Análise I Solução da 1ª Lista de Exercícios

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1 FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Matemática Análise I 0- Solução da ª Lista de Eercícios. ATENÇÃO: O enunciado correto é: Seja X N um subconjunto não vazio tal que n, m X n + m X. Prove que eiste k N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k. Solução: Pelo Princípio da Boa Ordenação, X tem um menor elemento k, ou seja, eiste k X tal que k para todo X. Vamos mostrar por indução que nk X para todo n N: de fato, k = k X e, se nk X, então (n + )k = nk + k X. Portanto, {nk n N} X. Vamos mostrar que vale a igualdade. Suponha, por absurdo, que eiste X que não é múltiplo de k. Então k, logo, como k é o menor elemento, k <. Pelo algoritmo de Euclides, eiste um inteiro positivo q e um inteiro r tal que 0 r < k tal que = qk + r. Mas X, o que significa que qk + r X e, portanto, r X, o que contradiz o fato de que k é o menor elemento de X. Isto mostra que X é o conjunto dos múltiplos de k.. Vamos mostrar o resultado por indução no número de elementos do conjunto X. Suponha que X é um conjunto finito com n elementos. Se n = 0, então X é o conjunto vazio e seu único subconjunto é ele mesmo, ou seja, (X) = { }, o que significa que (X) = = 0 = X. Se n =, digamos X = { }, então (X) = {, { }}, logo (X) = = = X. Suponha que o resultado é válido para um conjunto de n elementos, n, e seja X = {,, n, n+} um conjunto com n + elementos. Então (X) pode ser escrito como a união de dois conjuntos disjuntos = {S X n+ S } e = {S X n+ S }. Note que = ({,, n}) tem n elementos pela hipótese de indução. Além disso, se S, então S { n+} ({,, n}) e, reciprocamente, se T ({,, n}), então S = T { n+}. Então temos uma bijeção entre e ({,, n}), o que significa que = ({,, n}) = n. Como e são disjuntos, obtemos: (X) = + = n + n = n ( + ) = n = n+ = X. Isso prova o resultado.. Defina a função ϕ: N {ímpares positivos} por ϕ(n) = n. Então ϕ é sobrejetora, pois todo número ímpar positivo é da forma n para algum n natural. E ϕ também é injetora, pois ϕ(n) = ϕ(m) n = m n = m. Logo ϕ é uma bijeção.. Defina a função ϕ: N {quadrados perfeitos} por ϕ(n) = n. Então ϕ é sobrejetora, pois todo quadrado perfeito n para algum n natural. E ϕ também é injetora, pois ϕ(n) = ϕ(m) n = m n = m, já que ambos são números positivos. Logo ϕ é uma bijeção. 5. Defina a função ϕ: N {m N m n} por ϕ(k) = n + k. Como k, é claro que n + k n. Então ϕ é sobrejetora, pois todo m n m n 0 m n + m n + = k N ϕ(k) = n + k = n + m n + =

2 Análise I 0- m. E ϕ também é injetora, pois ϕ(k) = ϕ(l) n + k = n + l k = l. Logo ϕ é uma bijeção. 6. Se A B, então A B = B é um conjunto enumerável infinito. Se A não é um subconjunto de B, então A A B é um subconjunto finito não vazio, digamos A A B = {a,, a n}. Como B é um conjunto enumerável infinito, eiste uma bijeção entre N e B; denotando a imagem do número natural k por b k, temos que B = {b, b,, b k, b k+, }. Então A B = {a,, a n, b, b, }. Defina a função ϕ: N A B por ϕ(k) = a k se k n e ϕ(k) = b k n se k n +. É claro que ϕ é uma bijeção, o que prova que A B é um conjunto enumerável finito. 7. Se ambos forem finitos, já vimos que a união de conjuntos finitos é finita, logo A B é finito. Se um deles for finito e o outro for enumerável infinito, pelo Eercício 6 a união será um conjunto enumerável infinito. Só falta mostrar o caso em que ambos os conjuntos são enumeráveis infinitos. Suponha então que A e B são dois conjuntos enumeráveis infinitos. Se A B, então A B = B é um conjunto enumerável infinito. Se A não é um subconjunto de B, então A A B é um subconjunto de A que pode ser finito não vazio ou enumerável infinito. Se A A B é um subconjunto finito e não vazio de A, então A B é enumerável infinito pelo Eercício 6. Se A A B é um subconjunto enumerável infinito de A, então eiste uma bijeção entre N e A A B. Denotando a imagem de n N sob esta bijeção por a n, podemos escrever A A B = {a,, a n, }, onde a i a j se i j. Analogamente, B = {b, b, } com b i b j se i j. É claro que A A B e B são conjuntos disjuntos e A B = (A A B) B = {a, b, a, b, }. Defina a função ϕ:n A B por ϕ(n) = a (n+)/ se n for ímpar e ϕ(n) = b n/ se n for par. Como A A B e B são conjuntos disjuntos, se n for par e m ímpar ou vice-versa, ϕ(n) ϕ(m); se n e m forem ímpares, ϕ(n) = ϕ(m) a (n+)/ = a (m+)/ (n + )/ = (m + )/ n = m; se n e m forem pares, ϕ(n) = ϕ(m) b n/ = b m/ n/ = m/ n = m. Isto mostra que ϕ é injetora. Para ver que ϕ é sobrejetora, seja a qualquer elemento de A A B: então a = a k para algum k N, logo n = k N e a = ϕ(k ) = ϕ(n); analogamente, se b é qualquer elemento de B, então b = b k para algum k N, logo n = k N e b = ϕ(k) = ϕ(n). Portanto, ϕ é uma bijeção e A B é um conjunto enumerável infinito. 8. Pelo Eercício 7, A enumerável e B enumerável A B enumerável. Mas esta afirmação é equivalente à sua contrapositiva, ou seja, A B não enumerável A não enumerável ou B não enumerável 9. Já vimos que o conjunto R dos números reais não é enumerável e que o conjunto Q dos números racionais é enumerável. Denotando por o conjunto dos números irracionais, temos que R = Q, logo, pelo Eercício 8, não é enumerável. 0. Construa uma bijeção entre o intervalo (0, ) e a reta inteira. Uma função que tivesse o gráfico como na figura a seguir seria a bijeção desejada.

