Teoria de Anéis Notas de Aula Departamento de Matemática Universidade Federal do Paraná

Transcrição

1 Teoria de Anéis Notas de Aula Departamento de Matemática Universidade Federal do Paraná Prof. Marcelo Muniz Silva Alves digitação: Marcelo Muniz Silva Alves Francieli Triches Milayne Guimarães 1. Números inteiros Nesta parte, recordaremos alguns conceitos e resultados sobre números inteiros. Esta seção e a seguinte, sobre inteiros módulo m, formam um microcosmo do que estudaremos neste curso Propriedades algébricas básicas dos inteiros. Recorde que Z satisfaz (i) a + (b + c) = (a + b) + c, para todos a, b, c Z (associatividade da soma) (ii) Existe 0 Z tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a Z. (elemento neutro da soma) (iii) Para cada a A existe um elemento b Z tal que a + b = b + a = 0. (oposto para soma) (iv) a + b = b + a para todos a, b Z. (comutatividade da soma) e o produto satisfaz (v) a(bc) = (ab)c para todos a, b, c, Z (associatividade do produto) (vi) a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc para todos a, b, c Z (distributividade à esquerda e à direita) (vii) Existe 1 Z, 1 0, tal que a 1 = 1 a = a para todo a Z (elemento neutro do produto) (viii) ab = ba para todos a, b Z. (ix) (cancelamento para o produto) Se ab = ac e a 0 então b = c. Conjuntos que têm operações de soma e produto satisfazendo (i) - (viii) são chamados de anéis comutativos; um domínio de integridade é um anel (comutativo) onde vale também o cancelamento para o produto. Dizemos que a divide b em Z se b é múltiplo de a, ou seja, se existe c Z tal que b = ac. Entre outras propriedades, segue direto da definição que (i) Se a b e b c então a c (ii) Se a b e a c então a (am + bn) para quaisquer m, n Z (iii) Se a b e b 0 então a b. Logo, quando a, b 0, segue que a b e b a se e somente se a = ±b. Quando a b, ainda podemos fazer uma aproximação de a por um múltiplo de b usando a divisão com resto. Teorema 1.1 (Algoritmo da Divisão). Dados a, b Z com b 0, existem únicos q, r Z tais que a = bq + r e 0 r < b. A ideia da demonstração é considerar o conjunto {a bx; x Z e a bx 0}. Este é um conjunto não-vazio de inteiros que é limitado inferiormente por 0, e por isso tem um mínimo r = a qb. Este mínimo é o resto da divisão, e o q correspondente é o quociente. Este é um resultado simples mas central em teoria de números, e tem consequências muito importantes para a estrutura de anel de Z. 1

2 Z é um domínio de ideais principais. Um ideal em Z é um conjunto I tal que (i) 0 I (ii) Se x, y I então x + y I (iii) Se x I e m Z então mx I. Um exemplo é o conjunto de todos os múltiplos de um número m fixo: I = {mx; x Z}. Chamamos este ideal de ideal principal gerado por m. Este conjunto é denotado por mz. Em particular, Z é um ideal (gerado por 1) e I = {0} é um ideal (gerado por 0). Uma variação disso aparece quando consideramos a equação linear ax + by = c em Z. Se essa equação tem solução (x, y) em Z, então c está no conjunto I = {am + bn; m, n Z} que também é um ideal de Z. Generalizando, podemos olhar a equação a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c e nos perguntar novamente se tem solução ou não. Como no caso anterior, se houver solução, o número c está no conjunto J = {a 1 x 1 + a 2 x a n x n ; x j Z, j = 1,..., n} que é outro ideal de Z. Embora isso dê a ideia de que podemos inventar muitos tipos de ideais diferentes, na verdade há apenas um tipo de ideal em Z. Teorema 1.2. Todo ideal I não-nulo de Z é principal, e é gerado por seu menor elemento positivo. Demonstração. Seja I um ideal não-nulo, isto é, I {0}. Afirmamos que o conjunto I + dos elementos positivos de I não é vazio. De fato, existe pelo menos um elemento a 0 em I. Se a > 0, está provado; se é negativo, então a = ( 1)a pertence a I e é positivo. Seja m o menor elemento de I. Pela definição de ideal, o ideal mz está contido em I. Vamos mostrar agora a inclusão contrária. Se a I, dividindo a por m podemos escrever a = qm + r, onde 0 r < m. Disso segue que r = a qm é um elemento de I, pois é diferença de elementos de I. Como 0 r < m e m é o menor elemento positivo de I, conclui-se que r = 0, e portanto a = qm mz. Uma primeira aplicação disso diz respeito ao mdc. Definição 1.1. Sejam a 1, a 2,..., a n inteiros não-nulos. O máximo divisor comum destes números é o inteiro positivo d tal que (1) d a j para cada j (2) se c a j para cada j então c d. À primeira vista, esta definição de mdc exige mais do que simplesmente tomar o maior divisor comum dos números, mas esses conceitos são equivalentes. Teorema 1.3. Sejam a 1, a 2,..., a n inteiros não-nulos, e seja d um inteiro positivo. São equivalentes: (1) d = mdc(a 1, a 2,..., a n ); (2) d é o maior dos divisores comuns de a 1, a 2,..., a n ; (3) d é o gerador positivo do ideal J = {a 1 x 1 + a 2 x a n x n ; x j Z, j = 1,..., n}

3 3 Em particular, o mdc é uma combinação inteira dos números a 1, a 2,..., a n. Demonstração. (1) implica (2) segue do segundo item da definição de mdc. (2) implica (3): o ideal J é principal, e portanto J = mz, onde podemos tomar m como o menor elemento positivo de J. Escolhendo x i = 1 e x k = 0 para todo k i na combinação a 1 x 1 + a 2 x a n x n, vemos que cada a i pertence a J e que m divide cada a i, pois m é o gerador de J. Logo, m d. Por outro lado, como m J, existem x 1, x 2,..., x n inteiros tais que m = a 1 x 1 + a 2 x a n x n e como d divide cada a i, temos que d divide m e portanto d m. Assim, conclui-se que d = m. (3) implica (1): como vimos, cada a i pertence a J. Como J = dz, d divide cada a i. Além disso, como d pertence a J, existem x 1, x 2,..., x n inteiros tais que d = a 1 x 1 + a 2 x a n x n. Se c é um divisor comum de a 1,..., a n então d divide cada combinação inteira destes números, e em particular divide d. Logo, d = mdc(a 1,..., a n ). Um segundo resultado parecido diz respeito ao mmc. Primeiro, verifique que se I 1, I 2,..., I n são ideais, então I = I 1 I 2... I n também é um ideal. Definição 1.2. Sejam a 1, a 2,..., a n inteiros não-nulos. O mínimo múltiplo comum destes números é o inteiro positivo m tal que (1) a j m para cada j (2) se a j c para cada j então m c. Teorema 1.4. Sejam a 1, a 2,..., a n inteiros não-nulos, e seja d um inteiro positivo. São equivalentes: (1) m = mmc(a 1, a 2,..., a n ). (2) m é o menor dos múltiplos comuns positivos de a 1, a 2,..., a n. (3) m é o gerador positivo do ideal J = a 1 Z a 2 Z a n Z 1.3. Fatoração única em Z: números primos e ideais. Seja n um inteiro diferente de 0, 1 e 1. Diremos que n é primo se seus únicos divisores são ±1 e ±n. Caso contrário, n é composto. De modo equivalente, n é primo se n = ab implica em a = ±n ou b = ±n; n é composto se é possível encontrar a, b tais que n = ab e 1 < a < n, 1 < b < n. Teorema 1.5 (Euclides). Sejam a, b, c inteiros não-nulos. Se a bc e mdc(a, b) = 1 então a c. A prova disso segue do Teorema de Bezout: se mdc(a, b) = 1, então existem r, s Z tais que 1 = ar + bs. Multiplicando por c, obtemos c = acr + bcs. Como a bc por hipótese e claramente a acr, segue que a c. Corolário 1.1. Se p é um número primo e p bc então p b ou p c. Generalizando, se p a 1 a 2 a n então p divide pelo menos um dos a j.

