Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos. Ana Cristina Vieira. Departamento de Matemática - ICEx - UFMG

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1 1 Conceitos Básicos sobre Representações e Caracteres de Grupos Finitos Ana Cristina Vieira Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Representações de Grupos Finitos 1.1. Fatos iniciais Consideremos G um grupo finito e V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo F de característica zero. Denotemos por GL(V ) o grupo das transformações lineares não singulares de V. Definição: Uma representação de G sobre V é um homomorfimo T : G GL(V ) g T g. Nas condições acima, dizemos que V é um espaço de representação de G e o grau da representação T é definido como a dimensão [V : F = n de V sobre F. Fixada uma base β de V sobre F, podemos associar a representação T, uma representação matricial [T : G GL(n, F ) g [T g β. onde GL(n, F ) denota o grupo das n n matrizes invertíveis com entradas em F. Algumas vezes usaremos indistintamente o termo representação mesmo quando estivermos considerando uma representação matricial, após fixarmos uma base. A partir da observação acima, é claro que todo grupo possui uma representação de grau arbitrário, bastando para isso considerar a aplicação G GL(n, F ) g [Id n onde Id n denota a matriz identidade n n. Portanto, o homomorfismo T : G GL(1, F ) dado por T g = 1 é um exemplo óbvio de representação de grau 1 de um grupo G dita 1-representação trivial de G. Vamos ver um exemplo menos óbvio. Consideremos D 4 o grupo diedral de ordem 8, ou seja, dado por: D 4 = a, b a 4 = b 2 = 1, ab = ba 1.

2 2 As matrizes A = [ e B = [ satisfazem A 4 = B 2 = 1, AB = BA 1 e portanto definem uma representação σ de grau 2 de D 4 dada por σ a = A e σ b = B. Note que, apesar de uma representação (matricial) de G depender da base escolhida, representações matriciais obtidas por bases diferentes dão origem a matrizes semelhantes e isto não diferencia as representações no sentido da definição abaixo. Definição: Duas representações ϕ : G GL(m, F ) e σ : G GL(n, F ) de um grupo G são equivalentes se m = n e existe uma matriz invertível M tal que σ g = M 1 ϕ g M, para todo g G. A definição acima nos diz que as representações são equivalentes se os espaços de representação V e W de σ e ϕ, respectivamente, são de mesma dimensão sobre F e além disso, existe uma transformação linear invertível T entre V e W tal que o diagrama abaixo comuta: V σ g V T c T 1 W ϕ g W Observe que para as matrizes complexas [ [ i 0 Ã = e B = 0 i existe uma matriz invertível M = 1 [ 1 i 2 1 i GL(2, C) tal que [ 0 1 M M = Ã e M 1 [ M = B Portanto temos uma representação ϕ de grau 2 de D 4 sobre C que é equivalente a representação σ do Exemplo anterior Representações e F G-Módulos Existe uma correspondência bijetiva entre as representações de G sobre F e os F G- módulos de dimensão finita sobre F.

3 3 De fato, dado um F G-módulo M de dimensão finita sobre F, para cada g G, definimos a aplicação T (g) : M M por T (g)m = gm, m M. (1) Podemos ver que, para quaisquer m, m M e α F, temos T (g)(m + m ) = T (g)m + T (g)m, T (g)(αm) = αt (g)m, e portanto T (g) é um homomorfismo. Além disso, temos T (gh) = T (g)t (h), T (1) = 1, e T (g 1 )T (g) = T (g 1 g) = T (1) = 1, quaisquer que sejam g, h G, de onde segue que T : g T (g) é uma representação de G (T será chamada de representação de G correspondente a M). Reciprocamente, se T : G GL(M) é uma representação de G, a relação (1) implica que M é um F G-módulo (dito F G-módulo correspondente à T ). Isto demonstra nossa afirmação. A idéia agora é trabalhar com F G-módulos e garantir que os resultados obtidos valem automaticamente para as representações de G sobre F, ou vice-versa. Para isso, temos que garantir que representações equivalentes correspondem a módulos equivalentes em algum sentido. Naturalmente, dizemos que dois F G-módulos M e M são F G-isomorfos se existe um homomorfismo bijetor φ de M em M tal que para todo g G e m M, vale φ(gm) = gφ(m). Desta forma, obtemos que dois módulos são F G-isomorfos se, e somente se, suas representações correspondentes são equivalentes. Então, a partir de agora, todos os resultados e definições valem tanto para F G-módulos quanto para representações. No entanto, quando relevante, descreveremos o que os resultados e definições feitos para os módulos significam em termos das representações. Sabemos que se M é um F G-módulo então um subespaç o N de M é um F G- submódulo de M se gn N sempre que g G e n N. Se os únicos submódulos de M são {0} e M dizemos que M é um módulo irredutível ou simples e, quando M pode ser escrito como soma direta de submódulos irredutíveis, dizemos que M é completamente redutível ou semissimples (equivalentemente, M é F G-módulo completamente redutível se qualquer submódulo de M é um somando direto).

