Anéis e Corpos. Polinômios, Homomorsmos e Ideais

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1 Anéis e Corpos Polinômios, Homomorsmos e Ideais Observe que há uma relação natural entre o anel Z dos inteiros e o corpo Q dos racionais que pode ser traduzida na armação Q é o menor corpo onde todo elemento não nulo de Z tem inverso. Um corpo com essa propriedade é chamado de Corpo de Frações. Estamos acostumados a tomar as frações a, com a e b inteiros, b 0, que não percebemos que o corpo de frações tem que ser b construído de forma cuidadosa para que as contas funcionem bem. Até agora os anéis que estudamos estão dentro de um corpo e por isso podemos formar suas frações sem nenhum cuidado, como no caso dos inteiros e dos racionais. Mas vamos formalizar melhor isso para casos onde o corpo não é tão evidente. Por exemplo, onde estão as frações de A[X], anel de polinômios com coecientes em um anel A? Antes de mostrarmos a construção do corpo de frações precisamos por em evidência uma propriedade que alguns anéis têm e que permite a construção do corpo de frações. Denição. Dizemos que um anel A é um domínio de integridade se valer propriedade: a, b A se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. zero. Dois elementos a, b de um anel A tais que a 0, b 0, mas ab = 0 são chamados de divisores de Vários exemplos de anel têm divisores de zero. Em geral isso acontece nos anéis de funções; por exemplo, o conjunto de todas as funções F = { f : R R f função } com a soma e o produto usuais de funções: (f + g)(t) = f(t) + g(t) e (fg)(t) = f(t)g(t) é um anel onde o 1 é a função constante de valor 1 e, analogamente, o 0 é a função constante de valor zero. Nesse anel encontramos facilmente exemplos de funções f(t), g(t) que não são nulas mas cujo produto é a função nula. Questão 1. Encontre exemplos f(t), g(t) F, não nulos, cujo produto (fg)(t) = 0 (essa igualdade quer dizer: (fg)(t) = 0 para todo t R). Podemos obter também exemplos desse tipo em F c, conjunto das funções contínuas, e em F d, conjunto das funções diferenciáveis. Encontre exemplos nesses casos. 1

2 Corpo de Frações. Seja A um domínio de integridade e tomemos M = { (a, b) a, b A com b 0 }. Em M podemos denir soma e produto de pares de maneira natural: (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e (a, b)(c, d) = (ab, cd). Claro que os pares (a, b) são os candidatos a frações a/b. Mas temos que lidar com pares que representem a mesma fração. Por exemplo, se A = Z e M = { (a, b) a, b Z, b 0 } muitos pares representarão a mesma fração, como no caso (1, 2), (2, 4), (3, 6), (25, 50), e assim por diante. Todos eles representam um meio. Logo não podemos tomar diretamente os pares como sendo as frações. Precisamos identicar pares que representem a mesma fração. No exemplo acima os pares (1, 2), (2, 4), (3, 6), (25, 50) e todos os outros do tipo (n, 2n) devem ser tornados iguais. Fazemos isso atravéz de uma relação de equivalência. Em M vamos denir uma relação de equivalência da seguinte forma: (a, b) (c, d) ad = bc. Essa relação é baseada no fato de que dois pares representarão a mesma fração se forem equivalentes. Questão 2. Verique que é uma relação de equivalência, isto é, que é reexiva, simétrica, e transitiva. Vamos a seguir colocar operações nas classes de equivalência. Para isso vamos vericar que dados (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ), e (c 1, d 1 ), (c 2, d 2 ) em M as seguintes condições valem: (a 1, b 1 ) (c 1, d 1 ) e (a 1 b 2 + a 2 b 1, b 1 b 2 ) (c 1 d 2 + c 2 d 1, d 1 d 2 ) e se então (a 2, b 2 ) (c 2, d 2 ) (a 1 a 2, b 1 b 2 ) (c 1 c 2, d 1 d 2 ) ( ) Isto é, estamos vericando que somando-se e multiplicando-se pares equivalentes obtemos os mesmos resultados. Questão 3. Demonstre que valem as relações ( ) acima. Vamos agora denotar K = M/. Isto é K é o conjunto das classes de equivalência de M. Dado um par (a, b) M denotamos sua classe em K por (a, b). Por exemplo (0, 1) = { (a, b) M a = 0 }; 2

3 (1, 1) = { (a, b) M a = b 0 } (lembrar que o anel A tem um 1 e um 0). Queremos que K seja um corpo. Em K as duas classes acima (0, 1) e (1, 1) vão ser o 0 e o 1 do corpo K. Podemos agora denir soma e produto em K sem maiores diculdades, graças as relações ( ). (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e (a, b) (c, d) = (ac, bd). Questão 4. Demonstre que a soma é associativa, comutativa, tem (0, 1) como zero e que cada elemento tem um negativo. Fazer o mesmo com a multiplicação: é associativa, comutativa, tem (1, 1) com 1 e é distributiva em relação a soma. Mostre nalmente que se (a, b) 0 = (0, 1), então (a, b) (b, a) = (1, 1). Isto é, mostre que K é um corpo. Observe agora que a função Θ : A K denida por a (a, 1) é injetiva e preserva as operações de A e K, mais precisamente, Θ(a + b) = Θ(a) + Θ(b) e Θ(ab) = Θ(a)Θ(b), quaisquer que sejam a, b A. Θ é o que chamamos de um homomorsmo. De qualquer forma podemos identicar A com { (a, 1) a A }. Tomemos agora um elemento qualquer de K, (a, b), e vamos decompo-lo da seguinte maneira: (a, b) = (a, 1) (1, b). Temos também que (1, b) = (b, 1) 1. Logo (a, b) = (a, 1) (b, 1) 1 = Θ(a)Θ(b) 1. Ou se preferirmos (a, b) = Θ(a). Como Θ é injetiva podemos fazer uma identicação Θ(x) = x para Θ(b) cada x A. Como isso temos que (a, b) = a b. Temos assim K = { a a, b A, b 0 } é o corpo de b frações de A. Exemplos: (a) Q é o corpo de frações de Z. (b) Q( 2) é o corpo de frações de Z[ 2]. (c) Q(i) é o corpo de frações de Z[i]. Demonstrações. Veriquemos que a armação do item (b) acima é correta. Pela nossa construção o corpo de frações de Z[ 2] seria formado pelas frações, com denominador 0, do tipo a + b 2 c + d 2 = (a + b 2)(c d 2) (c + d 2)(c d 2) (ac 2bd) + (bc ad) 2 = c 2 + 2d 2 3 = (ac 2bd) c 2 + 2d 2 + (bc qd) c 2 + 2d 2 2.

