Parte I - Grupos. Sumário. 1.1 Grupos, subgrupos, ordem. Exercício Se H é um subconjunto nito de um grupo G estável pela operação, mostre que

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1 Estruturas Algébricas Mestrado Matemática UFRJ Parte I - Grupos Aula inaugural: teoria elementar das categorias. Sumário 1 Grupos, morsmos Grupos, subgrupos, ordem Morsmos, subgrupos normais, grupos quocientes Teoremas de isomorsmos Grupo de permutações Ações de grupos, subgrupos de Sylow Ações de grupos em conjuntos Os teoremas de Sylow Aplicações Grupo derivado - grupos solúveis Centro, grupo derivado Séries subnormais e de composição Grupos solúveis Grupos, morsmos 1.1 Grupos, subgrupos, ordem Um grupo G ou (G, ) é um conjunto (não vazio) munido de uma operação associativa que admite um elemento neutro ou identidade e pela qual todo elemento tem um simétrico ou inverso. Isso é: x, y, z G, x (y z) = (x y) z e G, x e = e x = x x G, x G, x x = x x = e Se, além disso a operação é comutativa: x, y G, x y = y x, G é dito abeliano. Em geral denotamos a operação como um produto ou uma soma quando é comutativa. Se verica facilmente que a identidade é única, é denotada e, 1 em notação multiplicativa ou 0 em notação aditiva; o simétrico de x é também único, é denotado x 1 em notação multiplicativa ou x em notação aditiva. Um subgrupo H de G é um subconjunto que é ele próprio um grupo com a mesma operação de G, denotamos H < G. Por exemplo, {e} e G são subgrupos de G, chamados subgrupos triviais Se H é um subconjunto nito de um grupo G estável pela operação, mostre que H é um subgrupo de G. Dê um contra-exemplo no caso innito Mostre que H < G se e só se ( x, y H) : xy 1 H (Teorema de Lagrange) Seja G um grupo, H um subgrupo. Por x G, xh designa o conjunto {xh : h H}, são as classes laterais (a esquerda) de H em G. (a) Mostre que a relação x y y xh é uma relação de equivalência. 1

2 (b) Mostre que as classes de equivalência são do tipo xh e estão em bijeção com H. O conjunto quociente, isso é o conjunto das classes de equivalência denotado G/H. O seu cardinal chama-se o índice de H em G, denotado [G : H]. (c) Sob qual condição temos xh = H? Quais classes de equivalência são subgrupos? (d) Demostre o teorema de Lagrange: seja G nito, por H G então H é um divisor de G. (e) Denimos igualmente as classes de equivalência à direita, do tipo Hx. Mostre que as classes à direita são em bijeção com H e que o conjunto quociente é em bijeção com o conjunto das classes à esquerda Seja H um subgrupo de índice nito de G, e K um subgrupo de G contendo H. Mostre que ele é de índice nito em G e que [G : H] = [G : K][K : H] Seja G um grupo, S um subconjunto. Porque podemos falar do subgrupo gerado por S? Denotamos-o < S >. Um grupo é nitamente gerado quando G =< S > com S é nito, ele é dito monogêneo se é gerado por um único elemento G =< x >, chamado de gerador. Nesse caso, G é abeliano e pode ser innito {..., x 1, 1, x, x 2, x 3,... } como (Z, +) ou cíclico quando nito {1, x, x 2,..., x n 1 } como (Z/nZ, +) ou (U n, ). A ordem a de um elemento x de um grupo G é o cardinal do subgrupo gerado por x, denotado x. Se carateriza como o menor inteiro n > 0 tal que x n = 1. Quando tal n não existe, dizemos que x tem ordem innita. a Igualmente, ordem designa o cardinal de grupo nito Seja G um grupo cíclico de ordem n. (a) Determine todos os subgrupos de um