Estabilização Robusta

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1 Estabilização Robusta 1. Modelos de incertezas estruturadas e espaço de estados 1.1. Incertezas limitadas em norma 1.2. Incertezas politópicas 2. Complemento de Schur e sinais de matrizes 3. Estabilidade quadrática e LMIs 4. Realimentação de estados e LMIs pag.1 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

2 Incertezas Estruturadas Limitadas em Norma Modelo incerto no espaço de estado para a planta generalizada δ[x(t)] = (A + A)x(t) + (B u + B u )u(t) + (B w + B w )w(t) y(t) = (C y + C y )x(t) + (D yu + D yu )u(t) + (D yw + D yw )w(t) z(t) = (C z + C z )x(t) + (D zu + D zu )u(t) + (D zw + D zw )w(t) sendo que ( ) E ( ) F ( ), para ( ) = A, B u, B w, C y, C z, D yu, D yw, D zu, D zw é uma matriz desconhecida satisfazendo < 1 e E ( ) e F ( ) são matrizes conhecidas e indicam as direções de entrada de Conjunto de incertezas D é um conjunto limitado em norma: (A, B u,..., D zw ) D ( ) + E ( ) F ( ) < 1, C n n, ( ) = A, B u, B w, C y, C z, D yu, D yw, D zu, D zw pag.2 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

3 Incertezas Estruturada Incertezas politópicas Para o mesmo modelo incerto anterior, outra descrição para o conjunto incerto é da forma de um politopo: A 1 B u1 B w1 A κ B uκ B wκ P co C y1 D yu1 D yw1,..., C yκ D yuκ D ywκ C z1 D zu1 D zw1 C zκ D zuκ D zwκ Interpretação? Qualquer j, j = 1,..., κ, ponto extremo do politopo (?) representa um conjunto particular de matrizes (A, B u,..., D zw ), correspondendo a um modo de operação particular do sistema Como mudar de um modo para outro? É arbitrário e pode ser instantâneo... Modelo nominal? Ao contrário do caso limitado em norma, não há a necessidade de um modelo nominal pag.3 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

4 Politopo? Definição conjunto poliedral A intersecção de um número finito de subespaços fechados é denominado Exemplo C x Ax y, x R n, y R m, A R m n Nota Conjuntos poliedrais são convexos e fechados, mas podem não ser limitados Definição Um conjunto poliedral limitado é denominado politopo Em outras palavras, um politopo é a casca convexa de um conjunto finito de vértices Portanto todo elemento no politopo pode ser gerado pela combinação convexa (?) dos seus vértices pag.4 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

5 Politopo? Exemplo Politopo: P = co{v 1, v 2,..., v 5 } PSfrag replacements v 1 v 5 p 1 p 2 v 2 v 4 v 3 Todo p P é escrito da forma: p = Da figura, 5 i=1 α iv i, α i 0, 5 i=1 α i = 1 p 1 = 1 2 v v 2 + 0v 3 + 0v 4 + 0v 5 p 2 = 1 3 v v 2 + 0v v 4 + 0v 5 p 2 = 1 3 v p 1 pag.5 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

6 Exemplo de Modelagem Como representar o sistema incerto abaixo? ẋ(t) = 0 α 1 β 0 x(t) + α 1 β u(t) A B u sendo que os parâmetros variam na faixa: α , β Suponha que α n = β n = 0.5 sejam os valores nominais pag.6 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

7 Exemplo de Modelagem Conjunto limitado em norma? É completamente definido pelas matrizes A = A n E A F A B u = A n E B F B e os parâmetros incertos α e β são representados em, 1: = α β α , β pag.7 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

8 Exemplo de Modelagem Conjunto politópico? Veja que α α 0.8 (e 0.2 β 0.8). Desse modo as matrizes extremas são geradas pelos quatro vértices do retângulo: PSfrag replacements β 0.8 (A, B) 2 (A, B) (A, B) 1 (A, B) α Isto é, κ = 4, ou κ = 2 n, n = 2 número de combinações de α e β pag.8 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

9 Exemplo de Modelagem Politopo: P = co , ; , ; , ; , Não há necessidade de um modelo nominal... pag.9 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

