, Campo Grande, Mato Grosso do Sul, Brasil.

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1 CONTROLE ÓTIMO H DE SISTEMAS NÃO-LINEARES COM MODELOS FUZZY TAKAGI-SUGENO Edvaldo Assunção Cristiano Quevedo Andrea Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira João Onofre Pereira Pinto Rodrigo Cardim UNESP - Universidade Estadual Paulista Departamento de Engenharia Elétrica Campus de Ilha Solteira Ilha Solteira São Paulo Brasil. UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Departamento de Engenharia Elétrica Campo Grande Mato Grosso do Sul Brasil. s: cristiano@batlab.ufms.br Abstract A design method for tracking system and disturbance rejection applied in nonlinear systems described by Takagi-Sugeno model using fuzzy control is proposed. Fuzzy controllers M(α) and N(α) are used in order to design the tracking system. In this way the fuzzy controllers are used to minimize the H -norm from reference input signal r(t) to the tracking error signal e(t). So one uses a fuzzy dynamic feedback controller K c(α) in order to minimize the H -norm from the disturbance input w(t) to the measured output y(t). The design is formulated in Linear Matrix Inequality (LMI) framework such that the optimal solution of the stated control problem is obtained. Simulation of a practical problem illustrates the effectiveness of the proposed method. Keywords Fuzzy Control Tracking Nonlinear System LMIs H -norm. Resumo Neste trabalho é proposta uma metodologia de rastreamento de sinais e rejeição de distúrbios aplicada a sistemas não-lineares. Para o projeto do sistema de rastreamento projeta-se os controladores fuzzy M(α) e N(α) que minimizam a norma H entre o sinal de referência r(t) e o sinal de erro de rastreamento e(t). No método de rejeição de distúrbio utiliza-se a realimentação dinâmica da saída através de um controlador fuzzy K c(α) que minimiza a norma H entre o sinal de entrada exógena w(t) e o sinal de saída z(t). O procedimento de projeto proposto considera as não-linearidades da planta através dos modelos fuzzy Takagi-Sugeno. Os métodos são equacionados utilizando-se inequações matriciais lineares (LMIs) que quando factíveis podem ser facilmente solucionados por algoritmo de convergência polinomial. Por fim um exemplo ilustra a viabilidade da metodologia proposta. Palavras-chave Controle Fuzzy Rastreamento Sistemas Não-lineares LMIs Norma H. 1 Introdução Os sistemas de rastreamento são amplamente utilizados em projetos de engenharia de controle tais como controle de temperatura controle de velocidade entre outras aplicações. Em grande parte dos processos físicos industriais etc observa-se não-linearidades em sua estrutura. Projetos de sistemas de rastreamento aplicado a sistemas nãolineares utilizam geralmente metodologia desenvolvida para sistemas lineares. Este fato pode comprometer o desempenho do sistema de controle projetado se a planta não-linear não operar próximo ao ponto de operação especificado no projeto. O desenvolvimento de metodologias de sistemas de controle considerando-se as nãolinearidades da planta pode melhorar o desempenho do processo dinâmico a ser controlado. Recentemente