grupo monogêneo innito e logo de G (tem-se um subgrupo cíclico de ordem d para cada inteiro d divisor de n). Em particular, todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. (b) Mostre que os geradores de G =< x > são do tipo x k onde k é primo com n. Detalhe o caso n = 12 e quando n é primo. Denotamos φ(n) o número de geradores do grupo cíclico de ordem n; essa função chama-se de função de Euler. (c) Calcule φ(p), φ(p α ) (com p primo). O Teorema chinês do resto 1 diz que φ é multiplicativa φ(uv) = φ(u)φ(v) quando mdc(u, v) = 1, deduza φ(n) por n N. (d) Agrupe os elementos de G em função da ordem e use (a) para demonstrar que: x N, d n φ(d) = n (e) Demonstre uma reciproca de (a) para concluir que um grupo nito de cardinal n é cíclico se e só se por cada d divisor de n existe um único subgrupo de cardinal d. Deduza que todo subgrupo nito (multiplicativo) de um corpo é cíclico (a) Mostre que um grupo G tal que todo elemento ( e) tem ordem 2 é abeliano. (b) Mostre que todo grupo com p elementos, p primo é cíclico. (c) Prove que existe dois grupos com quatro elementos, ambos abelianos. Aquele que não é cíclico chama-se o grupo de Klein. 1 Sejam u e v dois inteiros primo entre si, então o grupo cíclico de ordem uv é isomorfo ao produto dos grupos cíclicos de ordens u e v. 2

3 1.2 Morsmos, subgrupos normais, grupos quocientes Um morsmo de grupos f é um mapa entre grupos G G respeitando as operações: x, y G, f(xy) = f(x)f(y) Em particular, f(e) = e, f(x 1 ) = (f(x)) 1 e por H < G, f(h) < f(g). Chamamos de núcleo de f, denotado ker f, o conjunto dos antecedentes da identidade f 1 ({e}), é obviamente um subgrupo de G. Um morsmo é injetor se e só se ker f = {e}. Se um morsmo é bijetor, então f 1 é um morsmo. Os dois grupos são ditos isomorfos e escrevemos G = G. Um isomorsmo de um grupo em ele mesmo é um automorsmo. O conjunto dos automorsmos de G é um grupo pela operação de composição; denotado Aut(G) Mostre que x x 2 de G em G é um morsmo se e só se G é abeliano. Quando G é nito, sob qual condição é um automorsmo? (Repare que se G contem um elemento de ordem 2, então G é par por Lagrange) Seja g um elemento qualquer de G. Denotamos i g o mapa: i g : G G x gxg 1 Mostre que i g é um automorsmo de G (chamado de automorsmo interno ou conjugação por g). Mostre que o conjunto dos automorsmos internos Int(G) é um subgrupo de Aut(G). Um subgrupo H de G é normal (ou distinguido) em G se é estável pelos automorsmos internos g G : ghg 1 = H Escrevemos então H G. No caso abeliano, todo subgrupo de G é normal. Os dois subgrupos triviais {e} e G são sempre normais, quando são os únicos dizemos que G é um grupo simples a. Se H G então o conjunto quociente G/H pode ser munido de uma estrutura de grupo compatível com G, no sentido que a projeção G G/H denida por x xh seja um morsmo de grupos. a Os grupos simples são as partículas elementares que permitem, em grande parte, reconstruir todos os grupos (cf. cap. 3.2). Os grupos simples nitos são todos conhecidos (mas a classicação completa é muito complicada...) Prove essa última armação (observe que H G se classes a esquerda e classes a direita coincidem; x G : xh = Hx) Mostre que subgrupos de índice 2 e núcleos de morsmos são sempre normais. Explique a "equivalência" entre subgrupos normais e núcleos Mostre que o Int(G) é subgrupo normal de Aut(G) Mostre que um grupo abeliano simples