Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

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1 º Sábado - Matrizes - //7 Plano e Programa de Ensino Matrizes Exemplos Ordem de Uma Matriz Exemplos Representação 7 Matriz Genérica m x n 8 Matriz Linha 9 Exemplos Matriz Coluna Exemplos Diagonal de Uma Matriz Exemplos Matriz Quadrada Exemplos Matriz Diagonal 7 Exemplos 8 Matriz Escalar 9 Exemplos Matriz Identidade e Notação Especial Exemplos Matrizes Iguais Exemplos Outros Tipos de Matrizes Matriz Nula Matriz Triangular Inferior 7 Matriz Triangular Superior 8 Matriz Transposta 9 Matriz Oposta Matriz Simétrica Matriz Anti-simétrica Soma de Matrizes Exemplos Propriedades da Soma Diferença de Matrizes Exemplos 7 Propriedades da Transposta

2 º Sábado - Matrizes e Propriedades - 8//7 Exercício : Exemplo de matriz anti-simétrica x Forma de uma matriz anti-simétrica nxn Multiplicação de uma matriz por um escalar Exemplo Multiplicação de Matrizes Exercício : Considere as matrizes A e B Determine a matriz C A B A BA B 7 O produto de matrizes não é comutativo 8 Traço de uma matriz quadrada 9 Propriedades Resposta: AB - BA Exercício : Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB=A e BA=B Então [(A+B) t ] é igual a: a) (A+B) b) (A t B t ) c) (A t + B t ) d) A t + B t e) A t B t Exercício : Seja A uma matriz x simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q diferente de e tr A = a Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X pertencente ao conjunto das matrizes x, pode-se afirmar que a + q é igual a: a) / b) / c) d) 9/9 e) /

3 º Sábado Determinantes - //7 Menor de Uma Matriz Exemplo Determinante de Uma Matriz x e x Exemplo Determinante de Uma Matriz x Exemplo 7 Cofator 8 Exemplo 9 Exemplos e : 7 Determinante de Uma Matriz Triangular Inferior Determinante da Matriz Identidade Determinante Nulo a)matriz com fila nula b) Matriz com filas iguais c) Filas Paralelas Proporcionais d) Fila escrita como combinação linear das outras Propriedades dos Determinantes a) Jacobi b) n L n L L L L L,,, det,,, det c) det(a) = det(a T ) Exemplo 7:

4 º Sábado Determinantes, Matriz Inversa e Sistemas Lineares - //7 Outras Propriedades Exercício : Justifique a igualdade: Técnicas para o cálculo de determinantes: a) Regra de Sarrus b) Eliminação de Gauss (Escalonamento) c) Laplace d) Chió Exercício : Calcule usando todas as regras acima: / 8 7 Matriz e Determinante de Vandermonde Exemplo 7 Matriz Inversa 8 Exemplo 9 Proposição : A inversa, quando existe, é única Notação: A - Propriedades da Inversa Exercício : Seja a ij nxn I n A é a matriz / A uma matriz tal que A Mostre que a inversa de I n A A Teorema : det A - = /det A Inversa de Uma Matriz de Ordem Matriz Adjunta Exemplo : A AdjA 7 Teorema : Se A é uma matriz nxn então A AdjA AdjA A det A In 8 Teorema : Seja A uma matriz nxn, se det A então A AdjA det A 9 Exercício : Justifique a fórmula fechada para a Inversa de Ordem Exercício : Calcule a inversa da matriz Matriz Ortogonal e Algumas Proposições Exercício : Estudar Sistemas Lineares e Classificação

5 º Sábado - Espaço e Subespaço Vetorial - 8//7 7x y z Exercício : Resolva o sistema: y z Resposta: x, y, z x y z Exercício : Prove que a inversa de uma matriz simétrica é simétrica Espaço Vetorial Exemplo Proposição : Sobre unicidades Proposição : Propriedades a) u v u w v w u, v, wv b) v v v V c) R v v d) v v ou v v e) v v v V 7 Subespaço Vetorial 8 Exemplo : Conjunto dos múltiplos escalares de um vetor não nulo v V 9 Exercício : Mostre que os conjuntos das matrizes simétricas e anti-simétricas são subespaços do espaço das matrizes quadradas nxn Proposição : Sobre União e Interseção de Subespaços Soma e Soma Direta Exemplo Proposição : Sobre Soma de Subespaços Exercício : Verifique se são subespaços: a) W x y, z b) W x, y, z c) W x, y, z, R ; z x R d) U x, y, z, w e) U x, y, z, w ; z R ; z e xy R ; x y R ; x y Exercício : Sejam W e W subespaços de um espaço vetorial V Então, V W W se, e somente se, todo elemento de v V se escreve, de modo único, como soma v v v, onde v W e v W v