4 Teorema de Maschke e Lema de Schur Dois resultados que têm consequências importantes são os próximos abaixo. Teorema de Maschke: Seja G um grupo finito e F um corpo cuja característica não divide a ordem de G. Então todo F G-módulo é completamente redutível. Lema de Schur: Sejam M e N dois F G-módulos irredutíveis. Se ϕ : M N é um F G-homomorfismo não-nulo então M e N são isomorfos. Observe que se em particular, tomamos V um espaço vetorial sobre um corpo algebricamente fechado F, qualquer endomorfismo não-nulo φ de V possui autovalor. Desta forma, temos a seguinte consequência do Lema de Schur. Corolário: Se V é um F G-módulo irredutível, onde F é um corpo algebricamente fechado, e ϕ : V V é F G-homomorfismo não-nulo então ϕ é um múltiplo escalar do endomorfismo Id V. Considerando F um corpo algebricamente fechado, outras consequências são: Representações irredutíveis de grupos abelianos: As representações irredutíveis de um grupo abeliano sobre F são todas de grau 1. Diagonalização: Se V é um F G-módulo e g G então existe uma base β de V tal que [g β é diagonal. Se g tem ordem n então as entradas da diagonal são raízes n-ésimas da unidade. 2. Caracteres de Grupos Finitos 2.1. Conceitos iniciais Vamos considerar M um F G-módulo que corresponde a representação matricial g [T (g) de G, onde [T (g) GL(n, F ). Definição: Definimos uma função χ com domínio G de valores em F por χ(g) = tr[t (g), onde tr([t (g)) denota o traço da matriz [T (g), ou seja, a soma dos elementos de sua diagonal principal. Dizemos que χ é o caracter de G produzido pela representação T ou pelo módulo correspondente M. O grau do caracter χ é o grau da representação T. Se M é irredutível, então dizemos que χ é um caracter irredutível.

5 5 Como o traço de uma transformação linear independe da escolha da base, temos que o mesmo é válido para um caracter de G. Com isso, módulos isomorfos e representações equivalentes possuem o mesmo caracter. Observemos que χ(1) = n = dim F M. Além disso, o valor χ(g) depende somente da classe de conjugação que contém g. De fato, como tr(ab) = tr(ba), temos χ(g) = tr[t (g) = tr[t (h)[t (g)[t (h) 1 = tr[t (hgh 1 ) = χ(hgh 1 ), para todos g, h G. Desta forma, o caracter χ é o que chamamos de uma função de classe. Como exemplo, consideremos as seguintes representações do grupo simétrico S 3 = a, b a 3 = b 2 = (ab) 2 = 1 : a 1 ρ 1 : b 1 a 1 ρ 2 : b 1 [ ω 0 a 0 ω ρ 3 : [ b 1 0 Vamos ter os caracteres respectivamente correspondentes: 1 a a 2 b ab a 2 b χ χ χ De fato podemos mostrar que as representações acima formam um conjunto completo de representações irredutíveis de S 3. Teorema importante (TI): O número de caracteres irredutíveis de um grupo finito sobre um corpo algebricamente fechado cuja característica não divide G é igual ao número de classes de conjugação de G Fatos básicos sobre caracteres complexos Proposição: Se χ é um caracter complexo de G então temos:

6 6 (1) Se g G tem ordem m então χ(g) é uma soma de raízes m-ésimas da unidade. (2) χ(g) é um inteiro algébrico, g G. (3) χ(g 1 ) = χ(g), g G. Notemos que os caracteres do grupo simétrico S n são números reais. De fato, desde que um elemento e seu inverso têm a mesma estrutura cíclica, segue que eles são conjugados em S n. Além disso, se χ é um caracter de S n também sabemos que χ(g 1 ) = χ(g), para qualquer elemento g. Assim, como caracter é uma função de classe, teremos χ(g) R, g S n. Podemos provar que χ(g) é um inteiro, g S n. Teorema: A tábua de caracteres de S n é uma matriz com entradas em Z. Um resultado mais geral garante o teorema anterior. Teorema: Se g é elemento de ordem n em um grupo G e é tal que g é conjugado de g j para todo j com 1 j n e mdc(j, n) = 1 então χ(g) é um inteiro, para qualquer caracter χ de G. O conjunto de todas as funções de G em C forma um espaço vetorial sobre C que podemos munir com um produto interno definido por ϕ, ψ = 1 G ϕ(g)ψ(g). g G Observemos que se G tem k classes de conjugação, também podemos escrever ϕ, ψ = k i=1 ϕ(g i )ψ(g i ), (2) C G (g i ) onde C G (g i ) denota o subgrupo centralizador do elemento g i em G. Também podemos observar que ϕ, ψ = ψ, ϕ, para quaisquer ψ e ϕ, o que implica que o produto interno entre dois caracters complexos é sempre um número real. Na verdade, pode ser demonstrado que este é um número inteiro. Se χ 1,, χ k são os caracteres irredutíveis de um grupo G e g 1,, g k são representantes das classes de conjugação de G, então a tábua de caracteres de G é a matriz k k cuja entrada (i, j) é χ i (g j ), onde 1 i, j k.

7 7 χ 1 χ 2 g 1 g 2 g j g k. χ i χ i (g j ). χ k Note que na tábua de caracteres de G, as linhas são indexadas pelos caracteres irredutíveis e as colunas são indexadas pelas classes de conjugação (na prática, pelos representantes destas classes). Na tábua de caracteres de um grupo, temos relações entre os elementos das linhas: k i=1 χ r (g i )χ s (g i ) C G (g i ) = δ rs, que chamamos de relações de ortogonalidade das linhas. Podemos provar também as relações de ortogonalidade das colunas: k χ i (g r )χ i (g s ) = δ rs C G (g r ). i= Outros resultados Alguns resultados que podem ser provados a partir das relações de ortogonalidade seguem abaixo. Grau de um caracter irredutível: O grau de um caracter irredutível complexo de um grupo G é um divisor de G. Teorema p a q b de Burnside: Dados p e q primos e a, b N, todo grupo de ordem p a q b é solúvel.