MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo. Divisibilidade
|
|
- Lucas Natal Espírito Santo
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 MA14 - Aritmética Unidade 1 Resumo Divisibilidade Abramo Hefez PROFMAT - SBM Julho 2013
2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 3 - Seção 3.1 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 2/1
3 Introdução O nosso objeto de estudo neste curso é o conjunto dos números inteiros: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, munido com as suas operações de adição e multiplicação, tendo as seguintes propriedades, para quaisquer a, b, c Z: Comutativa: a + b = b + a e a b = b a. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a b) c = a (b c). Existência de elementos neutros: a + 0 = a e a 1 = a. Existência de simétrico: Para cada a existe b(= a), tal que a + b = 0. Distributiva: a (b + c) = a b + a c. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 3/1
4 Introdução - Continuação Reveja, no Capítulo 1 do livro texto, as propriedades da adição e da multiplicação, a ordenação dos inteiros, os Princípios da Boa ordenação e Indução Matemática. Em Z há um subconjunto que se destaca, o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3,...}. Alguns autores consideram 0 N. O fato de considerarmos que 0 N é apenas uma escolha. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 4/1
5 Divisibilidade - Definições Dados dois números inteiros quaisquer, é possível somá-los, subtraí-los e multiplicá-los. Entretanto, nem sempre é possível dividir um pelo outro, por exemplo: em Z não é possível dividir 3 por 2, mas é possível dividir 4 por 2. Só existe a Aritmética nos inteiros porque a divisão nem sempre é possível. Diremos que um inteiro a divide um inteiro b, escrevendo a b, quando existir c Z tal que b = c a. Neste caso, diremos também que a é um divisor ou um fator de b ou, ainda, que b é um múltiplo de a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 5/1
6 Exemplos 2 0, pois 0 é múltiplo de 2: 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 1; 0 = 0 ( 2); 1 6, pois 6 é múltiplo de 1: 6 = 6 ( 1); 2 6, pois 6 é múltiplo de 2: 6 = 3 2; 3 6, pois 6 é múltiplo de 3: 6 = ( 2) ( 3); i! divide o produto de i números naturais consecutivos. Parece difícil de mostrar a última afirmação, mas escrevendo os inteiros consecutivos convenientemente, ou seja, n, n 1,..., n (i 1), para algum natural n, o resultado segue, imediatamente, da seguinte igualdade ( ) n n (n 1) (n i + 1) = i!, i o que mostra o desejado. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 6/1
7 Exercício - Aplicação do último exemplo 6 divide todo número da forma n(n + 1)(2n + 1), onde n N. Solução De fato, se n = 1 temos que n(n + 1)(2n + 1) = 6 e 6 6. Se n > 1, então n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(n n 1) = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n 1). Como cada uma das parcelas n(n + 1)(n + 2) e n(n + 1)(n 1) é o produto de três naturais consecutivos, elas são múltiplas de 3! = 6. Portanto, sendo o número n(n + 1)(2n + 1) soma de dois múltiplos de 6, ele é também múltiplo de 6. Este fato não é surpreendente, pois sabemos que n(n + 1)(2n + 1) 6 = n 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 7/1
8 Definições A negação da sentença a b é representada pelo símbolo: a b, significando que não existe nenhum número inteiro c tal que b = c a. Por exemplo, 3 4 e 2 5. Suponha que a b, onde a 0, e seja c Z tal que b = c a. O número inteiro c, univocamente determinado, é chamado de quociente de b por a e denotado por c = b a. Por exemplo, 0 1 = 0, 0 2 = 0, 6 1 = 6, 6 1 = 6, 6 2 = 3, 6 3 = 2. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 8/1
9 Proposição (Propriedades da divisibilidade) Sejam a, b, c Z. Tem-se que i) 1 a, a a e a 0. ii) 0 a a = 0. iii) a divide b se, e somente se, a divide b. iv) se a b e b c, então a c (Propriedade transitiva). Demonstração i) Isso decorre das igualdades a = a 1, a = 1 a e 0 = 0 a. Deixamos as demonstrações dos itens (ii) e (iii) como exercício. iv) a b e b c implica que existem f, g Z, tais que b = f a e c = g b. Substituindo o valor de b da primeira equação na outra, obtemos o que nos mostra que a c. c = g b = g (f a) = (g f ) a, Os itens (i) e (ii) da proposição acima nos dizem que todo número inteiro a é divisível por ±1 e por ±a. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 9/1