é isomorfo a Z/pZ onde p é primo Suponhamos K H G, quais implicações são verdadeiras? K G K H K H K G K H e H G K G Seja f um morsmo de G em G, que podemos dizer da imagem inversa (resp. da imagem direita) de um subgrupo normal de G (resp. G)? (Teorema de correspondência de Noether) Seja G um grupo e H G. Mostre que o mapa K K/H é uma bijeção entre o conjunto dos subgrupos K tais que H < K < G e o conjunto dos subgrupos de G/H. Prove que o mapa repseita a normalidade. Faça um exemplo com Z/nZ e encontre de novo Ex (a). 3

4 1.3 Teoremas de isomorsmos (1 Teorema de isomorsmo) Seja f : G G um morsmo de grupos. Seja H G, tal que H ker f. Mostre que podemos denir um morsmo f : G/H G tal que f p = f, onde p é a projeção canônica de G em G/H (Teorema de fatoração). Verique que f : G/ker f Im f é um isomorsmo (1 Teo. de isom.) Sejam G um grupo, H G, K G dois subgrupos. Denimos o conjunto HK = {hk : h H, k K}. (a) Demonstre que HK é um subgrupo se e só se HK = KH. (b) Qual é o cardinal de HK quando ambos subgrupos são nitos? (c) Mostre que se H K = {e}, então os elementos de HK têm uma escritura única como produto hk. (d) Seja G = Z/6Z e H =< 2 >, K =< 3 >. Verique que G = HK e a unicidade da escritura (2 Teorema de isomorsmo) Sejam H e K dois subgrupos de G. Suponhamos K G. Mostre que H K H e H H K = HK K (3 Teorema de isomorsmo) Sejam H e K dois subgrupos normais de G. Suponhamos K H. Prove que H/K G/K e (G/K) (H/K) = G H (Lema de Poincaré) Suponhamos H G e K G ambos de índice nito. Demonstre que H K é de índice nito provando: [G : H K] [G : H][G : K] Dê um exemplo onde a desigualdade é estrita, um outro onde temos igualdade. 1.4 Grupo de permutações Denotamos S n o conjunto das bijeções de {1, 2,..., n} em ele mesmo; os seus elementos são também chamados de permutações. O grupo de permutações se chama também o grupo simétrico. Os S n não são abelianos (n > 2). Em geral denotamos ( ) σ = por designar a permutação σ(1) = 2, σ(2) = 1, σ(3) = 4, e σ(4) = 3. Um caso particular de permutação são as permutações circulares ou r-ciclos, onde r {2, 3,..., n}, quando existe (i 1, i 2,..., i r ) inteiros distintos em {1, 2,..., n} tais que: σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,..., σ(i r ) = i 1 todos demais inteiros sendo invariantes. Denotamos σ = (i 1, i 2,..., i r ) ou (i 1 i 2... i r ). Um 2-ciclo é chamado de transposição. A composição de permutações será escrito como um produto e lido da esquerda para a direita, desse modo, σ = (12)(34) Descreve os grupos S 1, S 2, S 3. 4

5 1.4.2 Verique que a única permutação que comuta com todos demais é a identidade quando n 3. (Dica: procure apenas os elementos que comutam com as transposições.) (Decomposição em ciclos) (a) Demonstre que um r-ciclo é de ordem r. (b) Chamamos suporte de um r-ciclo c o conjunto dos inteiros {i 1, i 2,..., i r }. Mostre que dois ciclos com suportes disjuntos comutam. (c) Demonstre que qualquer permutação se escreve de forma única como produto de ciclos a suporte disjuntos. (d) Um exemplo, seja σ a permutação de {1, 2,..., n} denida por σ(i) = n + 1 i. Determine sua composição em ciclos. A decomposição em ciclo de uma permutação dene naturalemente uma partição de n correspondendo às ordem dos ciclos ordenados (e.g. do maoir até o menor incluindo os ciclos triviais). Essa última é codicável, por exemplo, num diagrama de Young: se σ = (72156)(38) S 8 a partição de n correspondente é 8 = e o diagrama de Young: O diagrama de Young carateriza o tipo de uma permutação Demonstre que o r-ciclo c = (i 1 i 2... i r ) é composto de r 1 transposições. Deduza que S n é gerado pelas transposições. As transposições geram S n mas não é a única possibilidade Mostre que S n é gerado por cada um dos seguintes conjuntos: ˆ as transposições (1, i) ˆ as transposições (i, i + 1) ˆ o ciclo (1, 2..., n) e a transposição (1, 2) (Assinatura) (a) Mostre que: (ab)(ax 1 x 2... x k by 1 y 2... y l ) = (ax 1 x 2... x k )(by 1 y 2... y l ) (ab)(ax 1 x 2... x k )(by 1 y 2... y l ) = (ax 1 x 2... x k by 1 y 2... y l ) (b) Denimos a função sinal (ou assinatura) de S n em { 1, 1} por: ε(σ) = ( 1) n k onde k é o número de ciclos (a suportes disjuntos) acrescentado do número de pontos xos de σ. 2 Mostre que ε é um morsmo. (c) Quando o sinal é 1 dizemos que a permutação é par, ímpar senão. Qual é a paridade de um r-ciclo? Como determinar a paridade conhecendo a decomposição em ciclos? Caraterize as permutações pares pelo tipo. (d) Chamamos de grupo alternado o conjunto das permutações pares; é o núcleo da assinatura e assim um subgrupo distinguido de índice 2 de S n. Denotamos-lo A n. Mostre que é gerado pelos 3-ciclos (por n > 2). (e) Demonstre que A n é também gerado pelos 3-ciclos do tipo (1, 2, i). 2 Esse número k se chama número de órbitas de σ: é o número de órbitas da ação de < σ > sobre {1,..., n} (ver capítulo seguinte). 5

6 2 Ações de grupos, subgrupos de Sylow 2.1 Ações de grupos em conjuntos Uma ação de um grupo G num conjunto X é uma operação externa. Isso é um mapa: ϕ : G X X (g, x) g.x vericando : g, g G, x X, g.(g.x) = (g g).x x X, e.x = x Mostre que essa noção é equivalente a dar-se um homomorsmo Φ : G S X, onde S X é grupo simétrico de X (i.e. S X = {f : X X; f é bijeção}). A noção de ação de grupo é uma geometrização da noção de grupo. De fato todo grupo age pelo menos em ele-mesmo, por exemplo: por translação (a equerda): g, x G, g.x := gx ou por conjugação (ou automorsmo interno): g, x G, g.x := gxg (Teorema de Cayley) Utilize a ação de G em ele mesmo por translação a esquerda para demonstrar que todo grupo nito é isomorfo a um grupo de permutações (i.e. um subgrupo de S n ). Algumas denições: 1. Se x X, a órbita de x, denotada O G (x) (ou G.x) é denida por: O G (x) = {y X : g G, y = g.x} 2. Se x X, o estabilizador de x, que denotaremos G x é denido por: G x = {g G : g.x = x} 3. O núcleo da ação é o conjunto dos elementos de G tais que para todos x de X, g.x = x. Obviamente é o núcleo de Φ. Uma ação é dita el quando o núcleo é trivial (nesse caso, G é isomorfo a um subgrupo de S X ) (a) Mostre que G x < G. (b) Como descrever o núcleo de uma ação por meio dos estabilizadores? (c) Mostre que se a ação não é el, podemos contudo denir uma ação el de G/ ker Φ em X. (d) Descreva os estabilizadores e as órbitas de x G pela ação de G em si mesmo por conjugação. Os primeiros são os centralizadores Z G (x) e as segundas as classes de conjugação [x] (Formula das classes) Seja G um grupo nito que age em X conjunto. (a) Mostre que O G (x) = [G : G x ]. (b) Suponhamos X nito. Considere X/G o conjunto das órbitas ou quociente da ação (é o quociente de X pela relação x y y O G (x)). Designamos por Ω um sistema completo de representante, Ω é dito transversal. Demonstre: X = x Ω[G : G x ] 6