4 4 De fato, se p b, terminou; se p b, então mdc(p, b) = 1 (pois p é primo) e segue que p divide c. Para generalizar, faça por indução em n, e note que pode-se escrever a 1 a 2 a n = (a 1 a 2 a n 1 )a n. Esse último resultado é essencial na prova da fatoração única em Z. Teorema 1.6 (Teorema Fundamental da Aritmética). Dado um número inteiro a 0, ±1, existem primos positivos p 1, p 2,..., p m (não necessariamente diferentes entre si) tais que onde u = ±1, de acordo com o sinal de a. fatores. a = up 1 p 2 p m Esta expressão é única a menos da ordem dos Demonstração. Para a existência podemos usar a indução forte, pois basta provar o resultado para números positivos. O resultado é obviamente verdadeiro para n = 2. Suponha que é verdadeiro para todo número 2 k n. Se n + 1 é primo, está feito; se não é, então existem a, b tais que n + 1 = ab e 1 < a < n+1, 1 < b < n+1. Pela hipótese de indução, existem primos positivos p 1, p 2,..., p m e p 1, p 2,..., p r tais que a = p 1 p 2 p m b = p 1p 2 p r e segue que n + 1 = (p 1 p 2 p m )(p 1p 2 p r). Para mostrar a unicidade é necessário usar o Teorema de Euclides. Se a tem duas fatorações, temos a = p 1 p 2 p n = q 1 q 2 q s Suponha, sem perda de generalidade, que n s. Como p 1 é primo e p 1 divide p 1 p 2 p n, p 1 divide q 1 q 2 q s, e segue que p 1 divide algum q j. Se necessário, mude a numeração para que j seja 1. Como todos são primos, os divisores positivos de q 1 são 1 e q 1 ; como p 1 é primo, p 1 1, e temos p 1 = q 1. Cancelando p 1 de ambos os lados, obtemos p 2 p n = q 2 q s Prosseguindo com a mesma análise, podemos mostrar que cada p i corresponde a um q i e podemos cancelar um a um os fatores p 1,..., p n. Se n = s então terminou; se n < s então temos, a menos de reenumerar os índices dos q j s, 1 = q n+1 q s o que é um absurdo, pois disso segue que cada q j é igual a 1. Portanto, n = s e os fatores são os mesmos a menos de permutação. Os ideais gerados por números primos são bastante especiais. Definição 1.3. Seja I um ideal próprio de Z (isto é, I Z). Diremos que I é maximal se não existe outro ideal que contenha I propriamente: os únicos ideais que contém I são o próprio I e Z. Lema 1.1. Sejam a, b inteiros não-nulos. az bz se e somente se b a. De fato, se b a então a = bc; dado x az, temos que x = ay para algum y Z, e x = ay = b(cy). Portanto x bz, e segue que az bz. Reciprocamente, se az bz, então todo elemento de az é múltiplo de b; em particular, a = a 1 az é múltiplo de b. Com isso temos uma caracterização de números primos em termos dos ideais correspondentes.

5 Proposição 1.1. Seja m Z, m 0, 1, 1. São equivalentes: (1) m é primo; (2) o ideal mz é maximal. Demonstração. Suponha que m é primo, e suponha que o ideal J contém mz. Como todo ideal de Z é principal, existe n tal que J = nz; de mz nz conclui-se que n m mas, como m é primo, n = ±1 ou ±m. Se n = ±1, J = Z, e se n = ±m então J = mz. Segue que mz é maximal. Suponha que mz é maximal. Se m não é primo então podemos escrever m = ab com 1 < a < m e 1 < b < m. Pelo Lema 1.1, de a m conclui-se que mz az. Agora, az Z, pois se fosse igual teríamos que 1 az, ou seja, a 1, e daí a = ±1, contradição. Do mesmo modo, az mz pois, caso contrário, teríamos que a mz e portanto m a. Como já temos que a m e a > 0, concluímos que a = m, contradição. Assim, temos mz az Z, contradizendo o fato de mz ser maximal. Assim, m é primo se mz é maximal. 5

6 6 2. Inteiros módulo m Definição 2.1. Seja R uma relação no conjunto X. Diremos que R é uma relação de equivalência se (1) xrx, para todo x X (reflexividade) (2) Se xry então yrx (simetria) (3) Se xry e yrz então xrz (transitividade) No que segue, escreveremos a relação de equivalência R como. A classe de equivalência de x X é o subconjunto [x] de X definido por [x] = {y X; x y} Relações de equivalência em X determinam partições de X, e reciprocamente: cada partição de X determina uma relação de equivalência em X. Definição 2.2. Uma partição de X é um conjunto P de subconjuntos de X tal que (1) Se A, B P, A B, então A B = (2) X = A P A. Proposição 2.1. Há uma bijeção entre partições de X e relações de equivalência em X definida do seguinte modo: se é relação de equivalência em X, o conjunto P das classes de equivalência de X segundo esta relação, P = {x; x X}, é a partição de X associada à relação. O fato de tomar classes de equivalência tem o efeito de transformar a equivalência entre elementos de X em uma igualdade entre elementos de outro conjunto. Mais precisamente, temos o seguinte: Proposição 2.2. Seja X um conjunto e seja uma relação de equivalência em X. Se x, y X, são equivalentes: (1) x y (2) [x] = [y] (3) x [y] Demonstração. Mostraremos que (1) (2), (2) (3) e (3) (1). (1) (2): Para mostrar a igualdade dos conjuntos [x] e [y], basta mostrar que [x] [y] e [y] [x]. Para mostrar que [x] [y], seja z [x]. Por definição, z x; como x y, pela transitividade temos que z y, e pela definição de classe de equivalência, z [y]. Portanto, [x] [y]. A prova de que [y] [x] é análoga. (2) (3) é imediata, pois x [x] e [x] = [y]. (3) (1) segue da definição de classe de equivalência. Definição 2.3. Seja m um inteiro positivo. Diremos que dois inteiros a e b são congruentes módulo m se m (a b). Notação: a b( mod m) Proposição 2.3. A relação de congruência módulo m é uma relação de equivalência em Z. Isso segue da definição de congruência e das propriedades de divisibilidade. Por exemplo, para a transitividade, suponha que a b( mod m) e que b c( mod m), ou seja, que m (a b) e m (b c). Então m divide (a b) + (b c) = a c, ou seja, a c( mod m). A congruência módulo m é algo mais forte do que uma simples relação de equivalência: ela é compatível com as operações em Z.

