Forma Canônica de Jordan para Operadores Lineares do Plano - Matrizes Reais 2 2

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1 Forma Canônica de Jordan para Operadores Lineares do Plano - Matrizes Reais Sylvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão 5. - Agosto Resumo O Teorema da Forma Canônica de Jordan é um dos grandes teoremas da álgebra linear. Consiste numa classicação de matrizes quadradas. No caso de matrizes reais, é possível demonstrar este teorema com um mínimo de pré requisitos, que serão revistos. Matrizes e transformações lineares Da maneira mais geral e vaga possível, uma função é uma regra que a cada elemento de um conjunto D domínio associa um elemento de um outro conjunto C contra domínio. a b Seja A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de R c d induzida por A com a notação a b Note que T, c d Assim A T e T e T : R R X T X AX a b T X c d y }{{}}{{} A a c X a + by c + dy a b e T, c d b d e dizemos que A é a matriz canônica de T, indicando este fato por [T ] C C A onde C {e,, e, } indica a base canônica de R. A representa a transformação T..

2 Se u e v são vetores linearmente independentes de R eles constituem uma base B e qualquer vetor X R se escreva de maneira única como combinação linear de u e v, isto é ou X e + ye u + y v y u v } {{ } P Onde e y denotam as componentes de um vetor na base B. P é uma matriz inversível pois suas colunas são os vetores u, v linearmente independentes. Temos que P [I] C B representa a matriz de transição da base B para a base canônica. A matriz y P AP [I] B C [T ] C C [I] C B [T ] B B representa a transformação T na base B. As matrizes P AP e A são semelhantes. Nosso objetivo é escolher P de tal maneira que P AP seja o mais simples possível. Equivalentemente queremos escolher uma base B de R de tal maneira que a descrição do efeito da transformação linear T seja a mais simples possível geometricamente. Preliminares: autovalores e autovetores Uma matriz é diagonalizável, se eistirem uma matriz P, invertível e uma matriz D diagonal, tais que AP P D, ou seja P AP D. Se estivemos trabalhando em dimensão, isto é se nossas matrizes forem, tomando v e v como sendo as colunas de P temos A v v } {{ } P λ v v λ }{{}}{{} P D ou seja Av Av λ v λ v Assim, A será diagonalizável se e somente se eistirem dois vetores linearmente independentes v e v e dois números reais λ e λ tais que Av λ v e Av λ v. Dizemos que um número λ é autovalor de uma matriz A ou de maneira equivalente da transformação linear representada por A, se eistir um vetor v não nulo tal que T v Av λv. Ou seja, se o sistema de duas equações com duas incógnitas tiver solução não trivial. A λiv ou a λ b c d λ y

3 Portanto λ será autovalor de A se e somente se a matriz A λi for não inversível, ou seja se deta λi, já que se esta matriz tiver inversa, o sistema homogêneo terá apenas solução trivial pois AX X A. Chamamos de polinômio característico de A pλ deta λi a λd λ bc λ a + dλ + ad bc ou seja pλ λ traλ + deta Portanto os autovalores de A são as raízes de seu polinônio característico que tem grau. Assim, para matrizes reais poderemos ter autovalores reais e distintos, um único autovalor real raiz do polinônio com multiplicidade algébrica ou nenhum autovalor real par de raizes compleas para o polinônio característico. Neste caso, teremos autovalores compleos. Autovetores de um mesmo autovalor podem ser combinados linearmente resultando em autovetores já que se Av λv e Au λu termos que Aαu + βv λαu + βv. Assim denimos o auto espaço W λ como sendo o subespaço vetorial de R formado por todos os vetores tais que Av λv. O subespaço W λ é invariante por T pois se v W λ então T v λv W λ. Por outro lado, autovetores de autovalores diferentes são linearmente independentes pois se Av λ v e Av λ v, v não pode ser múltiplo de v já que mutiplicando a relação de dependência linear à esquerda por A obtemos α v + α v Aα v + α v λ α v + λ α v e multiplicando a mesma relação por λ obtemos Subtraindo as duas equações obtemos α v + α v λ α v + λ α v λ λ α v o que implica que α pois λ λ e v. Analogamente mostra-se que α e portanto v e v são linearmente independentes. Note que neste caso a armativa é equivalente a se dizer que um vetor não pode ser autovetor de autovalores distintos. 3 Autovalores reais distintos e matrizes diagonalizáveis 3. Modelo Consideremos a transformação de R dada por T, y λ, λ y. transformação é representada pela matriz diagonal λ D λ Na base canônica esta 3

