Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez. Capítulo 10: Soluções e Respostas

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez. Capítulo 10: Soluções e Respostas"

Transcrição

1 10 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 10: Soluções e Respostas 263

2 264 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS Capítulo 1 2.1* Temos A =, 3B = e 2A 3B = x = 10, y = 3 e z = (a). (b) 2. (c) (d) 1 1. (e). (f) * (a) Não. Porque para se determinar c 63, a matriz A deveria ter, no mínimo, 6 linhas. (b) Por denição, Assim, c 36 = c 36 = 5 a 3k b k6. k=1 5 (3 k)6 = k=1 5 (18 6k) = * Se X é uma matriz que comuta com A, então X é uma matriz quadrada k=1 de ordem 2. Assim, vamos determinar as matrizes a b X = c d tais que AX = XA. Ora, [ a c ] b = d [ a c ] b, d

3 265 se, e somente se, [ a Portanto, c ] 3b = 3d X = [ a [ a c 3c ] b d ] b. 3d comuta com A se, e somente se, b = c = 0 e a e d são números reais quaisquer. x y 2.7 (b) M =, com x e y números reais quaisquer. 0 x 2.10* (a) 1 0 A t = (b) Seja A = (a ij ) n n uma matriz triangular superior e seja A t = [b ij ] n n a transposta de A. Por denição, b ij = a ji, para todo 1 i, j n. Mas, se j > i, segue que a ji = 0, já que A é uma matriz triangular superior. Portanto, b ij = 0 sempre que i < j, ou seja, A t é uma matriz triangular inferior. (c) Sejam A = [a ij ] m n e B = [b ij ] m n. Seja k R. Então, (A + B) t = [a ji + b ji ] n m = [a ji ] n m + [b ji ] n m = A t + B t e (ka) t = [ka ji ] n m = k[a ji ] n m = ka t. (d) Sejam A = [a ij ] m n e B = [b ij ] n p. Então, AB = [c ij ] m p, com c ij = n a ik b kj, k=1

4 266 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS para todo 1 i m e 1 j p, e B t A t = [d ij ] p m, com d ij = n b ki a jk, k=1 para todo 1 i p e 1 j m. Como (AB) t = [e ij ] p m onde, para todo 1 i p e 1 j m, e ij = c ji, segue que e ij = n a jk b ki = n b ki a jk = d ij, k=1 k=1 para todo 1 i p e 1 j m. Portanto, (AB) t = B t A t. (e) Seja A = [a ij ] m n. Então A t = [a ji ] n m, portanto, (A t ) t = [a ij ] n m = A. 2.11* (a) Pelo Problema 2.10, itens (c) e (e), temos (B +B t ) t = B t +(B t ) t = B t + B = B + B t, onde na última igualdade usamos o fato que a adição de matrizes é comutativa. Agora pelo itens (d) e (e) do problema 2.10, temos (B B t ) t = (B t ) t B t = B B t. (b) Pelo Problema 2.10, item (c), segue que (B B t ) t = B t + ( B t ) t = B t B = (B B t ). (c) Segue imediatamente de (a) e (b). (d) Seja B uma matriz quadrada que se escreve com B = B 1 + B 2, onde B 1 é simétrica e B 2 é antissimétrica. Então, B1 t = B 1 e B2 t = B 2. Como B t = B1 t + B2 t, segue que Bt = B 1 B 2. Assim, B = B 1 + B 2 e B t = B 1 B 2 implicam que B 1 = B + Bt 2 e B 2 = B Bt (a) X = C 1 B. (b) X = (A 1 ) t. (c) X = B 1 A 1 C.

5 267 Capítulo 2 1.1* (a) [ ] e 1 : L 1 L e 4 : L L e 2 : L 1 L 1 e 5 : L 1 L 1 +3L e 3 : L 2 L 2 2L 1 (b) Sim. Porque a forma escalonada de A é a matriz identidade de ordem 2. (c) Temos A 1 = E 5 E 4 E 3 E 2 E 1, onde E 1 = e 1 (I), E 2 = e 2 (I), E 3 = e 3 (I), E 4 = e 4 (I) e E 5 = e 5 (I). Assim, A = / Computando o produto acima, obtemos A 1 3/7 1/7 =. 1/7 2/ (a) A =. (b) B 1 = (c) C = (a) /2 5/ (b) / /6

6 268 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS (c) 1 0 4/11 13/ /11 3/ * (a) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n tais que AB = I. Suponhamos que A não é invertível. Então, pelo Corolário 2.1.7, A não tem posto n, logo A é equivalente por linhas a uma matriz com uma linha nula, ou seja, existem matrizes elementares E 1,..., E s tais que E s... E 2 E 1 A tem uma linha nula. Portanto, temos E s E 2 E 1 AB = C, onde C também é uma matriz com uma linha nula (cf. Problema 2.13(a), Capítulo 1). Dessa forma, AB = (E E 1 1 )C e, portanto, também AB é uma matriz com uma linha nula. Mas isso contradiz o fato de que AB = I. Portanto, A é invertível. Consequentemente, A 1 = A 1 I = A 1 (AB) = (A 1 A)B = IB = B. Assim AB = I se, e somente se, BA = I, pois se AB = I, pelo o que vimos acima B = A 1 e, então, BA = A 1 A = I. E reciprocamente, se BA = I, pelo o que vimos acima A = B 1 e, então, AB = B 1 B = I. (b) Se A e B são invertíveis, temos da Proposição 1.2.4(b) que AB é invertível. Reciprocamente, se AB é invertível, então existe C tal (AB)C = C(AB) = I. Logo, como A(BC) = (AB)C = I, pelo item (a), temos que A é invertível. Por outro lado, como (CA)B = C(AB) = I, pelo item (a), tem-se que B é invertível. 2.1* Como os termos independentes do sistema são todos iguais a zero, estes não se alteram por transformações elementares. Por isso, para resolvermos um sistema linear homogêneo pelo método de escalonamento, basta considerarmos a matriz dos coecientes. Ora, L 2 L 2 L 1 L 1 L L 4 L 4 + 2L

7 L 1 1/2L L 1 L 1 L L 2 L 2 + 2L L 4 L 4 3L /2 5/ /2 5/ L 2 L , donde concluímos que x = 7/2z 5/2t e que y = 3z + 2t. Fazendo z = a e t = b, onde a e b R, obtemos que o conjunto solução do sistema dado é 2.2* Note que S = {( 7 2 a 5 b, 3a + 2b, a, b) ; a, b R} m m n L 2 L 2 2L n 2m p L 3 L 3 L p m m n 2m, L 3 L 3 + 2L p + 2n 5m o que implica que o sistema dado é possível se, e somente se, p+2n 5m = 0. Assim, por exemplo, para m = 1, n = 2 e p = 1 o sistema tem solução. Note que se p + 2n 5m = 0 o sistema terá, de fato, mais de uma solução. Em outras palavras, o sistema não pode ter solução única X =

8 270 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 2.5 (a) Sejam S 1 e S 2 os conjuntos soluções de AX = B 1 e AX = B 2, respectivamente. Então S 1 = {(1/2 + 7/8t, 1/2 + 1/4t, 1/2 11/8t) t R} e S 2 = {(1/4 + 7/8t, 1/4t, 3/4 11/8t) ; t R}. (b) {(5/4 + 7/8t, 3/2 + 1/4t, 3/4 11/8t) ; t R}. 2.8 a = 2, b = 1, c = (a) (i) k 3; {(3k + 6, 2k 4, 1)}. (ii) Não existe k R. (iii) k = 3; {(5 10z, 3 + 7z, z) z R}. (b) (i) k 1 e k 2; {(1/(k + 2), 1/(k + 2), 1/(k + 2) )}. (ii) k = 2. (iii) k = 1; {(1 y z, y, z) y, z R}. (c) (i) k 1 e k 1; {(0, 0, 0)}. (ii) Não existe k R. (iii) k = ±1; {( z, 0, z) : z R} para k = 1 e {(z, 0, z) : z R} para k = a + 2b + c = (a) a = 3. (b) a = 2. (c) a 3 e a 2.

