Soma de Quadrados. Faculdade de Matemática, UFU, MG

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1 Soma de Quadrados Stela Zumerle Soares 1 Antônio Carlos Nogueira (stelazs@gmailcom (anogueira@ufubr Faculdade de Matemática, UFU, MG 1 Resultados Preliminares Historicamente, um problema que tem recebido uma atenção considerável é a representação de números como soma de quadrados Por exemplo: 1= 1 = = = 5= + 1 6= = Nos preocuparemos, neste trabalho, em descrever os inteiros positivos que podem ser representados como soma de dois quadrados Observamos inicialmente que, a solução do problema proposto depende do conhecimento de alguns resultados pertinentes às congruências quadráticas, ou seja, congruências do tipo ax + bx + c 0(mod n Começamos então, considerando a congruência ax + bx + c 0(mod p, onde p é um primo ímpar e a/ 0(mod p Definição 11 Seja p um primo ímpar e mdc ( a, p = 1 Se a congruência quadrática x a(mod p tem uma solução, então a é dito ser um resíduo quadrático de p Exemplo 11 Considere o primo p = 13 Para encontrar quais dos inteiros 1,, 3, L, 1 são resíduos quadráticos de 13, precisamos saber quais das congruências x a mod13 são solúveis com 1,, 3, L, 1 são a percorrendo a série { 1,, L, 1} Módulo 13, as equações dos inteiros 1 Bolsista do PET -Matemática da Universidade Federal de Uberlândia Docente da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia

2 Consequentemente, os resíduos quadráticos de 13 são 1, 3, 4, 9, 10, 1, e os não resíduos quadráticos são, 5, 6, 7, 8, 11 Critério de Euler Seja p um primo ímpar e mdc ( a, p 1 quadrático se, e somente se, p 1 ( p a 1mod = Então a é um resíduo Demonstração: Seja a um não resíduo quadrático de p e seja c um dos inteiros 1,, L, p 1 Pela teoria das congruências lineares, existe uma solução c ' de cx a( mod p, com c ' também no conjunto {1,, L, p 1} Note que c' c; caso contrário teremos que c a mod p, o que contradiz o que assumimos na definição de resíduo quadrático Assim, os inteiros entre 1 e p 1 p 1 p 1 podem ser divididos em pares, cc, ', onde cc' a( modp Isto leva às congruências cc 1 1' a( modp cc ' a( modp M c c a p ' 1 1 ( mod p p Multiplicando-os e observando o produto cc ' cc ' Lc c ' ( p ( p É simplesmente um rearranjo de 1 3 L ( p 1, nós obtemos ( p 1 ( p 1! a ( modp Neste ponto o Teorema de Wilson entra em cena; para ( p 1! 1mod ( p p 1 ( p a 1mod que é o Critério de Euler quando a é um não resíduo quadrático de p, vem que

3 Posteriormente, examinamos o caso em que a é um resíduo quadrático de p Estabelecendo ( mod que a congruência x a p admite duas soluções x = x1 e x = p x1, para algum x 1 satisfazendo 1 x1 p 1 Se x 1 e p x1 são tirados do conjunto {1,, L, p 1}, então sobram p 3 inteiros que podem ser agrupados em pares cc, ' (onde c' c tal que cc' a( modp Para estas ( p 3 congruências, adicionamos a congruência x p x x a p mod Tomando o produto de todas as congruências envolvidas, chegamos à relação ( p 1! ( p 1 a ( modp Do Teorema de Wilson temos que ( p 1! 1mod ( p p 1 e daí segue que p 1 ( p a 1mod Juntando tudo, mostramos que a 1mod ( p quadrático ou não resíduo quadrático de Corolário - Seja não resíduo quadrático de Exemplo 1 No caso onde p 1 ou a 1mod ( p, caso a p seja um resíduo p um primo ímpar e mdc ( a, p = 1 Então a é um resíduo quadrático (resp p 1 p se a 1mod ( p p 1 (resp a 1mod ( p p =13, nós encontramos que mod13 = = Assim, em virtude do último corolário, o inteiro é um não resíduo quadrático de 13 Por outro lado, = 3 = 7 1 1( mod13, e isto indica que 3 é um resíduo quadrático de 13 e assim a congruência 3( mod13 solúvel, de fato, as duas soluções não congruentes são x 4e ( mod13 x é Definição 1 Seja p um primo ímpar e seja mdc ( a, p = 1 O símbolo de Legendre ( a/ p é definido por ( a/ p 1 se a e um residuo quadratico de p = 1 se a e um nao residuo quadratico de p