4 Já que T, λ, e T, λ,, T ou D tem autovalores λ e λ associados respectivamente aos autovetores v, e v,, os vetores da base canônica. As direções horizontal e vertical são invariantes e correspondem aos autoespaços W λ e W λ. O efeito de T sobre os vetores do plano é de multiplicar a componente horizontal por λ e a vertical por λ. Geometricamente a transformação linear T age sobre um vetor, multiplicando sua componente horizontal por λ e sua componente vertical por λ na gura abaio λ, λ Note que se λ λ somente os vetores horizontais e verticais permanecem na mesma direção sob o efeito de T. 3. Eemplo Seja A 4 polinômio característico é que determina a transformação linear T, y + y, + 4y. Seu deta λi pλ λ 5λ + 6 e portanto A tem dois autovalores reais distintos λ e λ 3. autovetores linearmente independentes, v e v. Os autovetores v, y, associados a λ são dados por Av λ v isto é 4 y y A eles estão associados Isto é equivalente a pedir que v seja solução não trivial do sistema homogêneo, de duas equações e duas incógnitas, A λ Iv, ou seja 4 y y 4

5 Note que as linhas da matriz A λ I são uma múltipla da outra, já queλ foi escolhido de maneira que seu determinante fosse nulo, o que implica que necessariamente o sistema tem solução não trivial. Assim as duas equações do sistema são na verdade equivalentes + y que tem por solução a reta y. Observe que isto é consistente com o fato que todos os múltiplos de um autovetor também são autovetores com o mesmo autovalor. Assim a reta encontrada é o auto espaço W. Podemos escolher v, como base deste autoespaço. Analogamente, para λ 3 temos A 3Iv y y e portanto W 3 é a reta y e podemos tomar v, como vetor diretor desta. Como Av v e Av 3v temos que A v v v 3v ou seja 4 }{{}}{{} A P 3 3 }{{}}{{} P D Onde a D é a matriz diagonal com os autovalores e P é a matriz cujas colunas são os autovetores, na mesma ordem que os autovalores aparecem em D. Note que como os autovetores v e v são linearmente independentes, a matriz P é invertível. Ou seja, A P DP e geometricamente a transformação linear T X AX estica os vetores na direção da reta y por um fator de e os vetores na direcção da reta y por um fator de 3. É claro que como qualquer vertor pode ser decomposto nestas direções temos a descrição geométrica da ação de T sobre qualquer vetor de R Eercício: Considere o vetor u, dado na base canônica de R e a transformação linear T X AX com A denida nesta seção. desenho. em cada um dos itens abaio, faça os cálculos e também um. Encontre T u. Escontre os coecientes de u na base {v, v } dos autovetores de A, isto é encontre, y tais que v + y v,. Escreva matricialmente o sistema a resolver e tambem represente geometricamente esta construção. 3. Encontre os coecientes de T u na base {v, v }. 5

6 3.3 Caso Geral Teorema Se A é uma matriz real com dois autovalores reais distintos, então A é diagonalizável, isto é, eiste uma matriz real P invertível e uma matriz diagonal D tais que AP P D A menos que A seja múltiplo da identidade, a recíproca é verdadeira, isto é se A for diagonlizável, seu polinômio característico tem duas raízes reais e distintas. 3.4 Matrizes simétricas a b Suponha que a mtriz A seja simétrica, isto é, A b d A t e com b. O polinômio característico de A é dado por pλ λ a + cλ + ad b cujas raízes são λ ± a + d ± a + d 4ad b a + d ± a d + 4b ou são reais e distintas pois a d +4b >. Assim toda matriz simétrica é diagonalizável note que se b ela já é diagonal. Além disto, sejam v + +, y + e v, y autovetores associados respectivamente a λ + e λ. Temos que a + + by + a + by a+d + a d + 4b + a+d a d + 4b ou seja y + y d a b + b a d + 4b + d a b b a d + 4b 6

