Análise Convexa. 1. Conjuntos convexos 1.1. Casca convexa, ponto extremo, cone. 2. Hiperplanos: suporte, separador, teorema da separação

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1 Análise Convexa 1. Conjuntos convexos 1.1. Casca convexa, ponto extremo, cone 2. Hiperplanos: suporte, separador, teorema da separação 3. Funções convexas 4. Teoremas de funções convexas 5. Conjunto poliedral e politopo 6. Exercícios pag.1 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

2 Análise Convexa Definição Um conjunto C é dito ser afim se a reta que passa por dois pontos distintos quaisquer em C está em C Definição Dados dois pontos quaisquer p 1, p 2 C, e um escalar real α, denomina-se αp 1 + (1 α)p 2 C uma combinação afim de p 1 e p 2 Nota em C C é um conjunto afim se contém a combinação afim de quaisquer dois pontos pag.2 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

3 Generalização Análise Convexa Se C é um conjunto afim, p 1, p 2,..., p j C, e jx k=1 α k = 1, então α 1 p 1 + α 2 p α j p j C Lema Se C é um conjunto afim e p 0 C, então o conjunto G = C p 0 = j ff p p 0 p C é um subespaço Dem. Se G é um subespaço então, G e fechado sob as operações de soma e multiplicação por escalar. Suponha que g 1, g 2 G e µ, ν R, então g 1 + p 0 C e g 2 + p 0 C de modo que µg 1 + νg 2 + p 0 = µ (g 1 + p 0 ) + ν (g 2 + p 0 ) + (1 µ ν) p 0 C como C é afim, e µ + ν + (1 µ ν) = 1, conclui-se que µg 1 + νg 2 G pois µg 1 + νg 2 + p 0 C pag.3 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

4 Análise Convexa Nota forma O conjunto afim C pode ser escrito como um subespaço mais uma constante da C = G + p 0 = j ff g + p 0 g G Definição A dimensão de um conjunto afim C é a dimensão do subespaço G = C p 0, sendo p 0 um elemento qualquer de C Exemplo C = x R n Ax = y, A R m n, y R m é um conjunto afim? Considere x 1, x 2 C, então para qualquer α, A (αx 1 + (1 α)x 2 ) = αa(x 1 ) + (1 α)ax 2 = αy + (1 α)y = y o que mostra que a combinação afim αx 1 + (1 α)x 2 C. pag.4 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

5 Conjunto Convexo Definição Um conjunto C é convexo se para qualquer par de pontos p 1 e p 2 em C, e um escalar α [0, 1], a combinação convexa dada por αp 1 + (1 α)p 2 C Nota Todo conjunto afim é convexo... Generalização Qualquer ponto da forma α 1 p 1 + α 2 p α j p j, sendo que é uma combinação convexa dos pontos p 1,, p j jx k=1 = 1 e α j 0 Nota Convexidade pode ser definida para qualquer subconjunto de um espaço vetorial real ou complexo, inclusive o conjunto vazio Exemplo Uma reta é afim Exemplo reduz a um ponto)... Um segmento de reta (fechado) é convexo, mas não afim (a não ser que se pag.5 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

6 Conjuntos Convexos Exemplo Um conjunto elipsoidal da forma j ff C = p (p p c) T P 1 (p p c ) 1, p R n, P = P T 0 é convexo. p c é o centro do elipsóide e p λ(p) fornecem o tamanho dos semi eixos Teorema 1. Se C e D são conjuntos convexos então C + D é convexo 2. Se C é um conjunto convexo então αc {p 2 p 2 = αp 1 ; α R; p 1 C} é convexo 3. A intersecção de uma coleção de conjuntos convexos é convexo Dem. 3) Se p 1, p 2 T n C n então p 1, p 2 C n, n. Como C n é convexo, então para qualquer α [0, 1], αp 1 + (1 α)p 2 C n, n. Portanto, α [0, 1], αp 1 + (1 α)p 2 T n C n pag.6 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

7 Casca Convexa Definição Dado um conjunto C qualquer, o menor conjunto convexo que contém C é denominado casca convexa (e denotado por co{c}) C Em outras palavras, a casca convexa de C é intersecção de todos os conjuntos convexos contendo C. Ou a combinação convexa de todos os pontos em C Definição C, C X, co{c} (sendo X um espaço vetorial) pag.7 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

8 Vértices Fato A combinação convexa pode ser generalizada para n pontos em C p = nx α i p i, α i 0 e nx α i = 1 i=1 i=1 p 1 p 4 p 2 p 3 Definição Todo ponto p C X tal que p 1, p 2 C, p 1 p 2, que satisfaça p = αp 1 + (1 α)p 2, α (0, 1) é denominado ponto extremo ou vértice Teorema Qualquer conjunto convexo e compacto é a casca convexa de seus vértices pag.8 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

