Apostila TEORIA DOS NÚMEROS

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1 1 Apostila TEORIA DOS NÚMEROS Notas de Aula 1ª Parte Prof. Caetano Rodrigues MORAÚJO - CE

2 Sumário ITEM ASSUNTO PAG 1 PRINCIPIO DA BOA ORDENANÇA 3 DIVISIBILIDADE 4 3 ALGORITIMO DA DIVISÃO 4 4 MÁXIMO DIVISOR COMUM 5 5 TEOREMA DE BÉZOUT ALGORITIMO DE EUCLIDES 7 7 INDUÇÃO MATEMÁTICA 8 8 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 9 9 QUESTÕES 1

3 TEORIA DOS NÚMEROS O PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO Todo subconjunto não vazio dos números naturais têm um elemento mínimo. Se S N e S, então existe um n 0 S tal que n 0 n, n S. Esse é um dos dogmas da matemática e é a base da construção da matemática de hoje. Com esse princípio podemos comprovar fatos básicos sobre os números naturais. FATO: Não existe número natural entre 0 e 1. PROVA: Suponha o contrário, então define o seguinte S = *n N: 0 < n <1}, então S, pelo PBO, existe n 0 S (é o menor número natural que está entre 0 e 1), daí 0 <n 0<1. Multiplicando a desigualdade por n 0 temos 0<n 0 <n 0<1 n 0 S, mas é um absurdo, pois n 0 < n 0, então contradiz dizer que n 0 é o elemento mínimo de S, o que leva a conclusão que S =, ou seja, não existe nenhum número natural entre 0 e 1. Números Interessantes A matemática é viva, intensa, impressionante e nos faz pensar, refletir e nos divertir. Conhecer a face divertida da matemática, com suas curiosidades e revelações, é fundamental para despertar o gosto por essa ciência fascinante que geralmente é vista com maus olhos. Vejamos algumas curiosidades que envolvem os números e quanta coisa interessante deixamos de aprender por achar que diversão e matemática não se misturam. 1. Raízes de números quadrados perfeitos. Observe os seguintes pares de quadrados perfeitos: 144 e 441 (Note o que esses números apresentam em comum) Extraindo a raiz quadrada de cada um deles, obtemos: 3 O que você consegue perceber? Veja mais dois pares de quadrados perfeitos: 19 e 91 Extraindo as raízes de cada um, teremos: Conseguiu observar o que ocorre? Veja que 144 e 441, 19 e 91 são pares de quadrados perfeitos compostos pelos mesmos algarismos só que escritos de trás para frente. O interessante é que suas respectivas raízes também apresentam essa característica. Observe mais um exemplo: Os pares de quadrados perfeitos e apresentam os mesmos algarismos só que escritos de trás para frente. Calculando a raiz quadrada de cada um, temos: Suas raízes também apresentam os mesmos algarismos só que escritos em ordem inversa.. O número mágico Vejamos o motivo de esse número ser chamado de número mágico. Escreva um número de três algarismos distintos (diferentes). 598, por exemplo. Escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior = 97 Agora, inverta também esse resultado e efetue a adição = 1089 Independente do número escolhido, teremos sempre como resultado final o número Mas lembrese, só vale para números de três algarismos distintos. Se utilizarmos, por exemplo, 555 ou 988 a propriedade não será válida. 3. A forma pitagórica de calcular potências. Pitágoras foi um grande matemático que se dedicou ao estudo geométrico, trigonométrico e dos números. Dentre seus inúmeros estudos ele descobriu outra forma de se calcular potências com expoente. Depois de muito estudo e observação, notou que qualquer potência de números naturais do tipo n pode ser obtida somando os n primeiros números naturais ímpares. Veja como funciona:

