Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Álgebra de Boole Roteiro no Atividades didáticas de de Outubro de Arq: elementos10.tex Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses(at)matematica(pt)uel(pt)br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas para as nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Algum material foi obtido em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugerimos que o leitor pesquise a Interbet para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: Melhor é serem dois do que um, porque têm melhor paga do seu trabalho. Pois se caírem, um levantará o seu companheiro; mas ai do que estiver só, pois, caindo, não haverá outro que o levante. Também, se dois dormirem juntos, eles se aquentarão; mas um só como se aquentará? E, se alguém quiser prevalecer contra um, os dois lhe resistirão; e o cordão de três dobras não se quebra tão depressa. A Bíblia Sagrada, Eclesiastes 4:9-12

2 Álgebra de Boole 1 1 Álgebra de Boole Definição 1 (Álgebra de Boole). Uma Álgebra Booleana é uma estrutura matemática denotada por B = (B, s, p, c, θ, I), onde os seis objetos são: B: Um conjunto B não vazio. s: Uma operação binária s : B B B que associa a cada par de elementos (a, b) B B um elemento s(a, b) = a + b B, denominado a soma dos elementos a, b B. p: Uma operação binária p : B B B que associa a cada par de elementos (a, b) B B um elemento p(a, b) = a b B, denominado o produto dos elementos a, b B. c: Uma operação unária c : B B B que associa a cada elemento a B um elemento c(a) B, denominado o complemento do elemento a B. θ: Um elemento nulo θ B, I: Um elemento unidade I B que é diferente de θ B. que, para quaisquer a, b, c B, satisfazem aos oito axiomas: 1. Comutativa: a + b = b + a 2. Distributiva: a + (b c) = (a + b) (a + c) 3. Elemento nulo: a + θ = a 4. Complemento: a + c(a) = I 5. Comutativa: a b = b a 6. Distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) 7. Elemento unidade: a I = a 8. Complemento: a c(a) = θ Exemplo 1 (Álgebra de Boole). A estrutura (B, +,, c, 0, 1), onde B = {0, 1}, θ = 0 e I = 1, com as operações definidas pelas tabelas *

3 Álgebra de Boole 2 Observação 1 (Precedência nas operações). Em uma Álgebra de Boole, embora os parênteses possam alterar a precedência, as operações matemáticas são realizadas na seguinte ordem: 1. Complemento, 2. Produto, 3. Soma. Observação 2 (Precedência nas operações). Na Álgebra de Boole do exemplo anterior, (B, +,, c, 0, 1), onde B = {0, 1}, θ = 0 e I = 1, a expressão booleana x = 1 (1 + 0) + c(1) tem valor x = 1, pois x = 1 (1 + 0) + c(1) = 1 (1 + 0) + 0 = 1 * = = 1 Exemplo 2 (Álgebra de Boole de Conjuntos). A estrutura (X,,, c,, U) formada pela coleção X de todos os conjuntos que é fechada para as operações de reunião, interseção e complementar, sendo o elemento nulo θ = (conjunto vazio), o elemento unidade I = U (universo) e c(a) = U A = A c que é complemento, pois, quaisquer que sejam A, B, C X, tem-se: 1. A B = B A 2. A (B C) = (A B) (A C) 3. A = A 4. A A c = U 5. A B = B A 6. A (B C) = (A B) (A C) 7. A U = A 8. A A c = Observação 3. A palavra fechada em X significa que a reunião, a interseção e o complementar de conjuntos em X ainda está em X.

4 Álgebra de Boole 3 Exemplo 3 (Divisores de 12). Seja a estrutura (D(12),,, c, θ, I), formada pelo conjunto D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} dos divisores naturais do número 12, o elemento nulo θ = 1 e o elemento unidade I = 12, com as operações definidas pelas tabelas: a b = MMC(a,b) Mínimo Múltiplo Comum entre a e b a b = MDC(a,b) Máximo Divisor Comum entre a e b c(a) = 12/a Divisão de 12 por a A estrutura (D(12),,, c, θ, I) não representa uma Álgebra de Boole, pois 2 D(12) e c(2) = 6 D(12), mas 2 c(2) = 2 6 = MMC(2, 6) = 6 12 = I 2 c(2) = 2 6 = MDC(2, 6) = 2 1 = θ Exemplo 4 (Álgebra de Boole Z2). A estrutura (Z 2, +,, c, P, I) sendo que Z 2 = {P, I}, P é conjunto dos números pares inteiros, I é o conjunto dos números ímpares inteiros, o elemento nulo θ = P, o elemento unidade é o conjunto I dos números ímpares e o complemento definido no universo Z do conjunto dos números inteiros, com as operações definidas pelas tabelas a P I c(a) I P * P I P P P I P I + P I P P I I I I Exemplo 5 (Z3). Seja z um número inteiro. Se a divisão do número z por 3 tem resto r, escrevemos z [r] (z pertence à classe [r]). O conjunto das classes Z 3 = {[0], [1], [2]} é bem conhecido na Álgebra, mas a estrutura (Z 3, +,, c, [0], [1]) com o elemento nulo θ = [0] e o elemento unidade I = [1], Não é uma Álgebra de Boole com as operações definidas pelas tabelas: [0] [1] [1] [0] [2] [2] * [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] Se (Z 3, +,, c, [0], [1]) fosse uma Álgebra de Boole, poderíamos tomar a = [2], c(a) = [2] e seguiria que [0] = θ = a c(a) = [2] [2] = [1], o que é falso.