7 Proposição 2.4. Sejam a, b, a, b Z tais que a a ( mod m) e b b ( mod m). Então a + b a + b ( mod m) ab a b ( mod m) A soma segue direto de propriedades de divisibilidade. Para o produto, veja que podemos reescrever as hipóteses como a = a + q 1 m b = b + q 2 m onde q 1, q 2 Z. Multiplicando as igualdades termo a termo, obtemos o que mostra que ab a b ( mod m). ab = a b + m(a q 2 + b q 1 + q 1 q 2 m) A compatibilidade com soma e produto tem como resultado a manutenção da congruência por potências e também por expressões polinomiais. Proposição 2.5. Sejam a, b inteiros, m inteiro positivo, e suponha que a b mod m. (1) a n b n mod m para todo n 1. (2) c 0 +c 1 a+c 2 a c n a n c 0 +c 1 b+c 2 b c n b n mod m para todos c 0, c 1,..., c n Z e todo n 1. Para o primeiro, pode-se provar por indução em n, ou então pela igualdade (1) a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + + ab n 2 + b n 1 ) a b mod m se e somente se m divide a b; como a b divide a n b n, temos então que m divide a n b n para todo n 1, ou seja, a n b n mod m para todo n 1. Para o item (2) basta fazer por indução em n. Para n = 0 é imediato. Se vale para n 1, sejam c 0, c 1,..., c n 1, c n Z. Pela item (1) temos que a n b n mod m; podemos multiplicar por c n e obter c n a n c n b n mod m Por hipótese de indução, c 0 + c 1 a + c 2 a c n 1 a n 1 c 0 + c 1 b + c 2 b c n 1 b n 1 Somando estas duas congruências termo a termo, obtemos c 0 + c 1 a + c 2 a c n a n c 0 + c 1 b + c 2 b c n b n mod m mod m Usando o algoritmo da divisão em Z, podemos listar as classes distintas módulo m. Estas são as classes dos restos da divisão por m, [0], [1],..., [m 1]. De fato, pelo algoritmo da divisão, todo inteiro se escreve (de modo único) como a = mq + r, com r {0, 1,..., (m 1)}. Se a = mq + r então a r mod m e, pela proposição 2.2 segue que [a] = [r]. Mas não terminou ainda; por que essas classes são distintas? Bom, suponha que isso seja falso para algum m: existem a, b distintos tais que 0 a < m, 0 b < m, e [a] = [b], que é o mesmo que a b mod m. Sem perda de generalidade, suponha que 0 a < b < m. Se a b mod m então m (b a), e portanto m < (b a) (pois b a 0 e é positivo). Por outro lado, de 0 a < b < m tiramos que 0 < (b a) < b < m, contradição. Portanto, as classes [0], [1],..., [m 1] são todas distintas. No que segue, usaremos a notação a ao invés de [a] para classes módulo m; quando for necessário especificar o número m, escreveremos [a] m para a classe de a módulo m. 7

8 8 Z m denota o conjunto das classes de equivalência módulo m: (a notação Z/mZ também é bastante usada). Z m = {0, 1,..., m 1} Proposição 2.6. O conjunto Z m é um anel com as operações a + b = a + b a b = ab Demonstração. A parte mais sutil é mostrar que as operações estão bem definidas, ou seja: se a = a e b = b, vale que a + b = a + b e a b = a b? Poderia haver algum problema aqui porque a definição de a + b parece depender dos números a e b, e não apenas de suas classes. As operações estão bem definidas como consequência natural da compatibilidade da congruência com a soma e o produto. Se a = a e b = b, então a a mod m e b b mod m, e temos a + b a + b mod m, que equivale a a + b = a + b. O mesmo raciocínio mostra que o produto de classes está bem definido. Daqui em diante há bastante conta, mas tudo segue das propriedades dos inteiros e da definição das operações. Por exemplo, a soma é comutativa pois a + b = a + b (pela definição de soma) = b + a (a + b = b + a em Z) = b + a (pela definição de soma novamente) O zero de Z m é 0, pois 0 + a = a em Z, e portanto a + 0 = a + 0 = a. O oposto de a é a, pois a + a = a a = 0. Para escrever o oposto como a classe de um número não-negativo, note que a = 0 + ( a) = m + ( a) = m a, e que m a 0 se 0 a < m. As outras propriedades seguem por contas análogas. Um anel comutativo é um corpo se todo elemento não-nulo tem inverso para a multiplicação. Teorema 2.1. Seja m > 1 e seja Z m o anel das classes de congruência módulo m. (1) Se m é composto então Z m tem divisores de unidade. (2) Se m = p, p um número primo, então Z p é um corpo. Em particular, como corpos não têm divisores de zero, Z m é corpo se e somente se m é primo. Recordando o que vimos sobre ideais maximais em Z, isto diz que Z m é corpo se e somente se o ideal mz é maximal. Veremos mais adiante o mesmo resultado em um contexto muito mais geral. A função ϕ : Z Z m que associa cada inteiro k a sua classe k Z m não é uma função qualquer: ela satisfaz ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ϕ(1) = 1 Pode-se mostrar então que ϕ preserva expressões polinomiais, no seguinte sentido: ϕ(c 0 + c 1 a c n a n ) = ϕ(c 0 ) + ϕ(c 1 )ϕ(a) + ϕ(c 2 )ϕ(a) ϕ(c n )ϕ(a) n Isso já fornece uma aplicação muito interessante para a resolução de equações polinomiais em Z. Proposição 2.7. Seja p(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n polinômio de coeficientes inteiros, p(x) 0. Dado m Z maior que 1, seja p(x) Z m [x] o polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n

9 cujos coeficientes são as classes de congruência módulo m dos coeficientes de p(x). Se existe m tal que a equação p(x) = 0 não tem raízes em Z m, então a equação p(x) = 0 não tem raízes inteiras. De fato, basta ver que se α Z é raiz de p(x) = 0, então p(α) = 0 em cada Z m ; isto é, de uma raiz inteira de p(x) = 0 fabricamos uma raiz para p(x) = 0 em qualquer Z m. Importante: note que se existe m tal que p(x) = 0 possui uma raiz em Z m, nada se pode afirmar a respeito da equação p(x) = 0. De fato, de uma raiz inteira de p(x) = 0 fabricamos uma raiz para p(x) = 0 em Z m, mas de uma raiz de p(x) = 0 em Z m não sabemos, a princípio, como fabricar uma raiz inteira de p(x) = 0 (e pode não haver nenhuma). Um segundo resultado importante para congruências é o Teorema Chinês do Resto, que possui uma versão algébrica muito surpreendente. Proposição 2.8. Sejam m 1, m 2,..., m k inteiros positivos, e considere o produto cartesiano Z m1 Z mk. Este conjunto é um anel com as operações (a 1, a 2,..., a k ) + (b 1, b 2,..., b k ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a k + b k ) (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b k ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a k b k ) Demonstração. A verificação é simples, pois tudo é feito coordenada a coordenada. Por exemplo, o produto é comutativo, pois o produto em cada Z mj é comutativo, e portanto (a 1, a 2,..., a k ) (b 1, b 2,..., b k ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a k b k ) A unidade é (1, 1,, 1), pois e assim por diante. = (b 1 a 1, b 2 a 2,..., b k a k ) = (b 1, b 2,..., b k ) (a 1, a 2,..., a k ). (1, 1,, 1)(a 1, a 2,..., a k ) = (1a 1, 1a 2,..., 1a k ) = (a 1, a 2,..., a k ) Com isso, a fatoração de inteiro positivo m fornece uma fatoração do anel Z m. Teorema 2.2 (Teorema Chinês dos Restos). Sejam m 1, m 2,..., m k inteiros positivos dois a dois coprimos, e seja M = m 1 m 2 m k. A aplicação é uma bijeção, e satisfaz (1) π([a] M + [b] M ) = π([a] M ) + π([b] M ) (2) π([a] M [b] M ) = π([a] M ) π([b] M ) (3) π([1] M ) = ([1] m1,..., [1] mk ) π : Z M Z m1 Z mk [a] M ([a] m1,..., [a] mk ) Demonstração. Primeiro, é preciso mostrar que está bem definida. Isso não oferece problemas, pois m i M para todo i e, se [a] M = [b] M então M (a b) e portanto m i (a b) para cada i, ou seja, [a] mi = [b] mi para cada i, e ([a] m1,..., [a] mk ) = ([b] m1,..., [b] mk ). Verificar as propriedades (1),(2),(3) também não oferece grandes problemas. A parte complicada é mostrar que é bijetora. Nós veremos que π tem uma inversa, e portanto é bijetora; mesmo assim, mostraremos antes que é sobrejetora pois aqui aparece a fórmula para resolver um sistema de congruências. Dado y = ([a 1 ] m1,..., [a k ] mk ), encontrar b Z M tal que π(b) = y é o mesmo que encontrar um número inteiro x tal que 9

