TEOREMA DE LEGENDRE GABRIEL BUJOKAS

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1 TEOREMA DE LEGENDRE GABRIEL BUJOKAS A nossa meta hoje é responder a seguinte questão: Questão. Para a, b Z, determine se a equação ( ) tem uma solução com x, y, z Z, além da solução trivial x = y = z = 0. Quem respondeu essa questão foi Legendre. É a resposta dele é o começo de uma história muito legal! Exercício 1. Mostre que as seguintes equações não tem soluções inteiras além de x = y = z = 0. a) x 2 = 2y 2 + 3z 2 b) x 2 = 3y 2 + 3z 2 c) x 2 = 7y 2 z 2 Depois de resolver o exercício acima, você deve ter encontrado uma técnica pra mostrar que não tem solução: olhar módulo n. Vamos formalizar esse método. A gente chama uma solução não trivial (x, y, z) de primitiva se o mdc de x, y, z é 1. Se a equação ( ) tem uma solução não trivial, ela também tem uma solução primitiva. Agora olha essa solução primitiva módulo n. Nós concluímos que a equação mod n tem uma solução não trivial primitiva (aqui primitiva significa que nenhum fator primo p de n divide os três números x, y e z). O seguinte teorema mostra que essa é a única obstrução para a existência de soluções inteiras! Teorema 0.1 (Legendre). A equação ( ) tem solução com x, y, z inteiros, não todos iguais a zero, se, e somente se, (A) a > 0 ou b > 0, (B) Para qualquer inteiro n, a equação tem uma solução não trivial e primitiva. mod n Observação. A primeira vista, se alguém te der um par (a, b), a condição (B) parece difícil de verificar. Na verdade é fácil. Daqui a pouco a gente vai aprender como lidar com ela. Date: Sexta Feira, 22 de Junho de

2 2 G. BUJOKAS Exercício 2. Vamos dividir a demonstração do teorema 0.1 em uma sequência de exercícios. A discussão acima provou uma direção do teorema. Vamos provar a direção oposta: a gente assume (A) e (B), e quer construir uma solução inteira para ( ). a) Mostre que nós podemos assumir, sem perda de generalidade, que a, b não são múltiplos de quadrados perfeitos. b) Nós vamos aplicar indução em a + b. Resolva o caso base a + b = 2. c) Suponha agora que a + b > 2, a,b não múltiplos de quadrados, e a < b. Mostre que para qualquer divisor primo p de b, a mod p é um resíduo quadrático. Conclua que existe um inteiro b tal que t 2 = a + bb d) Mostre que podemos assumir t < b /2. Conclua que b < b. e) Mostre que ( ) tem solução inteira não trivial se, e somente se, ( ) x 2 = ay 2 + b z 2 tem solução inteira não trivial. f) Mostre que ( ) tem solução não trivial e primitiva módulo n se, e somente se, ( ) tem solução trivial e primitiva módulo n. g) Conclua o teorema de Legendre. O passo (e) é o essencial. Esse tipo de técnica as vezes é chamado de root flipping. 1. Lema de Hensel A gente vai precisar de uma ferramenta nova. Seja p um número primo, e f(x) um polinômio. Questão. Dado um inteiro x n tal que f(x n ) 0 mod p n quando existe um inteiro x n+1 tal que x n+1 x n mod p n f(x n+1 ) 0 mod p n+1 Nós podemos adaptar o método de Newton para provar o seguinte lema: Lema 1.1 (Lema de Hensel). Seja 0 2k < n. Se p k f (x n ), e p n f(x n ), então existe x n+1 tal que Exemplo. Considere a equação x n+1 x n mod p n k f(x n+1 ) 0 mod p n+1 x 2 + y 2 0 mod 5