6 º Sábado Combinação Linear e Geradores - //7 Exercício : Classifique os sistemas abaixo em SPD, SPI ou SI a) x y z 7 x y z 7x y z Respostas: SPD, SPI e SI x y z b) x y z x 9y z 7 Exercício : Mostre que x, y, z R x y z c) x y z x y z S R ; x y z é um subespaço vetorial de Exercício : Mostre que o conjunto das funções f C[ a, b]; R b a ( é um subespaço vetorial de C a, b]; R f x) dx Combinações Lineares Exemplo : Em R, o polinômio polinômios r ( x), s( x) x e t( x) x [ p( x) x tais que 7 7 é combinação linear dos Exemplo : Em R, o vetor u,, é combinação linear dos vetores,, n,, e p,, 7 Conjunto de Geradores a) Conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S (S ) b) Conjunto de Geradores de V c) Espaço finitamente gerado 8 Proposição : S V 9 Exercício : Mostre que o conjunto,,,,,,,,,,,,,,, m, S gera o R Proposição : Seja V um espaço vetorial e S e T subconjuntos não vazios de V Prove que: a) S S b) S T S T c) S S d) S V S S e) S T S T

7 7º Sábado Dependência Linear e Bases - //7 Vetores LI Vetores LD Exemplo : Verifique se a sequência de polinômios p ( t t é LD ou LI t) p ( t) t, p ( t) t t e Teorema Seja X um conjunto LI no espaço vetorial V Se u nu n v com u,, un X então n Teorema : (Recíproca do Teorema ) Exercício : Mostre que o conjunto formado por um único vetor não nulo é sempre LI 7 Proposição : Se uma sequência de vetores é LD em um espaço vetorial V então pelo menos um deles se escreve como combinação linear dos outros 8 Proposição : Se uma sequência de vetores é LD em um espaço vetorial V então qualquer sequência finita de vetores de V que os contenha também será LD 9 Proposição : Se uma sequência de vetores é LI em um espaço vetorial V então qualquer subsequência destes vetores também é LI Exercício : (Proposição ) Se uma sequência de vetores é LI em um espaço vetorial V e se juntarmos a ela um vetor qualquer de V e a mesma passar a ser LD então este vetor é combinação linear dos outros Proposição : Sejam u,,un vetores LI em um espaço vetorial V Então cada vetor v u,, u n se escreve de maneira única como v u nun Exercício : Verifique se os conjuntos são LD ou LI a) S,,,,, b) 7 T,,,,,,,, U,,,,,,,,,,, c) Respostas: LI, LI e LD Base Exemplos Exercício : Seja u,,u n uma base de V Mostre que,, u n de V Exercício : Mostre que u,,, v,, e,,9 u não é uma base w formam uma base de R Exprima os vetores da base canônica de R como combinação linear de u, v e w

8 8º Sábado Base e Dimensão e Exercícios - 9//7 Dimensão Exemplos Teorema Sejam v, v,, vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V Então, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V Teorema Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores v, v,, v n Então, qualquer conjunto com mais de n vetores de V é linearmente dependente v, v,, w, w,, duas bases de um Teorema Sejam e v r w s espaço vetorial V Então, r s Teorema Qualquer subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V 7 Teorema Seja V um espaço vetorial de dimensão finita Se W é um subespaço de V, então W tem também dimensão finita e dimw dimv Além disso, se dim W = dim V, então W=V 8 Exercício : O conjunto formado por todos os polinômios de grau 7 é um espaço vetorial sob as operações usuais? 9 Exercício : Encontre o valor de 8 7 Resposta: Exercício : Para quais valores de t a matriz t é inversível? Resposta: t t e t Exercício : Escreva,, 9 como combinação linear de,,7 e,, Mostre que,, não pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores Resposta: Basta tomar os escalares - e Exercício : Classifique cada conjunto abaixo em LD ou LI Justifique Respostas: LD, LI, LD, LI, LI Exercício : Para que valores de a os vetores são LI? Resposta: Para valores de a diferentes de -9

9 Exercício 7: Mostre que o conjunto x, x; x R é um subespaço de R Exercício 8: Mostre que W x, y, zr ;x y é um subespaço de R Exercício 9: Verifique se o conjunto k, m, n R ; k n 7 Exercício : Se u, v é uma base para o subespaço U, mostre que u v, v também uma base para U 8 Exercício : Encontre uma base para o subespaço é um subespaço de R U x, y, z, t R ;x y 7t e a dimensão de U 9 Exercício : Encontre uma base para o subespaço,,,,,,,, T do R Exercício : Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, U e W subespaços de V Prove que dim U dimw dim U W dim U W é

10 9º Sábado Primeira Prova Parcial - //7 Conteúdo: Aula até Aula 8 ALUNOS QUE FARÃO A PROVA NO PRIMEIRO HORÁRIO: TURMA DA NOITE: ADEMIR MARTINS ATÉ JAHNARA VERAS TURMA DA TARDE: ADRIANO CUNHA ATÉ KAMILLA CATÃO

11 º Sábado Correção da AP - //7 Correção da AP Gabaritos disponíveis no site: wwwmatematicamonteirocom