4 Como (ac 2bd) c 2 + 2d, (bc qd) 2 c 2 + 2d Q 2 resulta a + b 2 c + d 2 Q( 2), como queríamos. Isso mostra que o corpo de frações de Z[ 2] está contido em Q( 2). Para vermos a outra inclusão sejam m, n, r, s Z, com n, s 0 e tomemos z = m n + r s 2 Q( 2). Trabalhando um pouco temos que está no corpo de frações de Z[ 2]. Logo vale armação do item (b). O item (c) é semelhante e ca como exercício. m z = n + r ms + rn 2 2 = s ns Outros exemplos particularmente interessante são os seguintes: (a) Seja F um corpo. O corpo de frações de F [X] é dado por { f(x) F (X) = g(x) f(x), g(x) F [X], g(x) 0 (b) Seja Z[X] o anel de polinômios com coecientes inteiros. Então Q(X) é seu corpo de frações. Isso vale mais geralmente: dado um domínio de integridade A com corpo de frações K temos que K(X) é o corpo de frações de A[X]. (c) Seja F um corpo e t 1,... t n n indeterminadas sobre F. O anel dos polinômios em n variáveis sobre F é dado por F [t 1,... t n ] = }. { f(t 1,..., t n ) = } a i1,...,i n t i 1 1 t in n a i1,...,i n F. Seu corpo de frações é dado por { F (t 1,..., t n ) = ϕ(t 1,..., t n ) = f(t 1,..., t n ) } g(t 1,..., t n ) 0. g(t 1,..., t n ) Os corpos F (X) e F (t 1,... t n ) são chamados de corpos de funções racionais em n variáveis. O primeiro caso ocorre se n = 1. Questão 5. Faça a vericação da armação do item (b) acima. Antes de prosseguirmos vamos introduzir um novo conceito que já apareceu na construção do corpo de frações. Denição. Seja A e B dois anéis. Dizemos que uma função θ : A B é um homomorsmo (de anéis) se as seguintes condições forem vericadas: 4

5 1. a, b A, θ(a + b) = θ(a) + θ(b); 2. a, b A, θ(ab) = θ(a)θ(b); 3. θ(1) = 1. No axioma (3) acima estamos dizendo que θ transforma o 1 de A no 1 de B. Compare essa denição com a denição de transformação linear entre dois espaços vetoriais. Decorre desses três axiomas que θ( x) = θ(x), para todo x A e θ(0) = 0, onde aqui também o primeiro zero é o 0 A e o segundo é o 0 B, que podem ser bem diferentes. Um homomorsmo θ : A B é chamado de injetivo, ou monomorsmo se a função θ for biunívoca; é chamado de sobrejetivo se a função θ for sobrejetiva e é chamado de isomorsmo se a θ for bijetiva (novamente compare com as transformações lineares entre espaços vetoriais). Aqui também estudamos o núcleo de um homomorsmo. Dado um homomorsmo θ : A B, chamamos de núcleo de θ: notação N(θ) N(θ) = {x A θ(x) = 0 }. Por outro lado, a imagem da função θ dentro de B é denotado por Im(θ) e é um subanel de B (compare com as transformações lineares). Questão 6. Mostre que o N(θ) tem as seguintes propriedades: 1. 0 N(θ). 2. x, y N(θ), vale que x + y N(θ). 3. x N(θ) e a A, vale que ax N(θ). Um subconjunto I de um anel A que tenha as três propriedades do último exercício é chamado de ideal de A. 5

6 Questão 7. Sejam F e K dois corpos e θ : F K um homomorsmo de anéis (A propósito, um corpo é um anel, não é?). Mostre que N(θ) = { 0 } (lembrar que todo elemento não nulo tem inverso). Questão 8. Para um homomorsmo θ : A B mostre que θ é injetivo se e somente se N(θ) = { 0 } (compare com transformações lineares). No exercício anterior vimos que todo homomorsmo θ : F K entre dois corpos é injetivo. Nesse caso dizemos que K é uma extensão de F. Questão 9. Sejam F C um corpo e α C. Considere a função θ : F [X] C dada por θ(h(x)) = h(α), para todo polinômio h(x). Mostre que 1. θ é um homomorsmo de anel. 2. θ é injetiva se e somente se nenhum polinômio h(x) F [X] se anular em α (h(α) 0, para todo h(x) F [X]). Nesse caso dizemos que α é transcendente sobre sobre F. Observe que nesse caso imagem de θ = {h(α) h(x) F [X] } é um subanel de C que é isomorfo a F [X]. Em outras palavras, podemos colocar F [X] dentro de C. Por exemplo, no caso de F = Q e α = π temos que Q[X] é isomorfo ao subanel {h(π) h(x) Q[X] } de C e podemos considerar que Q[X] está contido em C. 3. Suponha agora que existe polinômio f(x) F [X], não constante, tal que f(α) = 0 (nesse caso dizemos que α é algébrico sobre F ). Mostre que nesse caso tomado-se p(x) como um polinômio de menor grau que se anula em α vamos ter que o núcleo de θ é o ideal (p(x)) = {h(x) F [X] p(x) h(x) } (queremos dizer que h(α) = 0 se e somente se p(x) h(x)). Dica. Use o algorítimo de Euclides para dividir h(x) por p(x) e observe que o resto da divisão tem grau menor que o grau de p(x). 4. Para α e p(x) como no item anterior, mostre que p(x) é irredutível. (p(x) é chamado de polinômio mínimo de α sobre F. 5. Para p(x) e α como no exercício anterior seja n = gr p(x). Queremos descrever a imagem Im(θ). 6

