LISTA CLASSES LATERAIS, TEOREMA DE LAGRANGE 17. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G cujas ordens sejam relativamente primas.

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1 MAT Álgebra 2o. semestre/2008 LISTA 1 1. GRUPOS 1. Seja G um grupo. Mostre que se ab 2 = a 2 b 2, para quaisquer a, b G, então G é abeliano. 2. a Se G é um grupo no qual ab i = a i b i, para três inteiros consecutivos i e para quaisquer a, b G, demonstre que G é abeliano. b Vale o mesmo resultado se ab i = a i b i, para apenas dois inteiros consecutivos i? 3. a Seja G um grupo tal que a 2 = e G, para todo a G. Prove que G é abeliano. b O mesmo resultado é válido se G for um grupo tal que a 3 = e G, para todo a G? 4. Sejam m, n inteiros positivos, tais que mdcm, n = 1. Seja G um grupo onde todas as potências m-ésimas comutem entre si e todas as n-ésimas potências comutem entre si. Mostre que G é abeliano. 2. SUBGRUPOS 5. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G. Mostre que H K é um subgrupo de G se e somente se H K ou K H. 6. a Seja a um elemento de um grupo G. O normalizador de a em G é definido como sendo o conjunto Na = {x G ; xa = ax}. Prove que o normalizador de a em G é um subgrupo de G; b determine o normalizador de σ em S 3 ; c determine o normalizador de j em Q Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. Considere o seguinte subconjunto de G: C G H = {x G : xh = hx, para todo h H}. Mostre que C G H é um subgrupo de G. C G H é chamado centralizador de H em G. 8. a O centro de um grupo G é definido como sendo o conjunto ZG = {z G ; zx = xz, para todo x G}. Prove que o centro de G é um subgrupo de G; b prove que ZG = Nx; x G c encontre o centro de D 3 e de Q Se G é um grupo de ordem par, mostre que G contém um elemento de ordem Mostre que se G é um grupo de ordem par então existe um número ímpar de elementos de ordem Seja a um elemento de um grupo tal que a n = e. Mostre que oa divide n. 12. Seja G um grupo e sejam a, b G. Mostre que ab e ba têm a mesma ordem. 13. Seja G um grupo e seja a G um elemento de ordem n. Se n = km, mostre que a k tem ordem m. 14. Seja G um grupo e seja a G um elemento de ordem r. Seja m um inteiro positivo tal que mdcm, r = 1. Mostre que oa m = r. 15. Mostre que o número de geradores de um grupo cíclico de ordem n é φn, onde φ é a função de Euler φn é igual ao número de inteiros positivos menores que n e que são relativamente primos com n. 16. a Seja G um grupo e sejam a, b G. Mostre que oa = ob 1 ab. b Se G possui apenas um elemento a de ordem n, mostre que a ZG e que n = CLASSES LATERAIS, TEOREMA DE LAGRANGE 17. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G cujas ordens sejam relativamente primas. Mostre que H K = {e}. 1

2 18. Seja G um grupo e sejam a, b G tais que ab = ba. Se a tem ordem m, b tem ordem n e mdcm, n = 1, mostre que a ordem de ab é mn. 19. Seja G um grupo abeliano que contém um elemento de ordem n e um de ordem m. Mostre que G contém um elemento de ordem mmcn, m. 20. Seja G um grupo e sejam H e K dois subgrupos de índice finito em G. Mostre que H K é um subgrupo de índice finito em G. 21. Seja G um grupo, seja H um subgrupo de G e seja K um subgrupo de H. Mostre que K tem índice finito em G se e somente se H tiver índice finito em G e K tiver índice finito em H. Neste caso, mostre que [G : K] = [G : H][H : K]. 