Lista de exercícios 5 Representações

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1 Universidade Federal do Paraná 1 semestre Programa de Pós-Graduação em Matemática Grupos de Lie Prof. Olivier Brahic Lista de exercícios 5 Representações Na sequência, so consideremos representações no corpo K = C. Exercício 1. [solução] O objetivo deste exercício é de mostrar que o centro de GL n (C) é o subgrupo das homotetias, dado por H := {λi n GL n (C) λ C }. Consideremos a representação natural de GL n (C) em C n, dada pela identidade a) Mostre que ρ é irredutível. ρ := id : GL n (C) GL n (C). b) Mostre que qualquer elemento de H é um automorsmo da representação ρ. c) Conclua usando o Lema de Schur. Exercício 2. [solução] a) Seja G um grupo compacto, e ρ : G C um morsmo de grupos de Lie. Mostre que ρ(g) S 1. b) Deduza todos os morsmos de grupos de Lie S 1 C. Dica: temos Lie(S 1 ) = R, e a exponencial é dada por θ e iθ. Exercício 3. (Representações de grupos abelianos.) [solução] a) Mostre que qualquer representação C-linear irredutível de dimensão nita de um grupo de Lie abeliano tem grau 1 (ou seja, o espaço vetorial sobre o qual G age é de dimensão 1 em C.). b) Determine todas as representações irredutíveis de S 1. c) Determine todas as representações irredutíveis de R n /Z n S 1 S 1 para n 2. 1

2 Exercício 4. [solução] Seja G um grupo de Lie. Queremos estudar as representações K-lineares de dimensão nita de G, onde K = R ou C. Dadas duas representações irredutíveis (ρ 1, V 1 ) e (ρ 2, V 2 ) de G, consideremos: Hom(ρ 1, ρ 2 ) := {f : V 1, V 2 linear f ρ 1 (g) = ρ 2 (g) f g G}. 1. a) Mostre que se Hom(ρ 1, ρ 2 ) = {0} se ρ 1 e ρ 2 não são equivalentes. b) Mostre que End(ρ 1 ) := Hom(ρ 1, ρ 1 ) é um corpo (não necessariamente comutativo). c) Mostre que se K = C, então End(ρ 1 ) = C. 2. Suponha agora que G = S 1 = R/Z. a) Mostre que a seguinte aplicação dena uma representação R-linear de dimensão 2 de G: b) Determine End(ρ). ρ : S 1 SO 2 (R) ( ) cos θ sin θ θ sin θ cos θ 3. Suponha agora que G = SU 2 (C). Seja H o subespaço vetorial real de M 2 (C) C 4 denido por: {( ) a b H := b ā a) Determine a dimensão de H em R. } M 2 (C) a, b C. b) Mostre que G age em H por multiplicação à direita, e que essa ação, denotada ρ, é irredutível. c) Determine End(ρ). Exercício 5. [solução] Determine uma base Hilbertiana de L 2 (R n /Z n, C) e mostre que qualquer função f : R n C de quadrado integrável, e 1-periódica en qualquer variável é limite de ( ) f(x) = f(t)e 2iπm 1t 1... e 2iπmntn e 2iπ(m 1x 1 + +m nx n) [0,1] n no sentido da norma L 2. m 1,...,m n Z Exercício 6. (Representações irredutiveis de SU 2 (C)) [solução] a) Mostre que sl 2 (C) é uma álgebra de Lie complexa, e que é isomorfa à complexicação da álgebra de Lie real su 2. 2