7 (a) Mostre que Im(θ) = { f(α) f(x) F [X] e gr f(x) < n } = { a o +a 1 b+ +a n 1 b n 1 a o, a 1,..., a n F }. Dica. Use a divisão euclidiana por p(x) para mostrar que para todo h(x) F [X] existe f(x) F [X] com gr f(x) < n tal que θ(h(x)) = θ(f(x)). Observação. Nesse caso denotamos Im(θ) por F (α). (b) Im(θ) = F (α) é um espaço vetorial de dimensão n sobre F. Dica. Lembrar que p(x) é o polinômio de menor grau em F [X] tal que p(α) = 0. (c) Im(θ) = F (α) é um corpo. Dica. Observe que o único problema é mostrar que todo z F (α), z 0 tem inverso em F (α). Como z F (α) é da forma f(α) com f(x) F [X] e gr f < gr p, e p(x) é irredutível (item 4), f(x) e p(x) são relativamente primos. Logo um MDC de f(x) e p(x) é 1 e assim, pelo Teorema de Bezout, existem u(x), v(x) F [X] tais que 1 = f(x)u(x) + p(x)v(x). Logo 1 = f(α)u(α). Como queremos um inverso na forma r(α), com gr r(x) < n = gr p(x) tomamos o resto r(x) F [X] da divisão euclidiana de u(x) por p(x). Assim r(α) F (α) é o inverso multiplicativo de z. 6. Aplique o que vimos no último item no caso F = Q e α = 3 2. Encontre o polinômio mínimo de 3 2 e o corpo Q( 3 2). Anéis de Polinômios e o Teorema de Gauss Vamos voltar ao estudo dos anéis de polinômios A[X] com coecientes em um anel dado A. Já vimos que se A é um corpo, então A[X] é euclidiano. Vamos continuar nosso estudo considerando agora o caso em que A é fatorial. Teorema de Gauss. Se A é um domínio fatorial, então A[x] também é fatorial. Esse resultado é muito útil no estudo de anéis de polinômios. Antes de falarmos de uma demonstração vamos ver sua principal consequência. Consequência Se A é fatorial, então A[X 1,..., X n ] também é fatorial. De fato, basta lembrarmos que A[X 1, X 2 ] = B[X 2 ], onde B = A[X 1 ]. Como A é fatorial, resulta do Teorema de Gauss que B é 7

8 fatorial e portanto B[X 2 ] também é fatorial. Podemos ir repetindo esse argumento n vezes e assim concluir que A[X 1,..., X n ] é fatorial. Exemplos que conhecemos de anéis fatoriais são: Z e portanto Z[X], Z[X, Y ], Z[X 1,..., X n ], K[X], onde K é um corpo, pois nesse caso K[X] é euclidiano. Logo K[X, Y ], K[X 1,..., X n ] também são fatoriais. Portanto temos muitos fatoriais. Vamos a seguir discutir os irredutíveis dos anéis de polinômios. Exemplos de irredutíveis de Z[X]: Questão 10. Todo irredutível de Z é irredutível de Z[X], por exemplo, 2, 3, 7, etc, Questão 11. Mais geralmente, se A é um anel fatorial, mostre que todo irredutível de A é irredutível de A[X]. Questão 12. Verique que X, X + 1, ou 2X + 3 são irredutíveis de Z[X]. Observação. Um fato importante é que Z[X] não é euclidiano. Realmente se fosse euclidiano um MDC de 2 e X seria 1, pois os dois são irredutíveis e não são associados (vericar que Z[X] = Z = { 1, 1 }). Vimos que em um anel euclidiano o MDC de dois elementos é uma combinação linear desses dois elementos, isto é, se Z[X] fosse euclidiano existiriam elementos f(x), g(x) Z[X] tais que 1 = 2f(X) + Xg(X). Como essa é uma igualdade em Z[X], é uma igualdade entre funções, logo substituindo-se a indeterminada X por 0 a igualdade continua valendo: 1 = 2f(0). Mas isso é impossível, pois f(0) é inteiro (o termo independente de f(x)). Já vimos um teorema que diz que todo anel euclidiano é um anel fatorial. No exemplo acima estamos vendo que não vale a recíproca desse teorema. Nem todo anel fatorial é um anel euclidiano. Logo a propriedade da fatoração única, embora importantíssima, é mais fraca que a propriedade de existir a divisão euclidiana. Vamos agora voltar aos anéis fatoriais e ao Teorema de Gauss. Seja A um anel fatorial e K seu corpo de frações. Vamos escrever A[x] K[x] uma vez que colocamos A dentro de K. Iniciamos com a denição de MDC de uma família nita de elementos. Denição. Dados a 1,..., a m em um anel A dizemos que d A é um MDC de a 1,..., a m se 8

9 1. d a 1, d a 2,..., d a m. 2. Se e A também tiver a propriedade e a 1, e a 2,..., e a m, então e d. Assim um MDC é um divisor comum de a 1,..., a m que é divisível por todos os outros divisores comuns. Dizemos também que a 1,..., a m são relativamente primos se 1 for um MDC de a 1,..., a m. Observe que três elementos, como 6, 15, 17 podem ser relativamente primos, mas dois deles como 6 e 15 não serem. O que não existe é um número que divida os três ao mesmo tempo e seja diferente de 1 e 1. Denição. Seja f(x) = a o +a 1 X +a 2 X 2 + +a n X n A[X] um polinômio não nulo. Chamamos de conteúdo de f(x), e denotamos por c(f), a um MDC dos coecientes a o, a 1, a 2..., a m de f(x). Repare que dado f(x) = a o + a 1 X + a 2 X a n X n vamos ter para cada 0 i n, b i A tal que a i = c(f)b i. Denindo-se f 1 (X) = b o + b 1 X + b 2 X b n X n temos que f(x) = c(f)f 1 (X) e c(f 1 (X)) = 1. Quando um polinômio tem conteúdo igual a 1 dizemos esse polinômio é primitivo. No caso acima f 1 (X) é primitivo e acabamos de ver que todo polinômio f(x) satisfaz f(x) = c(f)f 1 (X), com f 1 (X) primitivo. Como o conteúdo de f(x) é obtido como o MDC dos coecientes de f(x) ele é único no sentido de que se d também é um MDC dos coecientes de f(x), então d e c(f) são associados (d = uc(f), com u A ). d. Observe também que se g(x) for um polinômio primitivo, e d A, for não nulo, então c(dg(x)) = Seja A um anel fatorial e f(x) A[X]. Seja c(f) = p 1 p n a fatoração do conteúdo de f(x) em irredutíveis de A. Então já temos uma parte da fatoração de f(x) em irredutíveis de A[X], pois f(x) = p 1 p n f 1 (X) e agora só falta fatorar o f 1 (X) que é primitivo. Questão 13. Seja A um anel fatorial. Mostre que um polinômio que não é primitivo não pode ser irredutível em A[X]. Questão 14. Sejam K o corpo de frações de A e f(x) A[X] primitivo. Se f(x) for irredutível em K[X], então f(x) também é irredutível em A[X]. 9