9 271 Capítulo 3 1.1* Seja W um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. Queremos mostrar que W é um subespaço vetorial se, e somente se, au + bv W para quaisquer a, b R e para quaisquer u, v W. ( ) Como W é um espaço vetorial, temos au, bv W. Logo a soma au + bv é um elemento de W. ( ) Temos que tanto a adição como a multiplicação por escalar denidas em V quando restritas a W são fechadas, ou seja, se u, v W e a R então u + v = 1u + 1v W e au = au + 0v W. Como a adição e a multiplicação por escalar satisfazem as condições (ii), (iii), (vii), (viii), (ix) e (x) para quaisquer a, b R e para quaisquer u, v V, elas continuam satisfazendo estas propriedades para quaisquer a, b R e para quaisquer u, v W. Resta só vericar as condições (iv) e (v). Seja w W. Então temos o = 0w + 0w W e w = ( 1)w + 0w W. 1.2 (a) É. (b) Não é. Note que (0, 0) / W. (c) Não é. Temos (1, 1) W, mas 2(1, 1) / W. (d) É. 1.3 (a) É. (b) Não é. Note que (1, 0, 0) W, mas 1(1, 0, 0) / W. (c), (d), (e) É. 1.4 (a), (b), (c) É. (d) Não é. Temos I 3 W, mas 2I 3 / W. (e) Não é. A matriz nula não pertence a W. 1.5 (a) Não é. Temos p(x) = 1 + x + x 2 W, mas 1 p(x) / W. 2 (b), (c) É. (d) Não é. Temos p(x) = x 2 W, mas 1p(x) / W. 1.6 (a) V W = W e V + W = V. (b) V W = {[a ij ] 2 2 ; a 11 = a 12 = a 21 = a 22 }; V + W = {[a ij ] 2 2 ; a 11 = a 12 + a 21 + a 22 }. (c) V W = {(0, 0, 0)} e V + W = R 3. (d) V W = {(0, 0, 0, 0)} e V + W = R 4. (e) V W = {(0, 0, 0)} e V + W = {(x, x, y) ; x, y R}. As somas dadas em (c) e (d) são somas diretas.

10 272 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 1.11* Queremos determinar a, b, c R de modo que o vetor w = (a, b, c) seja combinação linear de u = (2, 6, 4) e v = (2, 1, 1). Para w ser uma combinação linear de u e v devem existir dois números reais x e y tais que (a, b, c) = xu + yv = (2x + 2y, 6x y, 4x + y). Equivalentemente, (x, y) deve ser uma solução do sistema linear 2x + 2y = a 6x y = b 4x + y = c. Somando as três equações, obtemos 2y = a+b+c e somando as duas últimas, temos b + c = 2x. Assim as coordenadas a, b, c devem satisfazer a equação a = 3b + 5c. 1.12* (a) Dado α = {( 1, 3, 1), (1, 2, 4)}, o espaço gerado por α, G(α), é por denição o conjunto de todas as combinações lineares de ( 1, 3, 1) e (1, 2, 4). Assim G(α) = {a( 1, 3, 1) + b(1, 2, 4) ; a, b R} = {( a + b, 3a 2b, a + 4b) ; a, b R}. Geometricamente, G(α) é um plano que passa pela origem. Se (x, y, z) R 3 é um elemento de G(α), então x = a + b, y = 3a 2b, z = a + 4b, (1) onde a, b R. As equações em (1) são as equações paramétricas de G(α). (b) O vetor (5, k, 11) G(α), se 5 = a + b k = 3a 2b 11 = a + 4b,

11 273 para certos a e b em R. Resolvendo o sistema a + b = 5 a + 4b = 11, obtemos a = a 5 e b = Portanto, k = 3a 2b = (a) {(2, 1, 0), ( 3, 0, 1)}. (b) {(1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}. (c) {1 + x 2, x 1 2 x2 }. (d) { } , (a), (c) e (d) (a) 1p 1 (x) 2p 2 (x) + 2p 3 (x). (b) 3p 1 (x) + 0p 2 (x) 2p 3 (x). (c) 2p 1 (x) 1p 2 (x) + 0p 3 (x). 2.1* Sejam f(x) = x 3 + 4x 2 2x + 3, g(x) = x 3 + 6x 2 x + 4 e h(x) = 2x 3 + 8x 2 8x + 7 e sejam a, b, c R tais que af(x) + bg(x) + ch(x) = 0. Temos a + b + 2c = 0 4a + 6b + 8c = 0 2a + b + 8c = 0 3a + 4b + 7c = 0. Resolvendo o sitema, obtemos a = b = c = 0, Assim, os três polinômios são linearmente independentes. 2.2 (a) e (b) independentes, (c) dependente. 2.3 (a), (b) e (c) independentes. 2.4 a = 1 ou a = * Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Queremos mostrar que qualquer conjunto linearmente independente com n vetores forma uma base de

12 274 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS V. Sejam v 1, v 2,..., v n vetores linearmente independentes. Se estes vetores não geram V, então existe um vetor w V que não pode ser escrito como combinação linear deles. Sejam α 1,..., α n, β R tais que Observemos que se β = 0, então α i α 1 v α n v n + βw = 0. = 0 para todo i = 1,..., n, pois os vetores v 1, v 2,..., v n são linearmente independentes. Se β 0, então 1 β (α 1v α n v n ) = w, o que contradiz a escolha de w. Assim, β = α 1 = = α n = 0. Como temos que o conjunto com n + 1 vetores formado por v 1, v 2,..., v n, w é linearmente independente, então a dimensão de V é pelo menos n + 1. Absurdo. Agora vamos provar que todo conjunto formado por n geradores não nulos é linearmente independente. Sejam v 1, v 2,..., v n vetores não nulos que geram o espaço V. Sabemos que sempre é possível extrair dentre eles um subconjunto linearmente independente, digamos v 1,..., v k. Armamos que estes k vetores ainda geram V. De fato, como v 1,..., v k, v k+1 é linearmente dependente, devemos ter que α 1 v α k v k + βv k+1 = 0, onde os escalares não são todos nulos. Mais ainda, note que β 0. Assim, v k+1 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v 1,..., v k. Analogamente, mostramos que cada v k+j, com 1 j n k, também pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v 1,..., v k. Desta forma, pela Proposição 3.1.7, concluímos a prova da armação. Portanto, os vetores v 1,..., v k formam uma base de V. Como dim V = n, segue que k = n, ou seja, o conjunto original já era linearmente independente. 3.2* Seja V o espaço das matrizes simétricas 2 2, ou seja, { } a b V = a, b, c R. b c

13 275 Vejamos que o conjunto β é uma base de V, onde { } β =,, De fato, β gera V, uma vez que todo elemento de V é da forma a b = a + b + c. b c Sejam a, b, c R tais que a + b + c = Temos que a = b = c = 0, o que mostra que β é linearmente independente. 3.3* (a) Temos que U = {(a, b, c, d) ; b + c + d = 0)} = {(a, b, c, (b + c)) ; a, b, c R}. Armamos que B U = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} é uma base de U. De fato, se (a, b, c, d) U, então (a, b, c, d) = a(1, 0, 0, 0) + b(0, 1, 0, 1) + c(0, 0, 1, 1) e se α, β, γ R são tais que α(1, 0, 0, 0) + β(0, 1, 0, 1) + γ(0, 0, 1, 1) = 0, segue que α = β = γ = 0. Portanto, B U é uma base de U e a dimensão de U é três. (b) Temos que W = {(a, b, c, d) ; a + b = 0, c = 2d} = {(a, a, 2d, d) ; a, d R}. Armamos que B W = {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 2, 1)} é uma base de W. Seja (a, b, c, d) W. Então (a, b, c, d) = a(1, 1, 0, 0) + d(0, 0, 2, 1)

14 276 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS e se α, β R são tais que α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 2, 1) = (α, α, 2β, β) = 0, segue que α = β = 0. Portanto, B W é uma base de W e a dimensão de W é dois. (c) Temos que U W = {(a, b, c, d) ; b+c+d = 0, a+b = 0, c = 2d} = {(3d, 3d, 2d, d) ; d R}. Armamos que B = {(3, 3, 2, 1)} é uma base de U W. (a, b, c, d) U W, então De fato, se (a, b, c, d) = (3d, 3d, 2d, d) = d(3, 3, 2, 1). Portanto, B é uma base de U W e a dimensão de U W é um. (d) Observe que dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) = 4. Logo, U + W = R 4. Assim, podemos escolher como base de U + W qualquer base de R 4. Por exemplo, a base canônica {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. 3.4 (a) dependente, já que v 3 = 2v 1 2v 2. (b) β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. (c) dim(g(α)) = 2, porque β é uma base para G(α). 3.6 Os vetores formam uma base para M(2, 2) (a) 2. (b) Não. Porque / W (a) {( 3, 1, 3, 5)}, 1. (b) {( 1, 1,, 0, 0), (2, 0, 1, 0), ( 1, 0, 0, 1)}, 3.