10 10 x a 1 mod m 1 x a 2 mod m 2. x a k mod m k Para isso, considere os números M i = M/m i, i = 1, 2,..., k. Pode-se mostrar que M i e m i são coprimos; pelo teorema de Bezout, para cada i = 1, 2,..., k, existem r i e s i inteiros tais que r i M i + s i m i = 1 e disso segue que r i M i 1 mod m i. Agora, dado y = ([a 1 ] m1,..., [a k ] mk ), considere o número b = a 1 r 1 M 1 + a 2 r 2 M a k r k M k ; afirmamos que este número é uma solução do sistema de congruências correspondente. Olhando a primeira congruência, por exemplo, temos que b a 1 r 1 M 1 mod m 1 pois m 1 divide M j para j 1, e assim todas as parcelas a 2 r 2 M 2,..., a k r k M k são congruentes a zero módulo m 1. E como r 1 M 1 1 mod m 1, multiplicando esta última congruência por a 1 temos a 1 r 1 M 1 a 1 mod m 1 e segue que b a 1 mod m 1. O mesmo vale para as outras congruências. Como falamos, vamos mostrar agora que π tem uma inversa, o que implica em ser bijetora. Pode-se mostrar que os números M 1, M 2,..., M k são coprimos; mais precisamente, mdc(m 1, M 2,..., M k ) = 1. Logo, existem inteiros s 1, s 2,..., s k tais que (2) s 1 M s k M k = 1. Definimos então ϕ : Z m1 Z mk Z M ([a 1 ] m1,..., [a k ] mk ) [a 1 s 1 M a k s k M k ] M Veja que ϕ(π([a] M )) = ϕ([a] m1,..., [a] mk ) = [a(s 1 M s k M k )] M = [a] M e k k k π(ϕ(([a 1 ] m1,..., [a k ] mk )) = π([ a i s i M i ] M ) = ([ a i s i M i ] m1,..., [ a i s i M i ] mk ). i=1 Como m j M i se i j, da equação (2) segue que s j M j 1 mod m j para cada j. Logo, k a i s i M i a j s j M j a j mod m j i=1 pra cada j, e π(ϕ(([a 1 ] m1,..., [a k ] mk )) = ϕ(([a 1 ] m1,..., [a k ] mk ). i=1 i=1

11 11 3. Anéis Definição 3.1. Seja A um conjunto (diferente do vazio) que possui uma operação de soma e uma operação de produto, isto é, duas funções s : A A A e m : A A A denotadas por s(a, b) = a + b e m(a, b) = ab. Diremos que A é um anel se a soma satisfaz (i) a + (b + c) = (a + b) + c, para todos a, b, c A (associatividade da soma) (ii) Existe 0 A tal que a + 0 = 0 + a = a, para todo a A. (elemento neutro da soma) (iii) Para cada a A existe um elemento b A tal que a + b = b + a = 0. (oposto para soma) (iv) a + b = b + a para todos a, b A. (comutatividade da soma) e o produto satisfaz (v) a(bc) = (ab)c para todos a, b, c, A (associatividade do produto) (vi) a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc para todos a, b, c A (distributividade à esquerda e à direita) (vii) Existe 1 A, 1 0, tal que a 1 = 1 a = a para todo a A (elemento neutro do produto) Seja A um anel. Diremos que A é comutativo se satisfizer (viii) ab = ba para todos a, b A. Daqui em diante, salvo menção em contrário, anel significa anel comutativo com unidade. Ao consultar outros materiais leia com cuidado as definições utilizadas pois, ao contrário do que ocorre com outras disciplinas, onde as principais definições são as mesmas em qualquer livro, existem pequenas variações da definição de anel e das definições de subanel e homomorfismo que veremos a seguir. Em alguns livros, por exemplo, A é um anel se satisfizer as propriedades de (i) a (vi). Quanto à notação, o oposto de a A para a soma será denotado por a. Com isso, definimos a operação em subtração em A por a b = a + ( b). Em geral, denotaremos o zero e a unidade por 0 e 1, mas lembre-se que 0 e 1 são apenas símbolos; a natureza destes elementos depende do anel em questão. Definição 3.2. Seja A um anel comutativo com unidade. Diremos que A é um domínio de integridade se valer o cancelamento para o produto, isto é, (ix) Se ab = ac e a 0 então b = c. Se A é um domínio de integridade, diremos que A é um corpo se todo elemento não-nulo tem inverso para o produto: (x) Se a 0 então existe b A tal que ab = 1. Exemplo 3.1. Considere os conjuntos numéricos N, Z, R, Q. (1) R, Q, Z, C são anéis comutativos; Q, Z, C são corpos, e Z não é. Ao longo do texto mostraremos com detalhes que Q, R e C são corpos. Como ponto de partida, aceitaremos que Z é um anel, mas pode-se também construir Z a partir de N, e provar que Z é um anel a partir das propriedades de soma e produto em N. (2) N é um conjunto que tem soma e produto mas não é um anel. (por quê? Quais propriedades valem, e quais não são satisfeitas?). Exemplo 3.2. Seja I um intervalo aberto da reta real, e seja F(I, R) o conjunto de todas as funções de I em R. Recorde que a soma e o produto de funções são definidos por (3) (4) (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) F(I, R) é um anel com estas operações, isto é, valem as propriedades de (i) a (viii). Por exemplo, a função z constante igual a zero é o zero de F(I, R), e a função u constante igual a um é a