3 Análise I 0- Este gráfico lembra um dos ramos do gráfico da tangente. Por eemplo, o gráfico da tangente no intervalo ( π/, π/) é π/ π/ π/ π/ Então, para obter a equação do gráfico desejado, basta fazer a composição de duas bijeções: a primeira leva o intervalo (0, ) no intervalo ( π/, π/) e a segunda é a tangente definida no intervalo ( π/, π/). π/ π/ π/ π/ π/ π/ É claro que a equação da reta é = π π/, logo a bijeção desejada é ϕ: (0, ) R, ϕ() = tan(π π/).. Seja X um conjunto infinito. Então podemos escolher um ponto qualquer X. O conjunto X { } é infinito, logo podemos escolher um elemento X { }. Uma vez escolhido n elementos distintos,, n X, o

4 Análise I 0- conjunto X {,, n} é um conjunto infinito e podemos escolher n+ X {,, n}. Usando indução, podemos escolher m X para cada m N e o conjunto E = {,, } é um subconjunto enumerável infinito de X.. Seja X um conjunto qualquer. Então A é um subconjunto de X se e somente se todo elemento a A pertence a X. Em símbolos: ( a A)[a X]. A negação desta proposição é ( a A)[a X]. É claro que esta última proposição é sempre falsa para o conjunto vazio, o que significa que o conjunto vazio satisfaz ( )[ X] (por vacuidade, já que o conjunto vazio não tem elemento algum). Isso mostra que X.. Suponha, por absurdo, que o conjunto das sequências infinitas de inteiros positivos é enumerável. Isto significa que eiste uma bijeção entre N e este conjunto; denotando a imagem de n N por n, o conjunto das sequências infinitas de inteiros positivos é igual a {,,, n, n+, }. Todas essas sequências são distintas. Escrevendo os elementos da sequência, obtemos :,,, n, n + :,,, n, n + : m m, m, m, n m, n + : m + m +, n m +, m +, n m +, n + O método de diagonalização de Cantor consiste em considerar a sequência formada pelos elementos na diagonal, ou seja,,,,,, n,n,. Vamos modificar um pouco o método porque não sabemos se todos os ij são distintos, já que duas sequências distintas podem ter alguns elementos iguais. Seja =,. Como as sequências e são distintas, seja n o menor inteiro tal que,,n e escolha =,n, de modo que,. Como as sequências e são distintas, seja n o menor inteiro tal que,,n e escolha =,n, de modo que,. Uma vez escolhidos,,, m tais que i,i+ i+ para i =,, m, como as sequências m e m+ são distintas, seja n o menor inteiro tal que m,m+ m+,n e escolha m+ = m+,n, de modo que m,m+ m. Construímos assim uma sequência de inteiros positivos :,,, m, m+, que é diferente de todas as sequências i, já que i,i+ i para todos i N, uma contradição, já que o conjunto {,, } era suposto de conter todas as sequências de inteiros positivos. Portanto, o conjunto de todas as sequências de inteiros positivos não é enumerável.. Suponha que todos os quartos já estejam ocupados. Como o hotel tem um número infinito de quartos, pelo Eercício eiste um subconjunto enumerável do conjunto de todos os quartos, digamos q, q,. Dado qualquer n N, mesmo com todos os quartos ocupados podemos receber n pessoas (ou grupos que ficarão no mesmo quarto): de fato, basta transferir as pessoas do quarto q para o quarto q n+, as pessoas do quarto q para o quarto q n+, etc., ou seja, as pessoas no quarto q k serão transferidas para o quarto q k+n para todo k N e os quartos q, q,, q n ficarão vazios para acomodar os novos hóspedes. 5. Demonstração (por absurdo) de que u + v é irracional:

5 Análise I 0- Suponha, por absurdo, que u + v é racional. Mas então, como a diferença de racionais é racional e u é racional, v = (u + v) u é racional, uma contradição. Demonstração (por absurdo) de que uv é irracional: Suponha, por absurdo, que uv é racional. Mas então, como o inverso de um racional não nulo é racional e o produto de racionais é racional, v = (uv)(/u) é racional, uma contradição. 6. Suponha, por absurdo, que eiste um número racional a tal que a =. Como a é racional, eistem inteiros p e q, sem fatores comuns, com q > 0, tais que a = p/q. Temos: p /q = p = q divide p divide p (pois é primo) 9 divide p = q divide q divide q (pois não divide ) divide q (pois é primo), uma contradição, já que p e q não tinham fatores comuns. Logo, podemos concluir que não eiste número racional a tal que a =. 7. Seja A um subconjunto não vazio dos números reais limitado inferiormente. Seja B = { A}. Prove que inf A = sup B. 5. Já vimos que, se A é limitado inferiormente, então A tem ínfimo. Seja α = inf A e seja β = α. Vamos mostrar que β = sup B. β é uma cota superior para B: De fato, dado B, A tal que =, ou seja, =. Como α = inf A, β = α =. Multiplicando esta desigualdade por < 0, obtemos β. Se γ é outra cota superior para B, então β γ: De fato, suponha que γ é outra cota superior para B. Dado A, seja =. Então: B = γ γ (pois α = inf A) γ α = β β γ. Portanto, β é a menor cota superior de B, ou seja, β = sup B. 5