10 Propriedades da divisibilidade - Continuação Listaremos a seguir outras propriedades da divisibilidade, cujas provas são semelhantes às feitas acima. Proposição Sejam a, b, c, d Z. Tem-se que i) a b e c d = a c b d; ii) a b = a c b c; iii) a (b ± c) e a b = a c; iv) a b e a c = a (xb + yc), para todos x, y Z. v) Seja b 0. Tem-se que a b = a b. É conveniente entender bem o significado das propriedades acima, pois elas serão utilizadas a todo momento. É também conveniente adquirir a habilidade em demonstrar tais propriedades, pois as demonstrações contêm argumentos usados com frequência. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 10/1
11 Resultados importantes Existem três propriedades da divisibilidade que são utilizadas com frequência ao longo do Curso. A primeira é dada a seguir. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a b divide a n b n. Demonstração Vamos provar isso por indução sobre n. A afirmação é obviamente verdadeira para n = 1, pois a b divide a 1 b 1 = a b. Suponhamos, agora, que (a b) (a n b n ). Escrevamos a n+1 b n+1 = aa n ba n + ba n bb n = (a b)a n + b(a n b n ). Como (a b) (a b) e, por hipótese, (a b) (a n b n ), decorre da igualdade acima e da Propriedade (iv) que (a b) (a n+1 b n+1 ). Estabelecendo assim o resultado para todo n N. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 11/1
12 Na verdade poder-se-ia provar o resultado mais forte: a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ). PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 12/1
13 Resultados importantes - Continuação Seguem as outras duas propriedades. Proposição Sejam a, b Z e n N {0}. Temos que a + b divide a 2n+1 + b 2n+1. Proposição Sejam a, b Z e n N. Temos que a + b divide a 2n b 2n. Novamente, as provas se fazem por indução sobre n, nos mesmos moldes da prova da primeira propriedade. Deixamos os detalhes por sua conta. Mãos à obra. Depois confira as suas soluções na Seção 1 do Capítulo 3 do livro texto. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 13/1
14 Exercícios a) Mostre que 5 ( ) Solução Da propriedade (a b) (a n b n ), temos, para todo n N, que (13 8) (13 n 8 n ). Portanto, 5 = 13 8 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 14/1
15 Exercícios - Continuação b) Mostre que 13 ( ). Solução Note que = Como 35 é ímpar, da propriedade (a + b) (a 2n+1 + b 2n+1 ), temos que divide Portanto, 13 divide PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 15/1
16 Exercícios - Continuação c) Mostre que 9 e 41 dividem Solução Temos que = = (25) 2 6 (16) 2 6. Da propriedade obtemos que (a + b) (a 2n b 2n ), (5 + 4) ( ) e ( ) ( (5 2 ) 2 6 (4 2 ) 2 6). Portanto, 9 e 41 dividem PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 16/1
17 Exercícios - Continuação d) Mostre que 14 ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. Solução Temos, para todo n N {0}, que 3 4n n+1 = ( 3 2) 2n n+1 = 9 2n n+1. Pela propriedade (a + b) (a 2m+1 + b 2m+1 ), temos que 14 = divide ( 3 4n n+1), para todo n N {0}. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 17/1
18 Exercícios - Continuação e) Mostre que 5 e 13 dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Solução Temos, para todo n N, que Pelas propriedades 9 2n 2 4n = 9 2n ( 2 2) 2n = 9 2n 4 2n. (a b) (a 2m b 2m ) e (a + b) (a 2m b 2m ), temos que 5 = 9 4 e 13 = dividem 9 2n 2 4n, para todo n N. Os exercícios (d) e (e) poderiam ser resolvidos utilizando indução. Tente fazê-lo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 1 - Resumo - Divisibilidade slide 18/1
MA14 - Aritmética Unidade 4. Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração)
MA14 - Aritmética Unidade 4 Representação dos Números Inteiros (Sistemas de Numeração) Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA
1 DOCÊNCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA Fabio da Costa Rosa Fernanda Machado Greicy Kelly Rockenbach da Silva
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 2. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade II. Prof. Samuel Feitosa
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível Prof. Samuel Feitosa Aula Divisibilidade II Definição 1. Dados dois inteiros a e b, com a 0, dizemos que a divide b ou que a é um divisor
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisMA14 - Aritmética Unidade 24 Resumo
