Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides

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1 Introdução à Teoria dos Números - Notas 4 Máximo Divisor Comum e Algoritmo de Euclides 1 Máximo Divisor Comum Definição 1.1 Sendo a um número inteiro, D a indicará o conjunto de seus divisores positivos, isto é, D a = {n N; n a}. Exemplo 1. Determine D 48. Solução 1.3 Em sala! Definição 1.4 Sejam a e b números inteiros com pelo menos um deles não-nulo. Chamamos máximo divisor comum dos números a e b, indicado por mdca, b, o maior elemento pertencente ao conjunto D a Exemplo 1.5 Determine mdc48, 18 Solução 1.6 Em sala! Ressaltamos que um número inteiro p > 1 será dito primo se D p = {1, p}. Observação Como para qualquer número inteiro a temos D a = D a, é simples perceber que mdca, b = mdc a, b = mdca, b = mdc a, b. Temos, ainda, que mdca, b = mdcb, a. Dois números inteiros a e b serão ditos primos entre si se mdca, b = 1. 3 Se a 0 é um número inteiro, então mdc0, a = a e mdcka, a = a k Z. 4 mdca, 1 = 1 a Z. 5 Sendo p um número primo, então mdca, p = 1 ou mdca, p = p. Além disso, mdca, p = p p a. 1

2 Teorema 1.8 Sejam a e b dois números inteiros não simultaneamente nulos a + b > 0 e d = mdca, b. Então, d é o menor número natural que pode ser escrito como soma de um múltiplo de a e um múltiplo de b, isto é, existem números inteiros x e y tais que d = ax + by e d é o menor número que pode ser escrito desta forma. Prova. Considere o conjunto Γ = {ax + by > 0, x, y Z}. Note que pelo menos um dos números ±a ou ±b é elemento de Γ e, portanto, Γ. Pelo PBO, Γ possui um menor elemento, digamos, c = ax 0 + by 0. Mostremos que c a e c b. Pela divisão Euclidiana temos que a = qc + r com 0 r < c. Temos, então, r = a1 x 0 q + b y 0 q. Se 0 < r < c, teremos r Γ, o que contraria c ser o menor elemento de Γ, logo r = 0, isto é, c a. De maneira análoga mostramos que c b e, portanto, c mdca, b. Temos, ainda, como d a e d b, existem n 1 e n tais que a = n 1 d e b = n d, ou ainda, Logo, c = d. c = ax 0 + by 0 = n 1 dx 0 + n dy 0 = dn 1 x 0 + n y 0 d c d c. O teorema acima nos permite provar a importante caracterização abaixo. Teorema 1.9 Sejam a e b dois números inteiros tais que a + b > 0. Um número natural d será o maximo divisor comum de a e b se, e somente se, d é um divisor comum de a e b e qualquer divisor comum de a e b é também um divisor de d. Prova. Seja d = mdca, b. Pelo teorema anterior existem números inteiros x 0 e y 0 tais que d = ax 0 +by 0, o que nos mostra que qualquer divisor comum de a e b é também um divisor de d. Por outro lado, se d a e d b e além disso qualquer divisor comum de a e b é também divisor de c, teremos que d c qualquer que seja c divisor comum de a e b, portanto d = mdca, b. Temos, ainda, uma caracterização interessante que é dada pelo teorema abaixo. Teorema 1.10 Sejam a, b, c e d números inteiros tais que a + b > 0 e c + d > 0. Então mdca, b = mdcc, d D a Db = D c Dd. Prova. Sejam mdca, b = mdcc, d. Suponhamos c D a Pelo teorema anterior, temos que c mdca, b = mdcc, d, em particular, c D c Dd, isto é, D a Db D c Dd. Da mesma forma mostramos que D c Dd D a Suponhamos, agora, que D a Db = D c Dd e sejam d = mdca, b e d = mdcc, d. Temos d D a Db e, portanto, d D c Dd, o que nos leva a d d. De maneira análoga mostramos que d d e, daí, concluimos que d = d.