9 Cones Definição Um conjunto C é um cone se p C e α 0 implica αp C Definição Um cone convexo é um cone + conjunto convexo, ie para qualquer p 1, p 2 C e α 1, α 2 0, α 1 p 1 + α 2 p 2 C Nota O cone acima tem vértice em 0 e arestas cruzando os pontos p 1 e p 2 Exemplos 1. Cone: 2. Cone convexo? pag.9 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

10 Cones 3. Conjunto das matrizes simétricas semidefinidas positivas S n = {A R n n A = A T, A 0} é um cone convexo: se α 1, α 2 0 e B, C S n, então α 1B + α 2 C S n Veja que isto é um conseqüência direta da caracterização de uma forma quadrática semidefinida positiva. Por exemplo, para qualquer x R n, então se B 0, C 0, α 1, α 2 0 x T (α 1 B + α 2 C) x = x T α 1 Bx + x T α 2 Cx 0 pag.10 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

11 Hiperplanos ou Funções Afins Definição Denomina-se um hiperplano em X um conjunto n o H = x X p T x = b, 0 p X, b R e p H. Naturalmente a função afim p T x b é nula em X Para X = R 2 e b = 1, se p T = a reta na figura abaixo h i 1 1 e H é o conjunto dos x R 2 tal que gera-se 1 p, x = 1 p x x x 1 pag.11 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

12 Hiperplanos Um hiperplano é um subespaço linear onde dim(h) =dim(x) 1. Exemplo: a reta é um subespaço linear do R 2... Para x 1, x 2 H e α 0 x 3 = αx 1 + (1 α)x 2 H? p T x 3 = αp T x 1 + (1 α)p T x 2 = αb + (1 α)b = b Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados: H = n o x X p T x b e H = n o x X p T x b H é o semi-espaço na direção de p e H na direção de p. Estes semi-espaços são convexos, porém não-afins pag.12 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

13 Hiperplanos Suporte Definição Um hiperplano H é denominado hiperplano suporte de um conjunto convexo C, se C H (ou C H ) e H tem pontos em comum com B{C} Em outras palavras, H é um hiperplano suporte de C se 1. inf{p T x x C} = b (então C H ) 2. ou sup{p T x x C} = b (então C H ) C H x x B{C} pag.13 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

14 Hiperplanos Suporte Teorema Considere um conjunto convexo C X. Se x int{c} e int{c} H : x H e C H ou C H x i C H x p 1. p T (x i x) 0, x i C C H 2. p T (x i x) 0, x i C C H pag.14 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

15 Cone Dual Definição Considere um cone C. O conjunto C {y x T y 0, x C} é chamado cone dual de C Interpretação y C sse y é normal a um hiperplano que suporta C na origem y C Note que o semi-espaço com o y normal e interno contém o cone C, então y C pag.15 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

16 Hiperplanos Separadores Definição Um hiperplano H é denominado hiperplano separador se para dois conjuntos convexos C 1 e C 2 H : C 1 H e C 2 H Os conjuntos são estritamente separáveis se C 1 H < e/ou C 2 H > H C C 1 1 C1 C 2 C 2 H C 2 H + Exemplo Se C 1 = C 2 = {0} R, então o hiperplano x = 0 separa C 1 e C2 pag.16 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

17 Funções Convexas Definição Considere um conjunto convexo C. f : C R é denominada uma função convexa se x 1, x 2 C e α [0, 1] f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ) Considerando desigualdade estrita, então f é estritamente convexa f é côncava se f é convexa αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 pag.17 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

18 Funções Convexas Definição Considere um conjunto convexo C. f : C R é denominada uma função quasi-convexa se x 1, x 2 C e α (0, 1) f(αx 1 + (1 α)x 2 ) max{f(x 1 ), f(x 2 )} Teorema Se f : C 1 R e g : C 2 R são convexas sobre os conjuntos convexos C 1 e C 2 então 1. αf é convexa em C 1, α 0 T 2. f + g é convexa em C 1 C2 Teorema f C e f : C R convexos.! X α k x k X α k f(x k ), x k C, α k 0, k X α k = 1 k k pag.18 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

19 Mínimo de Função Convexa Teorema Considere um conjunto convexo não-vazio C X e f : C R uma função convexa. Então 1. f é contínua no int{c} 2. O conjunto C C no qual f atinge seu mínimo é convexo 3. Qualquer mínimo local é também mínimo global de f Dem. 3) Suponha que x C é um mínimo local de f e que x C tal que f(x) < f(x ). Sobre o seguimento αx + (1 α)x, 0 < α < 1, obtém-se f (αx + (1 α)x ) = f (x + α(x x )) f(x )+α (f(x) f(x )) {z } <0 < f(x ) o que contradiz, para α 0 +, que x é um mínimo local pag.19 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