7 2.1.5 (Teorema de Cauchy) Prove que se G é um grupo nito de cardinal n e se p é um fator primo de n, então existe um elemento de ordem p em G. Por isso, introduza o subconjunto e passe as seguinte etapas: E = {(x 1, x 2,..., x p ) : x 1 x 2..., x p = 1} (a) Mostre que Z/pZ age naturalmente em E, e que cada órbita tem 1 ou p elementos. Caraterize as órbitas de um elemento. (b) Calcule o cardinal de E e deduza o resultado usando a formula das classes (Formula de Burnside) Seja G um grupo nito agindo num conjunto nito X. Denotamos X g o conjunto dos pontos xos de g (i.e. os x tais que g.x = x). Mostre que: X/G = 1 X g G g G (Dica: enumere o conjunto das duplas (g, x) onde g.x = x de dois maneiras distintas.) Em particular, se G age transitivamente em X, então a media do número de pontos xos dos elementos de G é igual a Um exemplo de aplicação: uma roda de loteria é dividida em n setores; cada um é colorido por uma cor escolhida dentro de p cores distintas. Qual é o número de roda de loterias possíveis (não distinguimos colorações que se deduzem uma da outra por rotação da roda)? (A formula a obter é: 1 φ( n n d )pd d n onde φ é a função de Euler.) Um grupo nito é um p-grupo (p primo) quando o seu cardinal é uma potência de p. O seguinte exercício mostre que todo p-grupo simples é abeliano, e então isomorfo a Z/pZ (ex ) Seja G um grupo, ele age em si mesmo por automorsmo interno. (a) Se x Z(G) (o centro de G, ver (1) no cap.3.), qual é a órbita de x? (b) Mostre que: G = Z(G) + x Ω[G : G x ] onde Ω é uma transversal pelo conjunto das órbitas não reduzidas a um ponto. (c) Deduza que um p-grupo tem um centro não trivial e conclua quando o grupo é simples (Diagramas de Young e classes de conjugações de S n ). Mostre que os diagramas de Young codicam as classes de conjugação de S n. Isso é, duas permutações S n são conjugadas se e só se elas são do mesmo tipo Seja σ A n 2. Denotamos [σ] An a classe de conjugação de σ em A n e [σ] Sn a classe de conjugação de σ em S n. (a) Mostre que [σ] An = [σ] Sn ou [σ] Sn se decompõe em duas classes em A n de ordem 1 2 [σ] S n dependendo se Z Sn (σ) não é ou é subconjunto de A n. (b) Deduza que a classe de conjugação de σ S n se decompõe em A n se e só se seu tipo consiste em números impares disjuntos. 7

8 2.2 Os teoremas de Sylow Por G nito, G = p k m com p é primo e p m; um p-sylow é um subgrupo de G de ordem p k Seja G um grupo de ordem p k m onde p é primo e mdc(p, m) = 1. (a) Chamamos χ o conjunto dos subconjuntos de G tendo p k elementos. Assim, G age em χ por translação a esquerda (g.x = gx). Calcule o cardinal de χ e demonstre que existe ao menos uma órbita cujo cardinal não é divisível por p. (b) Seja A uma tal órbita, G X o estabilizador de um elemento X de A. Demostre que G X é um p-sylow de G. Deduza o primeiro teorema de Sylow: todo grupo nito cuja ordem é divisível por p contem um p-sylow. (c) Trocamos de ação. Seja S um p-sylow de G, e H um p-subgrupo de G. Fazendo agir H em G/S por translação a esquerda, demostre que H é incluído num conjugado de S. Em particular, todos os p-sylow de G são conjugados a S. Isso é o segundo teorema de Sylow. (d) Deduza que se um grupo admite somente um p-sylow, esse último é normal em G, e reciprocamente se G contem um p-sylow normal, ele é o único p-sylow de G. (e) Seja N p o número de p-sylow de G, use a ação por conjugação de S nos p-sylow por demonstrar: Isso é o terceiro teorema de Sylow. 