15 (a) 11/28, 1/14. (b) 1, 1. (c) 2, 0, * Seja U R 4 gerado pelos vetores (1, 2, 3, 3), (2, 3, 1, 4), (3, 8, 3, 5). (a) Sejam a, b, c R tais que a(1, 2, 3, 3) + b(2, 3, 1, 4) + c(3, 8, 3, 5) = 0. Temos que a, b, c devem satisfazer o sistema linear a + 2b + 3c = 0 2a + 3b + 8c = 0 3a + b 3c = 0 3a 4b 5c = 0. Somando as duas últimas equações obtemos 3b = 8c e substituindo na segunda equação obtemos 2a = 0. Assim, a = b = c = 0. Logo, (1, 2, 3, 3), (2, 3, 1, 4), (3, 8, 3, 5) é uma base de U e sua dimensão é três. (b) Chamemos u 1 = (1, 2, 3, 3), u 2 = (2, 3, 1, 4) e u 3 = (3, 8, 3, 5). Devemos achar um vetor v R 4 de modo que o conjunto B = {u 1, u 2, u 3, v} seja linearmente independente, ou seja, devemos achar um vetor v que não seja combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3. Ora, U é o espaço gerado por u 1, u 2 e u 3. Equivalentemente, U é o espaço linha da matriz A = Reduzindo a matriz A a sua forma escalonada obtemos a matriz R =

16 278 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS Os vetores linha não nulos da matriz R são w 1 = (1, 0, 0, 3), w 2 = (0, 1, 0, 0) e w 3 = (0, 0, 1, 0). Assim, U = G(u 1, u 2, u 3 ) = G(w 1, w 2, w 3 ) = {a(1, 0, 0, 3) + b(0, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) ; a, b, c R} = {(a, b, c, 3a) ; a, b, c R}. Portanto, para um vetor v R 4 não ser combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3, basta v não ser da forma (a, b, c, 3a), onde a, b, c R. Desse modo, tomemos v = (1, 0, 0, 0). O conjunto B = {u 1, u 2, u 3, v} é linearmente independente e, portanto, é uma base de R * Seja U R 4 gerado pelos vetores u 1 = (2, 4, 2, 6), u 2 = (1, 2, 1/2, 1) e u 3 = (3, 6, 3, 5) e seja W R 4 gerado pelos vetores w 1 = (1, 2, 4, 11) e w 2 = (2, 4, 5, 14). Para mostrarmos que U = W, basta mostrar, pela Proposição 3.1.7, que cada vetor u i é combinação linear dos vetores w 1 e w 2 para i = 1, 2, 3 e que, para j = 1, 2, cada vetor w j é combinação linear dos vetores u 1, u 2 e u 3. Vamos mostrar que u 1 é combinação linear dos vetores w 1 e w 2. Para isto, temos que achar a, b, R tais que u 1 = aw 1 + bw 2. Como u 1 = 2w 1 + 2w 2, mostramos o que queríamos. Analogamente podemos ver que u 2 = 2w 1 + (3/2)w 2, u 3 = 7w 1 (5/7)w 2, w 1 = (5/4)u 1 + 0u 2 (1/2)u 3, w 2 = (13/8)u 1 + 1u 2 (3/4)u Os vetores formam uma base para R {w 1, w 2 } é uma base para W, pois {w 1, w 2 } é independente e w 3 G(w 1, w 2 ) já que w 3 = 2w 1 + 6w 2. Portanto, dim W = 2.

17 279 de R 4. O conjunto {w 1, w 2, (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} estende {w 1, w 2 } a uma base 4.5 (0, 0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 0, 1). Capítulo 4 1.2* Sejam u, v e w três vetores quaisquer em R 3. Podemos supor que u e v são não nulos. ( ) Se u, v e w são dependentes, existem a, b, c R não simultaneamente nulos tais que au + bv + cw = 0. Se a 0, temos que u = (b/a)v (c/a)w, o que mostra que u, v e w pertencem ao plano que passa pela origem que tem v e w como vetores base. ( ) Suponhamos que u, v e w pertencem a um plano π que passa pela origem. Sabemos que π é um subespaço de R 3 de dimensão dois. Assim, qualquer conjunto com mais de dois elementos de π será dependente, em particular, {u, v, w} é dependente. 1.3* Consideremos v 1 = B A = (3, 3, 1) e v 2 = C A = (0, 3, 1). Seja π o plano que passa pelos pontos A, B e C. Um vetor normal n ao plano π é dado pelo produto vetorial de v 1 e v 2. Logo, n = v 1 v 2 = (0, 3, 6) é um tal vetor. Assim, 3y + 6z + d = 0 é uma equação geral do plano π, onde d é um número real a se determinar. Como A π, segue que 3(2) + 6(0) + d = 0, o que nos dá que d = 6. Assim, 3y + 6y 6 = 0 é a equação geral do plano π. 1.4 (a) {(1, 0, 3), (0, 1, 4)}. (b) {(2, 1, 3)}. (c) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. 1.5 x 2 4 = y + 4 = z x 2 = y 3 = z. 1.8 x = 2z+1 3, y = 1 z. 1.9 k = 5.

18 280 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 1.11 k = 21/ x = 4/3t 2s, y = t, z = 2+s, sendo t e s números reais quaisquer x = 2 7t + 3s, y = 1 + t + s, z = 5t + 2s, sendo t e s números reais quaisquer (2, 1, 0), (0, 3, 2), (3/2, 0, 1/2), respectivamente. 2.1* (a) (b): Suponhamos que r 1 e r 2 estejam num mesmo plano, digamos π(q, u 1, u 2 ). Ora, como r 1 π e r 2 π, segue que A 1 π e A 2 π. Assim, existem m, n, t, s R tais que A 1 = Q + mu 1 + nu 2 (1) e A 2 = Q + tu 1 + su 2. (2) Consequentemente, v G(u 1, u 2 ). Como A 1 + v 1 r 1 e A 2 + v 2 r 2, segue que existem a, b, c, d R tais que A 1 + v 1 = Q + au 1 + bu 2 (3) e A 2 + v 2 = Q + cu 1 + du 2, (4) já que A 1 + v 1, A 2 + v 2 π. Substituindo (1) em (3) e substituindo (2) em (4), concluímos que v 1 G(u 1, u 2 ) e v 2 G(u 1, u 2 ). Mostramos, então, que {v, v 1, v 2 } G(u 1, u 2 ). Como dim(g(u 1, u 2 )) = 2, qualquer conjunto com mais de dois vetores é dependente. Portanto, {v, v 1, v 2 } é dependente. (b) (a): Os vetores v, v 1 e v 2 pertencem a um mesmo plano que passa pela origem, digamos π = π(0, w 1, w 2 ). Assim, existem a, b, c, d, e, f R tais que v = aw 1 + bw 2, v 1 = cw 1 + dw 2, v 2 = ew 1 + fw 2.

19 281 Tome P r 1. Então, existe t R tal que P = A 1 + tv 1 = A 1 + (tc)w 1 + (td)w 2, mostrando que r 1 π(a 1, w 1, w 2 ). Armamos que r 2 π(a 1, w 1, w 2 ) também. Ora, se P r 2, então existe t R tal que P = A 2 + tv 2 = A 1 + aw 1 + bw 2 + (te)w 1 + (tf)w 2 = A 1 + (a + te)w 1 + (b + tf)w 2, mostrando que P π(a 1, w 1, w 2 ). Portanto, ambas as retas r 1 e r 2 pertencem ao plano π(a 1, w 1, w 2 ). 2.2* Note que r 1 = {(0, 3, 0) + t(1, 2, 1) ; t R} e r 2 = {(1, 4, 0) + t( 36, 6, 3) ; t R}. Devemos vericar se o conjunto {(1, 2, 1), ( 36, 6, 3), v}, em que v = (1, 7, 0), é linearmente independente ou não. É fácil vericar que é linearmente independente. Assim, as retas são reversas. 2.3 Concorrentes. 2.5 a = 1, b = 2, c = a = 4, b = x = * Devemos resolver pela regra de Cramer o sistema linear AX = B, onde [ ] cos θ sen θ x x A =, X = sen θ cos θ y e B =. y Como det A = 1, segue pela regra de Cramer que em que Portanto, x = det A 1 det A = det A 1 e y = det A 2 det A = det A 2, A 1 = [ x y ] sen θ cos θ e A 2 = [ cos θ sen θ ] x. y x = x cos θ + y sen θ e y = x sen θ + y cos θ.

20 282 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS Capítulo 5 1.4* Sejam A, C V e sejam a, c R. Temos T (aa + cc) = (aa + cc)b + B(aA + cc) = aab + ccb + aba + cbc = a(ab + BA) + c(cb + BC) = at (A) + ct (C), mostrando que T é uma transformação linear. 1.6 (a) T (u + v) = 3u + v. (b) T (3v) = 3u + 3v. (c) T ( 3u) = 6u. (d) T (u 5v) = 3u 5v. 1.7 (a), (c) e (e) são transformações lineares. (b) Não, pois T (2(1, 1)) 2T (1, 1). (d) Não, pois T ( 1(1, 1)) 1T (1, 1). (f) É linear somente se a = (a) n = 2, m = 3 e T (x, y) = ( x + 2y, 3x + 2y, y x). (b) n = m = 3 e T (x, y, z) = ( x + 4y z, 5x 5y z, x + 3z). 2.1* Para mostrarmos que a imagem de T é um subespaço vetorial de W, devemos mostrar que se w 1, w 2 Im T e a R, então w 1 + w 2, aw 1 Im T. Ora, como w 1, w 2 Im T, existem v 1, v 2 V tais que T (v 1 ) = w 1 e T (v 2 ) = w 2. Assim w 1 +w 2 = T (v 1 )+T (v 2 ) = T (v 1 +v 2 ) e, portanto, w 1 +w 2 Im T. Como aw 1 = at (v 1 ) = T (av 1 ), temos que aw 1 Im T. 2.2* (a) Pela denição, (x, y, z) Ker T quando (x, y, z) é solução do sistema linear x + 2y z = 0 y + 2z = 0 x + 3y + z = 0. Resolvendo o sistema acima, obtemos x = 5z e y = 2z, com z R. Assim, Ker T = {(5z, 2z, z) ; z R}. Como Ker T é um subespaço de R 3 e sua dimensão é 1, Ker T é uma reta que passa pela origem.

