Álgebra A - Aula 02 Teorema da fatoração única, Propriedade fundamental dos primos, números primos

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1 Álgebra A - Aula 02 Teorema da fatoração única, Propriedade fundamental dos primos, números primos Elaine Pimentel Departamento de Matemática, UFMG, Brazil 2 o Semestre

2 Teorema da fatoração única p é primo: p 1 e os únicos divisores de p são p e 1. Número (diferente de 1) não primo = composto. Teorema da fatoração única: Dado um inteiro positivo n 2 podemos sempre escrevê-lo, de maneira única, na forma: n = p e pe k k onde 1 < p 1 < p 2 <... < p k são números primos e e 1,..., e k são inteiros positivos (multiplicidades).

3 Existência da fatoração Algoritmo ingênuo: Dado n 2 inteiro positivo, tente dividir n por cada um dos inteiros de 2 a n 1. Se algum desses inteiros (digamos k) dividir n, então achamos um fator de n. Perguntas: 1. k é primo ou composto? 2. Quando se deve parar a busca? Em n 1?

4 Existência da fatoração Respostas: 1. k é primo. Se k composto, k = a.b com 1 < a, b < k. Mas k n, então existe c inteiro tal que n = k.c. Logo, ABSURDO! Logo, k é primo. n = a.b.c 2. Podemos parar o algoritmo em n. De fato, n = k.c ou c = n k. Como k é o menor fator de n, k c. Logo, k n k ou seja, k 2 n k n.

5 Algoritmo de fatoração Etapa 1. F = 2; Etapa 2. Se n/f é inteiro, escreva F fator de n e pare; Etapa 3. Incremente F de uma unidade; Se F > n escreva n é primo e pare; se não, volte para a Etapa 2.

6 Existência da fatoração Algoritmo acima: acha todos os fatores primos de n. n n n q 1. Próximo passo: q 1 q 2 A seguir, Paramos em = q s, com q s primo. n q 1.q 2...q s 1 Observe que q 1 q 2... q s 1 q s e n > n q 1 > n q 1.q 2 >... > ou seja, o algoritmo sempre termina. Exemplo: n = 450 = q 1.q 2 q 3 n q 1.q q s > 0,

7 Eficiência do algoritmo ingênuo de fatoração Algoritmo simples mas muito ineficiente! Exemplo n primo com 100 ou mais algarismos. Logo, n e portanto n Logo serão loops para determinar que n é primo. Se o computador executa divisões/s, levaremos 1050 = segundos, ou seja, anos... Tempo estimado de existência do universo: anos! Algoritmo bom para números pequenos. Não existe (atualmente) algoritmo de fatoração eficiente para todos os inteiros. Não se sabe se tal algoritmo não existe ou se não fomos espertos o suficiente para inventá-lo...

8 Fatoração por Fermat Eficiente quando n tem um fator primo não muito menor que n. Idéia: tentar achar números inteiros positivos x e y tais que n = x 2 y 2. Caso mais fácil: n = r 2 (x = r e y = 0). Se y > 0, então x = n + y 2 > n Notação: escrevemos [r] como a parte inteira do número real r.

9 Algoritmo de Fermat Etapa 1: Faça x = [ n]; se n = x 2, pare. Etapa 2: Incremente x de uma unidade e calcule y = x 2 n. Etapa 3: Repita a etapa 2 até encontrar um valor inteiro para y, ou até que x = n+1 2. No primeiro caso, n tem fatores x + y e x y; no segundo, n é primo.

10 Exemplo n = Temos que x = Mas x 2 = = < Logo, passamos a incrementar x até que x 2 n seja inteiro ou x = n+1 2, que nesse caso vale : x x 2 n , , , , , Logo, x = 1164 e y = 113. Os fatores procurados são x + y = 1277 e x y = 1051.

11 Algoritmo de Fermat Demonstração: se n é primo, então o único valor possível para x é x = n+1 2. x e y são inteiros positivos tais que n = x 2 y 2. Ou seja, n = (x y)(x + y) Como estamos supondo n primo, temos que x y = 1 e x + y = n. Logo, x = 1 + n 2 e y = n 1 2 como queríamos. Obs: RSA - Se p e q são muito próximos, então n = p.q é facilmente fatorável pelo algoritmo de Fermat.

12 Propriedade fundamental dos primos Lema: Sejam a, b, c inteiros positivos e suponhamos que a e b são primos entre si. Então: 1. Se b divide o produto a.c então b divide c. 2. Se a e b dividem c então o produto a.b divide c.

13 Propriedade fundamental dos primos 1. mdc(a, b) = 1. Pelo Algoritmo euclideano estendido, existem α e β tais que α.a + β.b = 1 Então, α.a.c + β.b.c = c Como b divide a.c pela hipótese (1) e como b divide β.b.c, então b divide c. 2. Se a divide c, então c = at. Mas b também divide c. Como mdc(a, b) = 1, pela afirmação (1), b divide t. Logo, t = b.k para algum inteiro k e portanto, c = a.t = a.b.k

14 Propriedade fundamental dos primos Podemos usar o lema acima para provar se seguinte propriedade: Propriedade fundamental dos primos: Seja p um primo e a e b inteiros positivos. Se p divide o produto a.b, então p divide a ou p divide b. A demonstração fica como exercício (façam!).

