Controle de um Levitador Magnético com Atenuação de

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1 Trabalho apresentado no CNMAC, Gramado - RS, 216. Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics Controle de um Levitador Magnético com Atenuação de Distúrbio Leandro José Elias 1 Área de Ciências e Matemática, IFSP, Araraquara, SP Flávio Andrade Faria 2 Depto de Físico Química, UNESP, Araraquara, SP Pedro Paulo Vieira 3, Vilma A. Oliveira 4 Depto de Engenharia Elétrica, USP, São Carlos, SP Resumo. Este trabalho apresenta um projeto de controle robusto para um levitador magnético considerando a variação da massa do objeto a ser levitado. Considera-se também, o problema de rejeição de pertubação para reduzir o efeito de pequenas vibrações na base do levitador. Palavras-chave. Levitador Magnético, Sistemas não lineares, Modelos Fuzzy Takagi- Sugeno, Desigualdades Matriciais Lineares. 1 Introdução Levitadores magnéticos de bancada são muito comuns em laboratórios didáticos de universidades. Esses aparelhos causam grande impacto visual nos estudantes e servem para motivar os estudo de vários princípios fundamentais de eletricidade, eletromagnetismo, eletrodinâmica e teoria de controle 5, 6. Além disso, a levitação magnética está sendo utilizada com muita frequência em transportes terrestres de alta velocidade, no controle de vibrações de sistemas mecânicos e em bioengenharia 4. Apesar de sua simplicidade, é possível encontrar na literatura diferentes formas de modelar o problema. Em geral, os modelos diferem de acordo com o tratamento dado a cada variável do sistema. Em 6 é apresentado um modelo no qual a corrente elétrica é tratada como um estado e a entrada de controle é realizada pela tensão no eletroimã. Essa modelagem resulta em um sistema afim de ordem três, em que a gravidade é tratada como uma força externa constante. Como o sistema que representa o levitador é não linear, posteriormente, esse sistema é estudado usando modelos fuzzy Takagi-Sugeno (TS) 1. Em 3, os autores exploram propriedades de eletricidade para realizar o projeto de controle em função da corrente, eliminando a variável tensão do modelo matemático. Além disso, os autores apresentam um modelo no qual a resultante das forças é proporcional a corrente elétrica necessária para manter um 1 leandro.elias@ifsp.edu.br 2 flaviof15@lycos.com 3 pedro.vieira@usp.br 4 vilma@sc.usp.br DOI: 1.554/ SBMAC

2 2 objeto levitando em uma posição de interesse. Por consequência, o modelo matemático resultante é um sistema linear de ordem dois. Como 1, 3 realizam a modelagem considerando uma massa constante e o levitador fixo em uma superfície rígida, então neste trabalho é proposto um projeto de controle robusto para um levitador magnético sujeito a vibrações na base. O modelo matemático é desenvolvido com base no resultado apresentado em 3 e a massa do objeto a ser levitado é considerada um parâmetro incerto que pode variar dentro de uma faixa prefixada. O sistema não linear é representado por modelos fuzzy TS 7 e o projeto de controle é realizado usando desigualdades matriciais lineares. 2 Projeto de Controle Fuzzy Neste trabalho é estudado uma classe de sistemas fuzzy TS representadas por: p ẋ(t) = r p k=1 i=1 y(t) = Cx(t), α k h ik (t) ( A ik B ik K k ) x(t) + Eik w(t) (1) sendo α k parâmetros incertos satisfazendo: α k, p α k = 1, p = 2 n, com n o número de incertezas no modelo, A ik, B ik, E ik e C as matrizes dos modelos locais, K k os ganhos do controlador de realimentação de estado, r p o número de modelos locais do sistema fuzzy k=1 e h ik (t) são funções não lineares satisfazendo h ik (t), r p i=1 h ik (t) = 1, t. Diz-se que o sistema (1) possui nível de atenuação γ se para qualquer entrada limitada w(t) a seguinte desigualdade é satisfeita: sup y(t) γ. (2) w(t) Para estabilização do sistema (1) satisfazendo (2) foi utilizado o seguinte teorema. Teorema 2.1. Dado um nível de atenuação γ, os ganhos K k = M k X 1 que estabilizam o sistema (1) e satisfazem (2) podem ser encontrados resolvendo as seguintes LMIs: X >, a 11.5(E ik + E jk ).5X(C ik + C jk ) γi I, i j, k = 1, 2,..., p, (3) sendo a 11 =.5(XA ik M jk B ik + A ikx B ik M jk + XA jk M ik B jk + A jkx B jk M ik ) e a matriz bloco simétrica. DOI: 1.554/ SBMAC