20 Teoremas de Funções Convexas Teorema Considere f C 1. Então f é convexa sobre um conjunto convexo C sse f(x) f(y) + f(y) T (x y), x, y C onde f(y) = { f/ y i }, i = 1,..., n é o vetor gradiente f(y) f f(y) + f(y) T (x y) y x Teorema Considere f C 2. Então f j é convexa ff sobre um conjunto convexo C sse 2 f(x) 0, em C. Onde 2 2 f f(x) =, i, j = 1,..., n é a matriz x i x j Hessiana pag.20 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

21 Teoremas de Funções Convexas Teorema Considere f C 1, uma função convexa sobre o conjunto convexo não-vazio C. Se existe um ponto x C tal que f(x ) T (x x ) 0, x C então x é um mínimo global de f em C Se f for estritamente convexa, ie f(x) > f(y) + f(y) T (x y), x, y C, x y então x C, tal que f(x ) T (x x ) > 0 é um mínimo global estrito de f em C pag.21 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

22 Conjunto Poliedral Definição conjunto poliedral A intersecção de um número finito de subespaços fechados é denominado Exemplo C x Ax y, x R n, y R m, A R m n Nota Conjuntos poliedrais são convexos e fechados, mas podem não ser limitados Definição Um conjunto poliedral limitado é denominado politopo Em outras palavras, um politopo é a casca convexa de um conjunto finito de vértices Portanto todo elemento no politopo pode ser gerado pela combinação convexa dos seus vértices pag.22 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

23 Desigualdades Matriciais Lineares LMIs Denomina-se uma desigualdade matricial linear (LMI) em x a descrição: A(x) = x 1 A 1 + x 2 A x n A n B onde B, A i S n = X R n n X = X T, i = 1,..., n Note a grande similaridade com uma desigualdade linear, a T x = x 1 a 1 + x 2 a x p a p b, b, a i R Nota O conjunto solução de uma LMI, ie {x R n A(x) B} é convexo Por quê? Definindo-se uma função afim f : R n S n, da forma f(x) = B A(x), então {x f(x) C S n } = {x Rn B A(x) S n } é a imagem inversa do cone das matrizes semi-definidas positivas, que é convexo... Nota A imagem é {f(x) x C R n }... pag.23 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

24 Politopo Exemplo Politopo: P = co{v 1, v 2,..., v 5 } v 1 v 5 p 1 p 2 v 2 v 4 v 3 Todo p P é escrito da forma: p = P 5 i=1 α iv i, α i 0, Da figura, P 5 i=1 α i = 1 p 1 = 1 2 v v 2 + 0v 3 + 0v 4 + 0v 5 p 2 = 1 3 v v 2 + 0v v 4 + 0v 5 p 2 = 1 3 v p 1 pag.24 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

25 min x x 2 = Um problema de otimização padrão h i x 1 5 = c T x x 2 s.a 8 >< >: 1 2 x 1 + x 2 6 x 1 + 0x 2 4, 0x 1 + x < : x 1 + 0x 2 8 0x 1 + x 2 5 x x pag.25 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

26 Estendendo os conceitos Suponha que a matriz A P onde P é um politopo, ie P = co{a 1, A 2,..., A κ } em outras palavras P A A = P κ i=1 α ia i, α i 0, P κ i=1 α i = 1 Então para o problema de otimização: min X Traço{X} s.a X R i, i = 1,..., κ sendo R i nx A i XBC + (A i XBC) T + Q 0, Q = Q T, C 1 o Geram-se κ restrições sendo que os vértices do politopo são elementos matricias!! pag.26 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

27 Exercitando a fé... Exercício 1. Exercício 2. Mostre que qualquer norma é uma função convexa. Considere um escalar não-negativo, λ, e define-se o seguinte conjunto: K = {A = A T R n n A λi} Suponha que A B{K} onde B{ } denota a fronteira de um conjunto { }. 1. Caracterize o espectro de A pag.27 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2

28 ... e concretizando-a Exercício 3. Considere uma matrix positiva semi-definida Y C n n. Mostre que o conjunto X C n n X Y é um cone convexo em C n n. (Dica: mostre que o conjunto é convexo para então mostrar que é um cone) Exercício 4. Mostre que o problema de otimização a seguir é convexo: min P s.a Traço{P } P L onde L P A T P + P A 0, P = P T, P R n n, A R n n pag.28 Fund. Controle Robusto via Otimização Bloco 2