Provas de. Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

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1 Provas de Introdução à Álgebra Manuel Ricou Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico 19 de Janeiro de 2008

2 Conteúdo 1 Enunciados de Testes o Teste: 12/4/ o Teste: 18/5/ o Teste: 15/6/ o Teste: 5/4/ o Teste: 10/5/ o Teste: 12/6/ o Teste: 10/4/ o Teste: 15/5/ o Teste: 7/6/ o Teste: 18/3/ o Teste: 29/4/ o Teste: 27/5/ o Teste: 30/3/ o Teste: 27/4/ o Teste: 25/5/ o Teste: 31/3/ o Teste: 28/4/ o Teste: 25/5/ o Teste: 27/3/ o Teste: 8/5/ o Teste: 5/6/ Enunciados de Exames o Exame: 1/7/ o Exame: 24/7/ o Exame: 4/7/ o Exame: 21/7/ o Exame: 9/7/ o Exame: 24/7/ o Exame: 1/7/ o Exame: 18/7/ o Exame: 7/7/ i

3 ii CONTEÚDO o Exame: 21/7/ Testes Resolvidos o Teste: 10/4/ o Teste: 15/5/ o Teste: 7/6/ o Teste: 18/3/ o Teste: 29/4/ o Teste: 27/5/ o Teste: 30/3/ o Teste: 27/4/ o Teste: 25/5/ o Teste: 31/3/ o Teste: 28/4/ o Teste: 25/5/ o Teste: 27/3/ o Teste: 8/5/ o Teste: 5/6/ Exames Resolvidos o Exame: 1/7/ o Exame: 24/7/ o Exame: 4/7/ o Exame: 21/7/ o Exame: 9/7/ o Exame: 24/7/ o Exame: 1/7/ o Exame: 18/7/ o Exame: 7/7/ o Exame: 21/7/

4 Capítulo 1 Enunciados de Testes o Teste: 12/4/2000 ( Considere a permutação são as suas órbitas? Qual é a sua paridade? ) em S 8. Quais 2. Sejam G e H grupos. Demonstre as seguintes afirmações: a) Se f : G H é um homomorfismo de grupos, e I é a identidade de G, então f(i) é a identidade de H. b) Se A e B são subgrupos do grupo G, A B é também subgrupo de G. 3. Seja A um anel com identidade I. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas com uma demonstração ou um exemplo. a) Se B é subanel de A então B tem identidade I. b) A equação x 2 = I tem no máximo as soluções x = I e x = I. 4. Sendo G = {1, i, 1, i} o grupo formado pelas raízes quartas da unidade, quais são os homomorfismos f : G G? Quais são os automorfismos f : G G? Sugestão: Determine f(i) o Teste: 18/5/ Seja d o máximo divisor comum de 663 e 969. a) Determine uma solução da equação 969x + 663y = d. b) Determine todas as soluções da equação 969x + 663y = 0. (Exprima a solução na forma (x, y) = k(a, b), k Z.) 3

5 4 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES c) Determine todas as soluções da equação 969x + 663y = d. 2. Os números e são primos entre si? Porquê? 3. Seja n N. As seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas? a) Existe pelo menos um número primo p > n. b) Existem n naturais consecutivos que não são primos. 4. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A. a) Prove que N(A) = {ni : n N}. b) Mostre que N(A) é finito e tem m elementos se e só se m N é a menor solução da equação ni = 0. Sugestão: Considere o núcleo do homomorfismo f : Z A dado por f(n) = ni o Teste: 15/6/ Considere o anel Z 55. a) Quais são os divisores de zero neste anel? b) Resolva a equação x 2 = 4 em Z 55. c) Suponha que h : Z 5 Z 55 é um homomorfismo de anéis. Quais são os valores possíveis para h(1)? 2. Suponha que o anel A é um anel com característica 0. Prove que: a) A tem um subanel isomorfo ao anel dos inteiros. b) Se A é um corpo, então A tem um subcorpo isomorfo ao corpo dos racionais. 3. Esta questão refere-se a polinómios com coeficientes em Z 3. a) Determine todos os polinómios irredutíveis da forma x 2 + x + a. b) Qual é o máximo divisor comum de x 4 +1 e x 4 +2x 3 +2x 2 +x+1? c) Quantos elementos tem o quociente A = Z 3 [x]/ < x >? d) O elemento x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x + 1 é invertível no anel A? o Teste: 5/4/ Considere as permutações π = (3, 5, 9)(2, 4, 6)(1, 8, 7) e ρ = (2, 9)(1, 8) do grupo S 9. a) Diga se cada uma destas partições é par ou ímpar.

6 o TESTE: 10/5/ b) Quais são as órbitas de πρ? 2. Sendo (G, ) um grupo, demonstre as seguintes afirmações: a) Se N e H são subgrupos de G então N H é um subgrupo de G. b) Se G é abeliano, qualquer subgrupo de G é normal. c) O elemento neutro de qualquer subgrupo de G é o elemento neutro de G. 3. Seja A um anel unitário, com identidade I 0. a) Mostre que o produto de dois elementos invertíveis de A é um elemento invertível de A. b) Um subanel de A pode ter uma identidade distinta da identidade de A? Porquê? c) Se A tem 3 elementos, podemos concluir que A é isomorfo a (Z 3, +, )? Porquê? o Teste: 10/5/ Seja d o máximo divisor comum de 2093 e 483. a) Determine uma solução da equação 2093x + 483y = d. b) Determine todas as soluções da equação 2093x + 483y = 0. (Exprima a solução na forma (x, y) = k(a, b), k Z.) c) Determine todas as soluções da equação 2093x + 483y = d. 2. Seja A um anel com identidade I, e N(A) o menor conjunto indutivo em A. Prove que N(A) = {ni : n N}. 3. Determine todos os naturais x que satisfazem simultaneamente as duas congruências x 2 (mod 17) e x 5 (mod 13). 4. Os números da forma F n = 2 2n + 1, com n 0, dizem-se os números de Fermat. a) Demonstre que se G n é o produto dos números de Fermat F k, 0 k n, ou seja, se G n = F 0 F 1 F n, então F n+1 = G n + 2, para qualquer n 0. b) Prove que se n m então F n e F m são primos entre si.