10 Complemento de Schur e sinais de matrizes Se estiver em dificuldades para obter LMIs... A receita é o complemento de Schur, que transforma desigualdades não-lineares (porém convexas) em LMIs P = P 11 P 12 P T 12 P 22 0 P 22 0 P 11 P 12 P 1 22 P T 12 0 ou P = P 11 P 12 P T 12 P 22 0 P 11 0 P 22 P T 12P 1 11 P 12 0 Inicialmente proposto para o estudo de sinais de matrizes... pag.10 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

11 Aplicando o Complemento de Schur... Restrições quadráticas, x R n, x R n, q R, e Q R n n (x T x T )Q 1 (x x) q q (x T x T ) (x x) Q 0 Desigualdade de Riccati AX + XA T BB T + XC T CX 0 A T X + XA BB T CX XC T I 0 linear na variável matricial X pag.11 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

12 Aplicando o Complemento de Schur... Grammianos de Controlabilidade contínuo e discreto com desigualdade AL c + L c A T + BB T 0 já é uma LMI!! AL c A T L c + BB T 0 também é uma LMI, porém aplicar Schur é bastante interessante... AL c L 1 c L c A T L c + BB T 0 L c AL c B L c A T L c 0 B T 0 I 0 pag.12 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

13 Estabilidade quadrática e LMIs Definição Um sistema dinâmico incerto δ[x(t)] = Ax(t), A P A A = κ i=1 ξ i A i, ξ i 0, κ i=1 ξ i = 1 é dito ser quadraticamente estável 1. se para sistemas a tempo contínuo P = P T 0 : A T P + P A 0 A P 2. se para sistemas a tempo discreto P = P T 0 : A T P A P 0 A P pag.13 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

14 Estabilidade quadrática e LMIs Para o caso contínuo, a estabilidade quadrática é verificada se para a mesma matriz de Lyapunov P : P = P T 0 : A T 1 P + P A 1 0 A T 2 P + P A 2 0. A T κ P + P A κ 0 Para o caso discreto, a estabilidade quadrática é verificada se para a mesma matriz de Lyapunov P : P = P T 0 : A T 1 P A 1 P 0 A T 2 P A 2 P 0. A T κ P A κ P 0 pag.14 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

15 Realimentação de estados e LMIs Definição Um sistema dinâmico incerto δ[x(t)] = Ax(t) + B u u(t) (A, B u ) P (A, B u ) (A, B u ) = κ i=1 ξ i (A i, B ui ), ξ i 0, κ i=1 ξ i = 1 é dito ser quadraticamente estabilizável por realimentação de estados, u(t) = Kx(t) 1. se para sistemas a tempo contínuo P = P T 0 : (A + B u K) T P + P (A + B u K) 0 (A, B u ) P 2. se para sistemas a tempo discreto P = P T 0 : (A + B u K) T P (A + B u K) P 0 (A, B u ) P particularmente K {K A + B u K é assintoticamente estável} pag.15 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

16 Como obter K? Vamos considerar sistemas a tempo discreto (o caso contínuo é trivial), (A i + B ui K) T P (A i + B ui K) P 0 i = 1,..., κ por Schur... P A i + B ui K (A i + B ui K) T P 1 0 i = 1,..., κ Pré- e pós-multiplicando pela transformação de similaridade diag{p 1, I} P I T P A i + B ui K (A i + B ui K) T P 1 P I 0 pag.16 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

17 Como obter K? ie P 1 P P 1 P 1 (A i + B ui K) T (A i + B ui K)P 1 P 1 0 fazendo duas mudanças de variáveis linearizantes Y P 1 e Z KP 1 = KY Y Y A T i + Z T B T ui A i Y + B ui Z Y 0 i = 1,..., κ sendo K = ZY 1 (ie, independente das matrizes incertas A e B u!!) Basta resolver um problema de factibilidade nas variáveis matricias Y e Z, nos vértices i = 1,..., κ pag.17 Introdução ao Controle Robusto Aula 7

18 Exercício Exercício Computacional Considere o sistema a tempo discreto dado por x(t + 1) = α x(t) + β 0 u(t) A B Considere dois casos para a variação dos parâmetros incertos do modelo: Caso a 0.7 α 1 e 1 β 2 Caso b 0.5 α 1 e 0.5 β 8 Nota O modelo incerto é instável para combinações em malha aberta... Objetivo Encontre ganhos de realimentação K que estabilize quadraticamente o sistema incerto em malha fechada para os dois casos (Detalhe: Verifique se a estabilidade é garantida, e.g., nos vértices) pag.18 Introdução ao Controle Robusto Aula 7