7 e logo o produto escalar v +.v + + y + y d a d a a d b b + 4b 4b b d a a d + 4b b a d + 4b Ou sjea, os autovetores são ortogonais, note que se A já fosse diagonal, isto é se b os autovetores seriam, e,, também ortogonais. Demostramos assim, no caso de R Teorema Espectral Toda matriz simétrica é diagonalizável por uma transformação ortogonal, ou em outras palavras, todo operador simétrico possui uma base ortogonal de autovetores. 4 Autovalores Compleos 4. Um modelo: Rotação Geometricamente é óbvio que uma rotação que não seja meia volta ou uma volta inteira não possui autovetores em R já que nenhuma direção permanece invariante. Consideremos a matriz de rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário. cos θ sen θ R θ sen θ cos θ A primeira e a segunda coluna de R θ representam respectivamente a imagem dos vetores canônicos e, e e,. O polinômio característico de R θ é dado por detr θ λi λ trr θ λ + detr θ λ cos θ λ + de tal maneira que os autovalores de R θ raízes do polinônio característico são dados por λ cos θ ± cos θ Ou seja, temos um par de autovalores compleos: λ cos θ + i sen θ e λ cos θ i sen θ seu compleo conjugado. Calculando os autovetores correspondentes temos para λ cos θ sen θ R θ cos θ + i sen θ sen θ cos θ y y e portanto cos θ sen θ y cos θ + i sen θ sen θ + cos θ y cos θ + i sen θ y 7

8 o que implica que y i e portanto um autovetor compleo é dado por w, i. Analogamente, encontramos, associado a λ, o autovetor w, i. Note que os autovetores associados a λ e λ são realmente o compleo conjugado um do outro. Os autovetores são w, ± i,. Ambos são uma combinação linear com coecientes compleos dos vetores canônicos de R, ou melhor dizendo, cada um deles tem como parte real e parte imaginária respectivamente os vetores e, e e, da base canônica. 4. Eemplo Seja A. Seus autovalores são λ ± i 3 cos π 3 ± i sen π 3. Vamos mostrar que A é semelhante à rotação de π/3, isto é, que eiste uma matri P, inversível tal que P AP R π/3. Tal fato parece não intuitivo à primeira vista, pois T,, e T,, ou seja e é girado de π/4 e esticado de um fator e e é girado de π/. Assim, claramente a matriz A não representa uma rotação dos vetores do plano. Observemos, no entanto, que se P é uma matriz ortogonal qualquer, então P R θ P R θ para qualquer rotação demonstre este fato. Geometricamente isto traduz o fato que, qualquer que seja a base ortonormal escolhida em R, a matriz que representao uma rotação de um ângulo θ tem sempre o mesmo efeito sobre os vetores da base. Portanto, se A for semelhante a uma matriz de rotação, necessariamente P não será ortogonal. Em outras palavras a transformação linear associada a A é uma rotação em um sistema de coordenadas que não é ortogonal, o que será ilustrado mais tarde. Vamos calcular os autovetores compleos de A. Para λ + i 3 temos 3 y + i y ou seja + i 3 y e um autovetor é dado por w y + i 3 + i 3 Analogamente, para λ i 3 obtemos o autovetor i 3 3 w i Ou seja, w u iv e w u + iv com u, v 3 vetores não nulos e linearmente independentes de R. Como Aw λw temos Au iv cos π/3+i sen π/3u iv Au iav u cos π/3+v sen π/3+iu sen π/3 v cos π/3 8