7 6 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES o Teste: 12/6/ Considere neste exercício o anel Z 216. a) Quantos subanéis tem o anel Z 216? Quantos geradores tem este anel? b) Sendo f : Z 216 Z 8 Z 27 um isomorfismo de anéis, determine x Z 216 tal que f(x) = (7, 21). 2. Seja h : Z n Z m um homomorfismo. Demonstre as seguintes afirmações: a) Se h é injectivo então n é um factor de m. b) Se h é sobrejectivo então n é múltiplo de m. 3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z 2 [x], e I =< x 3 + x + 1 >. a) Determine o inverso de x em A/I. b) Existem elementos não-invertíveis no anel A/I? c) Os elementos do anel A/I podem ser representados na forma a + bi + cj, onde a, b, c Z 2, i = x, e j = x 2. Mostre que I 2 = j, j 2 = i + j, e ij = 1 + i. d) Na notação da alínea anterior, quais são os factores irredutíveis do polinómio x 3 + x + 1 no anel dos polinómios com coeficientes em A/I? o Teste: 10/4/ Mostre que o grupo (Z 4, +) não é isomorfo ao grupo (Z 2 Z 2, +). 2. Seja H = {A M n (R) : det(a) = 1}. a) Mostre que H com o produto usual de matrizes é um grupo. b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invertíveis, com a mesma operação, mostre que H é um subgrupo normal de G. 3. Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x J, y K} é um ideal de A. 4. Suponha que x e y pertencem a um anel A. a) Mostre que x 2 y 2 = (x y)(x + y) para quaisquer x, y A se e só se A é um anel abeliano. b) Supondo que A é abeliano e x 2 = y 2, temos necessariamente x = ±y?

8 o TESTE: 15/5/ Considere o grupo das raízes-4 da unidade, G = {1, i, 1, i}, com o produto usual de complexos, e o grupo (Z 2, +). Quais são os homomorfismos h : G Z 2? Sugestão: Comece por recordar que o núcleo de h é um subgrupo de G o Teste: 15/5/ Esta questão refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o conjunto dos múltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos múltiplos de 36. a) Qual é o menor elemento positivo de J K? Quais são os elementos de J K? b) Qual é o menor ideal de Z que contém os ideais J e K? 2. Mostre que os números e são primos entre si. 3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equação 105x + 154y = d. a) Qual é o menor natural d para o qual a equação acima tem soluções? Resolva a equação para esse natural d. b) O elemento 105 tem inverso no anel Z 154? Quantos elementos tem < 105 >? c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual é essa identidade? 4. Prove que se n é natural então n k=1 k 3 = n2 (n + 1) Sejam n, m N, D = mdc(n, m) e M = mmc(n, m). Prove que nm = DM. Sugestão: Supondo que n = ad e m = bd, mostre que qualquer múltiplo comum de n e m é múltiplo de abd o Teste: 7/6/ Considere p(x) = x 4 + 2x 3 + 2x + 2 e q(x) = x em Z 3 [x]. a) Determine o máximo divisor comum de p(x) e q(x). b) Qual é menor múltiplo comum de p(x) e q(x)? 2. Mostre que ( n=0 xn ) 2 = (1 + 2x) n=0 x3n em Z 3 [[x]].

9 8 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES 3. Considere o anel quociente A/I, onde A = Z 2 [x], e I =< x >. a) Quantos elementos tem o anel A/I? b) Determine a tabuada da multiplicação em A/I. 4. Seja α R um número irracional algébrico sobre Q. Seja ainda J o conjunto dos polinómios p(x) Q[x] tais que p(α) = 0. a) Mostre que J =< m(x) >, onde m(x) é mónico e irredutível em Q[x]. b) Prove que Q[α] é um corpo. c) Seja α = 3 2. Mostre que m(x) = x 3 2, e determine a, b, c Q tais que = a + b c o Teste: 18/3/ Seja S 1 = {z C : z = 1}. a) Mostre que S 1 com o produto usual de complexos é um grupo. b) Sendo n N e R n = {z C : z n = 1}, mostre que R n é um subgrupo de S 1. c) Seja R = n=1 R n. R é igualmente um subgrupo de S 1? 2. Determine todos os homomorfismos de grupo f : S 3 Z 2. (S 3 é o grupo das permutações em {1, 2, 3}, e Z 2 o grupo aditivo com dois elementos). 3. Sejam A e B anéis, e f : A B um homomorfismo de anéis. a) Prove que f(o) = O, onde O e O são os zeros de respectivamente A e B. b) Prove que f( x) = f(x) para qualquer x A. c) Se x é invertível em A, temos sempre f(x) invertível em B? d) Mostre que f(nx) = nf(x), para quaisquer n Z e x A. Sugestão: Deve recordar a definição de na, para n Z e a G, onde G é um qualquer grupo aditivo. Para n > 0, deve proceder por indução.

10 o TESTE: 29/4/ o Teste: 29/4/ a) Quantos divisores naturais tem 2.000? b) Quantos naturais 1 k são primos relativamente a 2.000? 2. Determine todas as soluções da equação 87x 3 (mod 6.000) em Z. 3. Determine todas as soluções da equação x 2 y = 108, onde x e y são inteiros. Sugestão: Recorde o teorema fundamental da Aritmética. 4. Suponha que a, b e m são inteiros fixos. Prove que a) ax b (mod m) tem soluções inteiras x se e só se b é múltiplo de mdc(a, m). b) ax 0 (mod m) tem soluções x 0 (mod m) se e só se ax 1 (mod m) não tem soluções (supondo m 0). 5. Considere o ideal J =< 87 > em Z a) Quantos elementos tem J? Quantos geradores tem J? b) J tem identidade? Se J tem identidade, qual é a sua identidade? o Teste: 27/5/ Considere os polinómios p(x) = x 3 +25x 2 +10x 5 e q(x) = 1+x+x 2 em Q[x]. a) Quais dos polinómios p(x) e q(x) são irredutíveis em Q[x]? b) Determine a(x), b(x) Q[x] tais que 1 = a(x)(1 + x + x 2 ) + b(x)(1 + x 2 ). 2. Suponha que α R é um número irracional algébrico sobre Q. Seja J =< m(x) > o conjunto dos polinómios p(x) Q[x] tais que p(α) = 0. a) Supondo que m(x) tem grau n, prove que o espaço vectorial Q[α] tem dimensão n sobre o corpo Q. b) Prove que Q[α] é um corpo, e uma extensão algébrica de Q. 3. Suponha que p(x), q(x) Z[x]. Diga (com a correspondente justificação!) se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira. a) Se p(x) é irredutível em Q[x] então p(x) é irredutível em Z[x]. b) Se p(x) e q(x) são primitivos, então p(x)q(x) é primitivo.