MA14 - Aritmética Unidade 24 Resumo Introdução à Criptografia Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do
Leia maisTeoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto
Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de
Leia maisLista de Exercícios 4: Soluções Sequências e Indução Matemática
UFMG/ICEx/DCC DCC Matemática Discreta Lista de Exercícios : Soluções Sequências e Indução Matemática Ciências Exatas & Engenharias o Semestre de 05 O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja,
Leia maisNIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012
NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4
Leia maisMatemática. Disciplina: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Varginha Minas Gerais
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Curso Pró-Técnico Disciplina: Matemática Texto Experimental 1 a Edição Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira Varginha Minas Gerais
Leia maisPrincípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos
Indução Matemática Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos O Princípio da Indução Matemática é
Leia maisAULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS
Disciplina: Matemática Computacional Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles Prof. Fernando Zaidan AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem
Leia mais¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, oliveiralimarafael@hotmail.com. ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil.
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 36 INTRODUÇÃO A CRIPTOGRAFIA RSA Rafael Lima Oliveira¹, Prof. Dr. Fernando Pereira de Souza². ¹CPTL/UFMS, Três Lagoas,
Leia maisEstruturas Discretas INF 1631
Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea, Rio de Janeiro - RJ, 22451-900, Brazil
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
Leia maisSomatórias e produtórias
Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +
Leia maisA transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferencias lineares com coeficientes constantes, ou seja, equações da forma
Introdução A tranformada de Laplace pode er uada para reolver equaçõe diferencia lineare com coeficiente contante, ou eja, equaçõe da forma ay + by + cy = ft), para a, b, c R Para io, a equação diferencial
Leia maisQUESTÃO 1 ALTERNATIVA D
OBMEP 015 Nível 3 1 QUESTÃO 1 Como,5 = 5 x 0,5, o tempo que o frango deve ficar no forno é 5 x 1 = 60 minutos. Logo, Paula deve colocar o frango no forno às 19 h, mas 15 minutos antes deve acender o forno.
Leia mais8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que 2 67 + 3 34 8 + 9 0 (mod 17), o que significa que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 17.
Prova Teoria de Números 23/04/203 Nome: RA: Escolha 5 questões.. Mostre que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 7. Solução: Pelo teorema de Fermat 2 6 (mod 7 e 3 7 3 (mod 7. Portanto, 2 67 = 2 64+3 = ( 2 6 4 8 8
Leia maisDivisibilidade em Domínios de Integridade
Universidade Federal de Sergipe PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT Divisibilidade em Domínios
Leia maisContagem com Recursões
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória Nível 3 Prof. Carlos Shine Aula 4 Contagem com Recursões Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia maisA razão dos irracionais. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Apresentar os numeros irracionais. 2. Demonstrar que 2 não é racional com o
A razão dos irracionais. Série Matemática na Escola Objetivos 1. Apresentar os numeros irracionais. 2. Demonstrar que 2 não é racional com o argumento do absurdo. A razão dos irracionais Série Matemática
Leia maisCapítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias
Capítulo 2 Álgebra e imagens binárias Em Análise de Imagens, os objetos mais simples que manipulamos são as imagens binárias. Estas imagens são representadas matematicamente por subconjuntos ou, de maneira
Leia maisUNIVERSIDADE DE BRASÍLIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA -IE ÁLGEBRA I. (Álgebra Abstrata) Texto de aula. Professor Rudolf R. Maier
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA -IE ÁLGEBRA I Álgebra Abstrata Texto de aula Professor Rudolf R Maier Versão atualizada 2005 Índice CAPÍTULO I Teoria Elementar dos Conjuntos I0 Fundamentos
Leia mais4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.