12 12 unidade de F(I, R). Para mostrar a associatividade da soma, dadas as funções f, g, h F(I, R) e a I, temos: (f + (g + h))(a) = f(a) + (g + h)(a) (definição de soma de funções) Como isto vale para cada a I, = f(a) + (g(a) + h(a)) (definição de soma de funções) = (f(a) + g(a)) + h(a) (associatividade da soma em R) = (f + g)(a) + h(a) = ((f + g) + h)(a). f + (g + h) = (f + g) + h como funções. As outras propriedades seguem de modo análogo. Este anel não é um domínio. Suponha que I = (a, b) e, sem perda de generalidade, suponha que a < 0 < b. Defina f, g, h : I R por: { 1, se a < x < 0 f(x) = 0, se 0 x < b { x, se a < x < 0 g(x) = x, se 0 x < b { x, se a < x < 0 h(x) = 2x, se 0 x < b Então fg = fh, f não é a função nula, mas g h. Portanto, não vale o cancelamento para o produto em F(I, R). Exemplo 3.3. Existem conjuntos com operações de soma e produto que não são anéis. Já vimos que o conjunto N dos naturais não é um anel. Do mesmo modo, além das operações de soma e produto de funções, o conjunto C(R) das funções contínuas de R em R tem a operação de composição de funções e, a princípio, poderíamos até pensar em C(R) como um anel (nãocomutativo) com respeito às operações de soma e de composição. No entanto, este conjunto não é um anel com respeito a estas operações. Verifique com calma: qual axioma não é satisfeito? Exemplo 3.4 (Operadores lineares). Seja V um espaço vetorial real. Um operador em V é uma aplicação linear T : V V. Se T, S : V V são operadores, então T + S e T S são também operadores. Isso mostra que temos soma e produto definidas no conjunto L(V ) de todos os operadores em V. Um resultado importante de álgebra linear é que L(V ) é um espaço vetorial; mais do que isso, é também um anel. Este anel só é comutativo quando V tem dimensão 1. Proposição 3.1. Seja (A, +, ) um anel, possivelmente não-comutativo e sem unidade. Dados a, b, c A, temos: (i) Cancelamento para a soma: se a + b = a + c então b = c. (ii) O elemento 0 é único. (iii) Dado a A, seu oposto para a soma é único. (iv) 0 a = a 0 = 0 para todo a A. (v) Se A tem unidade, ela é única.

13 13 Demonstração. (i) Se a + b = a + c, então: ( a) + (a + b) = ( a) + (a + c) (( a) + a) + b = (( a) + a) + c (associatividade para a soma) 0 + b = 0 + c (oposto) b = c (elemento neutro da soma) (ii) Suponha que 0 e 0 são elementos neutros de A. Então: 0 = (0 é elemento neutro) = 0 (0 é elemento neutro) e portanto o neutro é único. (iii) Sejam b, c opostos de a para a soma. Então: a + b = 0 (b é o oposto de a) c + (a + b) = c + 0 (c + a) + b = c (associativa, elemento neutro) 0 + b = c (c é oposto de a) b = c (elemento neutro) portanto, o oposto é único. (iv) Como 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a, podemos escrever 0 a + 0 = 0 a + 0 a e, pelo item (i), podemos cancelar 0 a, obtendo O mesmo segue para a 0 = 0. (v) Análogo ao anterior. 0 = 0 a. Proposição 3.2. (Regras de sinais) Seja (A, +, ) um anel, sejam a, b, c elementos de A. (i) (ab) = ( a)b = a( b) (ii) ( a) = a (iii) ( a)( b) = ab Demonstração. Somando ( a)b com ab obtemos ( a)b + ab = ( a + a)b = 0 b = 0. Como o oposto de ab é único, podemos concluir que ab = ( a)b. Ou também pode-se somar ab na equação anterior, obtendo-se (( a)b + ab) + ( ab) = 0 + ( ab) ( a)b + (ab ab) = ab ( a)b + 0 = ab ( a)b = ab O segundo item segue por um argumento semelhante: somando-se ( a) com a obtemos 0. Mas, pela definição de oposto, também temos a + ( a) = 0. Destas duas equações conclui-se que ( a) = a, ou seja, o oposto do oposto de a é o próprio a. O terceiro item segue como consequeência dos dois anteriores. Como consequência das regras de sinais, temos os seguintes resultados:

14 14 Proposição 3.3. Seja A um anel com unidade, mas não necessariamente comutativo, e sejam a, b, c elementos de A. (1) (a b)c = ac bc (2) a(b c) = ab ac (3) a = ( 1)a = a( 1). Demonstração. Para os dois primeiros itens lembre que a b = a + ( b) e use a proposição anterior. Quanto ao terceiro item, note que essa afirmação não é óbvia a princípio, o oposto de a é uma coisa, e ( 1)a é outra coisa. Mas a = (1a) = ( 1)a e a = (a1) = a( 1).

15 4. Construções com Anéis Matrizes. Se A é um anel, o conjunto M n (A) das matrizes n n com entradas em A é um anel (que é não-comutativo se n 2) com as mesmas definições de soma e produto de matrizes reais e complexas. Vejamos, por exemplo, a associatividade do produto (que quase sempre é a propriedade que dá mais trabalho). Se A = (a i,j ), B = (b i,j ) e C = (c i,j ) são três matrizes n n, sejam AB = (d i,j ) e BC = (e i,j ). Pela definição do produto de matrizes, a entrada (i, j) de (AB)C é (5) ((AB)C) i,j = d i,1 c 1,j + d i,2 c 2,j + + d i,n c n,j. Ainda pela definição do produto de matrizes, cada d i,l também é uma soma, d i,l = a i,1 b 1,l + a i,2 b 2,l + + a i,n b n,l. Substituindo em (5) e distribuindo o produto, obtemos a seguinte expressão para a entrada (i, j) de (AB)C: a i,1 b 1,1 c 1,j + a i,2 b 2,1 c 1,j + +a i,n b n,1 c 1,j + +a i,1 b 1,2 c 2,j + a i,2 b 2,2 c 2,j + +a i,n b n,2 c 2,j a i,1 b 1,n c n,j + a i,2 b 2,n c n,j + +a i,n b n,n c n,j Reagrupando o produto pelas colunas, isto é, colocando os termos a i,l em evidência, obtemos n n a i,1 ( b 1,l c l,j ) + + a i,n ( b n,l c l,j ) = l=1 = a i,1 e 1,j + + a i,n e n,j que é a entrada (i, j) da matriz A(BC), e concluímos finalmente que a multiplicação é associativa. Funções. Se A é um anel e X é um conjunto não-vazio qualquer, então o conjunto F(X, A) das funções de X em A é um anel com as seguintes operações: dadas f, g : X A, as funções f + g e fg são dadas por As contas são análogas às do exemplo 3.2. l=1 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) Produto direto de anéis. Sejam A e B anéis e seja A B = {(a, b); a A, b B}. O conjunto A B é um anel com as operações (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ) (a, b) (a, b ) = (aa, bb ) De fato, A B tem (0, 0) como zero, (1, 1) como unidade, e o oposto de (a, b) é ( a, b). As propriedades restantes seguem do fato que as operações são feitas coordenada a coordenada. Verifiquemos, por exemplo, a propriedade distributiva: (a, b)((c, d) + (e, f)) = (a, b)(c + e, d + f) = (a(c + e), b(d + f)) = (ac + ae, bd + bf) (distributividade em A e em B) = (ac, bd) + (ae, bf) = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f)

16 16 O conjunto A B, com essas operações de soma e multiplicação, é chamado de produto direto dos anéis A e B. Este anel A B está cheio de divisores de zero: note que se a A e b B são elementos não-nulos, então (a, 0)(0, b) = (a 0, 0 b) = (0, 0) e (a, 0) (0, 0), (0, b) (0, 0). Do mesmo modo que fizemos com dois anéis, pode-se definir o produto direto de um número qualquer de anéis (inclusive um número infinito!). Proposição 4.1. Se A 1,..., A n são anéis, então é um anel com as operações A 1 A n = {(a 1, a 2,, a n ); a i A i, i = 1,..., n} (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 b 1,..., a n b n ) Para provar este resultado, faça por indução em n 2. Note que as operações em A 1 A n podem ser vistas como as operações no produto direto de A 1 por A 2 A n.