4. SUBGRUPOS NORMAIS E QUOCIENTES 22. Demonstre que se G é um grupo abeliano então todos os seus subgrupos são normais. A recíproca é verdadeira? 23. Neste exercício vamos construir um grupo não-abeliano, contendo 8 elementos, cujos subgrupos são todos normais. Considere o seguinte subconjunto de M 2 C: onde id = 1 0, I = a Verifique as seguintes identidades abaixo: Q 8 = {id, id, I, I, J, J, K, K},, J = i i 0, K =. i 0 0 i I 2 = J 2 = K 2 = id, I J = K = JI, IK = J = KI, JK = I = KJ. b Mostre que Q 8 com o produto usual de matrizes é um grupo não-abeliano de ordem 8. c Encontre I 1, J 1, K 1. d Calcule as ordens de todos os elementos de Q 8. e Liste todos os subgrupos de Q 8. São 6. f Mostre que todos os subgrupos de Q 8 são normais. g Determine o centro ZQ 8 de Q Seja GLn, R o grupo com relação a multiplicação das n n matrizes inversíveis sobre R. Mostre que SLn, R = {A GLn, R ; deta = 1} é um subgrupo normal de GLn, R. 25. Seja N um subgrupo normal de um grupo G tal que [G : N] = m. Mostre que a m N para todo a G. 26. Sejam N 1, N 2 subgrupos normais de um grupo G. Mostre que N 1 N 2 é um subgrupo normal de G. Mais geralmente, mostre que se {N i : i I} é uma família de subgrupos normais de G, então i I N i é um subgrupo normal de G. 27. Seja H um subgrupo de um grupo G tal que o produto de duas classes laterais à direita de H em G seja sempre uma classe lateral à direita de H em G. Mostre que H é normal em G. 28. Seja H um subgrupo de índice 2 em um grupo G. Mostre que H é normal em G. 29. Seja N um subgrupo normal de um grupo G e seja H um subgrupo de G. Mostre que NH é um subgrupo de G. 30. Se N e M são subgrupos normais de um grupo G, mostre que NM também é normal em G. 31. Seja G um grupo e seja N um subgrupo normal de G. Mostre que G/N é abeliano se e somente se aba 1 b 1 N, para todos a, b G. Em particular, se G for abeliano, então o quociente G/N será também abeliano. 32. Seja G um grupo e seja G o subgrupo de G gerado pelo seguinte conjunto: {aba 1 b 1 : a, b G}. a Mostre que G é normal em G. 2

3 b Mostre que G/G é abeliano. c Seja N um subgrupo normal de G. Mostre que se G/N for abeliano, então N G. d Mostre que se H é um subgrupo de G tal que H G, então H é normal em G. O subgrupo G de G definido acima chama-se subgrupo comutator ou derivado de G. 33. Seja H um subgrupo de um grupo finito G e suponha que H seja o único subgrupo de G de ordem H. Mostre que H é normal em G. 34. Se N e M são subgrupos normais de G tais que N M = {e}, demonstre que nm = mn, para quaisquer n N e m M. 35. Seja e seja G = Mostre que a N é um subgrupo normal de G; b G/N é abeliano. { } a b : a, b, c R, ac = 0 0 c N = { } 1 b : b R. 36. Seja G um grupo finito e H um subgrupo normal em G tal que mdc H, [G : H] = 1. Prove que H é o único subgrupo de G de ordem igual a H. 5. HOMOMORFISMOS 37. Em cada um dos itens abaixo, verifique se a função ϕ : G G é um homomorfismo de grupos. Nos casos em que são homomorfismos, determine os núcleos e imagens deles. a G = R = {x R : x = 0} com operação dada pelo produto usual de números reais e ϕx = x 2, para todo x G. b G = R e ϕx = 2 x, para todo x G. c G = R, com operação dada pela soma usual de números reais e ϕx = x + 1, para todo x G. d G = R e ϕx = 13x, para todo x G. e G é um grupo abeliano qualquer e ϕx = x 5, para todo x G. 38. Seja G um grupo e seja a um elemento fixado de G. Mostre que a função ϕ : G G, dada por ϕx = axa 1, para todo x G, é um isomorfismo. 