21 283 (b) x = 5t y = 2t, z = t t R. (c) Como dim Ker T = 1, segue do teorema do núcleo e da imagem que dim Im T = 2. Portanto, Im T é um plano que passa pela origem. (d) Ora, Im T = G(T (1, 0, 0), T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)) = G(((1, 0, 1), (2, 1, 3), ( 1, 2, 1)) = G((1, 0, 1), (2, 1, 3)), já que ( 1, 2, 1) = 5(1, 0, 1) + 2(2, 1, 3). Portanto, Im T = π(0, v 1, v 2 ), onde v 1 = (1, 0, 1) e v 2 = (2, 1, 3). Assim, x = m + 2n y = n, z = m + 3n m, n R são as equações paramétricas procuradas. 2.4* Se {v 1,..., v n } é uma base de V, então {T (v 1 ),..., T (v n )} gera Im T. Como dim Im T = n, segue que {T (v 1 ),..., T (v n )} é uma base de Im T e, consequentemente, uma base de W, já que Im T = W. Suponhamos agora que {T (v 1 ),..., T (v n )} é uma base de W. Para provarmos que {v 1,..., v n } é uma base de V, basta mostrar que este conjunto é independente. Sejam a 1,..., a n R tais que a 1 v 1 + +a n v n = 0. Temos a 1 T (v 1 )+ +a n T (v n ) = 0, portanto, a i = 0 para todo 1 i n. 2.6* Vamos resolver este exercício de dois modos:

22 284 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 1 o ) Usando R[x] 3 : se p(x)=ax 3 + bx 2 + cx + d W, então a b + c d=0. Assim, p(x) = (b c + d)x 3 + bx 2 + cx + d = b(x 3 + x 2 ) + c( x 3 + x) + d(x 3 + 1). Chamando q 1 (x) = x 3 + x 2, q 2 (x) = x 3 e q 3 (x) = x temos, por (1), que W = G(q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x)). Como {q 1 (x), q 2 (x), q 3 (x)} é independente, segue que este conjunto é uma base de W. Portanto, dim W = 3. 2 o ) Usando o fato que R[x] 3 é isomorfo ao R 4 : a função T : R[x] 3 R 4 dada por T (ax 3 + bx 2 + cx + d) = (a, b, c, d) é um isomorsmo. Como T (W ) = {(b c + d, b, c, d) ; b, c, d R}, para determinarmos a dimensão de W, basta determinarmos a dimensão de T (W ). Consideremos v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = ( 1, 0, 1, 0) v 3 = (1, 0, 0, 1). Como {v 1, v 2, v 3 } é independente e gera T (W ), já que (b c, d, b, c, d) = bv 1 + cv 2 + dv 3, segue que {v 1, v 2, v 3 } é uma base para T (W ). Portanto, dim T (W ) = 3 e, consequentemente, dim W = (a) Ker T = {(x, x, x) ; x R}, Im T = R 2. (b) Ker T = {(0, 1/2w, 3/2w, w) ; w R}, Im T = R 3. (c) Ker T = {0}, Im T = {p(x) = ax 3 + bx 2 + cx ; a, b, c R}. { } { } a b a b (d) Ker T = ; a, b R, Im T = ; a, b R. a b 4a 4b (e) Ker T = {0}, Im T = {(a + b, 2b + c, a + 2b c, c) ; a, b, c R}. 2.8 injetivas: (c) e (e); sobrejetivas: (a) e (b) T (x, y, z) = (0, 0, x+y+3z 3 ) T (x, y, z, t) = ( x y + z, t 2x y, 0) T (x, y, z) = (x, 2x + y, 3x y) T (x, y, z) = (y + z, 3y, y + z, 2y z) (a) T (x, y, z) = (x, y). (b) Não é possível. (1)

23 285 (c) T (x, y, z) = (0, 0, 0). (d) T (x, y, z) = (x + z, 0, 0, 0) É invertível; T 1 (x, y, z) = (4x 2y 3z, 11x + 6y + 9z, 12x + 7y + 10z) (a) a i 0 para todo 1 i n. (b) T 1 (x 1, x 2,..., x n ) = (a 1 1 x 1, a 1 2 x 2,..., a 1 n x n ) T : V W dada por T ([a ij ]) = [b ij ], com b ij = a ij se i > j e b ij = 0 se i < j. 3.1* Como T : R 3 R 4 está dada por T (x, y, z) = (x + y, z, x y, y + z) e S : R 2 R 3 está dada por S(x, y) = (2x + y, x y, x 3y), obtemos (T S)(x, y) = T (2x + y, x y, x 3y) 3.3 (a) (T + S)(x, y) = (x, x). = ((2x + y) + (x y), x 3y, (2x + y) (x y), (x y) + (x 3y)) = (3x, x 3y, x + 2y, 2x 4y). (b) (5T 4S)(x, y) = (5x + 9y, 4x). (c) (S T )(x, y) = (0, x + y). (d) (T S)(x, y) = (x y, 0). (e) T 3 (x, y) = T (x, y). (f) S 3 (x, y) = ( y, x). Capítulo 6 1.2* (a) Sejam α = {v 1,..., v n } uma base de R n e β = {w 1,..., w m } uma base de R m. Sejam u, v R n e a R. Digamos que u = x 1 v x n v n e v = y 1 v y n v n. Logo, u + av = (x 1 + ay 1 )v (x n + ay n )v n. Pela denição de T, [T (u + av)] β = A[u + av] α = A[u] α + aa[v] α = [T (u)] β + a[t (v)] β,

24 286 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS onde a segunda igualdade segue das propriedades do produto de matrizes. Logo, T é uma transformação linear. (b) Pela denição da matriz [T ] α β, sabemos que a primeira coluna desta matriz é [T (v 1 )] β e usando a denição de T vemos que [T (v 1 )] β é precisamente a primeira coluna de A. colunas. Procedemos de maneira análoga para as outras 1.4* Basta mostrar que dim Im T = r, pois dim Ker T = dim V dim Im T. O posto da matriz nos diz que temos r colunas linearmente independentes e que qualquer conjunto com mais de r colunas será linearmente dependente. Por outro lado, sabemos que as colunas da matriz geram a imagem e que podemos obter a partir delas uma base para Im T escolhendo um subconjunto linearmente independente maximal. Assim pelo visto acima, este conjunto conterá exatamente r colunas. 1.5 T (x, y, z) = ( x + 2z, 4x y + 6z) /2 1 1/2 [T ] α β = 1/2 1 1/2. 1/2 0 1/2 1.8 β = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), ( 3, 7, 1)} [T ] β β = [T ] α α =

25 a) Não existe v R 2 tal que T (v) = I (b) T (3, 1) = T (x, y, z) = ( 2x + 4y 1z, 1x + 2y + 1 z, 2y z)} (a) Ker T A = {0}. (b) Im T A = G((1, 0, 1), (2, 1, 1)). (c) Ker T B = {0}. (d) Im T B = R 3. (e) Ker(T B T A ) = {0}. (f) Im (T B T A ) = G((2, 1, 2), (2, 2, 3)). 3.1* Vejamos qual é a imagem de cada vetor da base canônica de R 2. O vetor (1, 0) se transforma no vetor (0, 1) pela rotação e depois no vetor (0, 1) pela reexão. Já o vetor (0, 1) se transforma no vetor ( 1, 0) pela rotação e depois no vetor (0, 1). Assim, a matriz desta transformação na base canônica é 1 0 A = * Vamos determinar a matriz da transformação na base canônica, pois sabemos que a inversa desta matriz é a matriz da transformação inversa. Temos A = Neste caso, a matriz inversa é igual à matriz. Assim a transformação inversa é a própria transformação. [ ] (a). (b) (a),,. (b) [v] β = α = {(1, 3), ( 5, 12)}