11 10 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES 4. Suponha que G e H são grupos finitos, respectivamente com n e m elementos, e seja f : G H um homomorfismo de grupos. a) Prove que se f é injectivo então n é factor de m. b) O que pode concluir sobre f se n e m são primos entre si? o Teste: 30/3/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, e (A, +, ) é um anel unitário. a) Qualquer subgrupo de G contém a identidade de G. b) Se H e K são subgrupos de G, e H é um subgrupo normal de G, então H K é um subgrupo normal de K. c) Se B é um subanel de A, então B é também um anel unitário. d) Se x, y A, então (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. e) Se a, b A e n Z então n(ab) = (na)b = a(nb). f) Se a A, a equação x 2 = a 2 tem um número finito de soluções em A. 2. Recorde que o grupo diedral D n é o grupo de simetria do polígono regular de n lados, e tem 2n elementos (n reflexões e n rotações). Designamos por R 2 o grupo multiplicativo das raízes quadradas da unidade. a) Seja f : D n R 2 dada por { +1, se σ é uma rotação, f(σ) = 1, se σ é uma reflexão. Mostre que f é um homomorfismo de grupos. Podemos concluir daqui que as rotações em D n formam um subgrupo normal de D n? b) Determine todos os subgrupos de D 5. Quais destes subgrupos são normais? sugestão: Pode ser conveniente verificar que qualquer subgrupo que contenha uma rotação r 1 contém todas as rotações em D o Teste: 27/4/ Esta questão refere-se a equações ax b (mod 216), com a, b, x Z. a) Determine as soluções da equação homogénea 10x 0 (mod 216).

12 o TESTE: 25/5/ b) Determine as soluções da equação 10x 6 (mod 216). c) Quantos naturais a 216 têm inverso (mod 216)? 2. Nesta questão, A é um anel unitário, com identidade I 0, e φ : Z A é o homomorfismo de anéis dado por φ(n) = ni. a) Prove que φ(z) é o menor subanel de A que contém I. b) Mostre que se A é ordenado e A + = φ(n) então A é isomorfo a Z. sugestão: Verifique primeiro que se A é ordenado então φ é injectiva, i.e., a característica de A só pode ser Designamos aqui por S(n) a soma dos divisores naturais de n N. a) Quantos naturais d são divisores de 4.000? b) Determine S(4.000). c) Resolva a equação S(n) = 399 = sugestão: Quais podem ser os factores p k na decomposição de n em produto de potências de primos? o Teste: 25/5/ Este grupo refere-se ao anel A = Z a) Determine uma solução particular da equação 60x = 15, com x Z Quantas soluções tem esta equação? b) O subanel B =< 60 > A tem identidade? Em caso afirmativo, qual é essa identidade? 2. Neste grupo, p(x) Z 3 [x], e F é o anel das funções f : Z 3 Z 3. Designamos por φ : Z 3 [x] F o homomorfismo de anéis que transforma cada polinómio na respectiva função polinomial, e g : Z 3 Z 3 é a função dada por g(0) = g(1) = 2, e g(2) = 1. a) Determine p(x) tal que φ(p(x)) = g. b) Qual é a solução geral da equação φ(p(x)) = g? 3. Este grupo refere-se ao anel dos inteiros de Gauss Z[i]. a) Suponha que n, m Z, e p = n 2 +m 2 é um inteiro primo. Mostre que n + mi é um elemento irredutível de Z[i]. b) Considere o inteiro de Gauss z = 15(2 + 3i) 2. Quantos divisores de z existem em Z[i]? sugestão: Como calcula o número de divisores k N de um dado n N? 4. Seja K um corpo e A = K [[x]] o anel das séries de potências com coeficientes em K.

13 12 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES a) Mostre que os elementos invertíveis de A são as séries da forma n=0 a nx n, com a 0 0. b) A é um d.i.p. e/ou um d.f.u.? o Teste: 31/3/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, e (A, +, ) é um anel unitário. a) Qualquer subgrupo de G contém a identidade de G. b) Qualquer subanel unitário de A contém a identidade de A. c) Se x G e x 2 = e, onde e é a identidade de G, então x = e. d) Se x A e x 2 = 0 então x = O grupo GL(2, R) é formado pelas matrizes 2 2, invertíveis, com entradas em R, com o produto usual de matrizes. Para cada um dos seguintes exemplos, diga se H é um subgrupo de GL(2, R), e, caso afirmativo, se H é um subgrupo normal de GL(2, R). [ ] a 0 a) H = {, ab 0}. 0 b b) H = {M GL(2, R) : det(m) = 1}. 3. Nesta questão, G = {1, i, 1, i} é o grupo multiplicativo das raízes quartas da unidade, e Z 2 = {0, 1} é o usual grupo aditivo com dois elementos. a) Determine todos os homomorfismos de grupo f : Z 2 G. b) Suponha que H é um grupo, e g : G H é um homomorfismo sobrejectivo. Classifique o grupo H o Teste: 28/4/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. a) Todos os grupos não abelianos com 8 elementos são isomorfos entre si. b) No grupo diedral D n (grupo de simetria do polígono regular de n lados), as rotações formam um subgrupo normal de D n. c) Se n, m N, mdc(n, m) = 1 e n mk então n k.

14 o TESTE: 25/5/ Neste grupo, x, y e z 0 são números inteiros. a) Qual é o menor natural z 0 para o qual a equação 2279x+731y = z 0 tem soluções? b) Sendo z 0 o natural determinado na alínea anterior, qual é o menor natural x que é solução da equação 2279x + 731y = z 0? 3. Suponha que n 4 é um natural, e mostre que n (n 1)! se e só se n não é primo. sugestão: Considere sucessivamente os casos (1) n é primo, (2) Existem 1 < k < m < n tais que n = mk, e (3) n = m o Teste: 25/5/ Esta questão refere-se ao anel Z 808. a) Quantos subanéis existem em Z 808? Quantos elementos de Z 808 são invertíveis? Quantos elementos de Z 808 são divisores de zero? b) Quantos elementos tem o subanel < 303 >? Quais são os seus geradores? Qual é a sua identidade? 2. Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. a) O polinómio x 3 + x 2 + x + 2 é irredutível em Z 3 [x]. b) A equação 1 = p(x)(x 3 +x 2 +x+2)+q(x)(x 2 +2x+2) tem soluções p(x), q(x) Z 3 [x], mas não tem soluções p(x), q(x) Z 5 [x]. c) Exactamente um dos subanéis de Z 808 é um corpo. 3. Recorde que, se p N é primo, então todos os elementos a Z p satisfazem a p 1 = 1. Recorde igualmente o Teorema do Resto. a) Quais são os factores irredutíveis do polinómio x p 1 1 em Z p [x]? b) Use a factorização acima para concluir que (p 1)! 1 mod p o Teste: 27/3/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, e (A, +, ) é um anel unitário. a) A equação x 2 = x tem uma única solução em G, que é a identidade de G.