10 Dado um domínio de fatoração única A, armamos que os polinômios irredutíveis de A[X], que não sejam constantes, são do tipo p(x), onde p(x) é primitivo e é irredutível em K[X], onde K é o corpo de frações de A. Teorema[Gauss] Sejam A um domínio fatorial e K seu corpo de frações. (a) Todo p A irredutível é também um irredutível em A[X]. (b) Se f(x) A[X] é não constante, então f(x) é irredutível em A[X] se e somente se f(x) é primitivo e irredutível em K[X]. (c) Sejam f(x), g(x) A[X], primitivos. Então f(x) e g(x) são associados em A[X] se e somente se f(x) e g(x) são associados em K[X]. (d) Dados f(x), g(x) A[X], temos que c(f(x)g(x)) = c(f(x))c(g(x)). Em particular, se f(x) e g(x) são primitivos, então f(x)g(x) também é primitivo. O teorema da página 7 e o teorema acima são atribuídos a Gauss. Por eles sabemos que A[X] é fatorial, para um domínio de fatoração única A, e temos uma descrição dos irredutíveis de A[X]. Os itens (c) e (d) também são elucidativos sobre o comportamento dos polinômios de A[X] e são necessários para a demonstração do teorema da página 7. A demonstração do teorema acima pode ser lida em Garcia-Lequain, pg. 54 e a demonstração do teorema da página 7 está na pg. 56, do mesmo livro. Vamos a seguir estudar melhor as raízes de um polinômio f(x) A[X], onde A é um anel fatorial. Nossa primeira propriedade é a seguinte: Teorema. Sejam A um anel fatorial e f(x) A[X], não constante e com coeciente dominante 1 (polinômios com a propriedade de ter coeciente dominante 1 são chamados de mônicos). Seja também K o corpo de frações de A. Se existir α K tal que f(α) = 0, então α A. Estamos dizendo que as raízes de um polinômio mônico com coecientes em A que estiverem em K, estão de fato em A. Demonstração. Sejam f(x) = a o + a 1 X + a 2 X X n A[X] e α K uma raiz de f(x). Escreve α = c/d, com c, d A. Podemos simplicar a fração e assumir que c e d são relativamente 10

11 primos (anal estamos trabalhando com um anel fatorial). Logo ( c c 0 = f = a o + a 1 d) d + a c 2 2 d + + a c n 1 cn 2 n 1 + dn 1 d. n Multipliquemos essa igualdade por d n e obtemos 0 = a o d n + a 1 cd n 1 + a 2 c 2 d n a n 1 c n 1 d + c n. Até aqui nada de anormal. Para termos α A é necessário que d A. Vamos supor por absurdo que d A. Logo exite um irredutível p A que divida d. Mas então p divide a o d n + a 1 cd n 1 + a 2 c 2 d n a n 1 c n 1 d e como c n = (a o d n + a 1 cd n 1 + a 2 c 2 d n a n 1 c n 1 d), vamos ter que concluir que p divide c n e assim p divide c. Mas isso contradiz nossa escolha de tomar c e d relativamente primos. Conclusão não há irredutíveis dividindo d o que signica que d A e α A, como queríamos. q.e.d. Questão 15. Modique a demonstração acima para um polinômio não mônico f(x) = a o + a 1 X +a 2 X 2 + +a n X n A[X] mostrando que se α = c/d K, com c e d relativamente primos, for uma raiz de f(x) então d a n e c a o. Esse é um resultado que aprendemos no colegial para polinômios com coecientes em Z que tenham raiz em Q. Vemos agora que o resultado vale em todo domínio fatorial. Denição. Seja A um domínio de integridade e K seu corpo de frações. Dizemos que A é um domínio integralmente fechado se para todo polinômio mônico f(x) A[X] valer a seguinte propriedade: se f(α) = 0 com α K, então α A. Na demonstração acima mostramos que todo anel fatorial é integralmente fechado. Exemplo de anel não integralmente fechado. Tomemos Z[ 3] que tem Q( 3) como corpo de frações. Observe o polinômio Φ 3 (X) = X 2 + X + 1 Z[X] Z[ 3][X]. É mônico e tem Q( 3) como raiz. Mas Z[ 3] (verique como exercício). 2 2 Observe agora que demonstramos que todo anel fatorial é integralmente fechado. Como Z[ 3] não é integralmente fechado podemos concluir que Z[ 3] não é um anel fatorial. Logo também não é euclidiano (para nenhuma função ϕ). 11

12 Vamos terminar este estudo com o critério de Eisenstein para anéis fatoriais. Esse citério permite vericar de forma simples que um polinômio não constante é irredutível. Essa é outra vantagem de saber-se que um domínio A é fatorial. Critério de Eisenstein [Garcia-Lequain, Teorema III.2.8, pg. 71] Sejam A um anel fatorial e f(x) = a o + a 1 X + + a n X n A[X], um polinômio não constante. Se existir um irredutível p A tal que p a n, p a 1,..., p a o e p 2 a o, então f(x) é irredutível em K[X], onde K é o corpo de frações de A. Observe que se f(x) for primitivo, então f(x) também é irredutível em A[X], mas como não sabemos isso a priori, só podemos garantir a irredutibilidade de f(x) no anel K[X], onde todas as constantes são unidades. Exemplo: Seja f(x, Y ) = (X +1)Y 5 +(X 2 1)Y 3 +(X 2 3X +2)Y 2 +(X 2 +X 2) Z[X, Y ]. Olhando-se f(x, Y ) = g(y ) A[Y ], onde A = Z[X] é um anel fatorial. Vemos que os coecientes de g(y ) em A são X + 1, X 2 1, X 2 3X + 2, X 2 + X 2, e 0 (zero) que são os coecientes de Y 4 e Y. Temos que X 1 A é irredutível, não divide o coeciente de Y 5, divide todos os outros coecientes e (X 1) 2 (X 2 + X 2). Logo pelo critério de Eisenstein esse polinômio é irredutível em K[Y ], onde K = Q(X) é o corpo de frações de A. Como esse polinômio é primitivo, ele é também irredutível em A[Y ] = Z[X, Y ]. Observe que se tomarmos (X 2 2)f(X, Y ) esse polinômio não é mais irredutível em A[Y ]. Mas ele continua irredutível em K[Y ], pois X 2 2 é invertível em K (lembrar quem é K). Questão 16. Verique se os seguintes polinômios de Z[X] são irredutíveis: X 7 6; 3X 4 + 6X 3 2X Podemos aplicar Eisenstein em 5X 7 + (1 + i)x 2 2 A[X], com A = Z[i]? Ideais e Congruências Vamos retomar o estudo de homomorsmos de anel e ideais. Vamos recordar a denição de ideal. Denição. Um subconjunto I de um anel A é chamado de ideal de A se 1. 0 I. 12