39. Mostre que um grupo G é abeliano se e somente se a aplicação ϕ : G G definida por ϕg = g 2, para todo g G, for um homomorfismo. 40. Seja G = C = {z C : z = 0} com operação dada pela multiplicação usual de números complexos. Seja { } G a b = : a, b R R \ {0, 0}, b a com operação dada pelo produto usual de matrizes. Mostre que G e G são grupos isomorfos. Sugestão: A matriz I = 1 0 é tal que I 2 = Seja ϕ : G G um homomorfismo de grupos com núcleo K. Mostre que, para cada a G, vale a seguinte igualdade {b G : ϕb = ϕa} = ak. 42. Sejam G e H grupos e seja ϕ : G H um homomorfismo. Mostre que ϕg ϕg. 43. Seja G um grupo abeliano finito de ordem n, onde n é um inteiro positivo. Seja r um inteiro positivo tal que mdcn, r = 1. Mostre que todo elemento g G pode ser escrito na forma g = x r para algum x G. Sugestão: Mostre que g g r é um isomorfismo de G em G. 3

4 6. GRUPOS DE PERMUTAÇÕES 44. Em cada um dos itens abaixo, escreva a permutação dada como produto de ciclos disjuntos e como produto de transposições a b c d Seja i 1 i 2 i r 1 i r um ciclo de S n. a Mostre que b Mostre que i 1 i 2 i r 1 i r = i 2 i 3 i r i 1 = = i r i 1 i r 2 i r 1. i 1 i 2 i r 1 i r 1 = i r i r 1 i 2 i Sejam σ = i 1 i 2 i r e τ = j 1 j 2 j s ciclos de S n. Mostre que σ e τ são disjuntos se e somente se {i 1, i 2,..., i r } {j 1, j 2,..., j s } =. 47. Seja i 1 i 2 i r 1 i r um ciclo de S n. Mostre que para todo σ S n. σi 1 i 2 i r 1 i r σ 1 = σi 1 σi 2 σi r 1 σi r, 48. Seja H um subgrupo de S n. Mostre que H A n ou [H : H A n ] = a Qual é a ordem de um n-ciclo? b Qual é a ordem de um produto de r ciclos disjuntos de ordens n 1, n 2,..., n r? c Para quais inteiros positivos m um m-ciclo é uma permutação par? 50. a Mostre que S n é gerado por 1 2, 1 3,..., 1 n 1, 1 n. Sugestão: Mostre que toda transposição se escreve como um produto dos elementos da forma 1 i. b Mostre que S n é gerado por 1 2 e n. Sugestão: Use o item anterior e o fato de que toda transposição da forma 1 i se escreve como produto de transposições da forma j j Mostre que A 4 não contém subgrupos de ordem 6 e, portanto, não vale a recíproca do Teorema de Lagrange. 52. Seja n um inteiro tal que n 2. Defina o grupo diedral D n como sendo o grupo de ordem 2n cujos elementos são expressões formais da forma x i y j, onde i = 0, 1 e j = 0,..., n 1, com operação binária dada por justaposição sujeita às seguintes condições: x 2 = e, y n = e, yx = xy n 1, com a convenção x 0 = y 0 = e. O grupo diedral D n pode ser realizado como o grupo dos movimentos rígidos de um polígono regular de n lados que levam os vértices em vértices. a Mostre que D n é isomorfo ao subgrupo de S n gerado pelas permutações n 1 n n 1 e n 1 n 1 n n b Seja w = e 2πi/n uma raiz n-ésima primitiva da unidade. Mostre que as matrizes w 0 A = 0 w 1 e B = 1 0 geram um subgrupo de GL2, C isomorfo a D n. c Mostre que N = {e, y, y 2,..., y n 1 } é um subgrupo normal de D n. d Mostre que D n /N é um grupo cíclico de ordem 2. e Descreva o centro de D n. 4.