15 14 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES b) Se f : G G é um homomorfismo de grupos, então o núcleo de f é um subgrupo normal de G. c) Se B é um subanel de A, então B é também um ideal de A. d) Se f : A A é um homomorfismo de anéis, então f(nx) = nf(x), para quaisquer x A e n N. e) Se a A, a equação x 2 = a 2 só tem as soluções x = ±a. 2. Designamos aqui por R n = {z C : z n = 1} o grupo das raízes-n da unidade com o produto usual de complexos. a) Mostre que se n é múltiplo de m então R m é subgrupo de R n. b) O grupo R 2 R 4 é isomorfo a R 8? c) Considere o homomorfismo de grupos f : R 12 C dado por f(x) = x 3. Qual é o núcleo de f e a imagem f(r 12 )? Quais são as soluções da equação f(x) = 1? o Teste: 8/5/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta convenientemente. a) A equação 2491x + 829y = 11 tem soluções x, y Z. b) A soma dos divisores de é superior a c) Qualquer anel ordenado A {0} é infinito. d) O natural não é primo. 2. Considere nesta questão o anel A = Z 75, e seja B o subanel de A com 15 elementos. a) Quais são os ideais de A? Quantos elementos tem cada um desses ideais? b) Quantos divisores de zero existem em A? Quantos elementos tem A? c) O anel B é isomorfo ao anel Z 15? Quais são os geradores de B, i.e., quais são os elementos x B tais que B =< x >? d) Determine todas as soluções da equação x 2 = 1 em A.

16 o TESTE: 5/6/ Numa aplicação do algoritmo de criptografia RSA, sabe-se que a chave pública é r = 49, e o módulo é N = Observando que é o produto dos primos , qual é o valor da chave privada? o Teste: 5/6/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. a) Existem polinómios p(x) Z[x] que são irredutíveis em Q[x] e redutíveis em Z[x]. b) Se D é um domínio integral, então qualquer elemento x D que seja primo é irredutível. c) Os anéis Q[ 3 2] e Q[x]/ < x 3 2 > são corpos, e são isomorfos. d) Se K é um corpo, e m(x) K[x] é um polinómio irredutível com grau 2, existe um corpo L que é uma extensão de K onde m(x) tem pelo menos uma raíz. 2. Observe que 845 = a) Quantos divisores tem 845 no anel dos inteiros de Gauss? b) Quais são os naturais n, m tais que 845 = n 2 + m 2? 3. Suponha que G é um grupo com 14 elementos, e recorde que G tem pelo menos um elemento de ordem 2. a) Mostre que G tem subgrupos H e K com H = 2 e K = 7. b) Mostre que G = HK. Teremos sempre G H K? sugestão: Observe que H K é comutativo.

17 16 CAPÍTULO 1. ENUNCIADOS DE TESTES

18 Capítulo 2 Enunciados de Exames o Exame: 1/7/ Neste grupo, G e H são grupos, e a identidade de G designa-se por I. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se f : G H é um homomorfismo de grupos, f(i) é a identidade de H. b) Se f : G H é um homomorfismo de grupos, o núcleo de f é um subgrupo normal de G. c) Se A e B são subgrupos de G então A B é subgrupo de G. d) Se A e B são subgrupos de G então AB = BA se e só se AB é subgrupo de G. 2. Nesta questão, A é um domínio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 0. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Os elementos invertíveis de A formam um grupo. b) A identidade de qualquer subanel B 0, se existir, é 1. c) Qualquer ideal de A é principal. d) Se J é um ideal maximal de A, então A/J é um corpo. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z 900. a) Quantos subgrupos existem em Z 900? Sendo n um qualquer divisor de 900, quantos destes subgrupos têm exactamente n elementos? b) Quantos elementos invertíveis existem no anel Z 900? Quantos automorfismos do grupo Z 900 existem? 17

19 18 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES c) Considere o homomorfismo de grupos f : Z 900 Z 30 dado por f(x) = 24x. Determine o núcleo de f, e diga se f é sobrejectivo. d) Continuando a alínea anterior, resolva a equação f(x) = Nesta questão, G é um grupo não-abeliano com 6 elementos. a) Prove que nenhum elemento de G tem ordem 6, mas que existe pelo menos um elemento ε de G com ordem 3. Sugestão: Mostre que, caso contrário, G seria abeliano. b) Sendo ε um elemento de G de ordem 3, e H = {1, ε, ε 2 } o subgrupo gerado por ε, mostre que H é normal em G. Sugestão: Qual é o índice de H em G? c) Suponha que α H, e mostre que α 2 = 1. Sugestão: No grupo quociente G/H, a ordem do elemento α é 2. Qual pode ser a ordem de α em G? d) Como αh = Hα, o produto αε só pode ser εα ou ε 2 α. Conclua que G é necessariamente isomorfo a S o Exame: 24/7/ Neste grupo, K H são subgrupos do grupo G. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se K é normal em G então K é normal em H. b) Se K é normal em H então K é normal em G. c) Se G é um grupo cíclico infinito então G é isomorfo a (Z, +). d) Se K é normal em G e x G, então a ordem de x em G/K é factor da ordem de x em G. 2. Nesta questão, A é um domínio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 0. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) A característica de A é 0, ou um número primo p. b) O anel A[x] é também um domínio integral. c) Qualquer ideal em A[x] é principal. d) Existe um corpo K com um subanel isomorfo a A.

20 o EXAME: 4/7/ Considere o grupo aditivo (e anel) Z 36. a) Quantos subgrupos existem em Z 36? Quantos geradores tem Z 36? b) Suponha que B é um subanel de Z 36, com identidade a, e n elementos. Mostre que a característica de B é um factor de 36, e que a ordem de qualquer elemento de B é um factor da característica de B. (sugestão: se ma = 0, então mx = 0 para qualquer x B) c) Conclua que a característica de B é n, donde a é um gerador de B, e d = mdc(a, 36) = 36/n. d) Conclua finalmente que se B tem identidade a, então mdc(d, n) = 1. Determine todos os subanéis de Z 36 com identidade, e calcule essas identidades. 4. Nesta questão, G e H são grupos. a) Prove que se f : G H é um homomorfismo injectivo, o número de elementos de G é factor do número de elementos de H. O que pode concluir se f é sobrejectivo? b) Se G e H são os grupos aditivos Z n e Z m, onde n é factor de m, existe sempre algum homomorfismo injectivo f : G H? Se G = Z 6 e H = Z 24, quantos homomorfismos injectivos existem? c) Supondo que H = Z 6, e f : G H é injectivo, classifique o grupo G. d) Supondo que G = Z 6, e f : G H é sobrejectivo, classifique o grupo H o Exame: 4/7/ Neste grupo, G e H são grupos, e N é um subgrupo de G. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se f : G H é um homomorfismo de grupos, f(g) é um subgrupo de H. b) Se f : G H é um homomorfismo de grupos, f(x n ) = f(x) n para qualquer n Z. c) Se f : G H é um homomorfismo de grupos finitos, o número de elementos de f(g) é um divisor comum do número de elementos de G e do número de elementos de H. d) Se X = {xn : x G} e Y = {Ny : y G} então X e Y têm o mesmo cardinal.

