Primeiro Desao Mestre Kame

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1 Primeiro Desao Mestre Kame Alan Anderson 8 de julho de 2017 O propósito dessa lista é gerar uma intuição numérica das demonstrações abstratas do teoremas famosos de Teoria dos números, de modo que alguns dos enunciados de teoremas sejam deduzidos pelos estudantes e que as demonstração pareça simples quando vistas, por isso faça todas as contas completas. As soluções devem ser todas organizadamente e completamente escrita em um caderninho do Desao Mestre Kame, não precisa escrever na ordem da lista. 1 Divisibilidade 1. Encontre todos os inteiros positivos tais que a) 2n n 3 + 9n 17; b) 2n n 4 + n + 1; c) n + 1 n 3 1; d) 2n 1 n 3 + 1; e) 1 m + 1 n = Algoritmo de Euclides 1. Encontre soluções inteiras para as seguintes equações: a) 4x + 7y = 1 b) 231x + 144y = 12 1

2 2. Use o teorema de Bachèt-Bezout para mostrar que a) Se mdc(a, b) = 1 e a bc, então a c; b) Existe b com ab 1(mod.n) mdc(a, n) = 1. 3 Teorema Fundamental da Aritimética 1. Mostre que existem innitos primos. 2. Mostre que existem innitos primos com as formas 4k + 3 e 6k Mostre que 1 + a + a a n = an+1 1. Você pode fazer isso por a 1 indução ou pode escrever S n = 1 + a a n e analizar as n. 4. Fatore 600 em primos. a) Explicite o conjunto dos divisores de 600 b) Expanda a multiplicação a seguir, sem executar as somas: ( )( )( ). c) Compare os exercícios a) e b). 5. Repita o processo do exercício anterior com Congruência 1. Calcule x 2 (mod.11) para x = 2,..., Mostre que x 2 1(mod.147) x ±1(mod.147). 3. Mostre que se p é primo, então x 2 1(mod.p) x ±1(mod.p). Você não pode usar esse exercício para provar o anterior (ou seja, você vai fazer a mesma prova duas vezes pra car com ela na cabeça para sempre!) 4. Calcule ( 7 k) /7, para k = 1,..., 6 2

3 5. Mostre que se p é primo e 0 < k < p então ( p k) 0(mod.p). 6. Use o exercício anterior para mostrar que se p é primo, então (a + b) p a p + b p (mod.p). 7. Use o exercício anteriro para provar por indução em a que a p a(mod.p). 5 Base Veja que 2017 = Escreva n = 723 na base d = 6, ou seja, na forma 723 = a a a k 6 k, com a i {0,..., 5}. 2. Resolva o exercício acima com a) n = 234 e d = 3 b) n = 127 e d = 4 3. Mostre que cada representação acima é única. 4. Prove o Teorema O Anel dos inteiros módulo n 1. Calcule o resto da divisão de (n 1)! por n para cada n = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, Mostre que se n é composto então o resultado acima é 0 (se você não fez a conta acima você é um moleque 06!) 7 Teorema de Euler 7.1 Função ϕ A função ϕ : N N é a função que associa a cada n o a quantidade de números naturais k n que são primos com n. 3

4 1. Denote por Φ(n) = {x N : x n, mdc(x, n) = 1}. Explicite Φ(n) para n = 1, 2,..., Seja p um número primo, calcule a)ϕ(p) b)ϕ(p 2 ) c)ϕ(p 3 ) d) ϕ(p n ) 3. Encontre todos os n para os quais ϕ(n) = n 1. Lemma 1 Se mdc(m, n) = 1, então ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 4. Mostre que se n = p α 1 1 p α k k então ϕ(n) = n k j=1 (1 1pj ). 5. Mostre que ϕ(n) é par para todo n 3 (você pode usar a fórmula para ϕ(n)). 6. Se n = ab com a 3, b 3, inteiros tais que mdc(a, b) = 1, então k ϕ(n)/2 1(mod.a) (analogo para b). Conclua que k ϕ(n)/2 1(mod.n). 7.2 Prova do Teorema de Euler 7. Determine todos os m n = 10 tais que mdc(m, 10) = 1. Calcule o resto da divisão de cada elemento por 10. Em seguida multiplique cada um deles por k = 3, e calcule o resto da divisão de cada produto por 10. Note que o conjunto dos restos é o mesmo. 8. Resolva o exercício acima com a) n = 12, k = 7 b) n = 13, k = 8 d) n = 14, k = 5 4