4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R
Leia maisinducaofinal 2009/6/30 page 1 Estilo OBMEP Indução Matemática Abramo Hefez
page 1 Indução Matemática Abramo Hefez page Texto já revisado pela nova ortografia. page 3 Sobre o Autor Abramo Hefez nasceu no Egito, mas é brasileiro por opção e carioca de coração. Cursou o ginasial
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear
Notas de Aula Álgebra Linear Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisAssociação de Professores de Matemática PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME DE MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS (PROVA 835) 2013 2ªFASE
Aociação de Profeore de Matemática Contacto: Rua Dr. João Couto, n.º 7-A 1500-36 Liboa Tel.: +351 1 716 36 90 / 1 711 03 77 Fax: +351 1 716 64 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia maisI.INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA.
I.INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA. 1. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas com uma razão de existirem, foi criada a partir dos primeiros seres racionais
Leia maisM ó d u l o I: Geometria Analítica Plana. Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espírito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ)
M ó d u l o I: Geometria Analítica Plana Jorge Delgado Katia Frensel Nedir do Espírito Santo (IMUFF) (IMUFF) (IMUFRJ) C E D E R J 2 Conteúdo 1 Geometria Analítica Plana 7 Vetores no Plano - Segmentos Orientados...........
Leia maisSobre Domínios Euclidianos
Sobre Domínios Euclidianos Clarissa Bergo Bianca Fujita Lino Ramada João Schwarz Felipe Yukihide Setembro de 2011 Resumo Neste texto, apresentaremos formalmente o que vem a ser domínio euclidiano, alguns
Leia maisCorpos. Jorge Picado
Corpos e Equações Algébricas Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 2011 Versão de 21 de Agosto de 2011 Índice Introdução 1 1 Anéis e corpos 3 Exercícios 18 2 Anéis de polinómios
Leia maisRELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B
RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS - FAFIUV COLEGIADO DE MATEMÁTICA
0 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ UNESPAR CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS - FAFIUV COLEGIADO DE MATEMÁTICA VICTOR HUGO GONZALEZ MARTINEZ TEORIA DOS NÚMEROS
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear I
Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Equação do 1º grau Chamamos de equação do 1º grau em uma incógnita x, a qualquer expressão matemática que pode ser escrita sob a forma: em que a e b são números reais,
Leia maisNoções elementares sobre conjuntos
Noções elementares sobre conjuntos Conjunto, elemento de um conjunto Factos Um conjunto pode ser visto, intuitivamente, como uma colecção de objectos. Cada um destes objectos é um elemento do conjunto.
Leia maisFUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES
FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função
Leia mais13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau
MATEMATICA 13 ÁLGEBRA Uma balança para introduzir os conceitos de Equação do 1ºgrau ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR OBJETIVO O objetivo desta atividade é trabalhar com as propriedades de igualdade, raízes
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia maisSistemas Polinomiais, Mapas e Origamis
Sistemas Polinomiais, Mapas e Origamis Marcelo Escudeiro Hernandes 1 Departamento de Matemática Universidade Estadual de Maringá 1 mehernandes@uem.br Introdução O que sistemas de equações polinomiais,
Leia maisMatemática Discreta para Ciência da Computação
Matemática Discreta para Ciência da Computação P. Blauth Menezes blauth@inf.ufrgs.br Departamento de Informática Teórica Instituto de Informática / UFRGS Matemática Discreta para Ciência da Computação
Leia maisAdriano Pedreira Cattai
ANÁLISE REAL (MA0062) Adriano Pedreira Cattai http://cattai.mat.br Universidade do Estado da Bahia UNEB Semestre 2009.2 UNEB 2009.2 Sumário Apresentação.....................................................................................................................