3 b) Seja ρ : SU 2 (C) GL n (C) uma representação. Mostre que dρ se estende por C-linearidade numa C-representação dρ C : sl 2 (C) gl n (C). Mostre que se ρ é irredutível, então dρ C também o é. c) Deduza todas as representações irredutíveis de SU 2 (C). d) Determine os caracteres de todas as representações irredutíveis de SU 2 (C). (Dica: dado um caractere χ, basta calcular os valores χ(a(θ)) de χ em matrizes da forma a(θ) = ( ) e iθ 0 0 e iθ. Exercício 7. [solução] 1. Notemos Ad : SU 2 (C) Aut(su 2 ) a representação adjunta do grupo SU 2 (C). a) Mostre que a imagem Ad(SU 2 (C)) de Ad é isomorfa a um subgrupo de SO 3 (R). Dica: pode se começar por identicar su 2 R 3 b) Mostre que ker Ad = {±id C 2}. c) Deduza que Im(Ad) SO 3 (R) e depois, que Ad fornece um isomorsmo de grupos topológicos SO 3 (R) = SU 2 (C)/{±id}. 2. Mostre que qualquer representação ρ : SO 3 (R) Gl(V ) induz uma representação ρ : SU 2 (C) Gl(V ) de SU 2 (C) tal que ρ(±id C 2) = id V e que, reciprocamente, qualquer representação ρ : SU 2 (C) Gl(V ) de SU 2 (C) tal que ρ(±id C 2) = id V é da forma ρ = ρ Ad, onde ρ é uma representação de SO 3 (R). 3. Mostre que ρ é irredutível se e somente se ρ é irredutível. 4. Deduza todas as representações irredutíveis de SO 3 (R). Resoluções: Solução do Ex.1 [enunciado] a) É claro que um subespaço V C n é invariante por qualquer elemento de GL n (C), então V = {0} ou V = C n isto é, ρ é irredutível. b) Para qualquer h H, temos ρ(m) h = M h = h M = h ρ(m). c) A representação ρ sendo irredutível, pelo lema de Schur, temos h = λid, com λ C. Solução do Ex.2 [enunciado] a) O grupo G sendo compacto e ρ sendo contínua, ρ(g) é compacto. Suponha que existe z p(g) S 1, então a sequência (z n ) n N pertence em ρ(g) mas não é limitada, o que contradiz o fato de ρ(g) ser compacto. 3

4 b) Se ρ : S 1 C é um morsmo de grupos de Lie, então pela questão precedente, ρ toma valores em S 1 C e obtemos um morsmo ρ : S 1 S 1. A diferencial de ρ na identidade é uma aplicação dρ 1 : R R, logo é da forma dρ 1 (X) = αx onde α C. Pela relação exp (dρ 1 ) = ρ exp, obtemos que, necessariamente: dρ 1 (X + 2π)) = dρ 1 (X) + 2nπ, onde n Z. Logo α = n Z e ρ é dada por ρ(z) = z α. Reciprocamente, é imediato que qualquer aplicação da forma z z α, onde α Z dena uma representação de S 1 em C. Solução do Ex.3 [enunciado] a) Se ρ : G GL(V ) é uma representação de um grupo abeliano, então ρ(g) é um subgrupo abeliano de GL(V ). Segue que o espaço vetorial h gerado por ρ(g) é uma subálgebra de Lie abeliana de gl(v ). Em particular, h é uma subálgebra solúvel de gl(v ). Pelo Teorema de Lie, o elementos de h admitem um autovetor comum v V. Em particular, Cv é uma subrepresentação de ρ. Logo se ρ é irredutível, então necessariamente, V = Cv. b) Pela questão a) e o exercício 1, as C-representações ireductíveis de S 1 são dadas por e iθ e ikθ, onde k Z. c) Pela questão a), basta exibir todos os morsmos de grupos de Lie ρ : S 1 S 1 S 1. Usando o fato que: ρ(x 1,, x 1 ) = ρ(x 1, 1,..., 1) ρ(1,..., 1, x n ). e que cada aplicação ρ k : x k ρ(1,..., 1, x k, 1,..., 1) dena um morsmo S 1 S 1, logo é necessariamente da forma ρ(x k ) = x α k k onde α k Z, obtemos que: ρ(x 1,..., x n ) = n 1 x α 1 1 xαn n (x i S 1 C) onde (α 1,..., α k ) Z n. Reciprocamente, verica-se facilmente que qualquer aplicação desta forma dena um morsmo. Solução do Ex.4 [enunciado] 1. a) Pelo lema de Schur, um morsmo entre duas representações irredutíveis é ou nulo, ou um isomorsmo. Segue o resultado. b) É claro que End(ρ 1 ) é um anel pela adição e a multiplicação. Pelo lema de Schur, qualquer elemento naõ nule de End(ρ 1 ) é um isomorsmo de V, logo invertível. c) Caso K = C, então o lema de Schur diz que qualquer isomorsmo de uma representação irredutível é uma homotetia. 2. Suponha agora que G = S 1 = R/Z. 4