4 4 a) = = 3 b) 7 = = 49 c) 4 = = 1 d) 5 = = 5 (Fonte: Prova Heurística Heurística significa o ato de inventar, de fazer descobertas. É a ciência que tem por objeto a descoberta por fatos. Existe um fato heurístico que diz que todo número natural é interessante, quer dizer, sempre será encontrada uma propriedade interessante. Prova: seja S={n N: n é não interessante+. Temos que provar que S =. Suponha por absurdo que S, deve existir que haja algum número não interessante. Pelo PBO vai existir n 0 S mínimo. O n 0 é o menor número não interessante, mas isso já é uma propriedade interessante, isso contradiz o fato de ele está em S, isso nos faz chegar a um argumento absurdo, devido não existir, matematicamente, uma definição. DIVISIBILIDADE Z={..., -, -1, 0, 1,,...+. Conjunto dos números inteiros Z. As primeiras citações sobre o uso de números inteiros vem dos chineses, no primeiro século de nossa era eles efetuavam cálculos com o uso de gravetos pretos e vermelhos sobre um tabuleiro, indicando os coeficientes positivos por gravetos vermelhos e os negativos por gravetos pretos. (Menos com menos dá..., Darci Dala Costa, 010). (...) foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com adjunção de novos números inteiros negativos, introduzidos para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N (Domingues, Álgebra Moderna, 003). Definição: dizemos que a divide b se existe c Z, tal que b = c.a. (Notação: a b) Exemplo 1: 4 8, pois 8 = c.4 (onde c = ). Exemplo : 3 8, pois 8 = c.3, não existe c Z. Propriedades (i) a a (reflexidade), consideremos a 0. (ii) a 0 (iii) 1 a (iv) Se a b e b c, então a c (transitividade); (v) Se a b e a c, então a mb + nc, m, n Z. Essa é a propriedade mais usada, a divide qualquer combinação linear entre b e c. (vi) Se a b e b 0, então a b. (vii) Se a b, então a bk, para todo k Z. Demonstração de Prop.(v): Se a b e a c b = d 1.a e c = d. a, logo mb + nc = md 1a + nd a = (md 1 + nd )a, ou seja o mb + nc = (md 1 + nd )a e md 1 + nd Z (é algum inteiro multiplicado por a) a mb + nc. Problema: Encontre todos os n N tais que 3n + 1 n + 1. Solução: primeiramente aceitamos como verdade que: 3n + 1 n + 1 3n + 1 3n + 1 (xn) 3n + 1 3n + n Usa a prop. (vii) 3n + 1 n + 1 (x3) 3n + 1 3n + 3 Prop. (v): 3n + 1 (3n + n) (3n +3) 3n + 1 n 3 Logo, aplicando as prop.(ii/vi): n 3 = 0 ou 3n + 1 n 3 n = 3 3n + 1 n + 3 n = 3 ou (desigualdade de triangular) 3n + 1 n + 3 n n 1 n = 1, pois já era n 1 3n + 1 n + 3 Temos duas possibilidades n = 3 e n = 1 se n = 1, temos 4 3n + 1 n + 1 logo a única solução é n = 3. se n = 3, temos O ALGORÍTIMO DA DIVISÃO

5 Nem sempre é possível efetuar uma divisão, ou seja, uma divisão exata, para essa situação temos a seguinte definição: seja, a, b N, então existem q e r Z tais que a = bq + r, com 0 r < b e além disso q e r são únicos. O q é o quociente e o r é o resto da divisão. Temos também as seguintes situações: Quando r = 0 a = bq b a. Demonstração: considere os seguintes intervalos: R + 0 =,0, b),b, b),b, 3b),3b, 4b),4b, 5b),5b, b)...,kb, (k+1)b)... são intervalos disjuntos e por isso vão cobrir toda a reta e irão permitir a unicidade. Como o a > 0 ele está dentro de algum intervalo discriminado, ou seja, no intervalo onde os extremos são múltiplos consecutivos de b, então existe q 0 único, porque os intervalos são disjuntos e o a só pode ser encontrado em um desses intervalos, tal que a,qb, (q + 1)b). Se um número está em um intervalo significa que ele satisfaz certa desigualdade que no caso é qb a < (q + 1)b, e o produto (q + 1)b = qb + b, dá temos: qb a < qb + b 0 a qb < b Os números a e b são fixos e o q é único o que faz concluir que a qb é único e que a qb = r (resto) que também é único. Então temos que: r = a qb a = qb + r e 0 r < b. (r) (q) Conseqüências do Algoritmo da Divisão Caso b =. Nesse caso a = q + r, onde 0 r < b =, ou r = 1 ou r = 0. Todo número tem que assumir uma das formas: Quando r = 0 