3 Proposição 1.11 a Sejam a, b números inteiros tais que a + b > 0 e t um número inteiro não-nulo. Então mdcta, tb = t mdca, b b Sejam a, b números inteiros tais que a + b > 0 e t um número inteiro não-nulo tal que t a e t b. Então mdc a, b = 1 mdca, b. t t t Prova. a Seja d = mdca, b e d = mdcta, tb. Como d a e d b temos que t d ta e t d b e, portanto, t d d. Sabemos, pelo teorema 1.8, que existem números inteiros x 0 e y 0 tais que ax 0 + by 0 = d, ou ainda, t ax 0 + t by 0 = t d, o que nos leva a e, daí, temos que d d t. b Pelo item anterior, temos ta±x 0 + tb±y 0 = t d mdca, b = mdct a t, tb t = t mdca t, b t mdca t, b t = 1 mdca, b. t Proposição 1.1 a Sejam a e t números inteiros primos entre si, isto é, mdca, t = 1 e b um número inteiro tal que t ab. Então t b. Em particular, se um número primo p é tal que p ab, então p a ou p b. b Se mdca, b = 1, então mdcac, b = mdcc, b. Prova. a Pelo teorema 1.8, existem números inteiros x 0, y 0 tais que ax 0 + ty 0 = 1. Logo, abx 0 + bty 0 = b e, como, t abx 0 e t bty 0, temos que t b. b É claro que D c Db D ac Seja t D ac Então t ac e t b. Como mdca, b = 1, teremos mdct, a = 1 e, portanto, pelo item anterior, t c, isto é, D ac Db D c Aplicação 1.13 Se mdca, b = 1, mostre que mdca n, b m = 1 n, m N. Solução 1.14 Em sala! Algoritmo de Euclides Incialmente, vejamos um lema que nos será muito útil em várias aplicações. Lema.1 Sejam a, b números inteiros tais que a + b > 0 e n um número natural. Então mdca, b = mdca, b + na = mdca, b na = mdca + nb, b = mdca nb, b. 3

4 Prova. Mostremos que mdca, b = mdca, b + na através do teorema Devemos mostrar que D a Db = D a Db+na. Seja t D a Temos, então, que t a e t b + na, o que nos leva a t D a Db+na. Suponhamos, agora, t D a Db+na e, portanto, t a e t na + b + na = b, isto é, t a e t b. Logo, t D a As demais igualdades são obtidas da mesma forma. Aplicação. Determine mdc84, 0 Solução.3 Em sala! Aplicação.4 Para cada número natural n determine mdcn + 1, n + 1 Solução.5 Em sala! O primeiro exemplo acima ilustra o chamado Algoritmo de Euclides. Teorema.6 Algoritmo de Euclides Sejam r 0 = a e r 1 = b números inteiros não negativos com b 0. Se aplicarmos a divisão Euclidiana tantas vezes quanto necessário de forma a obtermos r j = q j+1 r j+1 + r j+, 0 r j+ < r j+1 para j = 0, 1,,..., n 1 e r n+1 = 0, então mdca, b = r n o último resto não-nulo. Prova. Em sala! Aplicação.7 Determine mdc5, 8. Determine números inteiros x 0, y 0 tais que 5x 0 + 8y 0 = mdc5, 8. Solução.8 Em sala! Aplicação.9 Determine números inteiros x 0, y 0 tais que 1001x y 0 = mdc1001, 109. Solução.10 Em sala! Aplicação.11 Sendo a, b números inteiros distintos, mostre que mdc a5 b 5, a b = mdca a b b, 5 Solução.1 Em sala! 4

5 Exercício.13 1 Encontrar, usando o algoritmo de Euclides, o máximo divisor comum dos seguintes pares de números: a 54 e 34 b 965 e 5 c 476 e 134 Determine números inteiros x e y tais que a 93x + 81y = 3 b 43x + 18y = 1 3 Mostre que os números de Fibonacci satisfazem a mdcf n, F n+1 = 1 e b mdcf n, F n+3 = 1 ou 4 Sendo mdca, b =, mostre que mdca + b, a + b = 1 ou 3. 5 Determine todos os inteiros n taus que n + 1 n Mostre que se a, b são inteiros satisfazendo mdca, 3 = b, 3 = 1, então a + b não é um quadrado. 7 Mostrar que mdca, bc = 1 se, e somente se, mdca, b = mdca, c = 1. 8 Mostrar que se b c, então mdca + c, b = a, b. 9 Mostrar que se mdca, c = 1, então mdca, bc = mdca, b. 10 Determine o menor número natural da forma 36x + 54y. Justifique! 11 Sendo n um número natural, mostre que a mdcn, n + 1 = 1 b mdcn + 1, n + n + 1 = 1 c mdcn + 1, 9n + 4 = 1 d mdcn! + 1, n + 1! + 1 = 1 1 Mostre que mdca, a + b b quaisquer que sejam a, b N. 13 Sendo a, m números naturais, mostre que a mdc b mdc a m 1, a + 1 = a + 1, m a+1 a m+1 +1, a + 1 = a + 1, m + 1 a+1 14 Determine: a mdc 40 +1, b mdc 50 +1,