os trabalhos em sistemas de controle fuzzy tem sido objeto de pesquisa na comunidade científica vide (Teixeira et al. 2003) (Teixeira and Zak 1999). Nestes trabalhos a planta não-linear é representada pelo modelo fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) (Takagi 1985) que é baseada nas regras fuzzy SE-ENTÃO. Em (Lin et al. 2006) é proposto um método de rastreamento utilizando controladores H projetados via LMIs e a metodologia somente é aplicada a sistemas com atraso. Neste trabalho é proposta uma metodologia de rastreamento de sinais e rejeição de distúrbio para sistemas não-lineares. O método baseia-se na minimização da norma H entre o sinal de referência e o sinal de erro de rastreamento e(t) (Figura 1). No processo de rejeição de distúrbio minimiza-se a norma H entre o sinal exógeno e o sinal da saída do sistema. Descreve-se o sistema não-linear por modelos fuzzy Takagi-Sugeno o qual permite ao projetista considerar as nãolinearidades da planta ao projeto do sistema de controle e a metodologia proposta não possibilita tratar sistemas não-lineares incertos. O projeto do rastreamento e rejeição de distúrbio é descrito em termos de LMIs que quando factíveis podem ser facilmente solucionados através de algoritmos de convergência polinomial (Gahinet et al. 1995). Um exemplo ilustra a viabilidade da metodologia proposta. 2 Formulação do Problema Considere um sistema não-linear descrito pelo seguinte modelo fuzzy baseado no conjunto de re-

2 gras SE-ENTÃO: Modelo Regra i: Se h 1(t) é T i1 e h p(t) é T ip (1) ẋ(t) = A ix(t) + B 2iu(t) + B 1iw(t) Então z(t) = C 1ix(t) y(t) = C 2ix(t) sendo i = 12 v A i R n n B 1i R n q B 2i R n p C 1i R m n C 2i R m n x(t) é o vetor de estados (x(t) R n ) y(t) é a saída medida (y(t) R m ) z(t) é a saída de referência (z(t) R m ) u(t) a entrada de controle (u(t) R p ) e w(t) é uma entrada exógena (do tipo distúrbio ou perturbação) (w(t) R q ). Considerando-se um sistema com (x(t)u(t)w(t)) pode-se descrever a planta não-linear através do seguinte sistema fuzzy inferido {A i x(t) + B 2i u(t) + B 1i w(t)} ẋ(t)= C 1i x(t) z(t) = (2) C 2i x(t) y(t) = sendo h(t)= h 1(t) h p p(t) = T ij(h j(t)). Pode-se reescrever (2) como j=1 ẋ(t) = A(α)x(t) + B 2(α)u(t) + B 1(α)w(t) z(t) = C 1(α)x(t) (3) y(t) = C 2(α)x(t) sendo A(α) = v α i (h(t)) A i B 2 (α) = v α i (h(t)) B 2i B 1 (α)= v α i (h(t)) B 1i C 2 (α)= v α i (h(t)) C 2i e C 1 (α) = v α i (h(t)) C 1i. Os escalares α i (h(t)) = são os pesos normalizados de cada regra dos modelos fuzzy. As equações (2) e (3) representam o sistema não-linear descrito pelo modelo fuzzy Takagi-Sugeno (Takagi 1985). De uma forma geral o modelo fuzzy T-S consiste da descrição de um sistema não-linear como a combinação fuzzy de um número (v) de modelos locais lineares e invariantes no tempo e tem-se: > 0 α i (h(t)) = 1 0 α i (h(t)) 0. para todo t. 2.1 Problema O problema de rastreamento ótimo e rejeição de distúrbio utilizando a realimentação dinâmica da saída é minimizar a norma H entre a entrada exógena w(t) e a saída z(t). Neste processo deve-se projetar um controlador fuzzy K c (α) que atenue o efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema não-linear. Para o rastreamento devese projetar controladores fuzzy M(α) e N(α) que minimize a norma H entre a entrada de referência r(t) e o erro de rastreamento r(t) z(t). Observação O diagrama de blocos do sistema de controle utilizado para resolver o Problema é ilustrado na Figura 1. As matrizes M(α) e N(α) proporcionam o rastreamento e r(t) é o sinal de referência. r(t) w(t) Planta Não-Linear + u(t) ẋ(t)=a(α)x(t)+b 2(α)u(t)+B 1(α)w(t) N(α) z(t) = C 1(α)x(t) + y(t) = C 2(α)x(t) y c(t) M(α) Controlador H - K c(α) ẋ c(t)=a c(α)x c(t)+b c(α)u c(t)+m(α)r(t) y c(t) = C c(α)x c(t) + - u c(t) Figura 1: Sistema de controle de rastreamento e rejeição de distúrbio para sistemas não-lineares. e(t) z(t) y(t) O Teorema 1 é proposto para o projeto do controlador H fuzzy K c (α) cuja função é a rejeição de distúrbio presente na planta não-linear. Teorema 1 Considere um sistema não-linear descrito pelo modelo fuzzy Takagi-Sugeno (3) com o controlador fuzzy H utilizado na realimentação dinâmica da saída e ainda os parâmetros ρ e q fixos (Figura 2). Se existe matrizes R S  ii ˆB ii e Ĉii que satisfazem as LMIs seguintes. T wz 2 = min δ R I s.a > 0 (4) I S sendo Γ ii = Γ ii < 0 para i = 1 2 v (5) Γ ij + Γ ji < 0 para i < j < v (6) Ω ii < 0 para i = 1 2 v (7) Ω ij + Ω ji < 0 para i < j < v (8) Γ a B 1i A i +  ii RC 1i B 1i δi B 1i S 0 A i + Âii SB 1i Γ b C 1i C 1i R 0 C 1i δi ρr ρi Ω a A i + qi Ω ii = ρi ρs  ii + qi Ω b Ω a  ii + qi ρr ρi A i + qi Ω b ρi ρs com Γ a = A i R + RA i + B 2iĈi + Ĉ i B 2i Γ b = A i S + SA i + ˆB i C 2i + C 2i ˆB i Ω a = A i R + B 2i Ĉ i + qr Ω b = SA i + ˆB i C 2i + qs. (9) (10)

3 ρ q Imag(s) Real(s) Logo uma condição suficiente para que a inequação (15) seja verdadeira é que Γ ii < 0 e (Γ ij + Γ ji ) < 0. (16) Figura 2: Região do plano-s limitada por uma circunferência de raio ρ e centro ( q0). Então pode-se obter a solução ótima para a norma H de w(t) para z(t) com restrição para região de estabilidade ilustrada na Figura 2. Temse que R = R > 0 e S = S > 0 e as matrizes dinâmicas do compensador fuzzy H podem ser obtidas através das seguintes equações: A cij = E 1 Â ij SA ir E ˆB ic 2jR SB 2i Ĉ jψ ( Ψ ) 1 B ci = E 1 ˆBi C ci = Ĉi (Ψ 1) (11) sendo EΨ = I RS. Prova: Considera-se a seguinte realização em espaço de estado para o sistema não-linear descrito em (3) realimentado pelo compensador fuzzy H K c (α). T wz = (A nl B nl C nl ) (12) sendo A nl = A(α) B c(α)c 2 (α) B 2 (α)c c(α) A c(α) e C nl = C 1 (α) 0. B1 (α) B nl = 0 O problema de otimização para a norma H com restrição de região de estabilidade para T wz pode ser descrita como T wz 2 = min δ A nl P + PA nl B nl PC nl s.a B nl δi 0 < 0(13) C nl P 0 δi ρp A nl P + qp PA < 0(14) nl + qp ρp vide (Andrea 2007) e (Nguang and Shi 2006) para maiores detalhes. O problema de otimização descrito em (13) e (14) apresenta não-linearidades o que torna a solução do problema difícil. Utiliza-se transformações lineares (Chilali and Gahinet 1996) para que o problema seja descrito em termos de LMIs. Adota-se R Ψ P = Ψ J e P 1 S E = E Φ sendo R R n n e S R n n. Define-se ainda R I I S Pβ 2 = β 1 com β 1 = Ψ e β 0 2 = 0 E. Pré e pós