2.3 Aplicações N p 1 mod (p) e N p m Determine os p-sylow de Z/nZ, de Z/6Z Z/12Z, e de D n (começa pelo caso p = 2). 2. Procure os 2-Sylow de S 4 e de S Usando o terceiro teorema de Sylow, demonstre que não existe grupo simples tendo 30, 42 ou 105 elementos (Estudo do grupo A 5 ) Esse grupo é constituído das permutações pares de 5 elementos. Enumere os diagramas de Young para determinar que A 5 contem (além da identidade): ˆ ˆ ˆ 15 elementos de ordem 2 (as duplas transposições) 20 elementos de ordem 3 (os 3-ciclos) 24 elementos de ordem 5 (os 5-ciclos) Utilize o exercício 2.1 para demostrar os seguintes itens: (a) Os 3-ciclos formem uma classe de conjugação em A 5. Estude igualmente as duplas transposições. (b) Se H A 5 contem um elemento de ordem 5, então ele os contem todos. (Dica: segundo teorema de Sylow). (c) A 5 é simples (Dica: um subgrupo normal é reunião de classes de conjugações). 8

9 O seguinte exercício mostre que o grupo alternado é simples por n > 5. Os casos n = 2, 3, 4 se tratam facilmente: n = 2, o grupo alternado é trivial; n = 3, o grupo alternado é de ordem 3, ele é simples; por n = 4, o grupo alternado contem um subgrupo normal, o grupo das duplas transposições (Simplicidade do grupo alternado (caso geral)) Suponhamos n 5 e seja H A n. Pegue τ H, τ id. (a) Se σ é uma permutação qualquer de A n, mostre que στσ 1 τ 1 pertence a H. (b) Tomando i tal que τ(i) = j, j i, e usando k distinto de i, j, τ(j), construa um 3-ciclo σ, tal que στσ 1 τ 1 deixa xo pelo menos n 5 elementos. (c) A partir do exercício anterior e das duas questões acima, verique que H deve conter um 3-ciclo e deduza o resultado Re-demonstre o teorema de Cauchy usando o teorema de Sylow. 3 Grupo derivado - grupos solúveis 3.1 Centro, grupo derivado Existem várias maneiras de medir a não-comutatividade de um grupo G. Como visto anteriormente, podemos utilizar o centro de G, conjunto dos elementos de G que comutam com todos demais: Z(G) = {z G : x G, xz = zx} (1) Maior ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo. É também possível introduzir o chamado grupo derivado assim denido: denotamos [x, y] = xyx 1 y 1, o comutador de x e y. O grupo derivado de G é o grupo gerado pelos comutadores denotado G ou D(G). Menor ele é, mais próximo é G de ser um grupo comutativo. e G = S n Mostre que Z(G) G e que G/Z(G) = Int(G). Determine G/Z(G) por G = D n Por G um grupo, dene Z 1 = Z(G). (a) Mostre que podemos denir um subgrupo Z 2 de G por: Z 2 /Z 1 = Z(G/Z 1 ) e que o grupo é normal, e mesmo característico em G. Como iterar essa construção? (b) Exemplique no caso de um grupo diedral G = D n. (c) Verique que Z 2 pode ser denido por: a Z 2 b G, [a, b] Z Mostre que D(G) G. Dizemos que um subgrupo é característico em G se ele é estável por todos os automorsmos de G. D(G) é característico em G? G designa o grupo derivado de G. (a) Mostre que G ab := G/G é abeliano, é o abelianizado de G. (b) Seja H G, mostre que G/H é comutativo sse H G. (c) Mostre que se G H G então H G. (d) Demonstre que todo morsmo f de G num grupo abeliano A se fatora pelo abelianizado (propriedade universal do abelianizado). 9