temos a = q que chamamos de números PARES; ou Quando r = 1 temos a = q + 1 que chamamos de números ÍMPARES. Essa é a definição original de números pares e impares. Caso b = 3. Nesse caso a = 3q + r, onde 0 r < b = 3, ou r = ou r = 1, ou r = 0. Todo número tem que assumir uma das formas: Quando r = 0, temos a = 3q. Quando r = 1, temos a = 3q + 1. Quando r =, temos a = 3q +. Para estes últimos não existe nomenclatura espacial, mas é bastante utilizado na aritmética abordada em congruências. Problema: n N, mostrar n, n+1, n + é divisível por 3, (ou que 3 divide um deles.). Solução: Se existem três números consecutivos, pode-se afirmar que o 3 divide um deles. De acordo com o algoritmo da divisão, n = 3q ou n = 3q + 1 ou n = 3q +. Isto é, os restos da divisão por 3 somente podem ser 0, 1 ou. Se n = 3q, está comprovada a hipótese, ou seja, 3 n. Se n = 3q + 1, então n + = 3q = 3q + 3 = 3(q + 1) n + é divisível por 3. Se n = 3q +, então n + 1 = 3q = 3q + 3 = 3(q + 1) n + 1 é divisível por 3. Quando n for da forma 3q +, então o n + 1 será divisível por 3, (observe se q = 3). Vale a generalização, perceba, se tiver k números consecutivos, o k irá dividir um deles para qualquer k N. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Definição: dizemos que d é o máximo divisor comum de a e b se d a e d b e se existe c a e c b, então d c. Exemplo: MDC (1, 9) D + (1) = {1,, 3, 4,, 1} D + (9) = {1, 3, 9} Max. D + (1) D + (9) = 3 Propriedades: sejam a, b N. (a) MDC (a,b) 1, porque 1 a e 1 b; (a) (b) 5

6 (b) MDC (a, ± b) = MDC (a, b), se d a, então d a; (c) MDC (a, b) = MDC (b, a), simetria; (d) MDC (1, a) = 1, pois, D + (1) = {1} e D + (a) = {a}; (e) MDC (0, a) = a, pois, todo número positivo é divisor de zero, então o maior divisor de a é o próprio a; (f) Se a b, então MDC (a, b) = a; pois, o maior divisor de a é o próprio a e se esse mesmo a d, então ele dividirá os dois e não tem ninguém maior; (g) MDC (a + Kb, b) = MDC (a, b); (h) MDC (a, b) MDC (a, kb). Não existe MDC (0, 0). Demonstração da Prop. (g): MDC (a + Kb, b) = MDC (a, b), primeiramente associamos MDC (a + Kb, b) = d 1 e MDC (a, b) = d, conseqüentemente, d 1 a + Kb e d 1 b, isso significa, pela propriedade (v) da divisibilidade, que o d 1 divide qualquer combinação linear de (a + Kb, b), então podemos escrever que: d 1 a + Kb + (- Kb), o que significa que d 1 a. Logo, d 1 d. No caso do d temos que d a e d b d a + Kb; Logo, d d 1. Se d 1 d e d d 1, daí d 1= d. Teorema de Bézout Se d = MDC (a, b), então, existem m 0 e n 0 Z, tais que d = m 0a + n 0b, ou seja, o MDC (a,b) pode ser escrito como uma combinação linear inteira entre a e b. Provar o Teorema: considere a definição do conjunto S = *ma + nb > 0 : mn Z+. Observe que no MDC (a, b) pelo menos um deles tem que ser diferente de zero, pois não existe MDC (0, 0), outro aspecto a observar é que está sendo considerado somente as combinações lineares positivas, ou seja, (ma + nb) é um número natural. Conclusões: S = *ma + nb > 0 : mn Z+ N, no entanto, esse subconjunto poderia ser vazio. A questão é provar que ele não é vazio, para isso tome m = a e n = b, como m e n estão variando entre todos os inteiros positivos, então é possível escolher em particular que eles assumam esses valores, segue que: ma + nb = a + b > ma + nb S, isto é, S. S é um subconjunto dos naturais diferente do vazio, por isso, sobre ele podemos aplicar o Princípio da Boa Ordenação (PBO) afirmando que: Existe um d que é um menor elemento de S, notação: d = min S, então existem m 0, n 0 Z, tais que d = m 0a + n 0b, isso significa que o menor elemento d de S existe e é escrito como uma combinação linear particular entre a e b, mas é preciso provar que o d é o MDC (a, b). Para provar que o d é o MDC (a, b) temos que aplicar sobre d os critérios para que ele seja Máximo Divisor Comum de S, os critérios são: (i) d a e d b, tem que ser divisor comum. Prova do critério (i) vamos supor que d a. Nesse caso podemos aplicar o algoritmo da divisão a = d.q + r, como d não divide a, então 0 < r < d, mas r = a qd r = a q(m 0a + n 0b) = (1 - q m 0)a + (- q n 0)b, perceba que o r é uma combinação positiva entre a e b, quer dizer que o r S, mas isso é um absurdo porque constatamos que o r < d e o d é o mínimo de S, significa também dizer que d a, logo d a e pelo mesmo motivo e analogamente d b. (ii) O d tem que ser o maior divisor comum. Suponha que c a e c b, então c m 0a + n 0b = d. Lembrando que d 0 e que c d, portanto d = MDC (a, b) = m0a + n0b. Observe o aluno que provamos que o MDC (a, b) = min (S), ou seja, o MDC (a, b) é o menor elemento de S. Podemos inferir que: d = MDC (a, b) = min {m0a + n0b > 0; m, n Z} Colorário 1: é a conseqüência de um teorema ou proposição e como conseqüência temos: Considere t >0, então MDC (ta, tb) = t.mdc(a, b), ou seja, podemos retirar o fator comum entre a e b através do MDC. Prova do Colorário 1: O fator comum entre a e b podemos tirar do MDC, para provar isso recorremos ao teorema de Bézout. O MDC (ta, tb) = min {m(ta) + n(tb) > 0; m, n Z+ = min {t(ma + nb) > 0; m, n Z+. Explicando: Vamos supor que temos o conjunto A = {a, b, c} e outro conjunto B = {ta, tb, tc}, com t>0. Interessante observar que se queremos saber o MDC dos elementos de B, basta saber qual o MDC dos elementos de A e

7 multiplicar esse MDC por t, porque o t é um fator comum de todos os elementos do conjunto B. Isso significa que o t saí do mínimo, que é o menor elemento da combinação linear, por este motivo temos: MDC (ta, tb) = min {m(ta) + n(tb) > 0; m, n Z+ = min {t(ma + nb) > 0; m, n Z+ MDC (ta, tb) = min {m(ta) + n(tb) > 0; m, n Z+ = t min {ma + nb > 0; m, n Z+; MDC (ta, tb) = t MDC (a, b) Colorário : se o c>0, c a e c b, então MDC ( a c, b c ) = 1 c MDC (a, b). Prova do colorário : podemos dizer que a = a e b = b, vamos multiplicar o c para as duas afirmações: c c ca = a e cb = b, então o MDC (ca, cb ) = cmdc (a, b ), substituindo temos MDC (a, b) = c MDC ( a, b ) c c Continuando, MDC (a, b) = c MDC ( a, b ) 1 MDC (a, b) = MDC c c c (a, b ). c c Como conseqüência temos uma característica interessante: Dizemos que a b Q (número racional, fração, quociente de dois inteiros) com b 0 é irredutível, ou dizemos que o numero irracional é irredutível, ou dizemos que a fração é irredutível, se o MDC ( a b ) = 1. Relembrando que se MDC (a, b) = 1, significa que a e b são coprimos ou primos entre si. Nesse caso todos os números racionais podem ser escritos com uma fração irredutível, porque se temos a fração a, cujo d é o o MDC entre a e b pode ser escrito da seguinte forma: b a Se d = MDC (a, b) a d = b b d, mas quando ao MDC (a, b ) = 1 MDC (a, b)= 1, isso significa que a e b são d d d b d coprimas, ou seja, toda fração pode ser escrita como uma fração irredutível. Propriedades do Teorema de Bézout Proposição 1: essa proposição é bastante útil na resolução de problemas e diz que se a bc e MDC (a, b) = 1, então a c, em outras palavras se o a divide o produto de dois números e ele é primo de um dos números então ele tem que dividir o outro. Prova da Proposição 1 O teorema de Bézout diz em palavras que o MDC entre dois números é escrito como combinação linear desses dois números, então se MDC (a, b) = 1= ma + nb ( c) c = mac + nbc. Observa que o a divide mac porque é um múltiplo de a, também o a divide nbc pois como já foi proposto a bc, então o a também divide a soma mac + nbc, no entanto a soma é