multiplicando-se P > 0 por β 2 e β 2 respectivamente obtém-se (4). Em seguida pré e pós multiplica-se (13) pela matrizes diagonais (β 2II) e (β 2 II) respectivamente obtendo-se (5). Finalmente pré e pós multiplicando-se (14) pelas matrizes Φ e Φ respectivamente obtém-se (7) sendo Φ = β β 2. As inequações (5) e (6) podem ser descritas da seguinte maneira: r Γ(α) = α i α i Γ ii + α i α j (Γ ij + Γ ji ) < 0. (15) i<j Utilizando-se a análise descrita em (15)-(16) pode-se verificar que Ω(α) < 0 implica nas LMIs descritas em (7) e (8) sendo Ω(α) = α i α i Ω ii + α i α j (Ω ij + Ω ji ) < 0 i<j A equação das variáveis de estado que representa o diagrama de blocos ilustrado na Figura 1 pode ser descrito como ẋ η = A ηx η(t) + B ηr(t) + B wl w(t) e(t) = D ηr(t) C ηx η(t) (17) y(t) = C ηl x η(t) z(t) = C ηx η(t) sendo x(t) x η(t) = x c(t) B η = B2 (α)n(α) M(α) A11 (α) A A η = 12 (α) A 13 (α) A 14 (α) B wl = B1 (α) 0 (18) C η = C 1 (α) 0 C ηl = C 2 (α) 0 e D η = 1. A 11 (α) = A(α) A 12 (α) = B 2 (α)c c(α) A 13 (α) = B c(α)c 2 (α) A 14 (α) = A c(α). Considera-se a realização em espaço de estado entre o sinal de saída z(t) e o sinal de distúrbio w(t) descrita na forma T wzn = (A η B wl C η ). (19) Neste caso a influência do distúrbio no sistema pode ser atenuada devido ao projeto inicial do compensador fuzzy H K c (α). Considera-se a realização em espaço de estado entre sinal de referência do sistema r(t) e o sinal de erro de rastreamento e(t) descrita na forma T η = (A η B η C η D η ). (20) Através dos controladores de rastreamento M(α) e N(α) pode-se minimizar a norma H entre r(t) e e(t). O processo de rastreamento não interfere no projeto de rejeição de distúrbio. Pois apenas B η depende das matrizes M(α) e N(α). 2.2 Rastreador de Sinais para Sistemas Não- Lineares A solução para o problema de rastreamento consiste no projeto dos controladores M(α) e N(α) que minimizam a norma H de T η descrito em (20). De (13) pode-se descrever o problema da norma H do sistema T η como T η 2 = min δ P = P s.a A ηp + PA η PC η B η C ηp δi D η B η D η δi < 0 (21) Para o projeto do rastreador com peso na freqüência deseja-se encontrar a solução global que otimize o problema descrito a seguir min T η G (22)

4 sendo G = (A g B g C g ) o sistema linear que proporciona o peso na freqüência de saída T η = (A η B η C η D η ) é uma realização do sistema não-linear (20). Uma realização em espaço de estado H φ = T η G pode ser Aφ B φ C φ D φ = A η 0 B η B gc η A g B g 0 C g 0. (23) Então propõe-se o Teorema 2 para o projeto de sistemas de rastreamento utilizando-se peso na freqüência aplicado a sistemas não-lineares. Teorema 2 Considere o Problema com a Observação. Se existe matrizes M(α) (M(α) R n p ) e N(α) (N(α) R p p ) que satisfazem as LMIs seguintes. T η 2 = min δ s.a Ψ ii < 0 para i = 12 v (24) Ψ ij + Ψ ji < 0 para i < j < v (25) P 11 P 12 P 13 P 12 P 22 P 23 > 0 (26) P 13 P 23 P 33 sendo Ψ ii descrita em (29). Então pode-se minimizar a norma H do sistema T η = (A η B η C η D η ) com peso na freqüência. As matrizes P ij = P ij ; ij = 123 têm a mesma dimensão da matriz A e para j = 3 e i = 123 as matrizes P ij têm dimensões