4 Exemplo 13 Tomemos o primo p = 13, em particular Tomando o símbolo de Legendre, o resultado do exemplo 11 pode ser expresso como 1/13 = 3/13 = 4/13 = 9/13 = 10/13 = 1/13 = 1 e /13 = 5/13 = 6/13 = 7 /13 = 8/13 = 11/13 = 1 Teorema 11 Seja p um primo ímpar e sejam a e b inteiros relativamente primos a p Então o símbolo de Legendre tem as seguintes propriedades: a Se a b(mod p, então ( a/ p ( b/ p a / p = 1 b ( p 1 c ( a/ p a ( mod d d ( a/ p = ( a/ p( b/ p ( p = ( p 1 1/ p 1 e 1/ 1 e = Observe que a propriedade c é simplesmente o corolário reformulado nos termos dos Símbolos de Legendre Corolário Se p é um primo ímpar, então: 1 se p 1( mod4 ( 1/ p = 1 se p 3( mod4 Este corolário pode ser considerado como uma afirmação de que a congruência quadrática x 1modp tem uma solução para um primo ímpar p se, e somente se, p é da forma 4k + 1 Exemplo 14 - Vamos verificar se a congruência x 46( mod17 é solúvel Isto acontece pela avaliação do símbolo de Legendre ( 46/17 Primeiramente, recorremos às propriedades (d e (e do teorema 11 para escrever 46/17 = 1/17 16/17 = 46/17 Como 46 1( mod17, segue do item (a do teorema 11 que ( 46/17 = ( 1/17 Agora da propriedade (f segue que 1/17 = 3 /17 = 3/17 Mas,

5 /17 = 3 3 ( 81 ( 4 1( mod17 onde usamos a propriedade (c do teorema 11; daí, ( 3/17 = 1 Visto que ( 46/17 = 1, a congruência quadrática 46( mod17 Inteiros que são escritos como soma de dois quadrados Consideremos o seguinte lema x não admite solução Lema 1 - Se m e também o é n são cada um uma soma de dois quadrados, então seu produto mn Demonstração: Se m= a + b e n= c + d para inteiros abcd,,, então mn a b c d ac bd ad bc = ( + ( + = ( + + ( É claro que nem todo primo pode ser escrito como uma soma de dois quadrados, por 3 = a + b a provar o teorema 11 exemplo, não tem solução para inteiros e b No caso mais geral, podemos Teorema 1 - Nenhum primo p da forma 4k + 3 é uma soma de dois quadrados Demonstração: Dado qualquer inteiro a, temos que a 0, 1,, ou 3(mod 4 ; consequentemente, a 0 ou1( mod4 Daí, segue que, para inteiros arbitrários a e b, a + b ou 0, 1, (mod 4 Como p 3(mod 4, a equação p a b = + é impossível De outro modo, todo primo que é congruente a 1 módulo 4 é expresso como a soma de dois quadrados A demonstração deste fato, utiliza um teorema de congruência devido ao matemático norueguês Axel Thue Este, por sua vez, fez uso do Princípio da Casa dos Pombos de Dirichlet Princípio da Casa dos Pombos Se n objetos são dispostos em m pombos, e se n> m, então alguma caixa conterá ao menos dois objetos caixas (ou casa de Exprimindo em termos mais matemáticos, este simples princípio afirma que se um conjunto com n elementos está na união de m de seus subconjuntos, e se n> m, então algum de seus subconjuntos têm mais que um elemento

6 Lema de Thue - Seja admite uma solução x, y, onde p um número primo e mdc(, a p = 1 Então a congruência o o ax y(mod p 0 xo < < p e 0 < yo < p Demonstração: Seja k = p + 1, e considere o conjunto de inteiros { 0 1,0 1} S = ax y x k y k Como ax y tem k > pvalores possíveis, o Princípio da Casa dos Pombos garante que ao menos dois membros de S são congruentes módulo p ; chamá-lo-emos de ax1 y1 e ax y, onde x 1 x ou y1 y Então podemos escrever ( a x x y y p 1 1 mod Fazendo x0 = x1 x e y 0 = y 1 y, segue que x 0 e y 0 fornece uma solução para a congruência ax y( mod p Se x 0 ou y 0 é igual a zero, então o fato de que mdc(, a p = 1 pode ser usado para mostrar que o outro também pode ser zero, contrariando a hipótese Daí, 0< x k 1< p e 0< y k 1< p o o Agora deduziremos um teorema devido a Fermat que diz que todo primo da forma 4k + 1 pode ser expresso como a soma dos quadrados de dois inteiros (Em termos precedentes, Albert Girard reconheceu este fato vários anos antes e o resultado é referido somente como o teorema de Girard Fermat citou seu teorema numa carta para Mersenne, datada de 5 de dezembro de 1640, declarando que ele possuía uma demonstração irrefutável Contudo, a primeira demonstração publicada foi dada por Euler em 1754, que nos acréscimos sucessivos mostrou que a representação é única Teorema (Fermat - Um primo ímpar só se, p 1 mod4 Demonstração: p é expresso como uma soma de dois quadrados se, e