9 e portanto, utilizando a base {u, v} em R os vetores são girados de π/3. 3 A matriz P u v é inversível. Sua inversa é P Efetuando as contas, vericamos que P AP / / 3 / 3 / 3/ 3/ / R π/3 e portanto a matriz A é semelhante à matriz de rotação de π Modelo α β Consideremos a matriz A. Seu polinômio característico é pλ λ β α αλ + α + β e seus autovalores são λ α ± iβ. O autovetor w correspondente a α + ßβ é denido por α βy α + iβ e portanto w, i u iv com u e e v e. A equação de autovalores/autovetores se escreve Ae ie α + iβe ie Ae iae αe + βe + iβe αe o que traduz o fato já conhecido que Ae αe + βe, Ae βe + αe. Podemos escrever λ α + iβ rcos θ + sen θ com r α + β e portanto α β r cos θ sin θ A β α r sin θ cos θ ou seja, geometricamente A representa uma rotação seguida de uma homotetia dilatação se r > e contração se r < e portanto atua da mesma maneira sobre todos os vetores de R. 4.4 Caso Geral e Demonstrações a b Seja A, uma matriz com entradas reais, tal que seu polinônio característico, c d não tenha raízes reais. Como as entradas de A são números reais, o seu polinômio característico pλ deta λi λ a + dλ + ad bc tem coecientes reais e suas raízes são dadas por λ a + d ± a + d 4ad bc. 9

10 Supondo que o discriminante de p seja negativo, a + d 4ad bc a d + 4bc < teremos duas raízes compleas. λ α + iβ, λ α iβ com α a + d β a d + bc reais. Note que uma raiz é o compleo conjugado da outra. Assim, A tem um par de autovalores compleos λ e λ. Seja w u iv o autovetor compleo de A associado a λ. Temos assim A w λ w Au iv α + iβu iv Au iav αu + βv + i βu + αv e portanto Au α u + β v 3 Av β u + α v Assumindo vamos demonstrar este fato mais tarde que u e v são vetores linearmente independentes, eles formam uma base para R. Se T é a transformação linear induzida pela matriz A e levarmos em conta as equações 3, na base B {u, v} a transformação T é representada pela matriz [T ] B α β B M 4 β α ou seja, se P u v [I] C B é a matriz de mudança da base B para a base canônica C, então A [T ] C C [I]C B [T ]B B [I]B C P MP. Observamos que M pode ser ser reescrita como r cos θ sin θ M r sin θ cos θ rr θ onde r α + β é um número real positivo e θ < π é denido por cos θ α/r, sin θ β/r. Portanto temos o seguinte resultado. Teorema 3 Seja A uma matriz real, tal que as raízes de seu polinômio característico sejam compleas, λ rcos θ + i sen θ. Então A é semelhante a M rr θ, onde R θ é a matriz de rotação de θ como em.

11 Assim, eiste um sistema de coordenadas em R não necessariamente ortonormal em que a transformação linear T, denida pela matriz A representa uma rotação de um ângulo θ seguida de uma homotetia dilatação ou contração de um fator r. Vamos agora demonstrar que a parte real e a parte imaginária dos autovetores de uma matriz real são vetores reais linearmente independentes. Tal demonstração na verdade, vale para matrizes n n. Proposição 4 Seja A uma matriz quadrada, n n, com entradas reais tal seu polinômio característico tenha um par de as raízes compleas λ e λ. Então se w u + iv é um autovetor tal que A w λw, u e v são vetores de R n linearmente independentes. Demonstração:. Se w C n é autovetor de A associado ao auto valor λ então o seu compleo conjugado w é autovetor de A associado ao auto valor compleo conjugado, λ pois Aw λw Aw λw Aw λw Aw λw. Todo vetor w de C n se escreve como w u iv com u e v em R n. 3. v. O autovetor w u iv não pode ser real já que se ele fosse real w w u e portanto teríamos da equação do item acima que λw Aw Aw λ w λ w λ λw o que é impossível se w e λ λ. Portanto devemos ter v. 4. u. Note que acabamos de demonstrar que autovalores compleos de matrizes reais não podem ser reais. Por esta razão não podem também ser puramente imaginários, pois estes produziriam autovetores reais, após multiplicação por i. Isto é A iv λ iv Av λv. 5. Demonstramos portanto que todo autovetor w u iv associado a um autovalor compleo de uma matriz real tem parte real u e imaginária v ambas não nulas. Vamos mostrar que estes dois vetores de R n são linearmente independentes. Suponhamos que u e v sejam linearmente dependentes, ou seja v bu com b. Neste caso teremos A w λ w Au i v λu i v A u i bu λu i b u i ba u i bλ u A u λ u Como u é real, não pode ser autovetor de A portanto u e v não podem ser linearmente dependentes. c.q.d