10 3.2 Séries subnormais e de composição Uma série subnormal de G é uma sequencia crescente nita de estritas inclusões de subgrupos (H i ) i : {e} = H 0 H 1 H 2 H n = G tal que H i é normal em H i+1 (se H i G a série é dita normal). Um ranamento de uma série subnormal (H i ) i é uma série (K i ) i da qual a sequencia (H i ) i é uma subsequencia. O comprimento maximo de uma série subnormal é uma medida de quanto G é distante de ser simples. a Uma série de composição (ou série de Jordan-Hölder) é uma série subnormal onde todos os fatores H i+1 /H i são simples. a Se G é simples, a única série subnormal é G {e}. {e} = H 0 H 1 H n = G Mostre que todo grupo nito tem uma serie de composição (poderemos ranar uma série subnormal). Prove que Z não tem série de composição Descreve as séries de composição de S n Seja G um p-grupo de ordem p n (faremos uso do exercício 2.1.7). (a) Demonstre que se H é um subgrupo próprio de G então, ou H é normal em G, ou existe um conjugado de H incluído no normalizador de H em G. Dica: utilize a ação por automorsmos internos de H em seus conjugados. (b) Deduza que todo subgrupo maximal de G é normal em G de índice p. (c) Demonstre que G admite subgrupos normais de ordem p i por cada 1 i n. Dica: raciocina por recursão usando um elemento de ordem p do centro (não trivial). (d) Deduza que todo subgrupo H de G inicia uma série normal H = H 0 H 1 H n = G com [H i+1 : H i ] = p (Lema da borboleta) Sejam duas pares de subgrupos de G, H 1 H 2 e K 1 K 2. Demonstre que: H 1 (H 2 K 1 ) H 1 (H 2 K 2 ) e K 1 (K 2 H 1 ) K 1 (K 2 H 2 ) e que os grupos quocientes são isomorfos ao grupo (H 2 K 2 )/(H 1 K 2 )(H 2 K 1 ) Será útil fazer um esquema da organização dos grupos intervindo nesse lema e daí entender porque se chama o lema da borboleta. Duas séries subnormais são equivalentes se elas têm o mesmo comprimento e os mesmos fatores (a menos isomorsmo) (Teoremas de Schreier e de Jordan-Hölder) (a) Utilize o lema da borboleta para demonstrar que duas séries subnormais têm ranamentos equivalentes. Isso é o teorema de Schreier. Deduza que o comprimento maximo de uma série subnormal é bem denido e que as séries de composição são as séries subnormal de comprimento maximo. (b) Deduza que todas séries de composições de um grupo são equivalentes. Esse resultado é o teorema de Jordan-Hölder, ele diz que (as classes de isomorsmo de) os fatores de uma série de composição dependem apenas do grupo. Eles são os fatores de composição de G. 10

11 3.3 Grupos solúveis Um grupo é solúvel quando seus fatores de composição são abelianos Mostre que um grupo simples não comutativo não é solúvel Examine a solubilidade dos grupos S n. Os seguintes resultados serão útil no estudo de solubilidade por radicais na teoria de Galois Demonstre que um grupo G nito é solúvel se e só se ele contem uma série cíclica, isso é uma série subnormal {e} = H 0 H 1 H n = G com os fatores H i+1 /H i cíclicos. Mostre que podemos requerer que os fatores tenham ordem primos Denotamos G (i) a sequencia dos grupos derivados sucessivos de G: G (0) = G, G (i+1) = (G (i) ) é a série derivada de G. (a) Mostre que a sequencia é decrescente e que G é solúvel se e só se existe n tal que G (n) = {e}. (b) Verique que subgrupos e grupos quocientes de grupos solúveis são solúveis. (c) Prove a reciproca: seja H G, então G é solúvel se e só se H e G/H são solúveis. Referências [1] P. Alu. Algebra: Chapter 0. AMS Graduate Studies in Mathematics (Vol. 104), [2] J. Delcourt. Théorie des groupes. Dunod, [3] A. Gonçalves. Introdução à àlgebra. IMPA,