13 2. x, y I, vale que x + y I. 3. x I e a A, vale que ax I. Observe inicialmente que a denição de ideal é semelhante a denição de subespaço vetorial. Podemos construir facilmente ideais em um anel dado. Denição. Sejam A um anel, a 1,..., a n A e seja I = a 1 A+a 2 A+ +a n A = { a 1 x 1 + a n x n x 1,..., x n A }. Veremos que I é um ideal de A e dizemos que I é o ideal gerado por a 1,..., a n. Vamos vericar que I é um ideal de A. Inicialmente temos que 0 = a a n 0 I. Dados x = a 1 x 1 + a n x n e y = a 1 y 1 + a n y n dois elementos de I, então x+y = a 1 (x 1 +y 1 )+ a n (x n +y n ) I. Também para a A temos que ax = a 1 (ax 1 ) + a n (ax n ) I. Logos as três propriedades estão demonstradas. No caso particular em que n = 1 dizemos que I é um ideal principal. Essa é outra propriedade que os domínios euclidianos têm. Teorema do Ideal Principal Seja A um anel Euclidiano com uma função ϕ. Para todo ideal I A existe d I tal que I = { dx x A }. Mais ainda, se d também satisfaz a propriedade I = { d x x A }, então d d. Demonstração. Observemos que se I = { 0 }, então I = 0A e o resultado vale (verique que { 0 } é sempre um ideal). Para um ideal I { 0 } de A tomemos I = { ϕ(x) x I, x 0 }. Como estamos assumindo que existe x 0 em I o conjunto I não é vazio e tem um menor elemento. Seja d I tal que ϕ(d) é o menor elemento de I. Armamos que I = da. Por um lado, como d I temos que da = { dx x A } A pela propriedade (3) dos ideais (ver denição acima). Veja que vale a outra inclusão. Para todo y I o Algorítimo de Euclides garante que existe q, r A tais que y = dq + r e r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(d). Observe que r = y dq I, devido as propriedades (2) e (3) dos ideais. Se r 0 vamos ter uma contradição pois, nesse caso, ϕ(r) I, mas ϕ(r) < ϕ(d). Logo r = 0 e y da, mostrando que vale I da. Logo I = da, como armado. Suponhamos agora que d A = I = da, com d A. Observe que d = d 1 da e d = d 1 d A. Portanto d d e d d. q.e.d 13

14 Vemos assim que em anéis como Z, K[X], onde K é um corpo, Z[i] seus ideias são todos principais. Ideais principais são a forma mais simples possível para um ideal não nulo. Denição. Dizemos que um anel é um domínio de ideias principais se todos os seus ideais são principais. Acabamos de ver que todo domínio euclidiano é um domínio de ideais principais. Não vale da outra direção, isto é, existem exemplos de anéis que são domínio de ideais principais mas não são euclidianos. Demonstrar esse fato porém, não é nada fácil. Questão 17. Seja A um anel, a, b A e tomemos o ideal aa + ba = { ax + by x, y A }. (a) Suponhamos que exista d A tal que da = aa + ba. Mostre que d é um MDC de a e b. (b) Seja A um domínio de ideais principais e p A um irredutível. Mostre que para b A se p b, então o ideal pa + ba = A. Isto é um MDC de p e b é 1 e p e b são relativamente primos. (c) Em um domínio de ideais principais um irredutível p tem a propriedade: para a, b A, se p ab, então p a ou p b. Dica. Use o item anterior. (d) Mais geralmente, nas condições do item anterior se um irredutível p divide um produto x 1 x n, com x 1,..., x n A, então p x i, para algum 1 i n. Observação. Para um domínio de ideais principais A o item (a) da questão acima mostra que todo par a, b A tem MDC d e que esse MDC pode ser escrito na forma d = ta + sb, com t, s A. Um resultado igual ao Teorema de Bezout que foi demonstrado para anéis Euclidianos. O item (c) dessa questão mostra que um irredutível de um domínio de ideais principais, também tem a propriedade forte: se p ab, então p a ou p b. Vamos ver em seguida que um domínio de ideais principais é fatorial. única. Teorema da Fatoração Única Todo domínio de ideais principais é um domínio de fatoração Demonstração. Demonstra-se a unicidade como no caso Euclidiano usando o exercício anterior. 14

15 A existência da fatoração em irredutíveis já é mais trabalhosa. Suponhamos que existe a A tal que a 0, a / A, e a não admite fatoração em irredutíveis. Logo a não pode ser irredutível de A e portanto existem b, c A tais que a = bc e b, c A. Vemos agora que um dos dois, b ou c, não pode admitir fatoração em irredutíveis (de A). Chamemos a 1 a esse elemento. Logo a 1 tem as mesmas propriedade que a: a 1 / A, e a 1 não admite fatoração em irredutíveis. Por outro lado a 1 a. Chamemos a o = a e temos então que a o A a 1 A. De fato a 1 é igual a b ou c, b, c / A, e bc = a o. Logo a o e a 1 não são associados e portanto não acontece a igualdade a o A = a 1 A. Vemos que para i = 0, 1 temos que a i / A, a i não admite fatoração em irredutíveis, e a o A a 1 A. Repetimos agora o raciocínio inicial com a 1 : não pode ser irredutível e fatora-se na forma a 1 = xy onde x, y / A e pelo menos um dos dois não admite fatoração em irredutíveis de A. Chamamos de a 2 a esse elemento que não tem fatoração e obtemos para ele que: a 2 / A, a 2 não admite fatoração em irredutíveis, e a 1 A a 2 A. Vamos repetindo esse procedimento e construímos uma sequência a o, a 1,..., a n, a n+1,..., tal que a i / A, a i não admite fatoração em irredutíveis e a i A a i+1 A, para todo i 0. Seja agora I = i 0 a i A. Do fato de termos uma cadeia a o A a 1 A a n A a n+1 A vamos obter que I + I I. Como para cada x I existe i 0 tal que x a i A vamos ter que cx I, para todo c A. Como é claro que 0 I podemos concluir que I é um ideal de A. Mas A é um domínio de ideais principais, logo existe d A tal que I = da. Devido a construção de I, existe i 0 tal d a i A. Mas então I = da a i A I, resultando que I = a i A. Olhando agora para a i+1 A temos que I = a i A a i+1 A I. Logo a i A = I = a i+1 A, contradizendo a forma com que a sequência foi construída. Logo a hipótese: existir a A tal que a 0, a / A, e a não admite fatoração em irredutíveis é falsa, ou melhor, todo a A tal que a 0, a / A, e a admite fatoração em irredutíveis de A. q.e.d. Voltemos ao exemplo Z[ 5] das Notas 1 que vimos ser não fatorial pois 2 3 = 6 = (1+ 5(1 5) são duas fatorações distintas de 6. Vamos escrever somente O = Z[ 5] para simplicar a notação. Tomemos o ideal d = 2O+(1+ 5)O. Vejamos inicialmente que d O. De fato se d = O, então existiriam α, β O tais que 1 = 2α + (1 + 5)β d. Multiplicando-se essa equação por