Leia mais(os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais)
Os objetos que serão considerados aqui são de duas natureza: Escalar: Vetorial: (os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais). Corpos Numéricos
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisMD Teoria dos Conjuntos 1
Teoria dos Conjuntos Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Teoria dos Conjuntos 1 Introdução O que os seguintes objetos têm em comum? um
Leia maisTeorema (Algoritmo da Divisão)
Teorema (Algoritmo da Divisão) Sejam a e b números inteiros, com b > 0. Então existem números inteiros q e r, únicos e tais que a = bq + r, com 0 r < b. Demonstração. Existência: Consideremos S = {a bk
Leia maisPlanilha (2ª parte) Capítulo 15
Capítulo 15 Planilha (2ª parte) 15.1 Cortando Copiando e Colando Dados Você pode copiar informações de uma célula para a outra de várias maneiras. Selecione a célula que contém a informação que deseja
Leia maisO comando if. O comando condicional permite incluir no programa trechos de código que dependem de uma ou mais condições para sua execução.
O comando if if - else O comando condicional permite incluir no programa trechos de código que dependem de uma ou mais condições para sua execução. O comando condicional tem duas formas básicas: if(condição)
Leia maisFrancisco Ramos. 100 Problemas Resolvidos de Matemática
Francisco Ramos 100 Problemas Resolvidos de Matemática SUMÁRIO Questões de vestibulares... 1 Matrizes e Determinantes... 25 Geometria Plana e Espacial... 39 Aritmética... 61 QUESTÕES DE VESTIBULARES
Leia maisExercícios de Matemática Matrizes
Exercícios de Matemática Matrizes ) (Unicamp-999) Considere as matrizes: cos sen x sen cos y M=, X = z e Y = a) Calcule o determinante de M e a matriz inversa de M. b) Resolva o sistema MX = Y. ) (ITA-6)
Leia maisChapter 2. 2.1 Noções Preliminares
Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências
Leia maisDef. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,
ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado
Leia mais2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância
Leia maisProcessamento da Informação Teoria. Algoritmos e Tipos de dados
Processamento da Informação Teoria Algoritmos e Tipos de dados Semana 01 Prof. Jesús P. Mena-Chalco 24/04/2013 (*) Slides adaptados das aulas do Prof. Harlen Costa Batagelo Algumas definições de algoritmo
Leia maisAlgumas Equivalencias do Axioma da Escolha
Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha Elen Deise Assis Barbosa Orientador: Prof. Ms. Luís Roque Rodrigues de Jesus Universidade do Estado da Bahia UNEB 27 de outubro de 2009 1 / 14 Índice Postulados
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia mais6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto
Capítulo 6. Autômatos com Pilha 6.3 Equivalência entre Autômatos com Pilha Não-Determinísticos e Gramáticas Livre do Contexto Nos exemplos da seção anterior, vimos que os autômatos com pilha existem para
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisÁlgebra Booleana. Introdução ao Computador 2010/01 Renan Manola
Álgebra Booleana Introdução ao Computador 2010/01 Renan Manola Histórico George Boole (1815-1864) Considerado um dos fundadores da Ciência da Computação, apesar de computadores não existirem em seus dias.
Leia maisMestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Sociedade Brasileira de Matemática SBPC, Goiânia, 12 de julho de 2011 Objetivo Trazer a comunidade acadêmica e científica da Matemática para atuar nos
Leia maisAula 18 Elipse. Objetivos
MÓDULO 1 - AULA 18 Aula 18 Elipse Objetivos Descrever a elipse como um lugar geométrico. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio entre os focos e eixo
Leia maisCódigos Lineares CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 4 Códigos Lineares 1. Definição, pârametros e peso mínimo Seja F q o corpo de ordem q. Portanto, pelo Teorema 3.24, q = p m para algum primo p e inteiro positivo m. Definição 4.1. Um código linear
Leia maisHotel de Hilbert. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Introduzir o conceito matemático de infinito.