12 4.5 Eemplo Seja A. O polinômio característico de A é pλ λ + λ + e portanto os autovalores são λ ± 4. ± i + i cos 3π 4 + i sen 3π 4 O autovetor w w, w associado a λ + i é dado por w + i e portanto w + iw. Assim w w + i Note que o autovetor associado a i é dado por Temos assim vetores reais u e v w w i + i portanto constituem uma base B {v, u} não ortogonal do plano R. P. que são linearmente independentes e é a matriz de transição entre a base B e a base canônica. E / / / / Assim, na base B, temos uma rotação de 3π/4 seguida de uma dilatação de. Infelizmente, como a base B não é ortonormal a tranferência destas informações para a base canônica não é óbvia. Podemos ter uma idéia da geometria desta transformação se considerarmos o efeito da mudança de base sobre círculos nas coordenadas, y da base B. Isto porque, como nestas coordenadas a transformação linear a menos do fator multiplicativo é uma rotação de 3π/4, podemos pensar que qualquer vetor roda sobre um círculo de raio igual ao seu comprimento. Assim consideremos o círculo +y nas coordenadas da base B. Sabemos que a matriz de transição da base canônica para a base B é P, portanto y y e temos que + y y

13 Substituindo as relações acima na equação do círculo obtemos + y + y A equação acima representa uma elipse rodada com relação ao eio das coordenadas originais já que a forma quadrática associada tem determinante e traço positivos. Verique isto. Na gura abaio, o desenho da esquerda representa o plano y. s eios coordenados representam as direções v e u. Estão desenhados o círculo + y, e os vetores v, R 3π/4 v e R 6π/4 v. O desenho da direita, representando o plano y é a imagem do desenho da esquerda sob a mudança de coordenadas P. Assim os 3 vetores representados são v,, Av e A v..5 y Autovalores Repetidos 5. Modelo Consideremos a matriz de cisalhamento S λ λ λ 5 cujo polinômio característico tem λ como raiz dupla multiplicidade algébrica. A equação de autovetores correspondentes é dada por λ + y λ e portanto o conjunto dos autovetores, o autoespaço W λ, é gerado por w λ,. Se tomarmos o vetor v, / W λ temos que S λ v λ λ λ + λ w λ + λv 3

14 Note que esta conclusão é óbvia a partir da forma da matriz S λ, já que a primeira coluna é a imagem de, e a segunda a imagem de,. Na verdade, dado um vetor v, y qualquer temos S λ v λ λ y λ + y λy y + λ y w λ + λv Geometricamente o efeito da transformação linear T, associada a matriz S λ, sobre um vetor qualquer, é de multiplicar o vetor por λ e em seguida adicionar um deslocamento na direção do eio ou seja dos autovetores proporcional a y veja na gura abaio. Esta transformação também é conhecida pelo nome de cisalhamento, já que se pensarmos na imagem de um quadrado com camadas horizontais, vemos que estas se deslocam umas sobre as outras. 5. Eemplo Seja A raiz λ Seu polinônio característico é pλ λ 8λ + 6 que possui como única Os autovetores são dados por 5 y 4 e portanto o auto espaço W 4 ger{, } tem dimensão. Logo, A não é diagonalizável. 4