3 3 Prova: Multiplicando (3) pelo produto de α k, h ik (t) e h jk (t), i, j, k, e somando todos os termos, obtêm-se: p r p k=1 i=1 j=1 k α k h ik (t)h jk (t) X >, a 11.5(E ik + E jk ).5X(C ik + C jk ) γi I, Então a demonstração do teorema segue de forma análoga à 7, pág. função Lyapunov quadrática. 7 usando uma Os ganhos encontrados pelo Teorema 2.1 nem sempre podem ser implementados na prática devido a magnitude dos valores encontrados. Esses valores podem ser reduzidos utilizando o resultado a seguir. Teorema 2.2. Dado um nível de atenuação γ e parâmetros σ >, β >. Os ganhos K k = M k X 1, com KK < βi/σ 2, que estabilizam o sistema (1) e satisfazem (2) podem ser encontrados resolvendo as seguintes LMIs: X > σi, a 11.5(E i + E j ).5X(C i + C j ) γi I βi M >. I, i j (4) sendo a 11 =.5(XA ik M jk B ik + A ikx B ik M jk + XA jk M ik B jk + A jkx B jk M ik ) e a matriz bloco simétrica. Prova: A demonstração do teorema leva em consideração os argumentos utilizados no Teorema 2.1 e os resultados apresentados em 2, pág Modelo matemático do Levitador Na Figura 1 é mostrado a configuração do levitador magnético analisado neste trabalho. De acordo com a segunda lei de Newton tem-se a partir da Figura 1 que: mÿ = f k + mg + F (i, y) + w(t), (5) sendo m a massa do objeto, f k a força de atrito viscoso do ar, g a aceleração da gravidade, F (i, y) a força eletromagnética, L a indutância do eletroímã e w(t) a força externa aplicada na base do levitador. A força eletromagnética foi obtida considerando o fato de que a posição da bola altera o fluxo magnético no circuito, sendo escrita como 3: F (i, y) = λµi2 2 (1 + µy) 2, (6) DOI: 1.554/ SBMAC

4 4 Figura 1: Levitador Magnético. com λ e µ constantes positivas, i a corrente elétrica no eletroímã e y o deslocamento da bola. A força de atrito viscoso foi tomada da forma f k = kẏ, sendo k > o coeficiente de atrito. Nessas condições, a equação de movimento do objeto é dada por: λµi 2 mÿ = kẏ + mg 2 + w(t). (7) 2 (1 + µy) Definindo como variáveis de estado, x 1 = y e x 2 = ẏ tem-se x 1 = x 2 x 2 = g k m x λµi m(1+µ x 1 ) 2 m w(t). (8) Como o objetivo é manter a bola numa posição arbitrária y = y, então substituindo y em (7) obtêm-se i 2 = 2 λµ (mg + w(t)) (1 + µy ) 2. (9) Para a modelagem, o ponto de equilíbrio de interesse é dado por x e = y,. No entanto, a representação fuzzy TS só pode ser aplicada em sistemas (8) quando o ponto de equilíbrio é a origem. Então, realizando a substituição de variáveis x 1 = x 1 y e x 2 = x 2, obtém-se um modelo cujo ponto de equilíbrio foi deslocado para a origem. Além disso, o projeto de controle também considera que: u = i 2 i 2 i 2 = u + 2 λµ (mg + w(t)) (1 + µy ) 2. (1) Substituindo (1), x 1 e x 2 em (8), e realizando algumas operações algébricas, o seguinte modelo matemático é encontrado: ẋ1 1 x1 = + u(t) ẋ 2 + µg(µx 1 +2µy +2) (1+µ(x 1 +y )) 2 µx 1 m k m (µx 1 +2µy +2) (1+µ(x 1 +y )) 2 w(t). x 2 λµ/(2m) (1+µ(x 1 +y )) 2 (11) DOI: 1.554/ SBMAC