5 a) É fácil ver que ρ determina um isomorsmo ρ : S 1 SO 2 (R). O grupo S 2 (R) age transitivamente nos vetores de norma 1 em R 2, em particular, ele não pode deixar nenhum subespaço de dimensão 1 invariante. Assim, a representação ρ é irredutível, e claramente de dimensão 2. ( ) a c b) Note que, S 1 sendo abeliano, temos ρ(s 1 ) End(ρ). Seja M = End(ρ). Então b d para qualquer θ, temos M.ρ(θ) = ρ(θ).m. Caso θ = π/2, obtemos que: ( ) ( ) b d c a = a c d b ou seja, b = c e a = d. Reciprocamente, temos que: ( ) a b 1 = b a a 2 + b ρ(θ a,b) 2 onde θ a,b é determinado pelas condições: En conclusão, End(ρ) identica-se com: End(ρ) R cos(θ a,b ) = sin(θ a,b ) = a a 2 + b 2, b a 2 + b 2. ( ) ( ) R Segue que End(ρ) C pelo fato que: ( ) 0 1 = I Suponha agora que G = SU 2 (C). Seja H o subespaço vetorial real de M 2 (C) C 4 denido por: {( ) } a b H := M b ā 2 (C) a, b C. a) O subsepaço H é um subespaço de M 2 (C) C 4 R 8. ele é enteiramente determinado pelos valores de a, b C, logo é de dimensão 4 em R. b) Para mostre que G age em H por multiplicação à direita, basta ver que H é estável por multiplicação à direita por qualquer elemento de SU 2 (C), o que é fácil por cálculo. Outra maneira de ver isto é que uma matriz pertence em H exatamente se tem colunas um vetor (a, b) C, e o seu ortogonal (direto) de mesma norma ( b, ā). Ou seja, se M H então 1 M M SU 2(C). Deduza-se imediatamente que H = R + SU 2 (C). Em particular, H é estável por multiplicação a direita pois SU 2 (C) é um grupo. Um grupo agindo nele mesmo por multiplicação à direita de maneira transitiva, segue que esta representação é irredutível. Aqui pode-se argumentar também do fato que os elementos de SU 2 (C) agem transitivamente nos vetores de C 2 de norma 1. 5