16 vamos obter 1 5 = 2(1 5)α + 6β = 2((1 5)α + 3β), mostrando que 2 (1 5), oque não acontece. Logo d O. Mais geralmente, se existisse δ O tal que δo = d, isto é, se d fosse principal, então δ seria um MDC de 2 e 1 + 5, mas verica-se (fazer como exercício) que os únicos divisores comuns de 2 e são as unidades µ O = { 1, 1 }. Portanto d não é principal. Observemos que em relação aos ideais principais 2O e (1 + 5)O d tem as seguinte propriedade: 2O d e (1 + 5)O d; se um ideal I de O também satiszer as condições 2O I e (1 + 5)O I, então d I. Por essa razão d é considerado o MDC dos ideais 2O e (1+ 5)O. Possivelmente por essa razão os ideais receberam esse nome. Originariamente eram chamados de números ideias pois embora não sendo um número, um ideal fazia o papel de número, como no exemplo acima. Na verdade nos chamados Domínios de Dedekind temos que todo ideal se fatora de maneira única em ideais primos, em uma forte analogia com os domínios fatoriais. Questão 18. Vamos ver agora alguns exercícios básico sobre ideais. Nas questões abaixo teremos sempre que A e B são anéis e A B é um subanel de B. 1. Dados a, b A, mostre que aa ba se e somente se b a. Mais ainda, aa = ba, se e somente se a b. Por causa disso, dados dois ideais I e J de A, dizemos que I J (I divide J) se J I. 2. Dados dois ideais I e J de A, mostre que I J e I + J = {x + y x I, y J} também são ideais de A. Mostre também que em relação a divisibilidade de ideais denida no item anterior temos: I J é o mínimo multiplo comum de I e J e I + J é o máximo divisor comum de I e J. 3. Dados dois ideais I e J de A denimos o produto deles como IJ = { n t=1 a tb t n 1, e para todo i, a i I, b i J }. Isto é, IJ é o conjunto de todas as somas de produtos de um elemento de I por um elemento de J. Mostre que IJ é um ideal de A e que IJ I J. 4. Dados três ideais I, J e U de A, mostre que I(J +U) = IJ +IU (observe que IJ +IU J +U). 5. Usando o exercício anterior mostre para dois ideais I e J de A que (I J)(I + J) IJ. 16

17 6. Dado um ideal I de A denimos o radical de I como I = { a A a n I, para algum n 1 }. Por exemplo, para A = Z e I = p m Z, onde p é irredutível e m > 1 temos que I = pz. Mostre que I é um ideal de A. 7. Dado um ideal I de A denimos J = IB = { n t=1 a tb t n 1, e para todo i, a i I, b i B }. Mostre que IB é um ideal de B. Esse ideal é chamado de extensão de I à B. 8. Dado um ideal J de B, mostre que J A é um ideal de A. Dê um exemplo de dois anéis A B (A subanel de B) onde A não é corpo e existe ideal não nulo J de B tal J A = { 0 }. 9. Mostre que um domínio que só tem dois ideais distintos é um corpo. 10. Seja θ : A B um homomorsmo de anéis. Mostre que para cada ideal J de B, θ 1 (J) é um ideal de A. Observe que θ 1 (J) contém o núcleo de θ. Será que podemos também dizer: para cada ideal I de A, θ(i) é um ideal de B? Questão 19. Mostre que Z[X, Y ] e K[X, Y ], com K corpo, não são domínios de ideais principais. Conclua disso que não existe função ϕ que possa tornar esses anéis em domínios euclidianos. Observe contudo que esses anéis são fatoriais. Congruências módulo um ideal Recordemos que xado um inteiro n Z denimos que dois inteiros a, b Z são congruentes módulo n (notação: a b (mod n)), se n (a b). Congruência é uma relação de equivalência (reexiva, simétrica e transitiva) e preserva operações, isto é: se a b (mod n) e c d (mod n), então a + c b + d (mod n) e ac bd (mod n). ( ) O conjunto das classes de equivalência é usualmente denotado por Z n e costumamos tomar para um sistema completo de restos módulo n o conjunto { 0, 1,..., n 1 }. Também costumamos escrever Z n = { 0, 1,..., n 1 }. Mais geralmente para cada m Z denimos m = r caso r seja o resto da divisão de m por n. 17

18 Do fato das operações serem preservadas pela relação de equivalência (as equações ( ) acima) obtemos em Z n operações denidas por a + b = a + b e a b = ab. Podemos vericar que Z n com as operações acima é um anel. Um anel desse tipo é chamado de anel quociente. Vamos agora estender esse processo a um ideal qualquer de um anel. Denição. Sejam A um anel, I um ideal de A, e a, b A. Denimos a b (mod I) se e somente se a b I. Observe que a relação a b (mod n) é o mesmo que a b nz. Como Z é um domínio de ideais principais as congruências módulo ideais são a mesma coisa que as congruências módulo elementos. Para um anel A que não é um domínio de ideais principais as as congruências módulo ideais são mais gerais. Questão 20. Verique que a classe de equivalência de um elemento a A é dada por a = a + I, isto é, b a (mod I) se e somente se b = a + c, para algum c I. Então a + I = { b A b a (mod I) }. No caso dos inteiros temos que m = m + nz e as n 1 classes distintas são dadas por 0 + nz, 1 + nz,..., (n 1) + nz. Denição. Para A e I como na denição anterior chamamos de anel quociente de A por I ao conjunto das classes de equivalência A/I = { a = a + I a A } com as operações dadas por a + b = a + b e a b = ab, quaisquer que seja a, b A, como no caso dos inteiros. Também aqui as operações são preservadas pela relação de equivalência, isto é, se a b (mod I) e c d (mod I), então a + c b + d (mod I) e ac bd (mod I). ( ) 18