convenientes. Os controladores podem ser descritos como M(α) = α i M i e N(α) = α i N i. (27) sendo α i a mesma função de pertinência adotada no projeto do compensador H K c (α). Prova: A inequação (24) é obtida considerando-se as matrizes (A η B η C η D η ) = (A φ B φ C φ D φ ) em (21) sendo a matriz P na forma P = P 11 P 12 P 13 P 12 P 22 P 23 (28) P 13 P 23 P 33 e (A φ B φ C φ D φ ) dado por (23) e (A η B η C η D η ) definidas em (18). Como analisado no Teorema 1 a matriz Ψ(α) < 0 implica nas LMIs (24) e (25) sendo Ψ(α)= α i α i Ψ ii + α i α j (Ψ ij + Ψ ji )<0. i<j As matrizes M(α) e N(α) são soluções de (24)-(26) e minimizam a norma H entre a entrada de referência r(t) e o erro de rastreamento r(t) z(t). Os filtros utilizados no Teorema 2 são utilizados somente em projeto e posteriormente descartados para simulação ou implementação do controlador. No projeto de rastreamento abordado no Teorema 2 utilizou-se a mesma estrutura de controle com modificação de zeros para o caso de sistemas lineares abordada em (Assunção et al. 2004). 3 Exemplo de Aplicação Considere o sistema não-linear massa-molaamortecedor descrito na forma de variáveis de estado (Tanaka et al. 1996) ẋ1 (t) ẋ 2 (t) = x1 (t) x 1 (t) 2 01x 2 (t) 2 x 2 (t) 0 0 u(t) w(t). (30) Deseja-se projetar um sistema de rastreamento e rejeição de distúrbio para o sistema (30). No projeto do rastreador considera-se a faixa de valores para as variáveis de estado do sistema massa-mola-amortecedor: 15 x 1 (t) 1; 15 x 2 (t) 15. No processo de modelagem exata do sistema não-linear abordado neste exemplo adotou-se: f 21 (x(t)) = x 1 (t) 2 e f 22 (x(t)) = 01x 2 (t) 2. ẋ1 (t) ẋ 2 (t) Deste modo pode-se reescrever (30) x1 (t) 0 0 = + u(t)+ f22 x 2 (t) 1 1 f 21 w(t). (31) Na representação exata do sistema não-linear de acordo com (Taniguchi et al. 2001) utilizase os valores máximos e mínimos das funções f 21 (x(t)) e f 22 (x(t)) conforme descrito a seguir: } a 211 = max { f21 } = 002; a 212 = min { f21 } { f22 } a 221 = max { f22 = 0 e a 222 = min = 15275; = Segundo o método proposto por (Taniguchi et al. 2001) a função não-linear f 21 pode ser representada da forma exata por um modelo fuzzy T-S considerando-se quatro modelos locais. O número de modelos locais é igual a v = 2 p sendo p o número de não-linearidades na planta. Para a 211 e a 222 existem σ 211 e σ 212 tais que: f 21 = σ 211 a σ 212 a σ 211 σ 212 1(32) e σ σ 212 = 1. De (32) tem-se: σ 211 = f 21 a 212 a 211 a 212 e σ 212 = a 211 f 21 a 211 a 212. (33) A função não-linear f 22 também pode ser representada na forma exata por: f 22 = Γ 221 a Γ 222 a Γ 221 Γ 222 1(34) De (34) tem-se e Γ Γ 222 = 1. Γ 221 = f 22 a 222 a 221 a 222 e Γ 222 = a 221 f 22 a 221 a 222. (35) Reescrevendo-se (32) conforme a seguir: f 21 = (Γ 221 +Γ 222 ) (σ 211 a 211 +σ 212 a 212 ) = (36) Γ 221 σ 211 a 211 +Γ 221 σ 212 a 212 +Γ 222 σ 211 a 211 +Γ 222 σ 212 a 212 Definindo-se em (36) α 1 (x)=γ 221 σ 211 α 2 (x) = Γ 221 σ 212 α 3 (x)=γ 222 σ 211 e α 4 (x)=γ 222 σ 212. (37) Obtém-se: f 21=α 1(x)a 211+α 2(x)a 212+α 3(x)a 211+α 4(x)a 212 (38)