26 288 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 4.8* A demonstração de (a) não apresenta diculdade. Vamos provar (b). Escrevamos A = (a ij ) e B = (b lk ). Temos que (AB) ii = n j=1 a ijb ji e (BA) jj = n i=1 b jia ij. Assim, tr AB = n n i=1 j=1 a ijb ji = n n j=1 i=1 a ijb ji = n n j=1 i=1 b jia ij = tr BA. Vamos provar (c). De fato, existe uma matriz invertível P tal que [T ] α α = P 1 [T ] β β P, logo tr[t ] α α = tr P 1 [T ] β β P = tr[t ]β β P 1 P = tr[t ] β β. Capítulo 7 1.1* (a) Sejam u = (x 1, x 2 ), v = (y 1, y 2 ) e w = (z 1, z 2 ) em R 2 e seja c em R. Temos: 1. u, u = 1 9 x x2 2 0; 2. u, u = 1 9 x x2 2 = 0 se, e somente se x 1 = x 2 = 0, ou equivalentemente u = 0; 3. u, v = 1 9 x 1y x 2y 2 = 1 9 y 1x y 2x 2 = v, u ; 4. u + v, w = 1 9 (x 1 + y 1 )z (x 2 + y 2 )z 2 = ( 1 9 x 1z x 2z 2 ) + ( 1 9 y 1z y 2z 2 ) = u, w + v, w ; 5. cu, v = 1 9 (cx 1)y (cx 2)y 2 = c( 1 9 x 1y x 2y 2 ) = c u, v. Portanto, a expressão dada dene um produto interno em R 2. (b) Se V é um espaço com produto interno, então o conjunto dos vetores v de V que satisfazem v = 1 é chamado de círculo unitário de V. Assim, o círculo unitário de R 2 usando o produto interno em (a) é dado pelo conjunto dos vetores v = (x, y) em R 2 tais que v = v, v 1/2 = 1 9 x y2 = 1,

27 289 ou equivalentemente, x y2 4 = 1. A equação acima representa uma elipse de centro na origem e eixos maior e menor paralelos aos eixos coordenados (Figura 24). (c) Se v = (x, y) R 2, então v = v, v 1/2 = x 2 + y 2 = 1, se, e somente se x 2 + y 2 = 1. A equação acima representa um círculo de centro na origem e raio 1 (Figura 24). (d) Sim. O círculo unitário com a norma dada pelo produto interno em (a) tem um formato elíptico. Figura (a) 8. (b) 11. (c) (a) 0. (b) 2 2. (c) 6 3.

28 290 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 2.2* Sejam u e v dois vetores de um espaço com produto interno. Então u + v 2 + u v 2 = u + v, u + v + u v, u v = u, u + 2 u, v + v, v + u, u 2 u, v + v, v = 2 u, u + 2 v, v = 2 u v * Faremos a prova por indução sobre n. Se n = 2, então v 1 + v 2 2 = v 1 + v 2, v 1 + v 2 = v 1, v v 1, v 2 + v 2, v 2 = v v 2 2, já que v 1, v 2 = 0. Suponhamos agora o resultado válido para n = k 1. Vamos mostrar que ele é válido para n = k. De fato, pelo caso n = 2 e pela hipótese de indução, segue que v v k 1 + v k 2 = v v k v k 2 = v v k v k 2, pois v v k 1, v k = v 1, v k + + v k 1, v k = 0. resultado vale para todo n N \ {0}. Por indução, o 2.12* O conjunto {u, v} é uma base de W. Para mostrar que um vetor ṽ em R 5 W, ou seja, que ṽ, w = 0 para todo w W, basta mostrar que ṽ, u = ṽ, v = 0. Tomemos ṽ = (x, y, z, w, t) R 5. Temos que ṽ, u = ṽ, v = 0 se, e somente se, x + 2y + 3z w + 2t = 0 2x + y + 3z 2w t = 0.

29 291 Equivalentemente, x = 5z + w t e y = z 5 3 t, onde z, w, t R. Portanto, W = {(5z + w t, z 5 t, z, w, t) ; z, w, t R}. 3 Assim, α = {(5, 1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1, 0), (4/3, 5/3, 0, 0, 1)} é uma base para W Basta vericar que v, v 1 = 0 e v, v 2 = 0, pois v, av 1 + bv 2 = a v, v 1 + b v, v 2 = 0, para quaisquer a e b em R x = 1 + t, y = 2t, z = 3t, sendo t R. 3.1 (a) Suponhamos que α = {v 1, v 2,..., v n }. Então v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, já que a 1, a 2,..., a n são as coordenadas de v na base α. Como α é um conjunto ortogonal, segue pelo Problema 2.9 que v 2 = a 1 v 1 + a 2 v a n v n 2 = a 1 v a 2 v a n v n 2. Pela Proposição 7.2.2(c), temos a 1 v a 2 v a n v n 2 = a 1 2 v a 2 2 v a 2 n v n 2 = a a a 2 n, pois v 1 = v 2 = = v n = 1. Portanto, v 2 = a a a 2 n.

30 292 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS Extraindo as raízes quadradas de ambos os lados da igualdade acima obtemos v = a a a 2 n. (b) Por denição, d(v, w) = v w. Como segue do item (a) que v w = (a 1 b 1 )v 1 + (a 2 b 2 )v (a n b n )v n, d(v, w) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) (a n b n ) 2. (c) Ora, v, w = a 1 v 1 + a 2 v a n v n, b 1 v 1 + b 2 v b n v n = a 1 b 1 v 1, v 1 + a 1 b 2 v 1, v a 1 b n v 1, v n + a 2 b 1 v 2, v 1 + a 2 b 2 v 2, v a 2 b n 2, v n + + a n b 1 v n, v 1 + a n b 2 v n, v a n b n v n, v n = a 1 b 1 + a 2 b a n b n, já que v i, v j = 0 sempre que i j e v i, v i = 1 para todo i. 3.4* (a) Pelo Teorema 14, v = v 1 +v 2 onde v 1 = proj W v W e v 2 = v v 1 W. Como v 1 W e {w 1, w 2,..., w n } é uma base de W, v 1 se escreve de modo único como combinação linear dos vetores w 1, w 2,..., w n, digamos v 1 = a 1 w 1 + a 2 w a n w n. (1) Vamos mostrar que, para cada 1 i n, a i = v, w i. Ora como v v 1 W, segue que v v 1, w = 0 para todo w W. Em particular, v v 1, w i = 0 para todo 1 i n. Consequentemente, v, w i = v 1, w i para todo 1 i n. Fixemos agora 1 i n. Temos v, w i = v 1, w i = a 1 w 1 + a 2 w a n w n, w i = a i, (2)

31 293 pois {w 1, w 2,..., w n } é um conjunto ortonormal. Substituindo (2) em (1), obtemos proj W v = v, w 1 w 1 + v, w 2 w v, w n w n. (b) A demonstração é análoga à prova acima, sendo que, neste caso, para cada 1 i n v, w i = a i w i, w i = a i w i 2 e, consequentemente, a i = v, w i w i {w 1, w 2, w 3, w 4 }, sendo w 1 = (0, 2, 1, 0), w 2 = (1, 1/5, 2/5, 0), w 3 = (1/2, 1/2, 1, 1) e w 4 = ( 4 15, 4 15, 8 15, 4 5 ). 3.6 ( 1/2, 5/2, 2, 4). 3.7 {(2/ 5, 1/ 5, 0), ( 1/ 5, 2/ 5, 0), (0, 0, 1)}. 4.1* Sejam S e T operadores lineares num espaço com produto interno de dimensão nita V e seja k R. Sejam u, v V quaisquer. (a) (S + T )(u), v = S(u), v + T (u), v = u, S (v) + u, T (u) = u, (S + T )(v) ; Assim, (T + S) = T + S. (b) (kt )(u), v = k T (u), v = u, T (v) = u, kt (v) ; Logo, (kt ) = kt. (c) (ST )(u), v = T (u), S (v) = u, T (S (v)) ; Assim, (ST ) = T S. (d) T (u), v = v, T (u) = T (v), u = u, T (v). Logo, (T ) = T. 4.2 u = (1, 4, 5). 4.3 T (x, y, z) = (2x + 3y, 2x + z, 4y).

32 294 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS 4.6 (a), (c) e (d) são operadores ortogonais. 4.7* A segunda linha (a, b, c) deve satisfazer duas condições: a 2 +b 2 +c 2 = 1 e a+2b+2c = 0. Assim, 5b 2 +5c 2 +8bc = 1. Escolhendo c = 0, obtemos b = 5 5 e a = Para a terceira linha (d, e, f), queremos que d2 + e 2 + f 2 = 1, d + 2e + 2f = 0 e que 2e + f = 0, ou seja, devemos ter que d = , e = e f = (a) 15. [ ]. (b) Capítulo 8 2.2* Por indução sobre n. Para n = 2, o resultado é óbvio. Suponhamos o resultado válido para n 1 e seja A = [a ij ] uma matriz triangular superior de ordem n. Então a ij = 0 para todo j < i. Pelo Teorema 8.2.1, det A = a 11 det(a(1 1)), já que a i1 = 0 para todo 2 i n. Como a matriz A(1 1) é uma matriz triangular superior de ordem n 1, com a 22,..., a nn como elementos da diagonal principal, temos, pela hipótese de indução, que det A(1 1) = a a nn, o que termina a prova o resultado. 2.3* Seja a R. Fazendo o desenvolvimento de Laplace pela primeira linha