c, então, a c. Sempre é bom lembrar se a divide dois números então ele divide qualquer combinação linear desses dois números. Proposição : O MDC (a + bk, b) = MDC (a, b). Temos um múltiplo de b que é k, é possível desconsiderá-lo como fator do MDC, pois não influência, pois, todos os fatores de b já estão si, ou seja, seus atributos, o k não aumenta fator nenhum para o b, então é como se cancelasse. Prova da Proposição : supomos que d = MDC (a + bk, b) e c = MDC (a, b). Pela definição temos que d a + bk e d b, então, o d divide qualquer combinação linear, podemos escrever na forma d (a + bk) bk d a, se o d divide a e também divide b, então d MDC (a, b) = c. Analogamente para c: c a e c b c a + bk c MDC (a + bk, b) = d, então, c = d. 7 ALGORÍTIMO DE EUCLIDES Sejam a e b N, podemos dizer que b = a.q 1 + r 1, 0 <r 1 < a; a = r 1.q + r, 0 < r < r 1; r 1 = r.q 3 + r 3, 0 < r 3 < r ; r = r 3.q 4 + r 4, 0 < r 4 < r 3... r n - = r n - 1.qn + rn, 0 < r n < r n - 1 Observe que existe uma ordem decrescente dos restos (r < r 1; r 3 < r...), sequencia decrescente de números inteiros, então não pode ser infinita, pois se trata de números maiores ou iguais a zero, então o resto será zero em dado momento:

8 r n-1 = r n.q n+1, (r n+1= 0) Então o algoritmo de Euclides diz que: MDC (a, b) = rn Significa que o MDC (a, b) é o último resto não nulo quando é feito o algoritimo da divisão várias vezes até chegar no resto zero. Prova do Algoritimo de Euclides: consideremos o MDC (a, b) = MDC (a, aq 1 + r 1), pela proposição temos que MDC (a, b) = MDC (a, aq 1 + r 1) = MDC (a, r 1), considerando que a = r 1.q + r temos que: MDC (a, b) = MDC (a, aq 1 + r 1) = MDC (a, r 1)= MDC (r 1.q + r, r 1), observe que r 1.q é um múltiplo de r 1 dando condições para aplicarmos novamente a proposição, ficando assim: MDC (a, b) = MDC (a, aq 1 + r 1) = MDC (a, r 1)= MDC (r 1.q + r, r 1) = MDC (r, r 1), então pode continuar isso sempre, pois o algoritimo da divisão permite até chegar no ultimo resto não nulo e fica assim: MDC (a, b) = MDC (a, aq 1 + r 1) = MDC (a, r 1)= MDC (r 1.q + r, r 1) = MDC (r, r 1)...= MDC (r n-1, r n) = MDC (r n, r n+1), (lembrando que r n+1= 0), = MDC (r n, 0) = r n. Então: MDC (a, b) = r n Problema: calcular o MDC (471, 117). Para resolver é só usar o algoritimo da divisão várias vezes: 117 = 471 x = 34 x = 3 x , o ultimo resto não nulo é 3, logo MDC (471, 117) = 3. INDUÇÃO MATEMÁTICA Imaginemos uma sequencia de dominós enfileirados de tal forma que essa fila de dominós é infinita, de tal forma que quando se derruba um dominó isso garante que derrubará o dominó seguinte, pergunta-se: o que acontece quando de derruba o primeiro dominó? Intuitivamente sabemos que todos os dominós vão cair, seguindo a linha de tempo para o infinito, essa é a ideia de indução matemática. Princípio de Indução Matemática (PIM) Seja S N tal que satisfaça duas condições: (I1) 1 S; (base da indução) (I) se k S (hipótese de indução), então k + 1 S. (tese de indução) Se essas duas condições forem satisfeitas o S = N. Podemos perceber de forma mais generalizada, como por exemplo, se existe uma propriedade que pode ser aplicada aos números naturais, se o número 1 satisfaz essa propriedade e toda as vezes que k satisfaz essa propriedade, percebe-se que k + 1 também satisfaz essa propriedade então essa propriedade é satisfeita por todos os números naturais. Ao invés de 1 podemos considerar o a, pois se ele satisfaz essa propriedade e o k + a também satisfaz a propriedade em questão, então o S contém todos os números naturais maiores iguais a a. Prova do PIM: utiliza-se o PBO para provar que S = N, então suponha que o S N, para isso entende-se que existem elementos que estão