Hotel de Hilbert Série Matemática na Escola Objetivos 1. Introduzir o conceito matemático de infinito. Hotel de Hilbert Série Matemática na Escola Conteúdos Conceito de infinitos, injetividade de funções
Leia maisXXIX Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1 Questão 1 Sabemos que a água do mar contém 3, 5% do seu peso em sal, isto é, um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal (a) Determine quantos litros
Leia maisPROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA
PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer
Leia maisNOTAS DE AULA CONJUNTOS, FUNÇÕES E RELAÇÕES
NOTAS DE AULA CONJUNTOS, FUNÇÕES E RELAÇÕES CAPÍTULO I NOÇÕES BÁSICA DE CONJUNTOS 1. Conjuntos O conceito de conjunto aparece em todos os ramos da matemática. Intuitivamente, um conjunto é qualquer coleção
Leia maisRevisão para a Bimestral 8º ano
Revisão para a Bimestral 8º ano 1- Quadrado da soma de dois termos Observe: (a + b)² = ( a + b). (a + b) = a² + ab+ ab + b² = a² + 2ab + b² Conclusão: (primeiro termo)² + 2.(primeiro termo). (segundo termo)
Leia maisExemplo de Subtração Binária
Exemplo de Subtração Binária Exercícios Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) 37 10 30 10 b) 83 10 82 10 c) 63 8 34 8 d) 77 8 11 8 e) BB 16 AA 16 f) C43 16 195 16 3.5.3 Divisão binária:
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas
1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações
Leia maisINTRODUÇÃO: JURO FATOR DE FORMAÇÃO DE JURO. VJ = VA x j. *Taxa de juro na forma unitária j=10% => j= 10/100 => j= 0,1
2 INTRODUÇÃO: O principal conceito que orientará todo o nosso raciocínio ao longo deste curso é o conceito do valor do dinheiro no tempo. Empréstimos ou investimentos realizados no presente terão seu valor
Leia maisAS ÁLGEBRAS DOS OPERADORES DE CONSEQÜÊNCIA
AS ÁLGEBRAS DOS OPERADORES DE CONSEQÜÊNCIA Mauri Cunha do NASCIMENTO 1 Hércules de Araújo FEITOSA 1 RESUMO: Neste trabalho, introduzimos as TK-álgebras associadas com os operadores de conseqüência de Tarski,
Leia maisAlfabeto e palavras. Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ).
Alfabeto e palavras Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ). {A,...,Z}, {α, β,... }, {a,b}, {0,1}, ASCII Palavra de Σ sequência finita de símbolos do alfabeto Σ Σ = {a, b} aabba a aaaaaaaa Comprimento
Leia maisMétodo de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara
Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação
Leia maisMatemática na Reta. 1 o Colóquio de Matemática da Região Nordeste. Claus I. Doering Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Sul
ColMatNesIAMNR 2010/12/29 15:43 page i #1 Introdução à Análise Matemática na Reta Claus I. Doering Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Sul 1 o Colóquio de Matemática da Região
Leia mais94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)
Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)
Leia mais(A) (B) (C) (D) (E) RESPOSTA: (A)
1. Assinale, dentre as regiões a seguir, pintadas de cinza, aquela que é formada pelos pontos do quadrado cuja distância a qualquer um dos vértices não é maior do que o comprimento do lado do quadrado.