33 295 obtemos a a 2 a 3 det A = det a 2 a 3 a 4 a 3 a 4 a 5 1 a a 3 + det 1 a 2 a 4 1 a 3 a 5 1 a 2 a 3 det 1 a 3 a 4 1 a 4 a 5 1 a a 2 det 1 a 2 a 3 1 a 3 a 4 a a a 3 1 a 2 a 2 = a det a 2 a 2 a 4 a det 1 a 3 a 3 a 3 a 3 a 5 1 a 4 a 4 1 a a 1 a a +a 2 det 1 a 2 a 2 det 1 a 2 a 2. 1 a 3 a 3 1 a 3 a 3 Note que cada uma das matrizes anteriores tem duas colunas iguais e, portanto, cada uma delas tem determinante nulo. Consequentemente, det A = (a) {(0, 0, 0)}. (b) {( 1, 3, 1, 1)}. Capítulo 9 1.1* A(c) = {v V ; T (v) = cv}. Tomemos v e w em A(c) e tomemos a e b em R. Pela linearidade de T, T (av + bw) = at (v) + bt (w). Como T (v) = cv e T (w) = cw, segue que T (av +bw) = a(cv)+b(cw) = c(av +bw), mostrando que av + bw A(c). Portanto, A(c) é um subespaço vetorial de V. 1.2 (a) Não tem autovalores e autovetores. (b) 1, {(x, x, x) ; x 0}; 1, {(0, 3x, x) ; x 0}; 2, {(0, 0, x) ; x 0}. (c) 1, {ax 2 + bx + b ; a 0 ou b 0}; 1, {ax a ; a 0}.

34 296 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS { } 0 0 (d) 1, ; a 0 ; 0 a { } 2a a 1, ; a 0 ; a 0 { } a 0 2, ; a 0. a (a) c = 0, {(x, x) ; x 0}; c = 4, {(x, x) ; x 0}. (b) c = 1, {( y 2z, y, z) ; y 0 ou z 0}; c = 2, {(0, y, y) ; y 0}. (c) c = 0, {(0, 0, 0, x) ; x 0}; c = 2, {( x, 2y, x, y) ; x 0 ou y 0}; c = 4, {(x, 0, 0, 0) ; x 0}. 1.5 T (x, y, z) = (x, 2x y + 2z, 4x 4y + 5z). 1.6* Seja (x, y, z) em R 3. Então, (x, y, z) = (x + y z)(1, 1, 1) + ( x y + 2z)(0, 1, 1) + (y z)( 1, 1, 0), o que pela linearidade de T nos dá que T (x, y, z) = (x+y z)t (1, 1, 1)+( x y +2z)T (0, 1, 1)+(y z)t ( 1, 1, 0). Como T (1, 1, 1) = (1, 1, 1), T (0, 1, 1) = (0, 2, 2) e T ( 1, 1, 0) = (1, 1, 0), segue que T (x, y, z) = (x + y z)(1, 1, 1) + ( x y + 2z)(0, 2, 2) + (y z)(1, 1, 0) = (x + 2y 2z), x 2y + 4z, x y + 3z)

35 * Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz A nada mais é do que calcular os autovalores e os autovetores de T A. Assim, [ ] c 2 3 det = c 2 6c + 5, 1 c 4 nos dando que c = 1 e c = 5 são os autovalores de A. O conjunto solução do sistema linear 1 3 x 0 = 1 3 y 0 é dado por {(3x, x) ; x R} e o conjunto solução do sistema linear 3 3 x 0 = 1 1 y 0 é dado por {(x, x) ; x R}. Assim, os autovetores associados a c = 1 são os vetores da forma (3x, x), x 0 e os autovetores associados a c = 4 são os vetores da forma (x, x), x * Seja A M(n). A matriz A é invertível se, e somente se, Ker T A = {0}. Agora, Ker T A = {0} se, e somente se, não existe v R n, não nulo, tal que T A (v) = 0 = 0 v. Portanto, A é invertível se, e somente se, c = 0 não é um autovalor de A. 3.1* Sabemos que o cálculo dos autovalores de T independe da base considerada em R 3. Assim, t det 1 t = (t 2)(t 3)(t + 3). 1 0 t 2 Portanto, T tem três autovalores distintos. Como dim R 3 = 3, existe uma base de R 3 formada de autovetores de T e, assim, T é diagonalizável. 3.2 (a) verdadeiro (b) verdadeiro (c) falso (d) falso 3.3 (a) Não é diagonalizável.

36 298 CAPÍTULO 10. SOLUÇÕES E RESPOSTAS (b) P =. (c) P = (a) c 1. (b) c = (a) I 3. (b) A. (c) I * Seja α a base canônica de R 2. Então, t 2 2 P [T ] α (t) = det = t 2 5t + 4, 1 t 3 o que nos dá que c 1 = 1 e c 2 = 4 são os autovalores de T. O conjunto solução do sistema linear 1 2 x 0 = 1 2 y 0 e o conjunto solução do sistema linear 2 2 x 0 = 1 1 y 0 é o autoespaço associado a c 1 = 1 e o autoespaço associado a c 2 = 4, respectivamente. Assim, (2, 1) é um autovetor associado a c 1 = 1 e (1, 1) é um autovetor associado a c 2 = 4. Portanto, β = {(2, 1), (1, 1)} é uma base de R 2 tal que [T ] β β 5.1* (a) Temos que é uma matriz diagonal. x 2 4x 2y + 4 = 0 (x 2) 2 = 2y y = 1 2 (x 2)2. Portanto, a equação representa uma parábola. (b) A equação 4x 2 3y xy 156 = 0 equivale a equação matricial [ x ] 4 12 x y + [ 156] = [0]. (1) 12 3 y

37 299 A matriz 4 12 A = 12 3 é simétrica. Logo, pelo Teorema Espectral, A é ortogonalmente diagonalizável. De fato, c 1 = 13 e c 2 = 12 são os autovalores de A. O vetor v 1 = (4/5, 3/5) é um autovetor associado a c 1 = 13 e o vetor v 2 = ( 3/5, 4/5) é um autovetor associado a c 2 = 12. Logo, a base β = {v 1, v 2 } é uma base ortonormal de R 2 formada por autovetores. Seja P = [I R 2] β α, onde α é a base canônica de R 2. Chame D = P 1 AP. Temos P = e D =. (2) 0 12 Chamando [v] β de matricial [ x y ] que equivale a equação ou seja, , onde v = (x, y) R 2, de (1) e (2) obtemos a equação [ 13 0 x y 0 12 x y ] 13x 2 12y = 0, x 2 12 y 2 13 = 1. + [ 156] = [0], Portanto, a equação 4x 2 3y xy 156 = 0 representa uma hipérbole. 5.2 (a). (b) elipse. (c) duas retas paralelas. (d) uma reta. (e) hipérbole. (f) elipse. (g) parábola. (h) elipse. (i) hipérbole.

Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes

Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes 6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R:

5. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial F(R) das funções de R em R: MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR I 3 a Lista de Exercícios 1 o semestre de 2018 1. Verique se V = {(x, y) : x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalar dadas por:

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais):

6. Verifique detalhadamente que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais(com a soma e produto por escalar usuais): a Lista. Sejam u = ( 4 ) v = ( 5) e w = (a b). Encontre a e b tais que (a)w = u + v (b)w = 5v (c)u + w = u v. Represente os vetores acima no plano cartesiano.. Sejam u = (4 ) v = ( 4) e w = (a b c). Encontre

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Sejam u = ( 4 3) v = (2 5) e w = (a b).

Leia mais

exercícios de álgebra linear 2016

exercícios de álgebra linear 2016 exercícios de álgebra linear 206 maria irene falcão :: maria joana soares Conteúdo Matrizes 2 Sistemas de equações lineares 7 3 Determinantes 3 4 Espaços vetoriais 9 5 Transformações lineares 27 6 Valores

Leia mais

Forma Canônica de Matrizes 2 2

Forma Canônica de Matrizes 2 2 Forma Canônica de Matrizes Slvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão. - Novembro 5 a b Seja A c d induzida por A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de

Leia mais

(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R.

(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R. INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2457 Álgebra Linear para Engenharia I Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Considere as retas

Leia mais

MAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios

MAT Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de ā Lista de Exercícios MAT 2458 - Álgebra Linear para Engenharia II - Poli 2 ō semestre de 2014 1 ā Lista de Exercícios 1. Verifique se V = {(x, y) x, y R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 - MATEMÁTICA 3 (CCM0213)

LISTA DE EXERCÍCIOS 1 - MATEMÁTICA 3 (CCM0213) LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/ PPLOPES/MATEMATICA3 Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do Apostol e do Domingues Callioli Costa. Exercício.