15 Tomando um vetor v, y qualquer temos 5 5 y 3 y + 3y 4 y + y Portanto concluímos que, como no modelo anterior, a imagem de um vetor qualquer é igual ao mesmo vetor multiplicado pelo autovalor, somada a um autovetor, isto é Av λv + w, w W λ. Tomemos o vetor v, que é ortogonal ao autoespaço gerado por w,. Temos que Av 6,. Tomemos agora a matriz P w v Fazendo as contas, vericamos que P AP 4 4 Note que Av 6,, + 4, w + 4v. Portanto A é semelhante a uma matriz tipo cisalhamento a menos do - em vez do fora da diagonal. Eercícios:. Repita o processo acima para outra escolha de v.. Encontre um v para o qual a matriz P AP tenha eatamente a forma de 5, com fora da diagonal. Note que Av 6,, + 4, w + 4v. 5.3 Caso geral e Demostrações Suponhamos que o polinômio característico da matriz A, real e tenha apenas uma raiz real λ de multiplicidade. Suponhamos também que a este autovalor esteja associado um único autovetor, a menos de um fator multiplicativo, isto é que a dimensão autoespaço W λ seja. A idéia é estudar a ação de A sobre os vetores que não estão no subespaço W λ. Já sabemos que se w W λ, então Aw λw e queremos então caracterizar Av para v / W λ, ou seja v não autovetor de A. Vamos demonstrar a seguinte Proposição 5 Seja A uma matriz real,, tal que λ R é um autovalor de multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica, isto é dimw λ. Então Av λv W λ para todo v. 5

16 Segue da proposição acima que a transformação linear associada a A é um cisalhamento na direção dos autovetores, já que a imagem de qualquer vetor v é obtida multiplicando o vetor pelo autovalor e somando um autovetor, isto é Av λv + w, com w autovetor. Teorema 6 Seja A uma matriz real,, tal que λ R é um autovalor de multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Então A é semelhante ao cisalhamento S λ, dado em 5. Isto é eiste P, inversível tal que P AP S λ. Demonstração: Fiemos um vetor v / W λ qualquer. Pela Proposição 5 u Av λv W λ e portanto u e v são linearmente independentes. Tomemos então B {u, v} como base de R. Temos que Au λu Av u + λv Portanto nesta base, a transformação linear T, associada à matriz A é representada pela matriz de cisalhamento S λ ou seja, se P u v [I] C B é a matriz de mudança da base B para a base canônica C, então A [T ] C C [I]C B [T ]B B [I]B C P S λp. c.q.d. Demonstração da Proposição 5: Seja v um vetor qualquer de R que não seja autovetor de A, ou seja v / W λ. Denimos u Av λv. Vamos mostrar que u W λ, ou seja u é um autovetor... u : Se u, Av λv, o que é impossível pois v / W λ.. u e v são linearmente independentes: Se u fosse proporcional a v, isto é, u bv teríamos u bv A λiv Av b + λv o que implica que v seria autovetor de A com auto valor b + λ. 3. u é autovetor de A: Como B {u, v} é l.i., é uma base para R. Assim um auto vetor w de A se escreve como combinação linear dos vetores da base: w au + bv, com a jï¾ que v não é autovetor. A λiw A λiau + bv aa λiu + ba λiv aa λiu + bu Au λ + b/au logo u é autovetor de A e devemos ter b, jï¾ que λ é o único autovalor. c.q.d. 6

17 5.4 Algoritmo Dada uma matriz A,, com um único autovetor, vamos escolher uma matriz P tal que A seja semelhante a matriz de cisalhamento. Em outras palavras, vamos escolher uma base B de R tal que a transformação associada seja representada pela matriz de cisalhamento.. Dada A, calculamos seu autovalor λ e um autovetor w.. Escolhemos então um vetor v que não seja um autovetor ou seja, que não seja proporcional a w. Em particular podemos escolher um vetor v que seja ortogonal a w. 3. Calculamos u Av λv que deve ser proporcional a w. 4. P u v ou B {u, v}. 5.5 Eemplo A 5 4 Seu polinômio característico é pλ λ 6λ + 9 que tem como única raiz λ 3. A equação de autovetores nos dá y ou seja y. E portanto um autovetor é w, Escolhemos v,. Temos então que Note que u 5w. u Assim P 5 Eercíos:. Escolha outros v's e verique o resultado.. É possível fazer uma escolha de v tal que P seja ortogonal? 7