5 1.4Amplitude A 11i P 11 + P 11 A 11 i + A 12ii P 12 + P 12A 12 ii A 11i P 12 + A 12ii P 22 + P 11 A 13 ii + P 12 A 14 ii A 13ii P 11 + A 14ii P 12 + P 12 A 11 i + P 22 A 12 ii A 13ii P 12 + P 12 A 13 ii + A 14ii P 22 + P 22 A 14 ii Ψ ii = B gc 1i P 11 + A gp 13 + P 13 A 11 i + P 23 A 12 ii B gc 1i P 12 + A gp 23 + P 13 A 13 ii + P 23 A 14 ii C gp 13 C gp 23 N i B 2i M i A 11i P 13 + A 12ii P 23 P 11 C 1i B g + P 13 A g P 13 C g B 2i N i A 13ii P 13 + A 14ii P 23 P 12 C 1i B g + P 23 A g P 23 C g M i B gc 1i P 13 P 13 C 1i B g + P 33A g + AgP 33 P 33 C g B g C gp 33 I 0 B g 0 δi (29) De maneira similar pode-se reescrever f 22 f 22=α 1(x)a 221+α 2(x)a 221+α 3(x)a 222+α 4(x)a 222 (39) Analisando-se (38) e (39) pode-se determinar os modelos locais para este sistema não-linear massa-mola-amortecedor A 3 = A 1 = A 2 = A 4 = 0 B 21 = B 22 = B 23 = B 24 = B 11 = B 12 = B 13 = B 14 = 1 C 11 = C 12 = C 13 = C 14 = 1 0 C 21 = C 22 = C 23 = C 24 = 1 0. No processo de atenuação do efeito do sinal de distúrbio no sistema utilizou-se o Teorema 1 para o projeto do compensador H. No projeto utilizou-se como restrição para alocação dos pólos uma região limitada por uma circunferência de raio ρ = 200 com centro na origem. O controlador H K c (α) obtido foi o seguinte: A c : A c11 = A c12 = A c13 = A c14 = A c21 = A c22 = A c23 = A c24 = A c31 = A c32 = A c33 = A c34 = A c41 = A c42 = A c43 = A c44 = B c : B c1 = B c2 = B c3 = B c4 = C c : C c1 = C c2 = C c3 = C c4 = O controlador fuzzy H também pode ser descrito da seguinte maneira: A c(α) = 4 j=1 e 4 α iα ja cij B c(α) = 4 α ib ci C c(α) = 4 α jc cj. j=1 sendo α i descrita em (37). O valor de γ opt que é o limitante superior da norma H de w(t) para y(t) obtida no procedimento de otimização foi 001 o que implica em uma atenuação do efeito do sinal de perturbação na saída do sistema massa-mola-amortecedor. Como especificação de projeto o rastreador deve operar para baixas freqüências até rad/seg então foi proposto o seguinte filtro G(s): 100 G(s) = s s No projeto do rastreador utilizou-se a metodologia proposta no Teorema 2. Minimizouse a norma H de r(t) para e(t) considerandose sinais de até rad/seg. Neste exemplo analisou-se a norma H em um dos modelos locais lineares que descrevem o sistema massa-molaamortecedor. No modelo local 11 a norma H para todo o espectro de freqüência é 13724; enquanto para a banda de freqüência especificada no problema a maior magnitude de T η (jω) é sendo T η descrito em (20). A Figura 3 ilustra a resposta em freqüência T η considerando-se o modelo local 11 que é dado por modelo local 11:A 1 B 21 C 11 C 21 A c11 B c1 C c1 M 1 e N 1. Observou-se que a magnitude de T η para Freqüência rad/seg Figura 3: Resposta em freqüência T η : T η (jω) ω para o modelo local 11. a faixa de freqüência em projeto é pequena então ocorre o processo de rastreamento nestas condições. Os controladores obtidos para o rastreamento foram: M 1 = M 3 = M 2 = M 4 =