6 ( ) a c c) Aplica-se um método semelhante à questão 2 c). Um elemento em End(ρ) tem b d ( ) ( ) i que comutar com e. Segue que a = d e b = c, logo M é uma homotetia i Em conclusão End(ρ) C. Solução do Ex.5 [enunciado] Uma base Hilbertiana de L 2 (R n /Z n ) é dada pelos caracteres de R n /Z n. Pela questão a) do exercício 3, estes caracteres são dados pela questão c) do exercício 3. Uma função 1-periódica em cada variável f : R n C determina uma aplicação f : S 1 S 1 C tal que f(x 1,..., x n ) = f( x 1,..., x n ), onde x denota a classe módulo Z de x R no quociente R/Z. Lembremos que o isomorsmo R/Z S 1 e dado pela aplicação θ e 2iπθ. Pelo Teorema de Peter- Weyl (ou Teorema de Plancherel neste caso) sabe-se que qualquer função f : (S 1 ) n C de quadrado integrável verica, para qualquer x = ( x 1,..., x n ) (S 1 ) n ( ) f( x) = f(ỹ)ρm1,...,m n (ỹ)dỹ ρ m1,...,m n ( x) m 1,...,m n Z y (S 1 ) n onde dỹ é a medida de Haar em S 1 S 1. Trocando x por e 2iπx, obtemos o resultado. Solução do Ex.6 [enunciado] a) Por denição, sl 2 (C) é o subconjunto de M 2 (C) das matrizes complexas de trace nulo, em particular é um C-espaço vetorial. Verica-se facilmente que o colchete [X, Y ] = XY Y X dena uma aplicação C-bilinear [, ] : sl 2 (C) sl 2 (C) sl 2 (C). Segue que sl 2 (C) é uma álgebra de Lie complexa. Notemos E, F, H as seguintes matrizes: ( ) 0 1 E := F := 0 0 ( ) H := ( ) então claramente {E, F, H} forma uma base de sl 2 (C). Alem disso, calcula-se facilmente que: [H, E] = 2E, [H, F ] = 2F, [E, F ] = H. Por outro lado, notemos g = su 2 isu 2. Vimos na questão 5-d) do exercício 5 da lista 4 que g admite uma base {X, Y, Z} tal que: [X, Y ] = 2iY, [X, Z] = 2iZ, [Y, Z] = X Dena-se um isomorsmo de C-espaços vetoriais ψ : g sl 2 (C) tomando: ψ(x) = H, ψ(y ) = if, ψ(z) = ie. Verica-se facilmente que ψ é um isomorsmo de álgebras de Lie, calculando que: ψ([x, y]) = [ψ(x), ψ(y )], ψ([x, Z]) = [ψ(x), ψ(z)], ψ([y, Z]) = [ψ(y ), ψ(z)]. Outra maneira de mostrar é de vericar que qualquer matriz em sl 2 (C) se decompõe de maneira unica da forma U + iv com U, V em su 2 sl 2 (C). 6

7 b) Seja ρ : SU 2 (C) GL n (C) uma representação. Então, dρ : su 2 gl(v ) é um morsmo de álgebras de Lie de Lie reais. É imediato vericar que dρ se estende por C-linearidade num morsmo de álgebras de Lie complexas dρ C : su 2 i.su 2 gl(v iv ), denido por dρ C (U + iv ) := dρ(u) + i.dρ(v ). Usando o isomorsmo su 2 isu 2 ψ sl2 (C) da questão precedente, obtemos uma C-representação dρ C : sl 2 (C) gl n (C). Seja W V um subespaço invariante de dρ C, em particular dρ(x)(w ) W para qualquer X su 2. Pela denição da exponencial exp(dρ(x)) = 1 k! (dρ(x))k, logo dρ(x)(w ) W exp(d(ρ(x)))(w ) W e, exp(dρ(x)) sendo invertível, necessariamente, exp(dρ(x)) = W. Segue que: ρ(e X )(W ) = exp(dρ(x))(w ) = W. O grupo de Lie SU 2 sendo conexo, ele é gerado por e su 2, e segue facilmente que W é SU 2 (C) invariante, logo W = V ou W = {0}, pois ρ é irredutível por hipótese. Segue que dρ C é irredutível. c) Pela questão precedente, qualquer representação irredutível de SU 2 (C) induz uma representação dρ C de sl 2 (C) que é irredutível, logo isomorfa a uma das representações irredutíveis π m : sl 2 (C) gl C (V m ) de sl 2 (C). Aqui, V m := { P : C 2 C P (z 1, z 2 ) = m } a k x k y m k (a k C, k = 0... m) k=0 denota o espaço de polinômios homogêneos de grau m em C 2. Seja A : V V m um tal isomorsmo de representações, temos: A dρ C (X) = π m (X) A A dρ C (X) A 1 = π m (X), o que implica por exponenciação que, para qualquer X su 2 (C) sl 2 (C), temos: A exp(dρ(x)) A 1 = exp(π }{{} m (X)). }{{} =ρ(e X ) =ρ m(e X ) Aqui, ρ m : SL 2 (C) GL C (V m ) denota a representação natural de SL 2 (C) em V m. O grupo SU 2 (C) sendo conexo, segue facilmente que A induz um isomorsmo entre ρ e a restrição a SU 2 (C) SL 2 (C) da representação ρ m. d) Seja χ m o caractere de ρ m. Qualquer matriz de SU 2 (C) é conjugada a uma matriz da forma: ( ) e iθ 0 a(θ) = 0 e iθ onde θ R. Basta calcular os valores de χ m (a(θ)). Pela denição de π m, temos: ρ m (a(θ))p (x, y) = P (e iθ x, e iθ y.) 7