21 20 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 2. Nesta questão, D é um domínio integral com identidade 1 e zero 0, onde 1 0. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Qualquer subanel B de D tem identidade. b) Qualquer subgrupo de (D, +) é um subanel de D. c) Se D é finito então D contem um subanel B isomorfo a algum Z m. d) Se D é um d.f.u., a equação mdc(a, b) = ax+by tem soluções x, y D. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z 833. a) Seja f : Z Z 833 o homomorfismo de grupos dado por f(n) = 357n. Quantos elementos tem a imagem f(z)? Qual é o núcleo de f? b) Quais são os grupos Z m tais que h : Z m Z 833 dado por h(n) = 357n está bem definido, e é um homomorfismo de grupos? Para que valor de m é que h é um isomorfismo? c) f(z) é também um anel? E se é um anel, é isomorfo a um anel Z k? d) Quais dos seguintes anéis são isomorfos entre si: Z 1000, Z 2 Z 500, Z 4 Z 250, Z 8 Z 125? 4. Nesta questão, K é um corpo, m(x) K[x], A = K[x]/ < m(x) >, e π : K[x] A é o usual homomorfismo de anéis π(p(x)) = p(x). a) Prove que os ideais de A são da forma π(j), onde J é um ideal de K[x]. Conclua que A é um d.i.p., ou seja, todos os seus ideais são principais. b) Mostre que os ideais de A são da forma < d(x) >, onde d(x) m(x) em K[x]. Sugestão: Mostre que < p(x) >=< d(x) >, onde d(x) = mdc(p(x), m(x)) em K[x]. c) Supondo K = Z 3, e m(x) = x 3 + 2x, quantos elementos podem ter os ideais de A? Quantos ideais com n elementos existem, para cada possível valor de n? Quantos elementos invertíveis existem em A? d) Supondo K = Z 3, e m(x) = x 3 +2x, o anel A é isomorfo a Z 3 Z 3 Z 3? o Exame: 21/7/ Nesta questão, G e H são grupos multiplicativos, e f : G H é um homomorfismo de grupos. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo.

22 o EXAME: 21/7/ a) f(x 1 ) = f(x) 1 para qualquer x G. b) O núcleo de f é um subgrupo normal de G. c) Se f é sobrejectivo, e G é finito, então H é factor de G. d) Se G é um grupo cíclico com n elementos, e k é factor de n, então existe pelo menos um elemento de G com ordem k. 2. Nesta questão, p(x), q(x) Z[x] são polinómios com coeficientes inteiros. Para cada uma das afirmações seguintes, mostre que a afirmação é verdadeira, com uma demonstração, ou falsa, com um contra-exemplo. a) Se p(x) é irredutível em Q[x], então p(x) é irredutível em Z[x]. b) Se p(x) é irredutível em Z[x], então p(x) é irredutível em Q[x]. c) Se q(x) p(x) em Z[x], e p(x) é primitivo, então q(x) é primitivo. d) Se q(x) p(x) em Q[x], então existe k Q tal que kq(x) p(x) em Z[x]. 3. Considere o grupo aditivo (e anel) Z 300. a) Quantos subgrupos tem Z 300? b) Quantos homomorfismos sobrejectivos de grupo h : Z 600 Z 300 existem? Quais destes homomorfismos são também homomorfismos de anel? c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z 600 Z 300 existem, tais que f(z) tem 100 elementos? Prove que f(z) é um anel isomorfo ao anel Z 100. d) Quais dos seguintes grupos são isomorfos entre si: Z 300, Z 6 Z 50, Z 100 Z 3, Z 10 Z 30? 4. Nesta questão, G é um grupo finito, e A e B são subgrupos de G. AB = {xy : x A e y B}. a) Prove que A B é um subgrupo de G. O conjunto AB é sempre um subgrupo de G? b) Prove que AB A B = A B. Sugestão: Mostre que a função f : A/(A B) G/B está bem definida por f(x(a B)) = xb, e é injectiva. Mostre também que a união das classes em f(a/a B) é exactamente AB. c) Suponha que G é um grupo abeliano com 10 elementos. Prove que G tem necessariamente um elemento x com ordem 5, e um elemento y com ordem 2, e conclua que G é o grupo Z 10. Sugestão: Qual é a ordem de xy?

23 22 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES d) Mostre que, se G é um grupo não-abeliano com 10 elementos, então G tem um elemento x com ordem 5, e se y < x > então y tem ordem 2. Conclua que xy = yx 4, e portanto que existe apenas um grupo não-abeliano com 10 elementos, que só pode ser D o Exame: 9/7/ Diga se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, G e H são grupos, f : G H é um homomorfismo de grupos, e N é o núcleo de f. a) Se e é a identidade de G, então f(e) é a identidade de H. b) Se K é um subgrupo de H, então f 1 (K) é um subgrupo de G que contém N. c) Se todos os elementos de G têm ordem finita então G é finito. d) Se G = 15 e H = 25, então f(g) é um grupo cíclico. 2. Diga se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, A e B são anéis, A é um domínio integral, f : A B é um homomorfismo sobrejectivo de anéis, e N é o núcleo de f. a) N é um ideal de A. b) Se a é invertível em A, então f(a) é invertível em B. c) B é um domínio integral. d) Se B é um corpo, então N é um ideal máximo de A. 3. Neste grupo, n designa a classe de equivalência do inteiro n em Z a) Quantos subgrupos tem Z 1800? Quais são os geradores do subgrupo gerado por 1300? b) Considere os grupos Z 25 Z 72, Z 20 Z 90, Z 200 Z 9, e Z 40 Z 45. Quais destes grupos são isomorfos entre si? c) Quantos homomorfismos de grupo f : Z 1800 Z 1800 existem, com núcleo N(f) =< 1300 >? sugestão: Determine primeiro f(z 1800 ). d) Supondo que g : Z Z 40 Z 45 é um homomorfismo de anéis, classifique o anel g(z). 4. Considere o anel Z 3 [x], e o polinómio p(x) = x 3 + 2x + 1. Nesta questão, quando m(x) Z 3 [x], designamos por m(x) a correspondente classe no anel quociente K = Z 3 [x]/ < p(x) >.

24 o EXAME: 24/7/ a) Qual é o inverso de x em K[x]? b) Mostre que K é um corpo, e uma extensão algébrica de Z 3. K[x] é um d.f.u.? c) Decomponha p(x) em factores irredutíveis em K[x]. sugestão: Para factorizar polinómios quadráticos com coeficientes em K, pode completar o quadrado. d) Seja α K, α Z 3. Prove que Z 3 (α) é isomorfo a K, e em particular α é raíz de um polinómio irredutível do terceiro grau n(x) Z 3 [x] o Exame: 24/7/ Diga se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, G é um grupo, e K e H são subgrupos de G. a) Se x, y G, então (xy) 1 = y 1 x 1. b) Se K é subgrupo normal de G, então K H é subgrupo normal de H. c) Os automorfismos de G formam um grupo, com a operação de composição. d) Se K é subgrupo normal de G, então existe um grupo L e um homomorfismo de grupos f : G L tal que K é o núcleo de f. 2. Diga se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, A e B são anéis unitários, e f : A B é um homomorfismo de anéis. a) Se a é invertível em A, então f(a) é invertível em B. b) A imagem f(a) é um ideal de B. c) Se A = Z, então f(n) = nb, onde b 2 = b. d) Se B é finito e tem mais de um elemento, então B tem um subanel isomorfo a algum Z m, onde m > Neste grupo, n designa a classe de equivalência do inteiro n em Z 990. a) Quantos subgrupos tem Z 990? Quantos destes são anéis unitários? b) Quantos automorfismos de grupo f : Z 990 Z 990 existem? c) Quantos ideais existem em Z 15 Z 66? Existem subanéis de Z 15 Z 66 que não são ideais de Z 15 Z 66?