7 Suponha que p possa ser escrito como a soma de dois quadrados, digamos p = a + b Como p é um primo, temos que p não divide a e p não divide b (Se p divide a, então p divide b, e assim, p divide b, levando à contradição de que p divide p Assim, pela teoria de congruências lineares, existe um inteiro c tal que bc 1mod ( p Módulo p, a relação torna-se ac + bc = pc ( ac 1mod ( p =, e daí, fazendo 1 um resíduo quadrático de p Para a recíproca, seja encontrar um inteiro a satisfazendo p 1mod4 Como 1 é um resíduo quadrático de a 1modp ; de fato, a= ( p 1/! p, podemos é um tal inteiro Agora mdc(, a p = 1, assim, a congruência ( ac = 1mod ( p admite uma solução x, y o ou o devido ao lema de Thue Segue que, ( x = ax ax y p mod x + y = kp 0 0 para algum inteiro que implica que k 1 Visto que 0 < xo < p e 0 < yo < p, obtemos k =1 Consequentemente, x + y = p, e terminamos 0 0 0< x + y < p, o 0 0 a Calculando e a como uma soma, temos o corolário seguinte Corolário Todo primo p da forma 4k + 1 pode ser representado de forma única (exceto da ordem das parcelas como uma soma de dois quadrados Demonstração: Para estabelecer a afirmação única, suponhamos que p = a + b = c + d

8 onde abcd,,, são todos inteiros positivos Então donde ad bc ( mod p ou ad bc ( mod p estas relações implicam que 0( mod ad bc = p d b p Como abcd,,, são todos menores que p, ad bc = 0 ou ad + bc = p Se a segunda igualdade é assegurada, então temos que ac = bd ; pois p = a + b c + d = ad + bc + ac bd = p + ac bd e então ad bc = 0 Segue que ad = bc ou ac = bd a bc (, Suponha, por exemplo, que ad = bc Então, com mdc a b = 1, o que força que a c; seja c = ka A condição ad = bc = b( ka então reduz a d = bk Mas p = c + d = k a + b implica que k = 1 Neste caso, adquirimos a= c e b= d Por um argumento similar, a condição ac = bd leva a a= d e b= c O que é importante é que, num outro evento, suas duas representações do primo p tornam-se idênticas Exemplo 1 - Para o passo seguinte utilizaremos o primo p = 13 Uma escolha para o inteiro a é 6! 70 Uma solução para a congruência = 70x y( mod13 dizendo, 5 x y( mod13 é obtido considerando o conjunto Os elementos de S são justamente os inteiros que, módulo 13, tornam-se { 5 0, } S = x y x y< , ou, melhor

9 Entre as várias possibilidades, temos ou, ( mod13 51 ( 3 3mod13 Assim, nós podemos tomar x = e y 0 = 3 para obter 0 13 = x + y = Observe que alguns autores alegam que um primo p 1mod4 pode ser escrito como uma soma de dois quadrados de oito maneiras Para p = 13, temos ( ( = + = + = + = + = = + = + = + = + Como todas as oito representações podem ser obtidas de algumas delas pela troca dos sinais de e 3 ou pela troca das parcelas, existe essencialmente somente uma maneira de fazer isto Assim, do nosso ponto de vista, 13 é representado de forma única como a soma de dois quadrados Mostramos que todo primo tal que p 1mod4 é expresso como a soma de dois quadrados Mas outros inteiros também possuem esta propriedade, por exemplo, p 10 = O próximo passo é caracterizar explicitamente quais inteiros positivos que podem ser representados como a soma de dois quadrados Teorema Seja o número positivo n que pode ser escrito como n= N m, onde m é livre de quadrados Então n pode ser representado como a soma de dois quadrados se, e só se, m não contém nenhum fator primo da forma 4k + 3