Leia mais

Unidade 22 - Teorema espectral para operadores simétricos, reconhecimento de cônicas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa

Unidade 22 - Teorema espectral para operadores simétricos, reconhecimento de cônicas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 22 - Teorema espectral para operadores simétricos, reconhecimento de cônicas A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto

Leia mais

Soluções dos trabalhos de 1 a 7

Soluções dos trabalhos de 1 a 7 Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear Aluno(a): Soluções dos trabalhos

Leia mais

Álgebra Linear

Álgebra Linear Álgebra Linear - 0191 Lista 3 - Dependência e Independência Linear Bases e Soma Direta 1) Exiba três vetores u v w R 3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro nenhuma das coordenadas

Leia mais

Capítulo 5. Operadores Auto-adjuntos. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo

Capítulo 5. Operadores Auto-adjuntos. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Capítulo 5 Operadores Auto-adjuntos Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 5: Operadores Auto-adjuntos

Leia mais

CM005 Álgebra Linear Lista 3

CM005 Álgebra Linear Lista 3 CM005 Álgebra Linear Lista 3 Alberto Ramos Seja T : V V uma transformação linear. Se temos que T v = λv, v 0, para λ K. Dizemos que λ é um autovalor de T e v autovetor de T associado a λ. Observe que λ

Leia mais

Notas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009

Notas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução

Leia mais

Aula 19 Operadores ortogonais

Aula 19 Operadores ortogonais Operadores ortogonais MÓDULO 3 AULA 19 Aula 19 Operadores ortogonais Objetivos Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais. Aplicar os conceitos apresentados em exemplos

Leia mais

GAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1).

GAAL - Exame Especial - 12/julho/2013. Questão 1: Considere os pontos A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 1), C = (3, 1, 2) e D = (2, 2, 1). GAAL - Exame Especial - /julho/3 SOLUÇÕES Questão : Considere os pontos A = (,, 3), B = (, 3, ), C = (3,, ) e D = (,, ) (a) Chame de α o plano que passa pelos pontos A, B e C e de β o plano que passa pelos

Leia mais

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)

(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay) Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados

Leia mais

5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2009

5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2009 5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 29 Soluções dos exercícios Devido ao fato de A ser simétrica, existe uma base ortonormal {u,, u n } formada por autovetores de A, então

Leia mais

1 Matrizes Ortogonais

1 Matrizes Ortogonais Álgebra Linear I - Aula 19-2005.1 Roteiro 1 Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de vetores distintos

Leia mais

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:

Espaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números

Leia mais

(d) v é um autovetor de T se, e somente se, T 2 = T ; (e) v é um autovetor de T se, e somente se, T (v) = v.

(d) v é um autovetor de T se, e somente se, T 2 = T ; (e) v é um autovetor de T se, e somente se, T (v) = v. Q1. Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno. Sejam T : V V um operador linear simétrico e W um subespaço de V tal que T (w) W, para todo w W. Suponha que W V e que

Leia mais

Capítulo 3: Espaços Vetoriais

Capítulo 3: Espaços Vetoriais 3 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 3: Espaços Vetoriais Sumário 1 Subespaços Vetoriais................. 58 1.1 Caracterização dos Subespaços

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Matrizes. Exemplos. Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação 7. Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz Coluna. Exemplos. Diagonal

Leia mais

(I) T tem pelo menos um autovalor real; (II) T é diagonalizável; (III) no espaço vetorial real R n, o conjunto {u, v} é linearmente independente.

(I) T tem pelo menos um autovalor real; (II) T é diagonalizável; (III) no espaço vetorial real R n, o conjunto {u, v} é linearmente independente. Q1. Sejam n um inteiro positivo, T : C n C n um operador linear e seja A = [T ] can a matriz que representa T em relação à base canônica do espaço vetorial complexo C n. Suponha que a matriz A tenha entradas

Leia mais

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R

ESPAÇO VETORIAL REAL. b) Em relação à multiplicação: (ab) v = a(bv) (a + b) v = av + bv a (u + v ) = au + av 1u = u, para u, v V e a, b R ESPAÇO VETORIAL REAL Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: u, v V, u + v V a R, u V, au V O conjunto V com estas duas operações

Leia mais

23 e 24. Forma Quadrática e Equação do Segundo Grau em R 3. Sumário

23 e 24. Forma Quadrática e Equação do Segundo Grau em R 3. Sumário 23 e 24 Forma Quadrática e Equação do Segundo Grau em R 3 Sumário 23.1 Introdução....................... 2 23.2 Autovalores e Autovetores de uma matriz 3 3.. 2 23.3 Mudança de Coordenadas no Espaço........

Leia mais

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico

Apontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1

Leia mais

Transformações geométricas planas

Transformações geométricas planas 9 Transformações geométricas planas Sumário 9.1 Introdução....................... 2 9.2 Transformações no plano............... 2 9.3 Transformações lineares................ 5 9.4 Operações com transformações...........

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Leia mais

Lista 8 de Álgebra Linear /01 Produto Interno

Lista 8 de Álgebra Linear /01 Produto Interno Lista 8 de Álgebra Linear - / Produto Interno. Sejam u = (x x e v = (y y. Mostre que temos um produto interno em R nos seguintes casos: (a u v = x y + x y. (b u v = x y x y x y + x y.. Sejam u = (x y z

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web 1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)

Leia mais

Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática - DM

Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática - DM Universidade Federal da Paraíba - UFPB Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN Departamento de Matemática - DM 3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear Professor: Fágner Dias Araruna

Leia mais

Legenda. Questões. 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1. Cálculos Conceitos Teoria

Legenda. Questões. 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1. Cálculos Conceitos Teoria 2ª Lista de Exercícios (ALI0001) Prof. Helder G. G. de Lima 1 Legenda Cálculos Conceitos Teoria Questões 1. Revise todos os axiomas da definição de espaço vetorial V sobre o corpo de escalares R, verificando

Leia mais

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Sumário Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes.......... 8 Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Aula 3 Polinômio Característico................. 25 Aula 4 Cálculo de Autovalores

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática Lista 4 - MAT 137 -Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais

Leia mais

4 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008

4 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008 4 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 8 Solução de alguns exercícios Devido ao fato de A ser simétrica, existe uma base ortonormal {u,, u n } formada por autovetores de A,

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7 Plano e Programa de Ensino Matrizes Exemplos Ordem de Uma Matriz Exemplos Representação 7 Matriz Genérica m x n 8 Matriz Linha 9 Exemplos Matriz Coluna Exemplos Diagonal de Uma

Leia mais

MAT2458 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 2 a Prova - 2 o semestre de T ( p(x) ) = p(x + 1) p(x), (a) 8, (b) 5, (c) 0, (d) 3, (e) 4.

MAT2458 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 2 a Prova - 2 o semestre de T ( p(x) ) = p(x + 1) p(x), (a) 8, (b) 5, (c) 0, (d) 3, (e) 4. MAT2458 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 2 a Prova - 2 o semestre de 218 Q1. Considere a transformação linear T : P 3 (R) P 2 (R), dada por T ( p(x) ) = p(x + 1) p(x), para todo p(x) P 3 (R), e seja A

Leia mais

Capítulo 7: Espaços com Produto Interno

Capítulo 7: Espaços com Produto Interno 7 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 7: Espaços com Produto Interno Sumário 1 Produto Interno.................... 178 2 Ângulos entre Vetores e

Leia mais

Marcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP msantos/

Marcelo M. Santos DM-IMECC-UNICAMP  msantos/ Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 0 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Identificação de Cônicas

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do

Leia mais

MAT3458 ÁLGEBRA LINEAR II 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2018

MAT3458 ÁLGEBRA LINEAR II 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2018 MAT3458 ÁLGEBRA LINEAR II 2 a Lista de Exercícios 2 o semestre de 2018 1. Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas. (i) Existe uma transformação linear T : P 3 (R) M 2 (R) cuja matriz em relação

Leia mais

Álgebra Linear. André Arbex Hallack

Álgebra Linear. André Arbex Hallack Álgebra Linear André Arbex Hallack 2017 Índice 1 Sistemas Lineares 1 1.1 Corpos............................................. 1 1.2 Sistemas de Equações Lineares............................... 3 1.3 Sistemas

Leia mais

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará

Leia mais

1. Não temos um espaço vetorial, pois a seguinte propriedade (a + b) v = a v + b v não vale. De fato:

1. Não temos um espaço vetorial, pois a seguinte propriedade (a + b) v = a v + b v não vale. De fato: Sumário No que se segue, C, R, Q, Z, N denotam respectivamente, o conjunto dos números complexos, reais, racionais, inteiros e naturais. Denotaremos por I (ou id) End(V ) a função identidade do espaço

Leia mais

Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula. Petronio Pulino = Q

Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula. Petronio Pulino = Q Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino 1 3 4 3 1 0 4 0 1 = Q 4 1 6 Qt Q t Q = 1 1 1 PULINUS Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino Departamento de Matemática

Leia mais

1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny

1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny 1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear - 213 - Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações

Leia mais

1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016

1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016 1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de

Leia mais

Álgebra Linear II - Poli - Gabarito Prova SUB-tipo 00

Álgebra Linear II - Poli - Gabarito Prova SUB-tipo 00 Álgebra Linear II - Poli - Gabarito Prova SUB-tipo 00 [ ] 4 2 Questão 1. Seja T : R 2 R 2 o operador linear cuja matriz, com respeito à base canônica de R 2, é. 1 3 [ ] 2 0 Seja B uma base de R 2 tal que