12 º Sábado Transformações Lineares - //7 O que são Transformações Lineares? Exemplo : :,, T T x y x y Exemplo : T :, T x, y, z x y, y z T :, T x 7x Exemplo : Exemplo : T :, T x, y,, Proposição : Se T : V 7 Exercício : Determine Resposta: T x y W é uma transformação linear então T T : tal que T,,, e T,,,, y x,, x x y V 8 O Núcleo de Uma Transformação Linear 9 Exemplo : Encontrar o núcleo de T no exemplo Proposição : Se T : V W é uma transformação linear então KerT é um subespaço de V Proposição : Seja T : V somente se KerT W A Imagem de Uma Transformação Linear Exemplo : Encontrar a imagem de T no exemplo Proposição : Seja T : V é uma transformação linear Então T é injetiva se, e W é uma transformação linear Se v, v,, vn é um conjunto de geradores de V, então geradores de ImT Em particular, dim ImT dimv Exemplo 7: No exercício, ImT G,,, T v, T v,, T vn é um conjunto de Teorema do Núcleo e da Imagem 7 Exercício : Seja T : V W é uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita Se dimv dimw, então as seguintes afirmações são equivalentes: i) T é injetiva ii) T é sobrejetiva W

13 º Sábado Isomorfismo, Operações com Transformações Lineares e Matriz de Uma Transformação Linear - 7//7 Isomorfismo Exercício : Mostre que são espaços vetoriais isomorfos e x Proposição Se V e W são espaços vetoriais de mesma dimensão n Então V e W são isomorfos Operações com Transformações Lineares Soma Multiplicação por Escalar Composição Exercício : Sejam T : V W, S : V W e F : W U transformações lineares e k Mostre que S T : V W, KT : V W e F T : V U também são lineares Matriz de Uma Transformação Linear 7 Exemplo : Sejam,,, e,,,,,,,,, respectivamente Calcule T,,, T x y x x y y T Resposta: onde, bases de e T : é dada por 8 Exemplo : Sejam e as bases dadas no exemplo anterior Determine a transformação linear T : tal que T Resposta: T x, y x, x y,y 9 Prova de ª Chamada AP

14 º Sábado Exercícios Extras, Autovalores e Autovetores - //7 Exercício : Seja T : uma transformação linear para a qual sabemos que T,, e,, Resposta: a b, a b T Determine, T a b Exercício : Determine a transformação T,,, Encontre, T T : tal que,,, T e Resposta:, /, Exercício : A transformação D: C a, b C a, b definida por D f f ' injetiva? Resposta: Não, pois o núcleo é o conjunto das funções constantes Exercício : Seja T : uma transformação linear dada por,,,, T x y z z x y z a) Encontre uma base para o núcleo de T b) Encontre uma base para a imagem de T Resposta: a ),, e b),,,,, Exercício : Seja : C C Encontre D D definida por D p p' Seja C t, t é Resposta: / / / / Exercício : Seja o funcional linear T : a transformação linear dada por T p tp' p'' Encontre a matriz A que representa T com relação a B, t, t Resposta:

15 7 Exercício 7: Verifique se T x, y, z x y, x z, z y é um automorfismo de Resposta: Não, pois KerT 8 Autovalores 9 Autovetores Polinômio Característico Exercício 8: Seja T : o operador linear dado por T x, y x y, x y Encontre os autovalores e autovetores de T Exercício 9: Seja T : o operador linear dado por T x, y y, x Encontre os autovalores e autovetores de T Exercício : Os autovalores de um operador linear T : são,, sendo v,,, v,, e,, associados Determine T x, y, z Resposta: T x, y, z x y z, x y z, x y z e v os respectivos autovetores

16 º Sábado ª Prova Parcial - //7 Conteúdo: Aulas 7,8, e Gabaritos disponíveis no site: wwwmatematicamonteirocom ALUNOS QUE FARÃO A PROVA NO PRIMEIRO HORÁRIO: TURMA DA NOITE: JOÃO PAULO ATÉ VICTOR HUGO TURMA DA TARDE: LEANDRO DE SOUZA ATÉ YURI GAGARIN ALUNOS REPROVADOS POR FALTA ATÉ O DIA //7: TURMA DA NOITE: CESAR AUGUSTO JAHNARA VERAS MAGNO RODRIGUES MATHEUS LEAL SUNAMITA DE SOUZA VICTOR HUGO TURMA DA TARDE: ALICY GABRIELLE ANDERSON XAVIER BONIFACIO LEITE CAIO CEASEAR ELCIO GONÇALVES ISABELE KATHELLEN 7 LEONOR RAMOS 8 NATANAEL FERREIRA 9 PAULA BEATRIZ PAULO AFONSO SILVIA LIMA TASSIA CAROLINA THIAGO HENRIQUE VANESSA MOTA WILLIANS VENÂNCIO YURI GAGARIN

17 º Sábado Prova Final - //7 Conteúdo: Aulas, e Gabaritos disponíveis no site: wwwmatematicamonteirocom OBSERVAÇÃO: SOMENTE PARA OS ALUNOS QUE NÃO ESTIVEREM REPROVADOS POR FALTA E CUJAS NOTAS SATIZFAÇAM A DESIGUALDADE ABAIXO: nota AP nota AP 8

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