15 Unicidade Seja n o menor inteiro positivo que admite duas fatorações distintas. Podemos escrever: n = p e pe k k = qr qrs s onde p 1 < p 2 <... < p k e q 1 < q 2 <... < q s são primos e e 1,..., e k, r 1,..., r s são inteiros positivos. Como p 1 divide n, pela propriedade fundamental dos primos p 1 deve dividir um dos fatores do produto da direita. Mas um primo só pode dividir outro se forem iguais. Então p 1 = q j para algum j entre 1 e s. Logo, n = p e pe k k = q r qr j j.....qrs s = q r pr j qrs s

16 Unicidade Podemos então cancelar p 1 que aparece em ambos os lados da equação, obtendo m = p e p e k k = qr pr j qs rs onde m é um número menor que n que apresenta duas fatorações distintas. ABSURDO pois isso contraria a minimalidade de n.

17 Exercícios propostos - Capítulo 2 1. Prove a propriedade fundamental dos primos. 2. Demonstre que, se p é um número primo, então p é um número irracional. 3. Livro texto: 2, 4, 5, 8, 11, 12.

18 Números primos Até agora: propriedades básicas dos números inteiros; dois algoritmos fundamentais; Nessa aula, discutiremos métodos ingênuos para encontrar primos.

19 Fórmulas Polinomiais Considere o polinômio: f (x) = a n.x n + a n 1.x n a 1.x + a 0 onde a n, a n 1,..., a 1, a 0 são números inteiros e que satisfaz a condição: f (m) é primo, para todo inteiro positivo m Exemplo Seja f (x) = x Logo, x f (x)

20 Fórmulas Polinomiais Teorema: Dado um polinômio f (x) com coeficientes inteiros, existe uma infinidade de inteiros positivos m tais que f (m) é composto. Prova: Consideraremos f do tipo: f (x) = a.x 2 + b.x + c Podemos supor a > 0. Suponhamos que exista m tal que f (m) = p onde p é primo. Calculando f (m + hp): f (m + hp) = a(m + hp) 2 + b(m + hp) + c = (am 2 + bm + c) + p(2amh + aph 2 + bh) = p(1 + 2amh + aph 2 + bh) Basta tomarmos: h > b 2am a.p Conclusão: não existe uma fórmula polinomial (em uma variável) para primos.

21 Fórmulas exponenciais: números de Mersenne Números de Mersenne: M(n) = 2 n 1 Números perfeitos: são iguais à metade da soma de seus divisores. Ex: 6 = 12/2 e 12 = Nenhum primo é perfeito. Resultado: 2 n 1.(2 n 1) é perfeito se 2 n 1 é primo. Outro resultado: Todo número perfeito par possui a forma acima. Ex: 6 = (2 2 1) O que não se sabe: se existem números perfeitos ímpares. Pergunta: Quais são os números de Mersenne primos? Exemplos: quando n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, Observe que os expoentes são todos primos, mas nem todos primos fazem parte dessa lista. Por exemplo, M(11) = 2047 = 23.89

22 Fórmulas exponenciais: números de Fermat Números de Fermat: F (n) = 2 2n + 1 Exemplos de números de Fermat primos: n = 0, 1, 2, 3, 4. F (5) = é composto! Poucos primos de Fermat são conhecidos.até hoje, não se descobriu nenhum F (n) primo com n 5.

23 Fórmulas fatoriais p # é o produto de todos os primos menores ou iguais a p. Ex: 5 # = = 30 Se p e q são primos sucessivos, então p # = q #.p Estaremos interessados nos números da forma p # + 1. Embora p # + 1 nem sempre seja primo (Ex. 13 # + 1 = = ), podemos mostrar que não tem nenhum fator primo menor ou igual a p. Desta forma, temos um algoritmo para calcular primo. Pergunta: qual é o problema de tal algoritmo? Observação final: p # + 1 quase nunca é primo!

24 Infinidade de primos Teorema: Existe uma infinidade de primos Prova: Digamos que exista uma quantidade finita de primos: {p 1, p 2,..., p k } Podemos supor que esses primos estão ordenados, de modo que p k é o maior deles. Considere o número p # k + 1. Como vimos, esse número possui fator primo maior que p k. ABSURDO!

25 Crivo de Eratóstenes O crivo de Eratóstenes é o mais antigo dos métodos para encontrar primos. Etapa 1: Listamos os números ímpares de 3 a n. Etapa 2: Procure o primeiro número k da lista. Risque os demais números da lista, de k em k. Etapa 3: Repita a etapa 2 até chegar em n. Observações: 1. Podemos parar em n Podemos começara riscar a partir de k 2...

26 Crivo de Eratóstenes revisado Etapa 1: Crie um vetor v de n 1 2 posições, preenchidas com o valor 1; faça P = 3. Etapa 2: Se P 2 > n, escreva os números 2j + 1 para os quais a j-ésima entrada de v é 1 e pare; Etapa 3: Se a posição (P 1) 2 de v está preenchida com 0 incremente P de 2 e volte à Etapa 2. Etapa 4: Atribua o valor P 2 a uma nova variável T ; substitua por zero (T 1) o valor da posição 2 e incremente T de 2P; repita até que T > n; incremente P de 2 e volte à Etapa 2.

27 Exercícios propostos - Capítulo 3 1. Entenda e implemente o algoritmo da pag 65 do livro texto. 2. Livro texto: 1, 3 a 7, 8 e 10.