congruências e aritmética modular Vamos considerar alguns exemplos de problemas sobre números inteiros como motivação para o que se segue. 1. O que podemos dizer sobre a imagem da função f : Z Z, f(x)

Leia mais

ALGORITMO DE EUCLIDES

ALGORITMO DE EUCLIDES Sumário ALGORITMO DE EUCLIDES Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com lulismartino@gmail.com PROFMAT - Colégio Pedro II 25 de agosto de 2017 Sumário 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo

Leia mais

Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:

Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada: Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento

Leia mais

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17)

Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Errata da lista 1: Na página 4 (respostas), a resposta da letra e da questão 13 é {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} (faltou o número 17) Lista 1 - Bases Matemáticas Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1

Leia mais

Representa»c~ao posicional de inteiros

Representa»c~ao posicional de inteiros 4 Representa»c~ao posicional de inteiros Habitualmente os n umeros inteiros positivos s~ao representados no sistema (posicional) decimal. Na representa»c~ao de um inteiro positivo no sistema decimal, os

Leia mais

ENQ Gabarito e Pauta de Correção

ENQ Gabarito e Pauta de Correção ENQ014.1 - Gabarito e Pauta de Correção Questão 1 [ 1,0 pt ] O máximo divisor comum de dois inteiros positivos é 0. Para se chegar a esse resultado pelo processo das divisões sucessivas, os quocientes

Leia mais

Capítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos

Capítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos Capítulo 1 Matrizes e Sistema de Equações Lineares Neste capítulo apresentaremos as principais de nições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento

Leia mais

O Teorema Fundamental da Aritm etica

O Teorema Fundamental da Aritm etica 8 O Teorema Fudametal da Aritm etica Vimos, o cap ³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os blocos usados para costruir, atrav es de produtos, todos os iteiros positivos maiores

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n

Definição: Uma função de uma variável x é uma função polinomial complexa se pudermos escrevê-la na forma n POLINÔMIO I 1. DEFINIÇÃO Polinômios de uma variável são expressões que podem ser escritas como soma finita de monômios do tipo : a t k k onde k, a podem ser números reais ou números complexos. Exemplos:

Leia mais

Algoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão:

Algoritmos. OBMEP Teoria dos números - Parte I. Algoritmo da divisão: OBMEP Teoria dos números - Parte I Elaine Pimentel 1 o Semestre - 2006 Algoritmos Algoritmo = processo de cálculo baseado em regras formais Especificação de um algoritmo: entrada + instruções + saída Perguntas:

Leia mais

NÚMEROS INTEIROS. Álgebra Abstrata - Verão 2012

NÚMEROS INTEIROS. Álgebra Abstrata - Verão 2012 NÚMEROS INTEIROS PROF. FRANCISCO MEDEIROS Álgebra Abstrata - Verão 2012 Faremos, nessas notas, uma breve discussão sobre o conjunto dos números inteiros. O texto é basicamente a seção 3 do capítulo 1 de

Leia mais

MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout

MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 3 MDC, MMC, Algoritmo de Euclides e o Teorema de Bachet-Bézout 1 mdc, mmc e Algoritmo de Euclides Dados

Leia mais

CRITÉRIO DE EISENSTEIN. Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima

CRITÉRIO DE EISENSTEIN. Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima CRITÉRIO DE EISENSTEIN 1 Marília Martins Cabral Orientador: Igor Lima NOTAÇÕES a b a divide b. a b a não divide b x n a variável x elevado a potência n. a n coeficiente de x n 2 INTRODUÇÃO: POLINÔMIOS

Leia mais

Mais uma aplicação do teorema de isomorfismo. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de

Mais uma aplicação do teorema de isomorfismo. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de Obs: tem exercícios na página 6. Mais uma aplicação do teorema de isomorfismo. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de G. Seja HN = {hn : h H, n N}. Então HN G, H N H e H/H N = HN/N.

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 15 - Parte 1 Resumo. Congruências

MA14 - Aritmética Unidade 15 - Parte 1 Resumo. Congruências MA14 - Aritmética Unidade 15 - Parte 1 Resumo Congruências Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto.