Leia maisCapítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução
Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão
Leia mais.1. SEBASTIAo E SILVA. 2. tomo. 1. volume. Curso Complementar do Ensino Secundário. Edicão G EP LI SBO A
.1. SEBASTIAo E SILVA 1. volume 2. tomo Curso Complementar do Ensino Secundário Edicão G EP o LI SBO A CAPrTULO v OPERAÇOES BINARIAS. GRUPOIDES 1. Expressões designat6rias e operações. Consideremos a expressão
Leia maisUniversidade do Minho Departamento de Electrónica Industrial. Sistemas Digitais. Exercícios de Apoio - I. Sistemas de Numeração
Universidade do Minho Departamento de Electrónica Industrial Sistemas Digitais Exercícios de Apoio - I Sistemas de Numeração CONVERSÃO ENTRE SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Conversão Decimal - Binário Números Inteiros
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT GILBERTO PEREIRA SOARES JÚNIOR
1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA UESB MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT GILBERTO PEREIRA SOARES JÚNIOR CADEIAS DE MARKOV: Uma Proposta de Ensino e Aprendizagem VITÓRIA
Leia maisO Método Simplex para
O Método Simplex para Programação Linear Formas de Programas Lineares O problema de Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis x 1, x 2,, x n que tornam mínimo ou máximo o
Leia maisUma proposição condicional sempre pode ser escrita da forma se p, então q, e é denotada por p q. Se amanhã é domingo, então hoje é sábado.
Proposições condicionais e bicondicionais Proposições condicionais Num debate sobre algum tema importante, é comum utilizarmos ideias que procuram sustentar nossos argumentos. Essa sustentação, muitas
Leia maisCÁLCULO PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO: VOLUME I
CÁLCULO PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃO: VOLUME I MAURICIO A. VILCHES Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisAndré da Silva Nogueira Profiling de aplicações Web : Estudo comparativo entre aplicações Java Web e aplicações RoR
˲ ª» ¼ ¼» ¼± Ó ² ± Û ½± ¼» Û²¹»² André da Silva Nogueira Profiling de aplicações Web : Estudo comparativo entre aplicações Java Web e aplicações RoR Outubro de 2014 ˲ ª» ¼ ¼» ¼± Ó ² ± Û ½± ¼» Û²¹»²
Leia maisSMA - 306 - Álgebra II Teoria de Anéis - Notas de Aulas
SMA - 306 - Álgebra II Teoria de Anéis - Notas de Aulas Professora Ires Dias - Segundo Semestre de 2001 1 Definição e Exemplos Definição 1 Um conjunto não vazio R, juntamente com duas operações binárias
Leia maisINE0003 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE0003 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/52 7 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 7.1) Operações Binárias
Leia maisMestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. Sociedade Brasileira de Matemática - SBM
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Sociedade Brasileira de Matemática - SBM Objetivo Trazer a comunidade acadêmica e científica da Matemática para atuar nos problemas do ensino básico
Leia maisESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.
ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.)
Leia maisContagem (2) Anjolina Grisi de Oliveira. 2007.1 / CIn-UFPE. Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco
1 / 24 Contagem (2) Anjolina Grisi de Oliveira Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco 2007.1 / CIn-UFPE 2 / 24 O princípio da multiplicação de outra forma O princípio da multiplicação
Leia maisNúmeros Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo
Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade
Leia maisQuem conta um conto aumenta vários pontos
Quem conta um conto aumenta vários pontos Carlos Shine 1 Princípio aditivo e multiplicativo O modo matemático mais eficaz de se modelar problemas de contagem é utilizar conjuntos, de modo que todo problema
Leia maisAula 15. Integrais inde nidas. 15.1 Antiderivadas. Sendo f(x) e F (x) de nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que
Aula 5 Integrais inde nidas 5. Antiderivadas Sendo f() e F () de nidas em um intervalo I ½, dizemos que F e umaantiderivada ou uma rimitiva de f, emi, sef 0 () =f() ara todo I. Ou seja, F e antiderivada
Leia maisTítulo: Grupos Finitos Gerados por dois Elementos a e b com ba = a s b. por José Sérgio Domingues Orientador: Prof. Dr. Paulo Antônio Fonseca
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEX DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Título: Grupos Finitos Gerados por dois Elementos a e b com ba = a s b. por José Sérgio Domingues Orientador:
Leia mais