5 9. Seja (Z/180Z) = {k Z/180Z : mdc(k, 180) = 1}, e tome x, y (Z/180Z). Mostre que se mdc(a, 180) = 1, então ax ay(mod.180) x y(mod.180). (Z/nZ é outra notação para Z n ) 10. Troque 180 por n e generalize o resultado acima. 11. Sejam a (Z/nZ) e A = {a k : k (Z/nZ) }. Mostre que A = (Z/nZ) 12. Multiplique todos os elementos de A e prove o teorema de Euler. 8 Polinômios Os problemas sobre mdc requerem que se saiba resolver equações diofantinas ans. As contas para polinômios são análogas às contas com números inteiros. 1. Calcule p(x) q(x) em cada item a seguir: a) p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 b) p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4, q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 c) Observe os subindices de cada monômio do polinômio produto. 2. Calcule o resto da divisão de p(x) por q(x) a) p(x) = 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 + x + 1, q(x) = x 2 + 1; b) p(x) = 2x 5 + x 3 + x, q(x) = x Encontre o mdc entre p(x) e q(x). a) p(x) = x 3 + 2x e q(x) = x 4 + 3x b) p(x) = x 2 + x + 2 e q(x) = x 3 + x + 2 c) p(x) = x 3 + x 2 + x + 1 e q(x) = x Encontre f(x), g(x) tais que f(x)p(x) + g(x)q(x) = mdc(p(x), q(x)). a) p(x) = x 3 + x e q(x) = x b) p(x) = x 3 + 2x e q(x) = x 4 + 3x

6 5. Sejam σ i (p) as somas dos produtos de i termos distintos em {1,, p 1}, por exemplo, σ 2 (3) = Calcule σ i (p), i = 1,, p 1 para p = 5 e para p = 7. Para quais valores de i p σ i (p) para p = 5 e p = 7? 9 Ordem e Raiz primitiva 9.1 Ordem O menor t tal que a t 1(mod.n) é denotado por ord n a. 1. Encontre o menor t tal que 3 t 1(mod.n) para cada n {10, 13, 14, 16, 17}. 2. Resolva o exercício acima trocando 3 por 4, 5, Suponha que mdc(a, n) = 1. Mostre que se t = ord n a então não existem 0 < x < y < t temos a x a y (mod.n). (Sugestão: Lembre-se que t é o menor valor com certa propriedade.) 4. Prove que ord ϕ(170), ord ϕ(1000). (Sugestão: Analize o resto da divisão de φ(170) por ord e use a sugestão do exercício acima) 9.2 Raiz primitiva Dizemos que a é raiz primitiva de n se ord n a = ϕ(n). 5. Encontre todas as raízes primitivas de n = 8, 9, 10, 11, 12, 18, Para cada n acima, escolha uma raíz primitiva a (se existir) e veja quem é o conjunto formado por {a t : t = 1, 2,..., ϕ(n)}. Compare esses conjuntos com os conjuntos de resíduos de cada n. 7. Mostre que se n = ab com a, b 3 e mdc(a, b) = 1, então não existe raiz primitiva mod.n 6

7 10 Teorema Chinês dos Restos 1. Sejam a, b, c, d N dois a dois primos entre si a) Encontre x tal que x 0(mod.a), x 0(mod.b) e x 1(mod.c) b) Encontre x tal que x 0(mod.a), x 0(mod.b) e x d(mod.c). 2. Vamos resolver um sistema de congruências: k 8(mod.17) k 3(mod.13) k 9(mod.12) a) Encontre um número x tal que o resto da divisão de x por 12 é 0, por 13 é 0 e por 17 é é 8. b) Encontre um número y tal que o resto da divisão de y por 12 é 0, por 13 é 3 e por 17 é é 0. c) Encontre um número z tal que o resto da divisão de z por 12 é 9, por 13 é 0 e por 17 é é 0. d) Qual é o resto da divisão de x + y + z por cada um dos valores 12, 13, 17? 3. Resolva o sistema k 5(mod.17) k 1(mod.12) k 0(mod.7) 11 Reciprocidade Quadrática Para resolver alguns problemas abaixo é necessário saber as propriedades do símbolo de Legendre. 1. Seja p um primo. Mostre que se ax 2 + bx + c 0(mod.p) então b 2 4ac é resíduo quadrático mod.p. 7

8 2. Calcule ( ) 90 a) ( 1019 ) 44 b) ( 103 ) 2010 c) Seja p = 60k + 7 um número primo. Mostre que se 6 10 n é resíduo quadrático módulo p, então n e k são pares. 12 Equação de Pell 1. Dados x 1, y 1 Z e faça x n + y n d = (x1 + y 1 d) n e x n ỹ n d = (x 1 y 1 d) n, com x n, y n, x n, ỹ n Z. a) Calcule x 4, y 4, x 4, ỹ 4 para x 1 = 1, y 1 = 5 b) Calcule x 5, y 5, x 5, ỹ 5 para x 1 = 2, y 1 = 3 2. Suponha que a equação x 2 dy 2 = m possua innitas soluções inteiras positivas. Mostre que é possível encontrar duas soluções (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) tais que x 1 x 2, y 1 y 2, x 1 x 2 (mod.m) e y 1 y 2 (mod.m). 8