25 24 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES d) Determine os homomorfismos de anel g : Z 33 Z Considere o anel Z 3 [x], e o polinómio p(x) = x 3 + 2x 2 + x + 2. Nesta questão, quando m(x) Z 3 [x], designamos por m(x) a correspondente classe no anel quociente K = Z 3 [x]/ < p(x) >. a) O elemento x 2 + x + 1 tem inverso? b) Quais são os ideais de K? c) Quantos elementos invertíveis existem em K? d) Quais são os ideais I de K para os quais o anel quociente K/I é isomorfo a algum Z m? o Exame: 1/7/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, com identidade 1. a) A equação x 2 = x só tem uma solução x G. b) Se H e K são subgrupos de G, então H K é um subgrupo de G. c) Se G é finito e tem um número ímpar de elementos, então a equação x 2 = 1 só tem a solução x = 1. d) Se G é finito e tem um número par de elementos, então a equação x 2 = 1 tem soluções x Neste grupo, f : Z Z 180 é dada por f(n) = 63n. a) Determine o número de subanéis, e de geradores, do anel Z 180. b) Mostre que a função f é um homomorfismo de grupo. Qual é o núcleo de f? Determine as soluções da equação f(n) = 9. c) Mostre que o grupo f(z) é isomorfo a Z m, para um valor apropriado de m que deve calcular. Quais são os subgrupos de f(z)? d) f será também um homomorfismo de anel? Os anéis Z m e f(z) são isomorfos? 3. Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, A é um anel abeliano unitário, com identidade I. a) Todos os subanéis de A são unitários.

26 o EXAME: 18/7/ b) Todos os subgrupos de (A, +) são igualmente subanéis. c) Se A é um corpo finito, então a sua característica é um número primo. d) Se A é finito, existe um subanel de A isomorfo a algum anel Z n. 4. Neste grupo, consideramos o anel quociente A = Z 3 [x]/j, onde J =< x 3 + x 2 + x + 1 >. a) Quantos elementos existem no anel A? Quais são os elementos da forma < x + a > que são invertíveis? b) Quais são os divisores de zero em A? c) Mostre que A é um domínio de ideais principais. d) Classifique os anéis quociente da forma A/K, onde K é um ideal de A o Exame: 18/7/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, com identidade 1. a) A equação x 3 = x só tem uma solução x G. c) Se H e K são subgrupos normais de G e K H, então K/H é um subgrupo normal de G/H. d) Se G tem 11 elementos então G Z As questões seguintes referem-se a grupos ou anéis Z n. Os homomorfismos e isomorfismos referidos são de grupo, excepto quando a sua natureza é referida explicitamente. a) Determine o número de subgrupos, e de geradores, do grupo Z 495. b) Existe algum homomorfismo injectivo f : Z 495 Z 595? Existe algum homomorfismo sobrejectivo f : Z 495 Z 395? Quantos homomorfismos f : Z 495 Z 295 existem? c) Quais dos seguintes grupos são isomorfos entre si? Z 3 Z 165, Z 9 Z 55, Z 99 Z 5, Z 15 Z 33. d) Determine todos os homomorfismos injectivos de anel f : Z 495 Z 990. Quantos homomorfismos sobrejectivos de anel f : Z 495 Z n existem?

27 26 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 3. Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Neste grupo, D é um domínio integral. a) Se C é um subanel unitário de D com mais de um elemento, então C contém a identidade de D. b) Se D é um domínio de ideais principais, então D[x] é um domínio de ideais principais. c) Se os únicos ideais de D são os triviais ({0}, e D), então D é um corpo. d) Se D é um domínio de ideais principais, então qualquer elemento irredutível em D é primo em D. 4. Este grupo diz respeito ao anel dos inteiros de Gauss Z[i]. a) Dado o natural n > 1, se a equação n = x 2 + y 2 tem soluções x, y N, é possível que n seja primo em Z[i]? b) Se o natural n é primo em Z, e a equação n = x 2 +y 2 não tem soluções x, y N, é possível que n seja redutível em Z[i]? c) Quantos divisores de 1105 existem em Z[i]? Determine todas as soluções naturais da equação x 2 + y 2 = (Nota: 13 é factor de 1105.) d) Quais são os naturais n para os quais o anel quociente Z[i]/ < n > é um corpo? o Exame: 7/7/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo. a) Qualquer subgrupo de G contém a identidade de G. b) Se H e K são subgrupos de G, então H K é um subgrupo de G. c) Se G tem 17 elementos, então G Z 17. d) Os grupos Z 4 Z 18 e Z 6 Z 12 são isomorfos. 2. Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (A, +, ) é um anel unitário, com identidade 1. a) Qualquer subanel unitário de A com mais de um elemento contém a identidade de A.

28 o EXAME: 21/7/ b) Qualquer subgrupo de (A, +) é um subanel de (A, +, ). c) O anel Q[x]/ < x 3 1 > tem exactamente 4 ideais. d) O anel Z[i]/ < 37 > é um corpo. 3. Considere o anel Z a) Quantos geradores e quantos divisores de zero existem em Z 1325? b) Quais são os homomorfismos de grupo φ : Z 505 Z 1325? c) Quais são os subanéis de Z 1325 que são corpos? d) Determine os homomorfismos de anel ϕ : Z Z Suponha que G é um grupo com 2p elementos, onde p 2 é um número primo. Recorde que G tem pelo menos um elemento α com ordem 2. a) Prove que G contém pelo menos um elemento ε de ordem p b) Prove que x G tem ordem p se e só se x H =< ε >= {1, ε, ε 2,, ε p 1 } e x 1. c) Os elementos de G são da forma x = α n ε m, com 0 n < 2, e 0 m < p. Qual é a ordem de cada um destes elementos? sugestão: a resposta depende de G ser abeliano ou não, portanto os dois casos devem ser analisados separadamente. d) Suponha que G não é abeliano e φ : G N é um homomorfismo sobrejectivo. Classifique o grupo N. sugestão: quais são os subgrupos normais de G? o Exame: 21/7/ Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (G, ) é um grupo, com identidade 1, e H e K são subgrupos de G. a) Se x, y G então (xy) 1 = y 1 x 1. b) H K é um subgrupo de G. c) Se G = 100, a equação x 7 = 1 só tem uma solução x G. d) Se G = 15 e G é abeliano então G Z 15.