5 Álgebra de Boole 4 Exemplo 6 (Álgebra de Boole {(0,0),(1,1)}). Seja B = {0, 1} e o produto cartesiano B 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. A estrutura (B 2, +,, c, θ, I)) onde θ = (0, 0) e I = (1, 1) é uma Álgebra de Boole, com as operações: (0,0) (1,1) (0,1) (1,0) (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) * (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,1) (0,0) (0,1) (0,0) (0,1) (1,0) (0,0) (0,0) (1,0) (1,0) (1,1) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) + (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (0,1) (0,1) (0,1) (1,1) (1,1) (1,0) (1,0) (1,1) (1,0) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) Exemplo 7. Seja o conjunto B = {0, 1, 2, 3}. Escrevemos um elemento a B na base 2, dividindo a por 2, para obter o quociente q e o resto r. A notação a 2 = qr indica o valor do número a B na base 2. Formamos assim um novo conjunto B 2 = {00, 01, 10, 11}. Se o elemento nulo é θ = 00, o elemento unidade é I = 11 e as operações são definidas pelas tabelas * segue que a estrutura (B 2, +,, c, 00, 11) é uma Álgebra de Boole. Exemplo 8 (Álgebra de Boole das Proposições lógicas ). A estrutura formada por (P,,,, F, V ), em que P é a coleção de todas as proposições lógicas, é a operação de disjunção, é a operação de conjunção, é a operação de negação, θ = F é a contradição representando o elemento nulo e I = V é a tautologia representando o elemento unidade, é uma Álgebra de Boole. Neste caso, duas proposições lógicas equivalentes são tomadas como iguais.

6 Seção 2 Símbolos superior e inferior de Sheffer 5 Definição 2 (Dualidade). Em uma Álgebra de Boole, o dual de uma afirmação é uma outra afirmação obtida da primeira pela troca das operações de soma (+) pelo produto ( ) e pela troca do elementos nulo (θ) pela unidade (I). Exemplo 9 (Dualidade). A afirmação dual corespondente a é a afirmação (a + θ) (b + c(b)) = a (a I) + (b c(b)) = a Observação 4 (Sobre dualidade). Um Teorema é verdadeiro em uma Álgebra de Boole, se e somente se, o Teorema dual correspondente é verdadeiro. Observação 5 (Dualidade no teorema). No próximo teorema, as afirmações (1,2,3,4,5,6), respectivamente, são duais às afirmações (7,8,9,10,11,12), significando que basta demonstrar o primeiro grupo ou o segundo grupo. Teorema 1 (Propriedades). Se B é uma Álgebra de Boole e a, b, c B, então 1. a + a = a 2. a + I = I 3. a + (a b) = a 4. a + (b + c) = (a + b) + c 5. c(θ) = I 6. c(a + b) = c(a) c(b) 7. a a = a 8. a θ = θ 9. a (a + b) = a 10. a (b c) = (a b) c 11. c(i) = θ 12. c(a b) = c(a) + c(b) Exercício: Se B é uma Álgebra de Boole e a, b, c B, mostrar que 1. c(c(a)) = a 2. Se a + x = 1 e a x = 0 então x = c(a). 2 Símbolos superior e inferior de Sheffer Definição 3. Define-se o símbolo superior de Sheffer por p q = ( p) ( q) = p q

7 Seção 2 Símbolos superior e inferior de Sheffer 6 Exemplo 10 (Negação de p). Usando o símbolo superior de Sheffer, obtemos p p = p p = p Exemplo 11 (Conjunção de p e q). Com o símbolo superior de Sheffer aplicado a duas proposições iguais a p q, obtemos (p q) (p q) = ( ( p q)) ( ( p q)) = (p q) (p q) = p q Exemplo 12 (Disjunção de p e q). Com o símbolo superior de Sheffer aplicado às proposições p p e q q, obtemos (p q) (q q) = ( p p) ( q q) = ( p) ( q) = p q Definição 4. Define-se o símbolo inferior de Sheffer por p q = ( p) ( q) = p q Exemplo 13 (Negação de p). Usando o símbolo inferior de Sheffer, obtemos p p = p p = p Exemplo 14 (Disjunção de p e q). Com o símbolo inferior de Sheffer aplicado a duas proposições iguais a p q, obtemos (p q) (p q) = ( ( p q)) ( ( p q)) = (p q) (p q) = p q Exemplo 15 (Conjunção de p e q). Com o símbolo inferior de Sheffer aplicado às proposições p p e q q, obtemos (p p) (q q) = ( p p) ( q q) = ( p) ( q) = p q Complete a tabela com as operações com os símbolos de Sheffer: Proposição Símbolo Símbolo superior Símbolo inferior Negação p p p p p Conjunção p q (p q) (p q) (p p) (q q) Disjunção p q (p p) (q q) (p q) (p q) Condicional p q Bicondicional p q Podemos construir uma Tabela-Verdade com os símbolos de Sheffer: p q p q p q V V V V V F F V F V F V F F V V