Leia mais

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma

Leia mais

CENTRO EDUCACIONAL GIRASSOL TD de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues

CENTRO EDUCACIONAL GIRASSOL TD de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues CENTRO EUCACIONAL GIRASSOL T de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues proftiagorodrigues@gmail.com IVISIBILIAE E RESTO. Introdução O assunto divisibilidade no Conjunto dos Inteiros ( ) é extremamente importante

Leia mais

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c.

Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Divisores Definição. Diremos que um número inteiro d é um divisor de outro inteiro a, se a é múltiplo de d; ou seja, se a = d c, para algum inteiro c. Quando a é múltiplo de d dizemos também que a é divisível

Leia mais

Notas de Aulas. Prof a Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo. Prof. Frederico Sercio Feitosa (colaborador)

Notas de Aulas. Prof a Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo. Prof. Frederico Sercio Feitosa (colaborador) Notas de Aulas Introdução à Álgebra Prof a Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Prof. Frederico Sercio Feitosa (colaborador) 2009 ii i Introdução à Álgebra (MAT128) Introdução à Teoria dos Números

Leia mais

r O GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Março de 2013

r O GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Março de 2013 GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Março de 013 Questão 1. (pontuação: 1,5) É dado um retângulo ABCD tal que em seu interior estão duas circunferências tangentes exteriormente no ponto T, como mostra a figura abaixo.

Leia mais

Tópicos de Matemática Elementar

Tópicos de Matemática Elementar Tópicos de Matemática Elementar 2 a série de exercícios 2004/05. A seguinte prova por indução parece correcta, mas para n = 6 o lado esquerdo é igual a 2 + 6 + 2 + 20 + 30 = 5 6, enquanto o direito é igual

Leia mais

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 TEORIA DOS NÚMEROS

Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 TEORIA DOS NÚMEROS Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 A Teoria dos Números tem como objecto de estudo o conjunto Z dos números inteiros (a letra Z vem da palavra alemã Zahl que significa número). 1. DIVISIBILIDADE

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade I. Samuel Barbosa Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 1. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade I. Samuel Barbosa Feitosa Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Samuel Barbosa Feitosa Aula 1 Divisibilidade I Teorema 1. (Algoritmo da Divisão) Para quaisquer inteiros positivos a e b, existe um

Leia mais

Lista 3 - Bases Matemáticas

Lista 3 - Bases Matemáticas Lista 3 - Bases Matemáticas (Última versão: 18/6/2017-22:32) Conjuntos 1 Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa: a) {x N 1 < x < 10} b) {x Z x 2 < 5} c) {x N 3x + 4 10} d) {x N x 2 + x 6 = 0}

Leia mais

Um Mini-Curso de Aritm etica dos Inteiros

Um Mini-Curso de Aritm etica dos Inteiros 2 Um Mini-Curso de Aritm etica dos Inteiros Neste cap ³tulo reuniremos elementos b asicos da teoria dos n umeros, pr e-requisitos indispens aveis a um primeiro curso de estruturas alg ebricas. 2.1 O Princ

Leia mais

Cálculo do MDC e MMC

Cálculo do MDC e MMC META: Apresentar o algoritmo do Cálculo do MMC e do MDC entre dois números OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Executar de maneira correta os algoritmos do Cálculo do MMC e do MDC.

Leia mais

III.2 Se os segmentos A B e A B são congruentes ao segmento AB então os segmentos A B e A B também são congruentes.

III.2 Se os segmentos A B e A B são congruentes ao segmento AB então os segmentos A B e A B também são congruentes. 1 Grupo III xiomas de ongruência onsidere o conjunto SEG de todos segmentos e o conjunto NG de todos os ângulos. Vamos admitir a existência de duas relações binárias, uma em SEG (e portanto, entre segmentos)

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Métodos Matemáticos Gabarito da 1 a Prova de Geometria I - Matemática - Monica 08/05/2013 1 a Questão: (3 pontos) Dê uma prova