17 5. Subanéis e Ideais 5.1. Subanéis. Em álgebra, sempre é interessante considerar subestruturas de uma estrutura dada: por exemplo, em álgebra linear nós consideramos a noção de subespaço vetorial, e muitos exemplos vêm daí, pois todo subespaço é também um espaço vetorial. Em anéis, temos o conceito de subanel. Definição 5.1. Seja A um anel e seja B A. Diremos que B é subanel de A se (i) 1 B (ii) Se x, y B então x + y B (iii) Se x B então x B (iv) Se x, y B então xy B Observe que o primeiro item diz que B tem uma unidade e que essa unidade é a mesma unidade de A. Por exemplo, se A = R R, então o subconjunto B = {(a, 0); a R} satisfaz os itens (ii),(iii) e (iv), e tem um elemento neutro para a multiplicação, o elemento (1, 0). No entanto, B não é subanel de A porque a unidade de A é (1, 1), que não está em B. Exemplo 5.1. Z[ m], m N que não é quadrado perfeito. Seja m 2 um número natural que não é o quadradro de outro natural, ou seja, m N. Considere o conjunto Z[ m] = { a + b m/a, b Z } Então Z[ m] é um subanel de R. De fato, (i) 1 = m Z[ m]. (ii) Sejam x = a + b m, y = c + d m Z[ m]. Então: x + y = a + b m + c + d m = (a + c) + (b + d) m e como a + c, b + d são inteiros, x + y Z[ m]. (iii) Se x = a + b m então x = (a + b m) = a + ( b) m Pertence a Z[ m]. (iv) Sejam x, y Z[ m] como em (ii). Então: x.y = (a + b m)(c + d m) que pertence a Z[ m]. = ac + ad m + bc m + bdm = (ac + bdm) + (ad + bc) m Exemplo 5.2. Seja α C raiz de um polinômio p(x) R[x] de grau 2. Por exemplo, para α = 2 temos p(x) = x 2 2, e para α = i podemos tomar p(x) = x Então o conjunto R[α] = {a + bα; a, b R} é um subanel de C. Para verificar isso, use raciocínio análogo ao que foi feito no caso de Z[ m]. O valor de se considerar subanéis vem do seguinte resultado: 17

18 18 Proposição 5.1. Se B é um subanel de A, então B é um anel (com respeito às operações de soma e produto herdadas de A). Demonstração. Como B é um subanel de A, B é fechado para a soma e produto em A, isto é, x, y B = x + y B, xy B Logo B tem operações de soma e produto. Como 1 B e 1 B, 1 + ( 1) = 0 B Logo B tem elemento neutro para a soma, pois se 0 é o neutro para a soma em A, continua sendo o neutro para a soma em B pois todo elemento de B é também um elemento de A. Este último argumento é o modelo de que acontece com todas as outras propriedades. Por exemplo, se a e b B, então a + b = b + a porque a soma é comutativa para todos os elementos de A e, como B A, a mesma coisa vale para todos os elementos de B. Do mesmo modo prova-se que valem (i), (iii), (v), (vi), (vii), (viii). Não vale a recíproca: pode-se verificar que B = {(a, 0); a R} é um anel (com unidade), mas não é subanel de A = R R. Com isso, podemos mostrar que vários conjuntos são anéis com menos esforço. Por exemplo, Exemplo 5.3. Seja I um intervalo aberto da reta e seja C(I) o conjunto das funções contínuas de I em R. Então C(I) é um anel com as operações de soma e produto de funções. Para mostrar isso, basta verificar que C(I) é um subanel do anel F(I, R) das funções de I em R. De fato, dado a I e f, g funções contínuas em I, temos lim(f + g)(x) x a = lim f(x) + lim x a x a = f(a) + g(a) = (f + g)(a) mostrando que f + g é contínua no ponto a. Como isso vale para qualquer a em I, conclui-se que a soma de funções contínuas é contínua. Analogamente, produto de contínuas é contínua. Como funções constantes são contínuas, a função constante u(x) = 1 é contínua em I. Finalmente, se f é contínua então f é contínua pois é o produto de f pela função constante a(x) = 1. Deste modo, segue que C(I) é um subanel do anel das funções de I em R e, portanto, é um anel. Do mesmo modo, as regras de derivação mostram que o conjunto D das funções que têm derivada em todos os pontos de I é um subanel de C(I), e portanto é um anel. Veja que pode-se condensar um pouco mais a definição de subanel: Proposição 5.2. B é subanel de A se e somente se (i) 1 B; (ii) Se x, y B então x y B; (iii) Se x, y B então xy B. Demonstração. ( ) imediato ( ) Como 1 B, 0 = 1 1 B (por(ii)). Também por (ii), se x B então x = 0 x B

19 Finalmente, se x, y B então y B e 5.2. Ideais. Voltemos ao exemplo x + y = x ( y) B. I = {(a, 0); a R} R R. Como vimos, I deixa de cumprir apenas a última condição de definição de subanel. Por outro lado, I satisfaz uma condição mais forte com relação ao produto: dados (a, 0) I e (b, c) R R, temos que (a, 0)(b, c) = (ab, 0) I, isto é, os elementos de I absorvem elementos de R R pela multiplicação. I é o que se chama de ideal. Definição 5.2. Seja A um anel (comutativo com unidade). Um subconjunto I de A é um ideal de A se (i) 0 A (ii) Se x, y I então x + y I (iii) Se α A e x I então αx I Exemplo 5.4. Se a A então o ideal principal gerado por a, que é o conjunto a = {ax; x A} dos múltiplos de a, é um ideal de A (verifique). Como vimos, os ideais de Z são da forma nz = {an; a Z}, com n 0. Não é verdade, em geral, que todo ideal de um anel A é da forma a. Exemplo 5.5. Sejam a 1, a 2,..., a n elementos de um anel A. O ideal gerado por estes elementos é o conjunto J = {a 1 x a n x n ; x i A} Este é o menor ideal de A que contém os elementos a 1,..., a n, isto é, se I é um ideal que contém estes elementos então I J. Exemplo 5.6. I = {3a + b 3; a, b Z} é um ideal de Z[ 3]. De fato, (i) 0 = Z[ 3] (ii) Se x = 3a + b 3 e y = 3c + d 3 Z[ 3], então x + y = 3(a + c) + (b + d) 3 Z[ 3] (note que a + c e b + d são inteiros). (iii) Sejam α = m + n 3 Z[ 3] e x = 3a + b 3 I. Então que está em I. αx = (m + n 3)(3a + b 3) = 3am + 3bn + 3an 3 + bn 3 = 3(am + bn) + (3an + bn) 3 Exemplo 5.7. Se I é ideal de A e J é ideal de B então I J é ideal de A B. Em particular, A {0} e {0} B são ideais de A B. De fato, suponha que I e J são ideais de A e B respectivamente. Primeiro temos que 0 = (0 A, 0 B ) está em I J pois, como ambos são ideais, 0 A I e 0 B J. 19