29 28 CAPÍTULO 2. ENUNCIADOS DE EXAMES 2. Diga, em cada caso, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando a sua resposta com uma demonstração, ou um contra-exemplo. Nesta questão, (D, +, ) é um domínio integral, com identidade 1. a) Qualquer subanel unitário de D com mais de um elemento contém a identidade de D. b) Qualquer subanel de D é um ideal de D. c) Se os ideais de D são apenas os triviais ({0} e D) então D é um corpo. d) Se D é um d.f.u., então todos os seus elementos irredutíveis são primos. 3. Considere o anel Z 775. a) Quantos subanéis tem Z 775? Quantos divisores de zero existem em Z 775? b) Z 775 tem um subanel B com 155 elementos. Quantos geradores tem o subanel B? c) Resolva a equação x 2 = 0, com x Z 775. d) Quantos homomorfismos de grupo ϕ : Z 775 D 31 existem? (Recorde que D 31 é o grupo diedral formado pelas simetrias do polígono regular de 31 lados.) 4. Considere o anel K = Z 5 [x]/ < p(x) >, onde p(x) = x 3 +2x 2 +2x+1. Note que p(4) = 0. a) Determine o número de elementos do anel K, e verifique que K não é um corpo. b) Mostre que os ideais de K são da forma <α(x)> <p(x)>, onde α(x) p(x). c) Quantos ideais existem em K? Quantos subgrupos existem em K? d) Sendo a(x) e b(x) factores irredutíveis de p(x), mostre que K Z 5[x] < a(x) > Z 5[x] < b(x) >. sugestão: Determine um homomorfismo de anéis apropriado φ : Z 5 [x] Z 5[x] < a(x) > Z 5[x] < b(x) >

30 Capítulo 3 Testes Resolvidos o Teste: 10/4/ Mostre que o grupo (Z 4, +) não é isomorfo ao grupo (Z 2 Z 2, +). resolução: Suponha-se que f : Z 4 Z 2 Z 2 é um homomorfismo de grupos. Vamos verificar que f não pode ser injectiva, ou seja, f não pode ser um isomorfismo, porque a tabuada de Z 2 Z 2 só tem o elemento neutro na diagonal principal, o que não é o caso da tabuada de Z 4. Temos f(0) = (0, 0), porque qualquer homomorfismo transforma a identidade do grupo de partida na identidade do grupo de chegada. Em Z 4 temos = 2 0, e em Z 2 Z 2 temos x + x = (0, 0) para todos os elementos x Z 2 Z 2. Notamos que f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = (0, 0) = f(0). Portanto f não é injectivo, e f não é um isomorfismo. 2. Seja H = {A M n (R) : det(a) = 1}. a) Mostre que H com o produto usual de matrizes é um grupo. resolução: Sabemos da Álgebra Linear que o produto de matrizes é associativo, e tem identidade (a matriz identidade I). Temos det(i) = 1, e portanto I H, e H. Sendo A, B H, temos det(ab) = det(a) det(b) = 1 1 = 1 AB H, ou seja, H é fechado em relação ao produto. Se A H então A é invertível, porque det(a) = 1 0, e det(a 1 ) = 1/ det(a) = 1, ou seja, A H A 1 H. Podemos assim concluir que H é um grupo com o produto usual de matrizes. 29

31 30 CAPÍTULO 3. TESTES RESOLVIDOS b) Sendo G o grupo formado por todas as matrizes invertíveis, com a mesma operação, mostre que H é um subgrupo normal de G. resolução: Sabemos da alínea anterior que H é um subgrupo de G (porque H é um grupo, está contido em G, e as operações em H e G são a mesma). Temos apenas que verificar que A H e B G B 1 AB H, o que resulta de det(b 1 AB) = det(b 1 ) det(a) det(b) = det(b 1 ) det(b) = Sendo J e K ideais de um dado anel A, prove que L = {x + y : x J, y K} é um ideal de A. resolução: Temos que verificar que L é um subanel de A, que é além disso fechado em relação ao produto por elementos de A. Mais exactamente, temos que mostrar que: L, b, b L b b L (L é fechado em relação à diferença) b L e a A ab, ba L (L é fechado em relação ao produto por a A) Seja 0 o zero do anel A. Então 0 = L, porque 0 J e 0 K(qualquer subgrupo de (A, +) contém o respectivo elemento neutro), e portanto L. Se b, b L então b = x + y e b = x + y, onde x, x J e y, y K. Temos b b = (x + y) (x + y ) = (x x ) + (y y ). Como J e K são subanéis, são fechados em relação à diferença, e portanto x x J e y y K, i.e., b b L. Temos ab = a(x + y) = ax + ay, e ba = (x + y)a = xa + ya. Como J e K são ideais, são fechados em relação ao produto por elementos de A, e ax, xa J, e ay, ya K. Segue-se que ab, ba L. 4. Suponha que x e y pertencem a um anel A. a) Mostre que x 2 y 2 = (x y)(x + y) para quaisquer x, y A se e só se A é um anel abeliano. resolução: (x y)(x+y) = (x y)x+(x y)y = x 2 yx+xy y 2. É portanto evidente que (x y)(x + y) = x 2 y 2 yx + xy = 0 yx = xy. b) Supondo que A é abeliano e x 2 = y 2, temos necessariamente x = ±y? resolução: Não. Eis alguns contra-exemplos, como: (basta indicar um, bem entendido!) O anel Z 4, tomando x = 0 e y = 2, donde x 2 = y 2 = 0, mas 2 = 2 0.

32 o TESTE: 15/5/ A soma directa R R, ou (o que é basicamente o mesmo exemplo) as matrizes 2 2 diagonais, com a soma e produto de matrizes. As funções f : R R com a soma e produto usuais de funções tomando, por exemplo, f(x) = 1 para qualquer x, e g(x) = 1 para x 0, e g(x) = 1 para x < Considere o grupo das raízes-4 da unidade, G = {1, i, 1, i}, com o produto usual de complexos, e o grupo (Z 2, +). Quais são os homomorfismos h : G Z 2? Sugestão: Comece por recordar que o núcleo de h é um subgrupo de G. resolução: G tem apenas 3 subgrupos, a saber: o próprio G, o subgrupo trivial {1}, e {1, 1}. Portanto teremos N(h) = G, ou N(h) = {1}, ou N(h) = {1, 1}. Se N(h) = G, temos h(x) = 0 para qualquer x G, e h é um homomorfismo de grupos. Se N(h) = {1} então h é injectiva, o que é impossível, porque G tem 4 elementos, e Z 2 tem apenas 2 elementos. Se N(h) = {1, 1}, então h(1) = h( 1) = 0, e h(i) 0, h( i) 0. Claro que neste caso teremos necessariamente h(i) = h( i) = 1. A equação h(xy) = h(x) + h(y) é válida quando x = ±1, y = ±1: porque se reduz a 0 = x = ±i, y = ±i: porque a equação reduz-se a 0 = x = ±1, y = ±i, ou x = ±i, y = ±1: porque a equação se reduz a 1 = 0 + 1, ou 1 = o Teste: 15/5/ Esta questão refere-se ao anel dos inteiros Z. Seja J =< 24 > o conjunto dos múltiplos de 24, e K =< 36 > o conjunto dos múltiplos de 36. a) Qual é o menor elemento positivo de J K? Quais são os elementos de J K? resolução: J K é o conjunto dos múltiplos comuns a 24 e 36. O seu menor elemento positivo é o menor múltiplo comum de 24 e 36, i.e., 72. Os seus elementos são os múltiplos de 72. b) Qual é o menor ideal de Z que contém os ideais J e K? resolução: Qualquer ideal que contenha J contém 24, e é por isso gerado por um divisor de 24. Analogamente, se um ideal contém K então é gerado por um divisor de 36. Concluimos que