Leia mais

Matemática para Ciência de Computadores

Matemática para Ciência de Computadores Matemática para Ciência de Computadores 1 o Ano - LCC & ERSI Luís Antunes lfa@ncc.up.pt DCC-FCUP Complexidade 2002/03 1 Inteiros e divisão Definição: Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide

Leia mais

Representação decimal dos números racionais

Representação decimal dos números racionais Representação decimal dos números racionais Alexandre Kirilov Elen Messias Linck 4 de abril de 2017 1 Introdução Um número é racional se puder ser escrito na forma a/b, com a e b inteiros e b 0; esta é

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA. Professor Matheus Secco

MATEMÁTICA MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA. Professor Matheus Secco MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA 1. DIVISIBILIDADE Definição: Sejam a, b inteiros com a 0. Diz-se que a divide b (denota-se por a b) se existe c inteiro tal que

Leia mais

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios

1 INTRODUÇÃO 3 PRODUTO 2 SOMA 4 DIVISÃO. 2.1 Diferença de polinômios. 4.1 Divisão Euclidiana. Matemática Polinômios Matemática Polinômios CAPÍTULO 02 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1 INTRODUÇÃO Como com qualquer outra função, podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com polinômios. A soma e a

Leia mais

Derivando fun»c~oes exponenciais e logar ³tmicas

Derivando fun»c~oes exponenciais e logar ³tmicas Aula 0 Derivando fun»c~oes eponenciais e logar ³tmicas Nesta aula estaremos deduzindo as derivadas das fun»c~oes f() =a e g() =log a, sendo a uma constante real, a>0 e a 6=. O que faz do n umero e uma

Leia mais

Módulo: aritmética dos restos. Divisibilidade e Resto. Tópicos Adicionais

Módulo: aritmética dos restos. Divisibilidade e Resto. Tópicos Adicionais Módulo: aritmética dos restos Divisibilidade e Resto Tópicos Adicionais Módulo: aritmética dos restos Divisibilidade e resto 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Encontre os inteiros que, na divisão

Leia mais

Números Inteiros Algoritmo da Divisão e suas Aplicações

Números Inteiros Algoritmo da Divisão e suas Aplicações Números Inteiros Algoritmo da Divisão e suas Aplicações Diferentemente dos números reais (R), o conjunto dos inteiros (Z) não é fechado para a divisão. Esse não-fechamento faz com que a divisão entre inteiros

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula

Leia mais

Produtos Notáveis. Vejamos alguns exemplos para diversos produtos notáveis que auxiliarão na formação de ideias para problemas futuros mais difíceis.

Produtos Notáveis. Vejamos alguns exemplos para diversos produtos notáveis que auxiliarão na formação de ideias para problemas futuros mais difíceis. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível Prof. Marcelo Mendes Aula Produtos Notáveis Vários problemas de Álgebra para alunos do Ensino Fundamental utilizam Produtos Notáveis, que são identidades

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Aula 1 - Divisibilidade I

Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Aula 1 - Divisibilidade I Polos Olímpicos de Treinamento (POT) Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Aula 1 - Divisibilidade I Samuel Barbosa Feitosa Arquivo Original 1 1 Documento:...gaia/educacional/matematica/teoria numeros2/aula01-divisibilidadei.pdf.

Leia mais

3 Espaços com Produto Interno

3 Espaços com Produto Interno 3 Espaços com Produto Interno 3.1 Produtos Internos em Espaços Vetoriais Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função, : V V R que satisfaz P1) = v, u para todos u, v V ; P2) u, v +

Leia mais

5 Congruências lineares. Programa. 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações. 1 Conjuntos. 4 Indução matemática e divisibilidade

5 Congruências lineares. Programa. 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações. 1 Conjuntos. 4 Indução matemática e divisibilidade Matemática Discreta 2008/09 Jorge André & Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Programa 1 Parte 1 - Conjuntos e Aplicações 1 Conjuntos 2 Relações Binárias 3 Aplicações 4 Indução matemática

Leia mais

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito. a(x x 0) = b(y 0 y).