19 Por causa disso as operações de soma e produto que denimos estão bem denidas, isto é, a correspondência + : A/I A/I A/I que associa a cada par (a, b) o elemento a + b é uma função. Igualmente a correspondência : A/I A/I A/I que associa a cada par (a, b) o elemento ab também é uma função. Essas funções binárias (em duas variáveis) denem duas operações que tornam A/I um anel, com podemos vericar facilmente. É igualmente imediato que a correspondência π : A A/I dada por π(a) = a é uma função e é um homomorsmo sobrejetivo de anéis cujo núcleo é exatamente o ideal I. Vamos agora relacionar homomorsmos de anel com anel quociente. O resultado que veremos é chamado de Teorema do Isomorsmo. Seja θ : A B um homomorsmo de anel (recordar a denição de homomorsmo na página 4). Tomemos o anel quociente A/N(θ), onde N(θ) é o núcleo de θ (ver denição de N(θ) na página 5 e também a Questão (6)). Denido-se Θ : A/N(θ) B como Θ(a) = θ(a) obtemos que Θ é uma função, é um homomorsmo e é injetivo, e ainda Θ π = θ. Vemos assim que todo homomorsmo de anel pode ser decomposto na composição de um homomorsmo sobrejetivo com um homomorsmo injetivo. Temos ainda que N(π) = N(θ) e N(Θ) = { 0 } (ver Questão (8), página 6). Mais ainda Im(Θ) = Im(θ). Podemos então concluir que Θ é um isomorsmo entre A/I e o subanel Im(θ). (ver item (1) da Questão (21), logo abaixo). Denição. Dizemos que um homomorsmo de anel ϕ : A B é um isomorsmo se ϕ for uma função bijetora. Nesse caso escrevemos A B. Observação. Se a coleção de todos os anéis fosse um conjunto a relação de isomora denida acima seria um relação de equivalência. Contudo ela tem as três propriedades: reexiva, simétrica e transitiva. Questão Seja θ : A B um homomorsmo de um anel. Demonstre que a imagem de θ = Im(θ) = θ(a) é um subanel de B. Queremos mostrar que Im(θ) é um anel em relação a restrição das operações de B. 2. Sejam θ : A B e ϕ : B C dois homomorsmos de anel. Demonstre que ϕ θ : A C é 19

20 um homomorsmo de um anel. 3. Seja ϕ : A B um isomorsmo de anéis. Demonstre que ϕ 1 : B A é um homomorsmo de anel (portanto um isomorsmo). Denição. Dado um anel A, dizemos que um elemento a A é um divisor próprio de zero se a 0 e existe b A, b 0 tal que ab = 0. Claro que o elemento b dessa denição também é um divisor próprio de zero. Questão 22. O exemplo mais simples de anel com divisores próprios de zero é obtido fazendo-se o produto cartesiano de dois anéis. Sejam A e B dois anéis e tome C = A B com operações denidas coordenada a coordenada: (a, b)+(a, b ) = (a+a, b+b ) e (a, b)(a, b ) = (aa, bb ). Encontre divisores próprios de zero em C. Questão 23. Considere os anéis quocientes de Z. Isto é, Z n = Z/nZ. Demonstre para esses anéis vários fatos não usuais: Se n não é irredutível, então Z n tem divisores próprios de zero. Encontre valores para n de forma a temos a 0 e a 2 = 0. Mais geralmente podemos ter a 0 e a r = 0, com r 2. Elementos desse tipo são chamados de nilpotentes. Encontre as unidades de Z n. Mais precisamente demonstre que Z n = { r 1 r n 1 e r é relativamente primo com n }. Podemos então concluir duas coisas: (a) o número de elementos de Z n, ou melhor a ordem de Z n é igual a ϕ(n) = indicador de Euler de n que por denição é exatamente o número de inteiros no intervalo 1 r < n que que são primos com n. (b) Se n é irredutível Z n = Z n { 0 } e Z n é um corpo. Dado p Z um irredutível, vamos denotar o corpo Z p por F p. Esse corpos também são conhecidos como corpos de Galois (também são denotados por GF (p), do inglês 'Galois Fields'). Observe a gora que como F p é um corpo o anel F p [X] é euclidiano e portanto tem propriedades análogas às do anel Q[X]. Em particular F p [X] é fatorial, assim como também são fatoriais os anéis F p [X 1,..., X n ], pelo Teorema de Gauss. 20

21 Como consequência de F p [X] ser fatorial temos que todo polinômio f(x) F p [X] tem no máximo gr f(x) raízes. Esse foi o fato que usamos na Questão 22 da página 20 das Notas 1 para concluir que o polinômio X 2k + 1 tinha que ter raízes em F p e como consequência disso que existia c Z tal que c 2 1 (mod p). Podemos agora reformular aquelas armações dizendo que se p 1 (mod 4), então o polinômio X F p [X] tem rais em F p. Vamos a seguir examinar como o estudo do quociente de um anel por um ideal pode ser útil no estudo da resolução de equações polinomiais. Na verdade os homomorsmo são a melhor maneira para determinar quem é um anel quociente. O matemático J. J. Rotman costumava dizer: deixe que os homomorsmos trabalhem para voce. Vejamos como fazer isso: 1. Seja o polinômio irredutível f(x) = X 3 5 Q[X] (Eisenstein). Quem é o anel quociente Q[X]/f(X)Q[x]? Neste exemplo simples tomamos α C uma raiz de f(x); α = 3 5 R, por exemplo. Denimos θ : Q[X] C como θ(h(x)) = h(α). Vericamos que θ é um homomorsmo de anéis com núcleo N(θ) = f(x)q[x]. Logo, pelo Teorema do Isomorsmo, Q/(f) Imθ. Vamos denotar a imagem de θ por Q(α) e determiná-la de forma mais precisa. Usando o algorítimo de Euclides vemos que para cada h(x) Q[X] existem q(x), r(x) Q[X] tais que h(x) = f(x)q(x) + r(x), onde r(x) = 0 ou gr r(x) < 3. Assim h(α) = r(α). Isso mostra que podemos trabalhar somente com polinômios de grau 2. Logo Q(α) = { a o + a 1 α + a 2 α 2 a o, a 1, a 2 Q }. Observe que o corpo Q(α) pode ser denido de forma absoluta (sem usar θ) como a interseção de todos os subcorpos de C que contém α. 2. Um exemplo mais complexo. Seja I = 5Z[X]+h(X)Z[X], onde h(x) = X 3 +2X 1. Tomamos primeiro θ : Z[X] F 5 [X] denida como θ(a o + a 1 X + + a n X n ) = a o + a 1 X + + a n X n, onde a = a+5z é a classe de restos de a módulo 5. Verica-se facilmente que θ é um homomor- smo sobrejetivo de anéis. Vericamos em seguida que N(θ) = 5Z[X]. Logo Z[X]/5Z[X] F 5 [X] (estudaremos mais adiante ideais primos e veremos que 5Z[X] é um ideal primo de Z[X] pois o quociente é um domínio de integridade, mas não era isso que estamos procurando.) Vericamos agora que h(x) = X 3 + 2X 1 F 5 [X] é irredutível (não tem raízes em F 5, basta 21