10 Demonstração: Inicialmente suponhamos que m não tem nenhum fator primo da forma 4 k + 3 Se m = 1, então n= N + 0 e completamos No caso em que m > 1, seja m= p1 p L pr a fatoração de m como um produto de primos distintos Cada um destes primos p i, sendo iguais a ou à forma 4 k +1, podem ser escritos como a soma de dois quadrados Agora, a identidade ( a + b c + d = ac + bd + ad bc mostra que o produto de dois inteiros que são representados como uma soma de dois quadrados, é também representável como soma de quadrados Assim, existem inteiros x ey tal que m= x + y Concluímos que uma soma de dois quadrados n= N m= N x + y = Nx + Ny Agora, para a volta Assumimos que n pode ser representado como uma soma de dois quadrados n= a + b = N m e seja p um primo ímpar divisor de m (sem perda de generalidade, podemos assumir que m >1 Se d = mdc(, a b, então a= r d, b= sd, onde mdc ( r, s = 1 Adquirimos que d r + s = N m e deste modo, m sendo livre de quadrados, d N Mas então para algum inteiro t, que leva que N r + s = m= tp d ( r s 0mod ( p +, pois p é divisor de m Agora a condição mdc r, s =1, implica que um dos rous, digamos r é relativamente primo a p Digamos que, r satisfaça a congruência

11 + ( p rr ' 1 mod Quando a equação ( r s 0modp é multiplicada por, obtemos ( sr + ( ' 1 0 modp ( r ' ou, para colocar diferentemente, ( 1/ p = 1 Como 1 é um resíduo quadrático de que p 1 mod4 p, temos Assim, pelo nosso desenvolvimento temos que não existe nenhum primo p da forma 4k + 3 que divide m Corolário Um inteiro positivo n é representado como uma soma de dois quadrados se, e só se, cada um de seus fatores primos da forma 4k + 3 apresentam-se com uma potência par Exemplo O inteiro 459 não pode ser escrito como a soma de dois quadrados, pois = 3 17, com o primo 3 tendo expoente ímpar De outro modo, 153 = 3 17 admite representação Um pouco mais complicado é o exemplo = + = + n = Neste caso, temos que n = = Duas aplicações da identidade aparecidas no teorema dão que e = = Quando isto é combinado, concluímos que = = n = + =

12 3 Diferença de Quadrados Existem certos inteiros positivos (obviamente, não primos da forma 4 k + 1 que podem ser representados de mais de uma maneira com a soma de dois quadrados O menor deles é = + = + Se a b(mod, então a relação a+ b a b ab = permite-nos encontrar uma variedade de tais exemplos Tome n=153 como uma ilustração; daí e = 17 9 = = 13 4 e, assim Isto produz duas distintas representações = 51 3 = = = = = 745 Uma questão a ser feita é saber quais inteiros positivos admitem uma representação como uma diferença de dois quadrados A resposta está disposta a seguir Teorema 31 Um inteiro positivo n pode ser representado como a diferença de dois quadrados se, e só se, n não é da forma 4k + Demonstração: Como a 0 ou1( mod4 para todo inteiro a, segue que a b ou 0, 1 3 mod 4

13 Assim, se n mod4 Voltando, suponha que o inteiro, nós não temos que n= a b para todo a e b n não é da forma 4k + ; ou seja, n 0, 1 ou 3( mod 4 Se n 1ou 3 mod4, então n + 1 e n 1 são ambos inteiros pares; daí, n pode ser escrito como n+ 1 n 1 n = uma diferença de quadrados Se n 0mod4, então temos que n n n 1 = Corolário Um primo ímpar é uma diferença de dois quadrados sucessivos Exemplos deste último corolário são dados por 11 = = = Um outro ponto a ser mencionado é que a representação de um dado primo diferença de dois quadrados é única Para ver isto, suponha que p = a b = a b a+ b p como a onde a > b > 0 Como 1 e p são os únicos fatores de p, necessariamente temos que De onde podemos concluir que a b= 1 e a+ b= p p+ 1 p 1 a= e b= Assim, todo primo p pode ser escrito como a diferença de dois quadrados de dois inteiros em precisamente um modo, a saber p+ 1 p 1 p =

14 Uma situação diferente ocorre quando passamos de primos a inteiros arbitrários Suponha que n é um inteiro positivo que nem é primo e nem é da forma 4k + n Começando com um divisor d de n, tomando d ' = (assumimos que d d' Agora se d ( d + d' ( d d' e d ' são ambos pares, ou ambos ímpares, então e são inteiros d Além disso, podemos escrever d + d' d d' n= dd' = Para uma ilustração, considere o inteiro 4 Daí, e = 1 = = = 6 4 = = 5 1 dando-nos duas representações para 4 como uma diferença de quadrados 4 Referências bibliográficas [1] BURTON, D M Elementary Number Theory 5ª ed Mc-Graw-Hill Higher Education, 00