5 5 4 Simulação Numérica A simulação do sistema (11) foi realizada considerando os parâmetros:.226 Kg m.5 Kg, g = 9.8 m/s 2, k =.1 Ns/m, λ =.46 H, µ = 2 m 1 e y =.4 m. A representação fuzzy TS do sistema (11), com realimentação de estado u(t) = Kx(t), é dada por (1) com matrizes: B 1i = B 2i = B 5i = B 6i = E 1i = E 3i = E 5i = E 7i = A 1i = A 2i = A 3i = A 4i = A 5i = A 6i = A 7i = A 8i = mi ,,, B 3i = B 4i = B 7i = B 8i =, E 2i = E 4i = E 6i = E 8i = mi sendo i = 1, 2; m 1 =.226 Kg e m 2 =.5 Kg. Para o projeto de controle robusto foram consideradas as LMIs dos Teoremas 2.1 e 2.2, com parâmetros γ =.771, β = 2 e σ =.2. Para a simulação foram tomados os valores de m =.35 Kg, condição inicial x =.2 e w(t) =.3sen(1πt). Os resultados das simulações podem ser vistos nas Figuras 2 e 3.,. (12) Figura 2: Estabilização com o Teorema 2.1 (m =.35 Kg): estado x(t) (esquerda), sinal de controle u(t) (direita). A perturbação w(t) foi adicionada a partir de t = 1s. DOI: 1.554/ SBMAC

6 6 Figura 3: Estabilização com o Teorema 2.2 (m =.35 Kg): estado x(t) (esquerda), sinal de controle u(t) (direita). A perturbação w(t) foi adicionada a partir de t = 1s. A Tabela 1 mostra os valores dos ganhos encontrados pelos Teoremas 2.1 e 2.2. Verificase que os valores em módulo dos ganhos obtidos pelo Teoremas 2.2 são menores como esperado. Tabela 1: Ganhos encontrados Teorema 2.1 Teorema 2.2 K 1 = K 1 = K 2 = K 2 = K 3 = K 3 = K 4 = K 4 = K 5 = K 5 = K 6 = K 6 = K 7 = K 7 = K 8 = K 8 = Conclusões A representação do sistema não linear pelo sistema fuzzy TS permitiu a realização do projeto de controle usando LMIs. LMIs facilitam a inclusão de incertezas paramétricas no projeto do controlador usando o conceito de convexidade. Como o Teorema 2.1 fornece condições para a estabilização de sistemas não lineares sempor nenhuma restrição nos ganhos do controlador, então é adicionada as condições LMI propostas em 2 para reduzir a magnitude dos ganhos. Pela Tabela 1 é fácil verificar a eficiência do Teorema 2.2 na redução dos ganhos. Em alguns casos o valor da componente matricial chega a ser dez vezes menor. Além disso, todos os ganhos encontrados pelo Teorema 2.2 estão com uma magnitude equivalente aos apresentados em 3, mas com a vantagem de garantir um bom DOI: 1.554/ SBMAC

7 7 nível de atenuação de distúrbios. Observa-se pelas Figuras 2 e 3 que houve um aumento no tempo de estabelecimento do sistema controlado com os ganhos do Teorema 2.2. Essa pequena deterioração no tempo de estabelecimento não é o suficiente para comprometer o desempenho do sistema controlado. Por outro lado, o valor dos ganhos podem comprometer a implementação prática. Dessa forma, é necessário executar vários testes com o Teorema 2.2 a fim de se encontrar um ganho que satisfaça as restrições de desempenho impostas ao projeto de controle e que seja implementável na prática. Os parâmetro de projeto µ, γ, β e σ oferecem graus de liberdade para o projetista obter o desempenho desejado. Assim, o trabalho proposto contribuiu para o projeto de controladores para um levitador magnético de bancada. Os resultados permitem que qualquer objeto com uma massa pré-especificada permaneça levitando em um ponto de interesse e asseguram a levitação do objeto mesmo que o levitador sofra pequenas vibrações na base. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq. Referências 1 N. S. D. Arrifano, V. A. Oliveira, and L. V. Cossi. Synthesis of an LMI-based fuzzy control system with guaranteed cost performance: A piecewise Lyapunov approach. Controle & Automação, 17(2): , E. Assunção, M. C. M. Teixeira, F. A. Faria, N. A. P. da Silva, and R. Cardim. Robust state-derivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems. International Journal of Control, 8(8): , R. Cardim, M. C. M. Teixeira, E. Assunção, F. A. Faria, and M. R. Covacic. Controle de um levitador magnético utilizando modelos fuzzy e derivada de estados da planta. In VIII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, pages 1 6, Florianópolis, SC, Brasil, M. Golob and B. Tovornik. Modeling and control of the magnetic suspension system. ISA Transactions, 42(1):89 1, W. Hurley and W.H. Wolfle. Electromagnetic design of a magnetic suspension system. IEEE Transactions on Education, 4(2):124 13, V. A. Oliveira, E. F. Costa, and J. B. Vargas. Digital implementation of a magnetic suspension control system for laboratory experiments. IEEE Transactions on Education, 42(4): , K. Tanaka and H. O. Wang. Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach. John Wiley and Sons, 21. DOI: 1.554/ SBMAC