20 20 Se (x, x ) e (y, y ) pertencem a I J então (x, x ) + (y, y ) = (x + y, x + y ) está em I J, pois se x e x estão em I e I é ideal então x + x está em I; o mesmo argumento mostra que y + y está em J. Finalmente, se (a, b) A B e (x, x ) I J então (a, b)(x, x ) = (ax, bx ) I J, já que a A, x I = ax I e b B, x J = bx J. Exemplo 5.8. Seja x 0 R e seja I o conjunto de todas as funções de R em R que se anulam em x 0. Então I é um ideal de F(I, R). De fato, a função nula está em I pois ela anula qualquer ponto. Se f e g estão em I então e portanto I é fechado para a soma. Se f I e h F(I, R) então (f + g)(x 0 ) = f(x 0 ) + g(x 0 ) = = 0 (fh)(x 0 ) = f(x 0 )h(x 0 ) = 0 h(x 0 ) = 0 e assim fg I. Portanto, I é um ideal de F(I, R). Observe que se um ideal I contém a unidade, I = A (por quê?). Assim, o único subconjunto de A que é simultaneamente subanel e ideal é o próprio A. Note também que os únicos ideais em um corpo K são o ideal nulo {0} e o próprio K. Reciprocamente, se A é um anel cujos únicos ideais são {0} e A então A é um corpo. Proposição 5.3. Sejam I, J ideais de um anel A. Então (1) A soma dos ideais, dada por I + J = {a + b; a Ieb J} é um ideal de A. (2) A interseção dos ideais é um ideal. (3) O produto dos ideais, dado por n IJ = { a l b l ; n N, a l I, b l J} é um ideal de A, e IJ I J. l=1 A demonstração fica como exercício. Recorde que todo ideal de Z é principal. Neste caso pode-se descrever os resultados das operações entre ideais por meio de seus geradores. Proposição 5.4. Sejam m, n inteiros positivos. Então (1) m + n = mdc(m, n), (2) m n = mmc(m, n), (3) m n = mn.

21 6. Polinômios Nesta seção estudaremos com detalhes a construção do anel de polinômios com coeficientes em um anel. Como motivação para esta construção, vejamos primeiro um raciocínio típico que aparece no cálculo ao se trabalhar com funções polinomiais. Em problemas de integração, uma técnica básica é a de frações parciais. Precisamos calcular, por exemplo, a integral b a 1 (x 1)(x 2) dx e o modo de resolver isso é encontrar A e B reais tais que 1 (6) (x 1)(x 2) = A (x 1) + B (x 2) 21 pois assim teremos b 1 b a (x 1)(x 2) dx = a e as duas integrais à direita correspondem a dois logaritmos. Bom, desenvolvendo o lado direito de (6) obtemos A (x 1) + B A(x 2) + B(x 1) = (x 2) (x 1)(x 2) e assim reescrevemos (6) como (7) 1 (x 1)(x 2) A b (x 1) dx + a = = (A + B)x + ( 2A B) (x 1)(x 2) B (x 2) dx (A + B)x + ( 2A B). (x 1)(x 2) Agora desprezamos o denominador e igualamos os numeradores; queremos 1 = (A + B)x + ( 2A B). Comparando os coeficientes, escrevemos { 1 = 2A B 0 = A + B pois 1 = x. Resolvendo o sistema, B = A 1 = 2A + A = A A = 1 e B = 1. O passo principal desta conta é comparar coeficientes, e nesse passo nós vemos o polinômio f(x) = 1 como f(x) = x; se o polinômio ao lado direito tivesse um grau n 2, nós olharíamos f(x) como f(x) = x x n para fazer a comparação. Ou seja, um polinômio é especificado por todos os seus coeficientes, nulos e não-nulos; dar um polinômio é o mesmo que dar a sequência de seus coeficientes, que parece terminar no coeficiente líder mas, na verdade, inclui também os coeficientes nulos a partir deste (como vimos na conta acima). A lista inteira faz parte da especificação do polinômio. Outro ponto delicado é a identificação de polinômio com função polinomial. Nós usamos isso implicitamente nas contas, pois usamos o fato que duas funções polinomiais f(x) e g(x) são iguais como funções, isto é, f(a) = g(a) para cada a R, se e somente se são iguais como polinômios, isto é, f(x) e g(x) têm os mesmos coeficientes. A ideia de tentar construir polinômios sobre anéis arbitrários considerando polinômio como função polinomial é natural, mas não é a resposta mais indicada. Por exemplo, considere o corpo Z 2 e considere os polinômios f 1 (x) = x + 1, f 2 (x) = x 2 + 1,... com coeficientes em Z 2. Você pode verificar, com pouco esforço, que todos estes polinômios são iguais como funções: f n (0) = 1 e f n (1) = 0 para todo n 1. No entanto, é claro que gostaríamos que polinômios com coeficientes diferentes fossem diferentes, mesmo que isso não ocorra com as funções associadas

22 22 (Aliás, por que sabemos dois polinômios distintos com coeficientes reais dão funções distintas de R em R?) Tendo isso em mente, e tendo em mente também que todas as contas com polinômios envolvem apenas seus coeficientes, nós vamos definir polinômios com coeficientes em um anel A como sequências de elementos de A que têm um número finito de termos não-nulos. Construiremos uma estrutura de anel no conjunto de todas as sequências de elementos de A e obteremos o anel de polinômios como um subanel deste. Ao final, mostraremos como retornar aos polinômios em sua forma usual. Definição 6.1. Uma sequência s em um anel comutativo A é uma função s : N A Os valores s(0), s(1), s(2),... são os termos da sequência. Denotando o termo s(n) por s n, podemos denotar s por s = (s 0, s 1, s 2,...) Também escrevemos s = (s n ) para denotar a sequência s. é preciso que o leitor tenha em mente a ideia intuitiva que está na base desta construção. Dado um polinômio f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n com coeficientes reais, podemos associar a ele a sequência s = (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...). Reciprocamente, se s é uma sequências de números reais em que todos os termos se anulam a partir de um certo índice, s = (s 0, s 1,..., s n, 0, 0,...), podemos associar a s o polinômio a coeficientes reais s 0 + s 1 x + + s n x n. Tendo essas identificações como modelo vamos definir operações de soma e produto entre sequências. A soma será a soma termo a termo, que coincide com a soma de sequências usual (que é, na verdade, a soma de funções). Para definir a multiplicação precisamos de uma fórmula explícita para o produto, e esta fórmula é motivada por uma fórmula para o produto de combinações de potências (de um mesmo elemento) em um anel. Proposição 6.1. Seja A um anel, e sejam α, a 0, a 1,..., a n, b 0, b 1,..., b m elementos de A. Então n m n+m ( a k α k )( b j α j ) = c i α i k=0 onde c i = k+j=i a kb j, com a convenção que a k = 0 se k > n e b j = 0 se j > m. Demonstração. De fato, aplicando a propriedade distributiva, temos n m n m ( a k α k )( b j α j ) = a k b j α k+j k=0 j=0 j=0 i=0 k=0 j=0 Ao reordernar a soma colocando as potências de α em evidência, quem será o coeficiente de α i? Este coeficiente será a soma de termos da forma a r b s, e claramente o termo a k b j contribui para o coeficiente de α i se e somente se k + j = i. Assim, usando a convenção de que a k = 0 se k > n e b j = 0 se j > m, o coeficiente de α i será a 0 b i + a 1 b i a i 1 b 1 + a i b 0 e podemos reescrever a soma à direita como ( ) n+m a k b j i=0 k+j=i α i