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais

Álgebra Linear I - Aula Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais Álgebra Linear I - Aula 19 1. Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais. 2. Matrizes ortogonais 2 2. 3. Rotações em R 3. Roteiro 1 Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais 1.1 Bases ortogonais Lembre que

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula Forma diagonal de uma matriz diagonalizável

Álgebra Linear I - Aula Forma diagonal de uma matriz diagonalizável Álgebra Linear I - Aula 18 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável 2 Matrizes ortogonais Roteiro 1 Forma diagonal de uma matriz diagonalizável Sejam A uma transformação linear diagonalizável, β =

Leia mais

Álgebra linear A Primeira lista de exercícios

Álgebra linear A Primeira lista de exercícios Álgebra linear A Primeira lista de exercícios Prof. Edivaldo L. dos Santos (1) Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R. {[ ] a b

Leia mais

Q1. Considere as bases: der 2 e der 3, respectivamente. Seja T :R 2 R 3 a transformação linear Temos que T(1,2) é igual a: [T] BC = 1 0

Q1. Considere as bases: der 2 e der 3, respectivamente. Seja T :R 2 R 3 a transformação linear Temos que T(1,2) é igual a: [T] BC = 1 0 Q. Considere as bases: B = { (,),(, ) }, C = { (,,),(,,),(,,) }, der e der, respectivamente. Seja T :R R a transformação linear cuja matriz em relação às bases B e C é: [T] BC =. Temos que T(,) é igual

Leia mais

ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1

ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em VETORES Um vetor é uma lista ordenada de números

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto

Leia mais

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1 Aula 1 Sejam r 1 = P 1 + t v 1 t R} e r 2 = P 2 + t v 2 t R} duas retas no espaço. Se r 1 r 2, sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 r 2 ) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade

Leia mais

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial

J. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial 76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos

Leia mais

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018

MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I 1 a Lista de Exercícios - 1 o semestre de 2018 MAT3457 ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA I a Lista de Exercícios - o semestre de 8 Exercícios -8: os espaços V e V 3. Exercícios 9-7: dependência, independência linear, bases. Exercícios 8-48: sistemas lineares.

Leia mais

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 7 II SEMESTRE DE 00 Professores: Flávia, Gustavo e Lana. Suponha que uma força

Leia mais

O Plano no Espaço. Sumário

O Plano no Espaço. Sumário 17 Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Equações paramétricas do plano no espaço..... 2 17.3 Equação cartesiana do plano............. 15 17.4 Exercícios........................ 21 1 Unidade

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método

Leia mais

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas. Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo.

Leia mais

Produto interno e produto vetorial no espaço

Produto interno e produto vetorial no espaço 14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 22

Álgebra Linear I - Aula 22 Álgebra Linear I - Aula 1. Bases Ortonormais.. Matrizes Ortogonais. 3. Exemplos. 1 Bases Ortonormais Lembre que uma base β é ortogonal se está formada por vetores ortogonais entre si: para todo par de

Leia mais

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares Módulo 6 ALGA I Representação matricial das aplicações lineares Contents 61 Matriz de uma aplicação linear 76 62 Cálculo do núcleo e imagem 77 63 Matriz da composta 78 64 GL(n Pontos de vista passivo e

Leia mais

GAAL Exercícios 6: Umas soluções

GAAL Exercícios 6: Umas soluções GAAL Exercícios 6: Umas soluções. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de u = (5, 3, ), v = (, 4, 3), w = (, 8, 7)? (a) (, 2, 5) (b) (, 2, 8) (c) ( 2, ) (d) (, 2, 3). O conjunto {u, v, w}

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO EXERCÍCIOS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2458 Álgebra Linear para Engenharia II Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina 1. Em R 3, sejam S 1

Leia mais

Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período

Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período www.engenhariafacil.weebly.com Resolução das objetivas 3ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2013.2 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Para encontrar o autovetor associado

Leia mais

NOTAS DE AULAS DE ÁLGEBRA LINEAR

NOTAS DE AULAS DE ÁLGEBRA LINEAR UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO PERÍODO 011 TURNO: DATA: PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO Aluno (a): NOTAS DE AULAS DE ÁLGEBRA LINEAR

Leia mais

(c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

(c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; Q1. Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual. Sejam B uma base de R 4, A M 4 (R) uma matriz e T : R 4 R 4 a transformação linear tal que [T ] B = A. Considere as seguintes afirmações:

Leia mais

7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U.

7. Sejam U, W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V sobre um corpo K. Prove que U W é um subespaço vetorial de V se e somente se U W ou W U. Lista de Álgebra Linear - Prof. Edson Iwaki 1. Quais dos subconjuntos são R subespaços vetoriais? Ache uma base para os que forem. (a) S = {(x, y, z) R 3 x 0} R 3 (b) S = {(x, y, z) R 3 x = 0} R 3 (c)

Leia mais

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Segunda Prova. Primeiro Semestre de T o t a l

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Segunda Prova. Primeiro Semestre de T o t a l Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 2006 Segunda Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Questão 1. A matriz de mudança da base ordenada

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - GAN

Universidade Federal Fluminense - GAN Solimá Gomes Pimentel Universidade Federal Fluminense IM - GAN Solimá Gomes Pimentel, ****- Matemática para Economia III/Solimá Gomes Pimentel 2pt, ; 31cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática para Economia

Leia mais

de adição e multiplicação por escalar definidas por: 2. Mostre que o conjunto dos polinômios da forma a + bx com as operações definidas por:

de adição e multiplicação por escalar definidas por: 2. Mostre que o conjunto dos polinômios da forma a + bx com as operações definidas por: Lista de Exercícios - Espaços Vetoriais. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por: i. u + v (x y) + (s

Leia mais

3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão e B =

3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão e B = 3 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008. (a) Ache os auto-valores e auto-vetores de A = 3 4 2 0 2 0 0 0 e B = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 (b) Mostre que λ + λ 2 + λ 3 é igual ao

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 3 Aulas práticas de Álgebra Linear Licenciatura em Engenharia Naval e Oceânica Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica 1 o semestre 2018/19 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática,

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA Exercícios vários. Considere o conjunto C =, e a operação binária definida por a b = min(a, b). O conjunto C é, relativamente

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2

Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2 Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: (I) se A 1 é um conjunto de geradores de um subespaço S 1 de V e A 2 é um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de

Leia mais

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c

0 < c < a ; d(f 1, F 2 ) = 2c Capítulo 14 Elipse Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação geral do segundo grau em duas variáveis: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, onde A 0 ou B 0 ou C 0 Para isso, deniremos,

Leia mais

MAE125 Álgebra Linear /1 Turmas EQN/QIN

MAE125 Álgebra Linear /1 Turmas EQN/QIN MAE25 Álgebra Linear 2 205/ Turmas EQN/QIN Planejamento (última revisão: 0 de junho de 205) Os exercícios correspondentes a cada aula serão cobrados oralmente na semana seguinte à aula e valem nota Todas

Leia mais

Mudança de base. Lista de exercícios. Professora: Graciela Moro

Mudança de base. Lista de exercícios. Professora: Graciela Moro Lista de exercícios Professora: Graciela Moro Mudança de base. Sejam β {( ) ( )} β {( ) ( )} β { ) ( )} e β {( ) ( )} bases ordenadas de R. (a) Encontre a matrizes mudança de base: i. [I β β ii. [I β β

Leia mais

Primeira prova de Álgebra Linear - 06/05/2011 Prof. - Juliana Coelho

Primeira prova de Álgebra Linear - 06/05/2011 Prof. - Juliana Coelho Primeira prova de Álgebra Linear - 6/5/211 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2, pts)

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos

Leia mais

Álgebra Linear Semana 05

Álgebra Linear Semana 05 Álgebra Linear Semana 5 Diego Marcon 4 de Abril de 7 Conteúdo Interpretações de sistemas lineares e de matrizes invertíveis Caracterizações de matrizes invertíveis 4 Espaços vetoriais 5 Subespaços vetoriais

Leia mais

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2458 Álgebra Linear para Engenharia II Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Verdadeiro ou falso?

Leia mais

1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0

1.3 Matrizes inversas ] [ 0 1] = [ ( 1) ( 1) ] = [1 0 1.3 Matrizes inversas Definição: Seja A uma matriz de ordem k n, a matriz B de ordem n k é uma inversa à direita de A, se AB = I. A Matriz C de ordem n k é uma inversa à esquerda de A, se CA = I. Exemplo

Leia mais

Álgebra Linear I - Lista 10. Matrizes e Transformações lineares. Respostas

Álgebra Linear I - Lista 10. Matrizes e Transformações lineares. Respostas Álgebra Linear I - Lista 1 Matrizes e Transformações lineares Respostas 1 Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho Dê um exemplo onde (A + B 2 A 2 + 2A B + B 2 Complete: (A + B 2 = A 2 + B 2 +?

Leia mais