3 TEOREMA DE LEGENDRE 3 Ela tem uma solução (x, y) = (1, 2). Vamos extender essa solução para módulo 25. Seja f(x) = x Aqui 5 f(1), e 5 não divide f (1). Então existe x tal que 25 f(x ), e x 1 mod 5. É fácil de achar esse x. Substituindo em f(x): x 1 mod 5 = x = 5z + 1 f(x ) = (5z + 1) = 25z z + 5 Então 25 divide f(x ) se 5 divide 2z + 1. Por exemplo, a gente pode escolher z = 2, e x = 11. Exercício 3. Prove o lema de Hensel (1.1). 2. De volta ao teorema de Legendre Agora a gente tem que lidar com a condição B: (B) Para qualquer n 2, mod n tem uma solução primitiva não trivial (módulo n) Exercício 4. Mostre que é suficiente provar a condição B para n = p k, para primos p. Vamos introduzir a seguinte notação. Definição 2.1. Para a, b Z, nós definimos o símbolo de Hilbert { 1, se a condição B é verdade para n = p k, para qualquer k, (a, b) p = 1, caso contrário. A gente pode reescrever o teorema de Legendre da seguinte forma. Teorema (Legendre). A equação ( ) tem solução em Z não trivial se, e somente se, (A) a > 0 ou b > 0 (B) (a, b) p = 1, para qualquer primo p. Agora o nosso trabalho é calcular o símbolo de Hilbert. Exercício 5. Prove as seguintes propriedades do símbolo de Hilbert. (1) (a, b) p = (b, a) p (2) (a, bk 2 ) p = (a, b) p (3) (a, a) p = 1 (4) Se (a, b) p = 1, então (a, b ) p = (a, bb ) p Agora vamos calcular o símbolo de Hilbert. Seja a = p α u, b = p β v, e p não divide u e v. Como a gente pode assumir que a, b não são múltiplos de quadrados, α, β = 0, 1. Caso (i): p é um primo ímpar. (a) p não divide a e b, isso é, a = u, b = v.

4 4 G. BUJOKAS Exercício 6. Mostre que a equação ( ) tem uma solução primitiva módulo p. Use o lema 1.1 para extender essa solução para qualquer n = p k. Isso é, (a, b) p = 1. (b) a = pu, b = v. Exercício 7. Mostre que (a, b) p = ( v p (c) a = pu, b = pv. Exercício 8. Mostre que (a, b) p = onde ɛ(x) = x 1 2. Caso (ii): p = 2. Defina ɛ(x) = x 1 2 ω(x) = x2 1 8 Exercício 9. Mostre que (a, b) 2 = ( 1) ɛ(u)ɛ(v)+αω(v)+βω(u), ) ( ) ( ) ( ) uv p = ( 1) ɛ(p) u v p p, A princípio a gente pode fazer todos os casos de a, b módulo 8. Mas dá pra reduzir o número de casos! Vamos recolher essas resultados em um único teorema. Teorema 2.1. Seja a = p α u, b = p β v, e p não divide u e v. ( ) β ( ( 1) (a, b) p = αβɛ(p) u v α, p p) se p um primo ímpar, ( 1) ɛ(u)ɛ(v)+αω(v)+βω(u), se p = 2. Exercício 10. Determine se as seguintes equações tem solução inteira além de x = y = z = 0. (1) x 2 = 97y z 3 (2) x 2 = 97y 2 19z 3 (3) x 2 = 8y 2 + 3z 2 (4) x 2 = 7y 2 + 8z 2 (5) x 2 = 5y 2 + 6z 2 (6) x 2 = 2y 2 + 7z 2 (7) x 2 + 3xy = 5z 2 4y 2 Exercício 11. Mostre que o símbolo de Hilbert satisfaz (a, bb ) p = (a, b) p (a, b ) p Observação. A gente já tinha visto isso no caso (a, b) p = 1. Para o próximo exercício, a gente precisa definir uma notação. Seja e defina V = { } {p Z p é primo} (a, b) = { 1, se a > 0 ou b > 0, 1, caso contrário.

5 Com essa notação, o teorema de Legendre é TEOREMA DE LEGENDRE 5 tem solução não trivial inteira se, e somente se, (a, b) v = 1, para qualquer v V Exercício 12. Fixe a, b Z. Mostre que (a, b) v = 1 para um número finito de v V. Prove a seguinte fórmula (a, b) v = 1 v V Observação. Essa fórmula é essencialmente equivalente a reciprocidade quadrática. A importância dessa fórmula é que ela ainda é verdade para outros anéis! Com ela a gente pode extender a reciprocidade quadrática, cúbica, quártica, ciclotômica, e mais! 3. Formas Quadráticas O teorema de Legendre é parte de uma história maior. Para ler mais sobre o assunto, olhe o livro do Serre [1]. Aqui vai uma introdução rápida: Seja f(x 1, x 2,..., x m ) um polinômio homogêneo de segundo grau com coeficientes racionais. Nós chamamos f de forma quadrática. Uma questão básica é: Questão. A equação f(x 1, x 2,..., x m ) = 0 tem uma solução (x 1, x 2,..., x m ) Q m além da solução trivial (0, 0,..., 0)? Se a resposta dessa pergunta é afirmativa, nós dizemos que a forma quadrática representa 0. Nessa linguagem, o problema de Legendre é se a forma x 2 ay 2 bz 2 representa 0. Uma questão mais fácil é se f(x 1,..., x m ) = 0 tem uma solução não trivial nos números reais. Se esse é o caso, nós dizemos que f representa 0. Claramente, se f representa 0, então f também representa. Outra observação é que como f é homogêneo, se f representa 0 com (x 1,..., x n ) Q n, então a gente pode assumir que x i são inteiros sem nenhum divisor comum. Nesse caso, a gente chama (x 1,..., x n ) Z n de solução primitiva. Olhando essa solução módulo p k, a gente conclui que a equação (3.1) f(x 1,..., x n ) = 0 mod p k tem uma solução tal que p não divide nenhum dos x i. Nós chamamos tal solução em Z/p k Z de primitiva também. Se a equação 3.1 tiver uma solução não trivial primitiva pra todos os valores de k, nós falamos que f p representa 0. 1 Nós provamos o seguinte: 1 Normalmente essa definição envolve números p-ádicos, e é mais limpa. Se você quiser saber mais sobre isso, me pergunte, ou leia o livro do Serre que está na bibliografia.