8 Em particular, a matriz de ρ m (a(θ)) na base (x k y m k ) k=0...m é a matriz diagonal com coecientes e 2k m iθ. Concluamos que: χ m (a(θ)) = m k=0 e (2k m)iθ = e imθ m k=0 e 2ikθ = e imθ e2i(m+1)θ 1 e 2iθ 1 ei(m+1)θ e i(m+1)θ = e iθ e iθ sin((m + 1)θ) = sin(θ) Solução do Ex.7 [enunciado] 1. a) A representação adjunta Ad de SU 2 é um morsmo de grupos topológicos Ad : SU 2 GL(su 3 ). A forma de Killing em su 3 sendo não-degenerada e denida negativa, tomando uma base ortonormal de su 2 para K, obtém-se isomorsmos su 2 R 3 e GL(su 2 ) Gl 3 (R). A forma de Killing sendo invariante pela representação adjunta, Ad toma valores em O 3 (R) Gl 3 (R) Gl(su 2 ). O grupo SU 2 sendo conexo, a imagem de Ad esta inclusa na componente conexa SO 3 (R) de O 3 (R). b) O núcleo da representação adjunta coincida com o centro do grupo, nosso caso ker Ad = Z(SU 2 ). O método para encontrar o centro de SO 3 (R) (ver a questão f) do exercício 5 da lista 3) se aplica para mostrar que a centro de SU n é dado por Z(SU n ) = {e 2iπk n id C n k = 0 n 1}. Nosso caso, n = 2, temos Z(SU 2 ) = {±id C 2}. c) O núcleo de Ad é discreto, logo dad : su 2 so 3 (R) é injetora. As álgebras su 2 e so 3 (R) sendo de dimensão 3, dad é um isomorsmo, segue de exp dad = Ad exp e do fato que SO 3 (R) é conexo que Ad : SU 2 SO 3 (R) é sobrejetora. Obtemos uma aplicação sobrejetora Ad : SU 2 SO 3 com ker Ad = {±id C 2} segue que Ad passa ao quociente num isomorsmo SO 3 (R) SU 2 /{±id C 2}. Deduza que Im(Ad) SO 3 (R) e depois, que Ad fornece um isomorsmo de grupos topológicos SO 3 (R) = SU 2 /{±id}. 2. Claramente, ρ = ρ Ad é um morsmo de grupos topológicos, como composta de grupos topológicos. Alem disso ρ( ìd) = ρ Ad( id) = ρ Ad(id) = id V, ou seja {±id} ker(ρ). A reciproca é imediata por passagem ao quociente por um subgrupo discreto normal incluso no núcleo. 3. Segue do fato que ker Ad = {±1} é feito de homotetias. Para g SU 2, notemos ḡ a classe de g em SO 3. Para qualquer subespaço vetorial W de C n, temos: ρ g (W ) }{{} = W ( ρ g (W ) = W e ρ g (W ) = W ) ρ ḡ(w ) = W. =ρ g (W ) 8

9 Segue que ρ é irredutível se e somente se ρ é irredutível. 4. Basta estudar as representações irredutíveis de SU 2 satisfazendo ρ( id) = ρ(id). Com as notações da questão c) do exercício 6, pela denição de ρ m, temos ρ m ( id)(p (x, y)) = P ( x, y). Deduzamos que ρ m ( id) = id m+1 se e somente se m é par. Em conclusão as representações irredutíveis de SO 3 (R) são obtidas das (restrições a SU 2 das) representações (irredutíveis) ρ 2m (de Sl 2 (C)) por passagem ao quociente. 9