22 calcular h(a) para cada a). Como no item anterior F 5 [X]/h(X)F 5 [x] F 5 (α), para alguma raiz α de h(x) escolhida em um fecho algébrico de F 5. Seja ϕ : F 5 [X] F 5 (α) o homomorsmo denido com no item anterior: ϕ(g(x)) = g(α), para todo g(x) F 5 [X]. Temos que ϕ é sobrejetivo e N(ϕ) = h(x)f 5 [X]. Tomemos em seguida a composição ϕ θ : Z[X] F 5 (α) e vericamos que o núcleo de ϕ θ é o ideal I. Usando a descrição F 5 (α) = { a o + a 1 α + a 2 α 2 a o, a 1, a 2 F 5 }, como no item anterior, podemos vericar que F 5 (α) é um corpo com 5 3 elementos. (Deniremos mais adiante ideal maximal e veremos que I é um ideal maximal de Z[X] pois Z[X]/I F 5 (α), é um corpo.) Motivados pelos exemplos acima vamos agora ver que em alguns casos podemos determinar propriedades do anel quociente a partir de propriedades do ideal. Vamos introduzir dois ideais especiais. Denição. Seja A um anel e I um ideal de A. (primo) Dizemos que I é primo se dados a, b A tais que ab I, então a I ou b I. (maximal) Dizemos que I é maximal, se toda vez que I J A, onde J é também um ideal de A, resultar que J = I ou J = A. Questão 24. Vejamos a seguir alguns exercícios envolvendo as denições acima. 1. Demonstre que um ideal I de um anel A é primo se e somente se A/I for um domínio de integridade. Isto é, A/I não tem divisores próprios de zero. 2. Demonstre que um ideal I de um anel A é maximal se e somente se A/I for um corpo. (Sugestão: se I é maximal observe que para todo a A, a / I temos o ideal I+aA que contém propriamente I). 3. Mostre que todo ideal maximal é um ideal primo. 4. Sejam A e B anéis com B A um subanel de A. Dado um ideal primo J de B, mostre que J A é um ideal primo de A. 5. Seja A um anel e P um ideal primo de A. Demonstre os seguintes fatos: (a) Se I e J são ideais de A tais que IJ P, então I P ou J P. Lembrar que também dizemos P IJ quando IJ P. Logo P IJ implica que P I ou P J. 22

23 (b) Demonstre a recíproca do item anterior. Isto é, se P um ideal de A tal que se IJ P, para ideais I, J de A, resulta que I P ou J P, então P é primo. (c) Sejam I 1,..., I n ideais de A. Se I 1 I n P, então existe 1 t n tal que I t P. 6. Mostre que em um domínio de ideais principais todo ideal primo é maximal. Em particular isso é verdade em todo domínio Euclidiano. 7. Mostre que em um domínio de fatoração única A o ideal pa, com p A um irredutível de A, é um ideal primo. Por outro lado mostre que existem domínios de fatoração única onde temos ideais primos que não são maximais. 8. Sejam I e J dois ideais de um anel A. (a) Mostre que a função θ : A (A/I) (A/J) denida por θ(a) = (a + I, a + J) é um homomorsmo de anéis que tem I J como núcleo. Logo, pelo Teorema do Isomorsmo, temos um homomorsmo injetivo Θ : A/(I J) (A/I) (A/J), como descrito na página 7. (b) θ não é sobrejetiva em geral. Mas se assumirmos uma condição adicional podemos obter a sobrejetividade e como consequência que Θ será um isomorsmo. Denição. Dizemos que dois ideais I e J de um anel A são co-maximais se I + J = A. Assumindo-se que I e J são co-maximais obtemos a sobrejetividade de θ. De fato, seja (a 1 + I, a 2 + J) (A/I) (A/J). Como I + J = A, existem b 1 I e b 2 J tais que 1 = b 1 + b 2. Seja c = a 1 b 2 + a 2 b 1 A. Observe que c a 1 = a 1 (b 2 1) + a 2 b 1 I e igualmente c a 2 J. Portanto θ(c) = (c + I, c + J) = (a 1 + I, a 2 + J). (c) A condição de I e J serem co-maximais tem outra consequência: I J = IJ. Podemos interpretar esse fato dentro da aritmética dos ideais da seguinte maneira: se I e J são relativamente primos (pois I + J = A, ou MDC de I e J é A), então o mínimo múltiplo comum deles é igual a seu produto, isto é, I J = IJ. De fato, sempre vale que IJ I J. Para mostrar a outra inclusão usamos o item (5) da Questão 18, página 16. (d) O resultado acima pode ser generalizado para uma família nita de ideais de A: sejam I 1,..., I n ideais de A, dois a dois co-maximais, i.e., I t + I s = A sempre que t s. Mostre que dados a 1, a 2,..., a n A existe c A tal que c a t (modi t ), para todo t = 1,..., n. 23

24 Portanto a função dada por Θ(a + (I 1 I n )) = (a + I 1, a + I 2,..., a + I n ) induz um isomorsmo A/(I 1 I n ) A/I 1 A/I 2 A/I n. Dica. Mostre primeiro, por indução, que o fato de I 1,..., I n serem dois a dois co-maximais implica que I 1 I 2 I n = I 1 I n. O caso n = 2 é o item (c) acima. Assumindo-se que vale para n 1 temos I 1 I 2 I n 1 = I 1 I n 1. Armamos agora que I 1 I 2 I n 1 e I n são co-maximais. De fato, para cada 1 t n 1 existem u t I t e v t I n tais que 1 = u t + v t. Logo u = u 1 u 2 u n 1 = (1 v 1 )(1 v 2 ) (1 v n 1 ) = 1 v, para algum v I n. Logo 1 = u + v I 1 I 2 I n 1 + I n e assim I 1 I 2 I n 1 + I n = A. Agora é só usar o caso n = 2 e a hipótese de indução para demonstrar o resultado com n ideais. Observação. O argumento acima demonstra que se I 1,..., I n são dois a dois co-maximais, então I 1 I t 1 I t+1 I n + I t = A, para todo t = 1,..., n. Para obter o c A tal que c a t (mod I t ) siga a seguinte receita: tome b t I 1 I t 1 I t+1 I n e d t I t tais que b t +d t = 1, para todo t = 1,..., n (observado acima). Tomamos nalmente c = a 1 b 1 + a n b n e vericamos que c a t I t, para todo t = 1,..., n. Esse resultado é conhecido como Teorema Chines de Restos. Em particular se A = Z e tomamos I t = a t Z onde a 1,..., a n Z são dois a dois primos entre si, então para toda sequência z 1,..., z n Z existe z Z tal que z z t (mod a t ), para todo t = 1,..., n. Mais ainda se z for outra solução desse sistema de congruências (z z t (mod a t ), para todo t = 1,..., n), então z z (mod a), onde a = a 1 a n (uma espécie de unicidade da solução). 24