6 N 1 =381961; N 2 =380404; N 3 = e N 4 = Pode-se descrever estes controladores como M(α) = 4 α i M i e N(α) = 4 α i N i. (40) sendo α i descrita em (37). No processo de simulação considerou-se um sinal de referência r(t) = 01sen(01t) e um sinal de perturbação do tipo distúrbio com amplitudes aleatórias não superiores a 1. A Figura 4 ilustra o resultado da simulação. Amplitude Tempo seg Figura 4: Sinal de saída z(t) e o sinal de entrada r(t) estão quase sobrepostos. Para este exemplo os zeros para o modelo local 11 são: ± j. Os pólos de malha fechada no modelo local 11 do sistema nãolinear alocados na região são: ±152745j e ± 13612j. 4 Conclusões Neste trabalho é proposta uma metodologia de rastreamento e rejeição de distúrbio aplicada a sistemas não-lineares. No projeto utilizaram-se os modelos fuzzy Takagi-Sugeno para descrever exatamente a planta não-linear. Para o processo de atenuação do efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema projetou-se um controlador fuzzy H de realimentação dinâmica da saída de modo a minimizar a norma H entre o sinal de distúrbio w(t) e o sinal de saída y(t). Para o rastreamento de sinais minimizou-se a norma H entre o sinal de referência r(t) e o sinal de erro de rastreamento. A metodologia de rastreamento e rejeição de distúrbios aplicada a sistemas não-lineares é descrita em termos de LMIs que quando factíveis podem ser facilmente solucionados através de algoritmos de convergência polinomial (Gahinet et al. 1995). Agradecimentos Os autores deste projeto agradecem a CNPq e FAPESP pelo suporte financeiro. Referências Assunção E. Andrea C. Q. and Teixeira M. C. M. (2004). Controle Ótimo H 2 e H com Modificação de Zeros para o Problema de Rastreamento Usando LMIs Sba Controle & Automação 15(4): Chilali M. and Gahinet P. (1996). H Design with Pole Placement Constraints: An LMI Approach IEEE Transactions on Automatic Control 41(3): Gahinet P. Nemirovski A. Laub A. J. and Chilali M. (1995). LMI Control Toolbox User s Guide The Mathworks Inc. USA. Lin C. Wang Q. and Lee T. H. (2006). H Output Tracking Control for Nonlinear Systems via T-S Fuzzy Model Approch IEEE Transactions on Systems Man Cybernetic - Part B: Cybernetics 36(2): Nguang S. K. and Shi P. (2006). Robust H Output Feedback Control Design for Fuzzy Dynamic Systems with quadratic D stability constraints: An LMI approach Information Sciences 176(15): Takagi T. Sugeno M. (1985). Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control IEEE Transactions Man and Cybernetics 15: Tanaka K. Ikeda T. and Wang H. O. (1996). Robust Stabilization of a Class of Uncertain Nonlinear Systems via Fuzzy Control: Quadratic Stabilizability H Control Theory and Linear Matrix Inequalities IEEE Transactions on Fuzzy Systems 4(1): Taniguchi T. Tanaka K. Ohtake H. and Wang H. O. (2001). Model Construction Rule Reduction and Robust Compensation for Generalized Form of Takagi Sugeno Fuzzy Systems IEEE Transactions on Fuzzy Systems 9(4): Teixeira M. C. M. Assunção E. and Avellar R. G. (2003). On Relaxed LMI-Based Designs for Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers IEEE Transactions on Fuzzy Systems 11(5): Teixeira M. C. M. and Zak S. H. (1999). Stabilizing Controller Design for Uncertain Nonlinear Systems Using Fuzzy Models IEEE Transactions on Fuzzy Systems 7(2): Andrea C. Q. (2007). Modificação de Zeros em Sistemas de Controle Robusto Utilizando LMIs Tese de Doutorado UNESP Ilha Solteira SP.