23 Aqui cabe uma pequena ressalva: pode ser que uma potência α i possa ser escrita em termos de combinações lineares de potências menores, e não consideramos expansões desse tipo nos cálculos. Por exemplo, usando a fórmula temos que (2 + 2)(3 5 2) = (2 ( 5) + 1 3) 2 + ( ( 5) + 0 1)( 2) 2 que pode ser mais simplificada usando a equação 2 2 = 2. Definição 6.2. Dadas as sequências (s n ) e (t n ) de elementos de A, definimos sua soma por (s n ) + (t n ) = (s n + t n ) e seu produto por (s n ) (t n ) = (u n ) onde n u n = s 0 t n + s 1 t n s n t 0 = s i t n i = s i t j. i=0 i+j=n Seja A[[x]] o conjunto de todas as sequências de elementos de A com estas operações de soma e produto. Teorema 6.1. A[[x]] é um anel (comutativo, com unidade ) com as operações de soma e produto definidas acima. Demonstração. O zero e a unidade são 0 = (0, 0,...) e 1 = (1, 0, 0,...); o oposto de uma sequência é dado por (a n ) = ( a n ). As propriedades relativas à soma são de verificação simples. A associatividade do produto não é tão imediata, e é baseada no seguinte: Sejam r = (r n ), s = (s n ), t = (t n ) A[[x]]. Considere a soma u n = r i s j t k i+j+k=n onde i, j, k 0. Se i + j + k = n, e i, j, k 0, temos que 0 i n, 0 j n, 0 k n. Podemos ordenar a soma u n fazendo i variar de 0 a n, para cada i, e tomar todos os j, k tais que j + k = n i. Assim, ( ) ( ) n n (8) u n = r i s j t k = r i s j t k i=0 j+k=n i 0 j+k=n i Mas também podemos fazer o mesmo começando por j ou por k. Começando por k, temos ( ) ( ) n n (9) u n = r i s j t k = r i s j t k k=0 i+j=n k k=0 i+j=n k Agora veja que (8) é a fórmula do n-ésimo termo do produto (r n )((s n )(t n )), e (9) é a fórmula do n-ésimo termo de ((r n )(s n ))(t n ). Segue que a multiplicação é associativa. Cálculos mais simples mostram que o produto é comutativo e distributivo (mas não deixe de fazê-los). Definição 6.3. O anel A[[x]] é o anel das séries formais com coeficientes em A. Veremos mais adiante qual a ligação com séries. Considere agora o subconjunto A[x] das sequências finitas, isto é, sequências que têm um número finito de termos não-nulos. Definição 6.4. Se s A[x] e s 0, o grau de s é o maior índice n tal que s n 0. Notação: grau de s = (s). 23

24 24 Lema 6.1. Sejam r, s A[x]. (i) Se r + s 0, então (r + s) max{ (r), (s)}. (ii) Se r s 0, então (r s) (r) + (s). Demonstração. (i) Suponha que r + s 0 e seja N = max{ (r), (s)}. Então r n = 0 se n > N e s n = 0 se n > N. Logo, o grau de r + s é no máximo N, pois para n > N temos (r + s) n = r n + s n = 0. (ii) Sejam m = (r), n = (s), e seja t = (t k ) o produto de r e s. Logo, k t k = r i s k i, k N i=0 Se k > m + n então k se escreve como k = m + n + α com α inteiro positivo. Assim, (m+n)+α k t k = r i s k i = r i s (m+n)+α i, ou seja, i=0 i=0 t k = [r 0 s m+n+α + r 1 s m+n+α r m s n+α ] + [r m+1 s n+α r m+n+α s 0 ]. Como (s) = n e α > 0, temos s m+n+α = s m+n+α 1 = = s n+α = 0, e como (r) = m, temos r m+1 = r m+2 = = r m+n+α = 0. Logo, t k = 0 se k > m + n e segue que (t) m + n. Com a hipótese extra de que A seja domínio, o item (ii) fornece uma fórmula fundamental no estudo dos polinômios, a do grau do produto de dois polinômios. Por sua importância, colocamos este resultado em uma proposição separada. Proposição 6.2 (grau do produto). Sejam r, s não-nulos em A[x]. Se A é domínio, então r s 0 e (r s) = (r) + (s) Demonstração. Sejam r, s, t como em (ii) do Lema anterior. Já vimos que (t) m + n; vamos analisar agora o termo t m+n. Pela fórmula, t m+n = (r 0 s m+n + r 1 s m+n r m 1 s n+1 ) + r m s n + (r m+1 s n r m+n s 0 ). Pelos mesmos argumentos de (ii), todos os termos acima se anulam, exceto possivelmente r m s n. Se A é domínio e r m, s n são diferentes de zero, então r m s n 0 e t m+n = r m s n 0. Segue que (rs) = m + n. Corolário 6.1. Se A é domínio então A[x] também é domínio. De fato, o Lema 6.1 mostra que se r, s pertencem a A[x] então r + s e rs também pertencem a A[x]. Obviamente, 1 A[x], e como r = ( r n ), r A[x] se r A[x]. Assim, A[x] é um subanel de A[[x]], e portanto é um anel. A proposição 6.1 mostra que se r, s 0 então rs 0. Veremos agora como identificar A[x] com os polinômios em sua forma mais conhecida. Seja e n a sequência que tem n-ésimo termo igual a 1 e todos os outros nulos. Afirmamos que e m e n = e m+n. De fato, escreva

25 25 e m = (a k ), onde a m = 1 e a k = 0 se m k, e n = (b j ), com b n = 1 e b j = 0 se j n. Pela definição do produto, e m e n = (c l ), onde Fazendo as contas, c l = l a i b l i. i=0 Se α > 0, temos c m+n = a 0 b m+n + + a m 1 b n+1 + a m b n + a m+1 b n a m+n b 0 = a m b n = 1 c m+n+α = (a 0 b m+n+α + + a m b n+α ) + (a m+1 b n+α a m+n+α b 0 ) = 0 De modo análogo, c l = 0 para 0 l < m + n. Assim, { 1 se l = m + n c l = 0 caso contrário e concluímos que (10) Chamando e 1 de x, temos: e m e n = e m+n Proposição 6.3. Seja A um anel, e sejam e 1, e 2,... A[x] como acima. (i) Dado a A, (a, 0, 0, )(r 0, r 1, ) = (ar 0, ar 1, ); (ii) e n = x n ; (iii) Identificando a A com a sequência (a, 0, 0, ), temos (r 0, r 1,, r n, 0, 0, ) = r 0 + r 1 x + r 2 x r n x n. Demonstração. (i) Segue da definição de produto de sequências; (ii) Segue por indução em n da fórmula 10; (iii) (r 0, r 1,, r n, 0, 0, ) = (r 0, 0, 0, ) + (0, r 1, 0, ) + + (0,, 0, r n, 0, ) = (r 0, 0, )e 0 + (r 1, 0, )e (r n, 0, )e n = r 0 + r 1 e r n e n = r 0 + r 1 x + + r n x n. Podemos assim denotar os elementos do anel A[x] por a 0 + a 1 x + + a n x n, a i A, n N. Definição 6.5. A[x] é o anel de polinômios na indeterminada x com coeficientes em A. Veja que um dos nossos objetivos foi plenamente alcançado: definindo o anel de polinômios deste modo mais rigoroso, por sequências, temos realmente que dois polinômios com coeficientes em A são iguais se e somente se seus coeficiente são os mesmos. Como fazer com polinômios em duas ou mais variáveis? Bem, A[x] é um anel comutativo, e podemos considerar o anel de polinômios com coeficientes em A[x]. Este anel é denotado por A[x][y], e seus elementos são da forma a 0 (x) + a 1 (x)y + + a n (x)y n