em N e não estão em S. Em notação temos o conjunto diferença S = N - S, no entanto o S N, então pelo P.B.O existe n 0 que é o menor elemento de S, em notação: n 0 = min (S ). Observe que o n 0 não pode ser 1 (n 0 1), pois 1 S. Daí n 0-1 S, porque n 0 é o menor elemento de S, mas se n 0-1 não está em S ele tem que está no complementar de S dentro dos naturais, logo chega-se a conclusão que n 0-1 S, no entanto pela propriedade (I) se um elemento está em S o sucessor deste elemento também está em S, então (n 0 1) + 1 S o que leva a conclusão que n 0 S contradizendo com a conclusão anterior de que n 0 S, portanto é um absurdo supor que S N concluindo que S = N. Problema 1: Prove que n = n(n+1), para todo n 1. Solução: A questão quer que provemos que a propriedade n = n n+1 seja satisfeita para todos N, por isso se deve aplicar o PIM. Defina S = *n N: n = n(n+1) }, ou seja, S é conjunto de todos os naturais que satisfazem a propriedade em questão, então tem que provar que S = N. Base de indução: provar que 1 S, para isso tem que provar que 1 satisfaz a igualdade: n = n(n+1) Do lado esquerdo da igualdade quando se soma de 1 até 1 o resultado é 1 e do lado direito substitui. 1 = = 1 1 S. Hipótese de indução: vamos supor que o K S k = k(k+1). A hipótese é sempre verdadeira. 8

9 Tese de Indução: k + 1 S (k + 1) = (k+1)(k+). A partir da hipótese temos que provar a tese: Tese: (k + 1) na primeira parte da igualdade temos que utilizar a H.I para provar que existe a igualdade para justificar a segunda parte. A H.I é a soma de 1 até k, mas temos que perceber que dentro da soma de 1 até k + 1 aparece a soma de 1 até k. Desenvolver a tese através da H.I: (k + 1) = k + (k + 1) k(k+1) + (k + 1) k(k+1)+ (k+1) (k + k + k + )/ (k + 3k + )/ (k+1)(k+) Significa que k + 1 S, então S satisfaz (I1) e (I), por isso S = N, ou seja, todo número natural satisfaz a propriedade n = n(n+1). Problema : (IDENTIDADES) prove que n = n(n+1)(n+1), n 1. B.I: provar que 1 S: É o caso em n = 1, ou seja, na esquerda da igual a soma que vai de 1 até 1, quer dizer dá 1. No lado direito substitui n por 1. 1 = 1(1+1)(.1+1) 1 = 1, então a B.I está provada. H.I: vamos supor que o K S k = k(k+1)(k+1). T.I: k + 1 S (k+1) = (k+1)(k+)(k+3) k + (k+1) = k(k+1)(k+1) = = + (k+1) k(k+1)(k+1)+ (k+1) (k+1)(k(k+1)+ (k+1)) (coloca (k + 1) em evidência) k(k + 1) + (k + 1) = (k + )(k + 3)??? k + k + k + = k + 3k + 4K + k + 7k + = Problema 3: (Desigualdade) Prove que 10 n > n, n 1 B.I: provar que 1 S 10 1 > 1, verdadeiro. H.I: 10 k >k, n = k 1 T.I: 10 k + 1 >(k + 1) Partindo da H.I, 10 k >k temos que chegar na tese: 10 k > k (mult. Por 10) k > 10k 10 k+1 > 10k. Sabemos que k 1 por imposição da questão e pela H.I., podemos desenvolve-la para chegar a k + 1: K 1 (mult. Por 9) 9k 9 9k 9 > 1 9k > 1 9k > 1 (somar k) 9k + k > k k > k + 1. Logo 10 k+1 > 10k > k k + 1 >(k + 1) CQD Problema 4: (divisiblidade) prove que 7 divide 3 n+1 + n +, n N. B.I: caso n = = = 35, então 7 35, vamos chamar 35 de m 1, provado que 7 m 1 H.I: quando n = k 7 3 k+1 + k +, vamos chamá-lo de m k e supor que 7 m k T. I: 7 m k + 1 = 3 (k+1)+1 + k + 3 = 3 k+3 + k + 3. Queremos provar que o 7 m k + 1, então podemos utilizar o seguinte artifício m k + 1 m k. m k + 1 m k = 3 k+3 + k k+1 - k + = 3 k+3-3 k+1 + k k + = 3 k + 1. (3 1) + k+. ( - 1) = 3 k k+. 3 k k+, observe que é muito parecido com m k (3 k+1 + k + ), então separa o m k e fica: M k k + 1. m k + 1 m k = m k k + 1 m k + 1 = m k k + 1, lembrando que queremos que 7 divida m k + 1. Como m k + 1 = m k k + 1 sabemos que o 7 divide m k e o 7 divide 7. 3 k + 1, devido a H.I e combinação linear e também porque o 7 divide seus múltiplos. Se 7 divide a soma, então 7 m k+1.