5 53. a Seja σ S n o r-ciclo i 1 i 2... i r e seja α S n. Mostre que ασα 1 = αi 1 αi 2... αi r b Se σ, τ são dois r-ciclos, mostre que existe α S n tal que ασα 1 = τ. c Prove que duas permutações são conjugadas se e somente se elas têm a mesma estrutura cíclica. 7. PRODUTO DIRETO 54. Sejam G 1,..., G n grupos e seja a = a 1,..., a n um elemento do produto direto G = G 1 G n. Suponha que, para cada i = 1,..., n, o elemento a i tenha ordem finita r i no grupo G i. Mostre que a ordem de a em G é igual a mmcr 1,..., r n. 55. a Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos normais de G tais que HK = G e H K = {e G }. Mostre que G = H K. b Seja G um grupo abeliano e sejam H 1,..., H n subgrupos de G tais que G = H H n e H i H H i 1 + H i+1 + H n = {0} para todo i = 1,..., n. Mostre que G = H 1 H n. 56. a Sejam G 1 e G 2 dois grupos e seja G = G 1 G 2 o produto direto deles. Considere os seguintes subconjuntos de G: H = {a 1, e 2 : a 1 G 1 } e K = {e 1, a 2 : a 2 G 2 }, onde e i denota o elemento identidade do grupo G i. Mostre que H e K são subgrupos normais de G tais que HK = G e H K = {e G }. b Sejam G 1,..., G n grupos abelianos e seja G = G 1 G n o produto direto deles. Para cada i = 1,..., n, considere o seguinte subconjunto de G: H i = {0,..., 0, a i, 0,..., 0 : a i G i }, onde os a i ocorrem na posição i. Mostre que os H i são subgrupos de G tais que G = H H n e H i H H i 1 + H i+1 + H n = {0} para todo i = 1,..., n. 57. Sejam G 1 e G 2 grupos, seja N 1 um subgrupo normal de G 1 e seja N 2 um subgrupo normal de G 2. Mostre que N 1 N 2 é um subgrupo normal de G 1 G 2 e que G 1 G 2 N 1 N 2 = G 1 N 1 G 2 N AÇÕES 58. Seja G um grupo de ordem p k onde p é um número primo e k > 0. Mostre que se H é um subgrupo de ordem p k 1 então H é normal em G. 59. Seja G um p-grupo finito, onde p é um primo positivo. Seja H um subgrupo normal de G tal que H = {e}. Mostre que H ZG = {e}. 60. Seja G um grupo que age em um conjunto S. Para cada g G, considere o seguinte subconjunto de S, S g = {x S : g x = x}. Mostre que o número de órbitas distintas da ação de G em S é dado por 1 G S g. g G 61. Encontre os subgrupos de Sylow de S 3 e de S TEOREMAS DE SYLOW 62. Seja G um grupo finito tal que, para todo divisor primo p de G, o p-subgrupo de Sylow de G é normal. Prove que G é produto direto de seus subgrupos de Sylow. 63. Mostre que todo grupo de ordem 45 é abeliano. 5

6 64. Mostre que nenhum grupo de ordem 200 é simples. 65. Seja G um grupo de ordem 2 n 3, com n 2. Mostre que G possui um subgrupo normal de ordem 2 n ou 2 n Seja G um grupo de ordem 108 = Mostre que G contém um subgrupo normal de ordem 9 ou Seja G um grupo de ordem pqr, onde p < q < r são números primos. Mostre que G possui um único subgrupo de ordem r. 68. Mostre que não existem grupos simples de ordem pqr, onde p, q e r são números primos distintos. 69. Seja G um grupo finito, seja P um subgrupo de Sylow de G e seja N um subgrupo normal de G. Mostre que a P N é um subgrupo de Sylow de N; b PN/N é um subgrupo de Sylow de G/N. 70. Seja G um grupo de ordem pq, onde p < q são números primos. a Mostre que o q-subgrupo de Sylow de G é normal em G. b Mostre que se p não divide q 1 então G é um grupo cíclico. c Mostre que se p divide q 1 então existe exatamente um grupo não abeliano de ordem pq. d Mostre que se G não é abeliano então G é isomorfo a um subgrupo de S q. 10. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GERADOS 71. Descreva todos os grupos abelianos de ordem Mostre que um grupo abeliano finito não é cíclico se e somente se ele contiver um subgrupo isomorfo a Z p Z p para algum primo p positivo. 73. Mostre que se a ordem de um grupo abeliano não for divisível por um quadrado então o grupo é cíclico. 74. Sejam G 1, G 2, G 3 grupos abelianos finitamente gerados. Mostre que se G 1 G 2 = G1 G 3, então G 2 = G Seja G um grupo e seja ZG o centro de G. a Mostre que se G/ZG for cíclico, então G será abeliano. b Mostre que se G tem ordem p 2, onde p é um número primo, então G é abeliano. c Suponha que G não seja abeliano e que G = p 3, onde p é um número primo. Mostre que ZG = G e que G/ZG = C p C p, onde C p denota o grupo cíclico de ordem p. 6