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito. a(x x 0) = b(y 0 y). MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 016.1 Gabarito Questão 01 [ 1,00 ::: (a)=0,50; (b)=0,50 ] (a) Seja x 0, y 0 uma solução da equação diofantina ax + by = c, onde a, b são inteiros

Leia mais

Introdução à Teoria dos Números - Notas 1 Os Princípios da Boa Ordem e de Indução Finita

Introdução à Teoria dos Números - Notas 1 Os Princípios da Boa Ordem e de Indução Finita Introdução à Teoria dos Números - Notas 1 Os Princípios da Boa Ordem e de Indução Finita 1 Preliminares Neste curso, prioritariamente, estaremos trabalhando com números inteiros mas, quando necessário,

Leia mais

1 Conjuntos, Números e Demonstrações

1 Conjuntos, Números e Demonstrações 1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para

Leia mais

Os números inteiros. Capítulo 2

Os números inteiros. Capítulo 2 6 Capítulo 2 Os números inteiros Intuitivamente, o conjunto Z dos números inteiros é composto pelos números naturais e pelos "negativos". Como justificamos de uma forma simples qual a origem dos números

Leia mais

2013/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação 01

2013/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação 01 013/1S EP33D Matemática Discreta Avaliação 01 Data: 10/07/013 Início: 13h00min Duração: 03 aulas h30min) OBSERVAÇÕES: i) a prova é individual; ii) qualquer forma de consulta não autorizada acarretará no

Leia mais

Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META. Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS

Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META. Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS Aula 14 DOMÍNIOS FATORIAIS META Estabelecer o conceito de domínio fatorial. OBJETIVOS Aplicar a definição de domínio fatorial na resolução de problemas. Estabelecer a definição de máximo divisor comum

Leia mais

Departamento de Matemática

Departamento de Matemática Departamento de Matemática ALGA e Álgebra Linear Folhas Práticas - /6 EAmb/EC/EGI/EM Determinantes (*) Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes A = + i, B = i, C = 6 i, D = 6 i i E = 6, F

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

) a sucessão definida por y n

) a sucessão definida por y n aula 05 Sucessões 5.1 Sucessões Uma sucessão de números reais é simplesmente uma função x N R. É conveniente visualizar uma sucessão como uma sequência infinita: (x(), x(), x(), ). Neste contexto é usual

Leia mais

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.

A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. A DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. SANDRO MARCOS GUZZO RESUMO. A construção dos conjuntos numéricos é um assunto clássico na matemática, bem como o estudo das propriedades das operações

Leia mais

Polinômios irredutíveis

Polinômios irredutíveis Polinômios irredutíveis Sérgio Tadao Martins 23 de janeiro de 2009 1 Introdução: polinômios em uma variável Um polinômio de grau n em uma variável x é uma expressão da forma p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x

Leia mais

Raízes quadrada e cúbica de um polinômio

Raízes quadrada e cúbica de um polinômio Raízes quadrada e cúbica de um polinômio Lenimar Nunes de Andrade UFPB - João Pessoa, PB 1 de abril de 2011 1 Raiz quadrada de um polinômio Consideremos p(x) e r(x) polinômios tais que (r(x)) 2 = p(x).

Leia mais

Aula 2 Divisibilidade - raízes

Aula 2 Divisibilidade - raízes Aula 2 Divisibilidade - raízes Objetivos Aprender o conceito de divisibilidade e o algoritmo euclidiano para polinômios. Compreender o conceito de raiz real de um polinômio em R[x]. Relacionar a existência

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/81 1 - LÓGICA E MÉTODOS DE PROVA 1.1) Lógica Proposicional

Leia mais

UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina CCT - Centro de Ciências Tecnológicas DMAT - Departamento de Matemática

UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina CCT - Centro de Ciências Tecnológicas DMAT - Departamento de Matemática UDESC - Universidade do Estado de Santa Catarina CCT - Centro de Ciências Tecnológicas DMAT - Departamento de Matemática Segunda Lista de Exercícios de ITN: Números Inteiros Prof. Marnei Luis Mandler Segundo

Leia mais

MATEMÁTICA MÓDULO 1 TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE 1.1. DEFINIÇÃO 1.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

MATEMÁTICA MÓDULO 1 TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE 1.1. DEFINIÇÃO 1.2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE TEORIA DOS NÚMEROS 1. DIVISIBILIDADE Neste momento inicial, nosso interesse será em determinar quando a divisão entre dois números inteiros é exata, ou seja, quando o resto da divisão é 0. Antes de mais

Leia mais

Congruências I. Por exemplo, 7 2 (mod 5), 9 3 (mod 6), 37 7 (mod 10) mas 5 3 (mod 4). Veja que a b (mod m) se, e somente se, m a b.