10 Problema 5: (Existência) prove que todo quadrado pode ser subdividido em n quadrados, para todo n. Solução: partição de quadrados. Não é possível dividir um quadrado em dois, três e cinco Temos que provar que para todo n. Então a B.I.: se n = está comprovado. H.I: todo quadrado pode ser subdividido e k quadrados com k n, entre e n. T.I: dividir um quadrado em n+1 subquadrados. É possível dividir qualquer quadrado em k quadrados para todo k entre e n, n- n-1 então o quadrado fica dividido em n + 1 quadrados. n + 1 n CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Temos os algarismos, são os números {0, 1,, 3, 4, 5,, 7,,8, 9}, eles são equivalentes ao alfabeto, com eles formamos os números, colocando eles um ao lado direito do outro, por exemplo:131, escrevemos os números sobre a base dez. Podemos decompor os números: 131 = 1 x 10 (centena) + 3 x 10 (dezenas) + 1x 10 0 (unidade). O número 131 tem uma combinação de potências de = 1 x x x x Outra forma pode envolver letras: a =, b = 5 ab = 10. Temos também a seguinte notação ab = 5, nesse caso com essa barra de ênfase significa que estamos colocando os números um ao lado do outro, ou seja, vinte e cinco, não um produto, então consideremos os seguintes números: a n a n 1 a 1 a 0 neste caso estamos escrevendo na base 10 onde o a índice i são a i *0, 1,,..., 9} e o primeiro dígito tem que ser diferente de zero, a n, o que fica: a n a n 1 a 1 a 0 = a n. 10 n + a n n a a 0 escrito na base 10 e nesta notação, significa escrever na base 10. Os números representados por a i são chamados dígitos dos números representados na base 10. Os critérios de divisibilidade são aplicados para saber quando um número é divisível pelo outro usando apenas os dígitos. Critérios (i) critério de divisibilidade por 1: vamos adotar m = a n a 1 a 0, qualquer m Z é divisível por 1; (ii) critério de divisibilidade por : quando o ultimo dígito do número, o mais a direta for a 0 *0,, 4,, 8+ ou seja, quando ele for par. (iii) critério de divisibilidade por 3: quando o 3 divide a soma dos algarismos, 3 a n a 1 a 0, por exemplo 3 divide , , porque = e 3 ; (iv) critério de divisibilidade por 4: quando 4 a 1 a 0, por exemplo 4 118, porque 4 8; (v) critério de divisibilidade por 5: quando o ultimo algarismo é a 0 = *0, 5+, 5 15; (vi) critério de divisibilidade por : quando o divide ele e o 3 dividi ele, m e 3 m. (vii) critério de divisibilidade por 8: quando o 8 divide o número formado pelos 3 últimos algarismos, 8 a a 1 a 0, por exemplo (vii) critério de divisibilidade por 9: quando 9 divide a soma dos algarismos, 9 a n + + a 1 + a 0 por exemplo o (viii) critério de divisibilidade por 10: quando m e 5 m e quando a 0 = 0; (ix) critério de divisibilidade por 11: quando o 11 divide a combinação da soma alternada 11 a n a n 1 + a n a n 3 + a 0, por exemplo = (x) critério de divisibilidade por 1: quando 4 m e 3 m; (xi) critério de divisibilidade por 14: quando m e 7 m; (xii) critério de divisibilidade por 15: quando 3 m e 5 m;

11 (xiii) critério de divisibilidade por 14: quando divide o numero formado pelos últimos quatro algarismos 1 a 3 a a 1 a 0 ; (xiv) critério de divisibilidade por 18: quando m e 9 m; (xvi) critério de divisibilidade por 0: quando 4 m e 5 m; Divisibilidade por 7, 13, 17 e 19 (xvii) critério de divisibilidade por 7: quando 7 m 7 a n a a 1, quer dizer, separa o último dígito, o número restante da separação é subtraído do dobro do último digito, por exemplo, Outro exemplo (xviii) critério de divisibilidade por 13: quando 13 m 13 a n a + 4a 1; (xix) critério de divisibilidade por 17: quando 17 m 17 a n a - 5a 1; (xx) critério de divisibilidade por 19: quando 19 m 17 a n a + a 1; A vantagem dos critérios é porque sempre estará diminuindo um dígito dele, todas as vezes que diminui vai ficando mais fácil ter certeza da divisibilidade. Proposição para critério de divisibilidade por 7: Podemos estabelecer que m = a n a 1 podemos escrevê lo como 10k + i, então, m = a n a 1 = 10k + i, onde o k = a n a e i = a 1. Partindo disso reescrevendo e aplicando o critério 7 10k + i 7 k i Prova do critério por 7: Vamos utilizar a técnica de demonstração do se e somente se: prove que 7 10k +i sss 7 k i. Hipótese: 7 10k +i Tese: 7 k i ( )Da hipótese temos que 7 10k +i 10k +i = 7l (éle). Explicando 7 10k +i se somente se existe um número l inteiro tal que 10k +i = 7l. Podemos isolar o valor de i i = 7l 10k Para provar que 7 k i devemos recorrer a hipótese: k (7l 10k) = k 14l + 0k = 1k 14l. Tanto o 14 como o 1 são divisíveis por 7, então 7 divide qualquer combinação linear entre 14 e 1. Logo 7 k i. ( ) Na volta o que era tese vira hipótese: Hipótese: 7 k i Tese: 7 10k +i Da hipótese temos que 7 k i k i = 7l k = 7l + i. Para provar que 7 10k +i devemos recorrer a hipótese: 10(7l + i) + i = 70l + 0i +i = 70l + 1i, do resultado percebemos que o 7 divide o 70 e o 1, então o 7 divide qualquer combinação linear desses dois, logo 7 10k +i. CONGRUÊNCIAS Sejam a, b Z e m 1. Dizemos que a é congruente a b módulo m, se m (a b). Escrevemos a b (mod m) Caso contrário, dizemos que a é incongruente a b módulo m e escrevemos a b (mod m). Se m (a b) k Z tal que a b = k.m a = b + k.m. Dizer que dois números são congruentes módulo m é o mesmo que dizer que eles são iguais a menos de um múltiplo de m. a congruência pode ser vista como uma igualdade, a igualdade hoje seria a congruência módulo zero. Exemplo: (mod 7) 7 = 0 7 (mod 5) (mod ) (mod 5) Se a 0 (mod m) m a Propriedades das congruências (P1) a a (mod m) m a a, qualquer número diferente de zero divide zero, propriedade reflexiva; (P) a b (mod m), então b a (mod m), propriedade simétrica; Prova de (P): se m divide a b, então m divide qualquer múltiplo de a b. Pode-se dizer que m (-1)(a b) m (b a) b a (mod m); (P3) se a b (mod m) e b c (mod m), então a c (mod m), propriedade transitiva; 11

12 Prova da (P3): se a b (mod m) m (a b) e se b c (mod m) m (b c). Se m divide dois números, então m divide a soma deles, m (a b) + (b c) m (a c) a c (mod m). Essas três propriedade indicam, assim como a igualdade, que a congruencia é relação de equivalência. P(4) se a b (mod m) e se c d (mod m), então a + c b + d (mod m). Prova da (P4): m (a b) e m (c d) m (a b) + (c d) m (a + c) (b + d) a + c b + d (mod m). (P5) se a b (mod m) e se c d (mod m), então ac bd (mod m). Prova da (P5): consideremeos ac - bd agora verificar se esse número é dividido por m. Desenvolver ac bd, para isso vamos somar ou subtrair algo conveniente ao nosso objetivo: ac bd= ac - bc + bc bd = c(a b) + b(c d), como m divide (a b) e (c d) então ele divide qualquer combinação linear deles, ou seja, m (ac bd) ac bd (mod m). (P) Se a b (mod m), então a n b n (mod m), n 1. Prova da (P): se m (a b), provar que m a n - b n. (a n - b n ) é um produto notável = (a b)(a n 1 + a n b + + b n 1 ), então se o m divide (a b) e o número a n 1 + a n b + + b n 1 é um inteiro o m divide qualquer produto de (a b) por inteiro, então podemos afirmar que m (a n - b n ) a n b n (mod m). QUESTÕES 1) Provar por indução que 3 divide 5 n +.11 n, n N. ) Prove que n > n para todo n 5. 3) Mostre que: a) n 7 (mod 1) n 3 (mod 4) b) n 0 (mod 4) ou n 1 (mod 4) 4) O número 38 é divisível por? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 5) O número 3471 é divisível por 3? Justifique através dos critérios de divisibilidade. ) O número 1937 é divisível por 3? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 7) O número é divisível por 4? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 8) O número é divisível por 4? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 9) O número é divisível por 5? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 10) O número é divisível por 5? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 11) O número 5347 é divisível por? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 1) Provar que a soma dos números ímpares tem a seguinte propriedade: n 1= n, n N. 13) Prove que n + 1 < n, n 3. 14) O número é divisível por? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 15) O número 8147 é divisível por? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 1) O número é divisível por 7? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 1

13 13 17) O número é divisível por 8? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 18) O número é divisível por 9? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 19) O número é divisível por 9? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 0) O número é divisível por 11? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 1) O número é divisível por 11? Justifique através dos critérios de divisibilidade. ) O número 1785 é divisível por 7? Justifique através dos critérios de divisibilidade. 3) calcule pelo Algoritmo de Euclides o MDC (144, 9). 4) calcule pelo Algoritmo de Euclides o MDC (9, 7). 5) calcule pelo Algoritmo de Euclides o MDC (3, 48, 54). ) Prove que n n < n + 1, n. 7) Descubra e justifique se as congruências abaixo são verdadeiras ou falsas: a) 3 8 (mod 5) b) (mod 7) c) (mod ) d) 1 37 (mod 1) e) (mod 9) f) (mod ) 8) Prove que o MDC (a, b) = d MDC a, b = 1. d d 9) Prove que se a b e MDC (b, c ) = 1 MDC (a, c). 30) Prove que se a c, b c e MDC (a, b) = 1, então a c.

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