6 6 G. BUJOKAS Proposição 3.1. Se f representa 0, então f v representa 0, pra qualquer v V = { } {p Z p é primo}. Exemplos: (1) A forma f = x 2 +y 2 +z 2 não representa 0, porque f não representa zero (a única solução é (0, 0, 0), mesmo nos reais). (2) A forma f = x 2 2y 2 não representa 0, porque f 2 não representa 0. De fato, olhando módulo 4 x 2 = 2y 2 mod 4 implica que x e y são pares, e portanto (x, y) não é uma solução primitiva. (3) Para a forma f = x 2 ay 2 bz 2, e v V, f v representa 0 (a, b) v = 1 A generalização do teorema de Legendre é a seguinte: Teorema 3.2 (Hasse, Minkowski). O converso da proposicão 3.1 é verdade. Se f v representa 0 para qualquer v V, então f também representa 0. Observação. O teorema de Hasse-Minkowski tem a seguinte interpretação geométrica. O conjunto V é chamado o conjunto de lugares". A pergunta f v representa 0? é chamada de local, e a pergunta f representa 0"de global. O teorema de Hasse-Minkowski é chamado de princípio de local para global: Se f tem solução localmente em todos os lugares, então f tem uma solução global. Observação. O princípio de local para global não é verdade para qualquer polinômio. Por exemplo, Selmer mostrou que 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 tem solução localmente em qualquer lugar, mas não tem solução inteira! 4. Preliminares O primeiro passo é fazer uma substituição de variáveis para simplificar a forma f. A técnica é completar os quadrados. Por exemplo, vamos simplificar: f = x 2 + 3xy + 5xz + 2z 2 + 2y 2 Seja x = x y + 5 2z. Então f = x 2 + x(3y + 5z) + 2z 2 + 2y 2 = (x y z)2 9 4 y yz 2 4 z2 + 2z 2 + 2y 2 = x y yz 17 4 z2 Agora a gente substitui ỹ = 1 2 y z f = x y yz 2 4 z2 = x 2 ( 1 2 y z)2 + 52z 2 = x 2 ỹ z 2

7 TEOREMA DE LEGENDRE 7 Finalmente, trocando z = 2z, a gente consegue f = x 2 ỹ z A observação é que f representa 0 se, e somente se, x 2 y 2 +13z 2 representa 0. Esse exemplo pode ser generalizado da seguinte maneira. Nós dizemos que duas formas f, f são equivalentes se existe uma substituição de variáveis invertível que transforma f em f. Nós denotamos a equivalência como f f. Proposição 4.1. Qualquer forma quadrática é equivalente a uma forma f = a 1 x a 2 x a n x 2 n onde a i são inteiros não nulos e que não são múltiplos de quadrados. Note que essa representação não é única. Por exemplo, x 2 + 3xy + 5xz + 2z 2 + 2y 2 também é equivalente a 13x 2 + 2y 2 + 2z 2. Outra questão interessante é a seguinte: Questão. Classificar formas quadráticas (de acordo com essa relação de equivalência). O primeiro passo na classificação é achar invariantes: quantidades que não dependem da escolha de representante a 1 x a nx 2 n. Um invariante é simples: o posto da forma. Definição 4.1. O posto de é n (assumindo a i 0). f = a 1 x a n x 2 n Exercício 13. Mostre o posto é um invariante da forma. Isso é, se então n = m. a 1 x a n x 2 n b 1 y b m y 2 m Exercício 14. Prove o teorema de Hasse-Minkowski para formas f de posto menor ou igual a 3. Referências [1] "A Course in Arithmetic", Jean-Pierre Serre, address: gbujokas@math.harvard.edu