Congruências I. Por exemplo, 7 2 (mod 5), 9 3 (mod 6), 37 7 (mod 10) mas 5 3 (mod 4). Veja que a b (mod m) se, e somente se, m a b. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Feitosa Aula 6 Congruências I Definição 1. Dizemos que os inteiros a e b são congrentes módulo m se eles deixam o mesmo

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido

Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 2 o Semestre - 2010 Introdução Objetivo: estudar o método

Leia mais

Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido

Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido Álgebra A - Aula 01 Algoritmo da divisão de Euclides e Algoritmo Euclideano estendido Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 1 o Semestre - 2013 Introdução Objetivo: estudar o método

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F.

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1.

Leia mais

Matemática Discreta. Introdução à Teoria de Números - Exercícios 1 o ano /2011

Matemática Discreta. Introdução à Teoria de Números - Exercícios 1 o ano /2011 Lic. em Ciências da Computação Matemática Discreta Introdução à Teoria de Números - Exercícios 1 o ano - 2010/2011 1. Determine o quociente e o resto na divisão de: (a) 310156 por 197; (b) 32 por 45; (c)

Leia mais

Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras. Silvia Gonçalves Santos

Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras. Silvia Gonçalves Santos Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras Silvia Gonçalves Santos Definição 1 Seja R um anel com unidade. O radical de Jacobson de R, denotado por J(R), é o ideal (à esquerda) dado pela

Leia mais

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução

Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Lista 1- Cálculo I Lic. - Resolução Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7 10 - g e uma de água, 3 10-3 g. Qual das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?

Leia mais

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática DIVISORES DE ZERO LIA FEITAL FUSARO

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática DIVISORES DE ZERO LIA FEITAL FUSARO Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA COM DIVISORES DE ZERO LIA FEITAL FUSARO Belo Horizonte 2008 LIA FEITAL FUSARO ANÉIS

Leia mais

Números Inteiros: Continuação

Números Inteiros: Continuação META: Apresentar as propriedades aritméticas dos números inteiros OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Entender o conceito de divisibilidade nos números inteiros. Entender o conceito

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

Teoremas e Propriedades Operatórias

Teoremas e Propriedades Operatórias Capítulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de ites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas

Leia mais

Proposta de teste de avaliação

Proposta de teste de avaliação Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo

Leia mais

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Consideremos uma EDO linear de segunda ordem com a forma

Leia mais

Técnicas de. Integração

Técnicas de. Integração Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de

Leia mais

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 1). Achando os divisores de um número natural 2). Quantidade de divisores de um número natural 3). Decidindo se um número natural divide outro 4). Extrema

Leia mais

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito

MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,

Leia mais

XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 2 - Oitavo e Nono Anos

XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 2 - Oitavo e Nono Anos XXXV Olimpíada Cearense de Matemática Nível 2 - Oitavo e Nono Anos Reservado para a correção Prova Probl. 1 Probl. 2 Probl. 3 Probl. 4 Probl. 5 Total # 2000 Nota - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Leia mais

Ordem dos Inteiros AULA. 4.1 Introdução. 4.2 Ordem Ordem dos Inteiros

Ordem dos Inteiros AULA. 4.1 Introdução. 4.2 Ordem Ordem dos Inteiros META: Apresentar ordem nos números inteiros e os Princípio de indução e do Menor elemento. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Usar o processo de indução finita dos Inteiros. Justificar

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC.

» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. » Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. Iniciamos, nesta seção, o estudo sistemático da geometria dos quadriláteros. Dentre os

Leia mais