33 32 CAPÍTULO 3. TESTES RESOLVIDOS um ideal que contenha J e K é gerado por um divisor comum de 24 e 36. Esse ideal será tanto menor quanto maior for esse divisor comum. Portanto o menor ideal que contém J e K é gerado pelo máximo divisor comum de 24 e 36,ou seja, é o conjunto dos múltiplos de Mostre que os números e são primos entre si. resolução: Seja d o máximo divisor comum de e Sabemos que a diferença = 3 é múltiplo de d, e portanto d só pode ser 1 ou 3. É evidente que (mod 3), portanto d não é 3, e estes números são primos entre si. 3. Ainda no anel dos inteiros, considere a equação 105x + 154y = d. a) Qual é o menor natural d para o qual a equação acima tem soluções? Resolva a equação para esse natural d. resolução: O menor natural d é o mdc(105, 154). Aplicando o algoritmo de Euclides, temos: n m q r y 1 x 1 y 2 x Concluímos que d = 7, e que x = 3 e y = 2 é uma solução particular de 105x + 154y = 7. Para calcular a solução geral da equação homógenea correspondente, que é 105x+154y = 0, dividimos por 7, donde 15x+22y = 0, ou 15x = 22y. Como 15 e 22 são primos entre si, temos 15x = 22y 22 x x = 22k y = 15k. A solução geral de 105x + 154y = 7 é assim x = k, y = 2 15k, k Z. b) O elemento 105 tem inverso no anel Z 154? Quantos elementos tem < 105 >? resolução: Não, porque 105 não é primo relativamente a 154. Como mdc(105, 154) = 7, temos < 105 >=< 7 >, que tem 154/7 = 22 elementos. c) O subanel < 105 > tem identidade? Caso afirmativo, qual é essa identidade? resolução: Temos < 105 >=< 7 >. Sendo x a identidade deste subanel, temos

34 o TESTE: 15/5/ x < 7 >, i.e., x 0 (mod 7), ou x = 7k, e x 2 = x, i.e., x(x 1) 0 (mod 154). Como 154 = 7 22, e 7 e 22 são primos entre si, o sistema x 0 (mod 7), e x 1 (mod 22) tem solução, e essa solução satisfaz x(x 1) 0 (mod 154). Neste caso, x é primo relativamente a 22, porque x 1 (mod 22), e portanto mdc(x, 154) = 7k = 7. Em particular, < x >=< 7 >, e todos os elementos do subanel < 7 > são da forma kx. Como kx x = k x 2 = kx, é claro que x é a identidade de < 7 >. Para calcular x, notamos que x 1 (mod 22) x = y, donde x 0 (mod 7) y 0 (mod 7). Temos y 0 (mod 7) y 1 (mod 7) y = 1 + 7k. Segue-se que x = 1+22( 1+7k) = k, e x = 21 = Prove que se n é natural então n k=1 k 3 = n2 (n + 1) 2. 4 resolução: Demonstramos por indução a afirmação P (n) = n k=1 A afirmação P (1) é verdadeira, porque k 3 = n2 (n + 1) k 3 = 1, e 12 (1 + 1) 2 4 k=1 Supondo P (n) verdadeira, temos = 1. n+1 n k 3 = k 3 + (n + 1) 3 = n2 (n + 1) 2 + (n + 1) 3 = 4 k=1 k=1 ( n 2 (n + 1) 2 + 4(n + 1) 3) = = (n + 1)2 (n 2 + 4(n + 1)) 4 4 = (n + 1)2 (n 2 + 4n + 4) = (n + 1)2 (n + 2) A igualdade n+1 k=1 k3 = (n+1)2 (n+2) 2 4 é P (n + 1). =

35 34 CAPÍTULO 3. TESTES RESOLVIDOS 5. Sejam n, m N, D = mdc(n, m) e M = mmc(n, m). Prove que nm = DM. Sugestão: Supondo que n = ad e m = bd, mostre que qualquer múltiplo comum de n e m é múltiplo de abd. resolução: Notamos que abd = nb = ma é múltiplo comum de n e m. (abd)d = (ad)(bd) = nm. Provamos que abd = M é o menor múltiplo comum, donde DM = nm, mostrando que qualquer múltiplo comum é múltiplo de abd. Como D = nx + my = adx + bdy, temos 1 = ax + by e portanto mdc(a, b) = 1, ou seja, a e b são primos entre si. Seja agora k = ns = ads um múltiplo de n. Se k é igualmente múltiplo de m temos k = mt = bdt, e portanto ads = bdt, ou as = bt. a é assim factor de bt, e como a é primo relativamente a b, a é factor de t. Logo t = au, e k = bdt = bdau é múltiplo de abd o Teste: 7/6/ Considere p(x) = x 4 + 2x 3 + 2x + 2 e q(x) = x em Z 3 [x]. a) Determine o máximo divisor comum de p(x) e q(x). resolução: m(x) n(x) q(x) r(x) x 4 + 2x 3 + 2x + 2 x x 3 + 2x + 1 x x 3 + 2x + 1 2x 2x 2 + x + 1 2x 3 + 2x + 1 2x 2 + x + 1 x Temos portanto que mdc = 2(2x 2 + x + 1) = x 2 + 2x + 2. b) Qual é menor múltiplo comum de p(x) e q(x)? resolução: mmc = p(x)q(x) = (x4 + 2x 3 + 2x + 2)(x 4 + 1) mdc x 2 + 2x + 2 =(x 2 + 1)(x 4 + 1) = x 6 + x 4 + x = 2. Mostre que ( n=0 xn ) 2 = (1 + 2x) n=0 x3n em Z 3 [[x]]. resolução: Sabemos que ( ) ( ) n c n x n = a n x n b n x n c n = a k b n k. n=0 n=0 n=0 k=0