CONTROLE FUZZY BASEADO EM LMIS: INVESTIGAÇÃO DE UMA NOVA METODOLOGIA BASEADA NA FUNÇÃO DE LYAPUNOV FUZZY

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1 CONTROLE FUZZY BASEADO EM LMIS: INVESTIGAÇÃO DE UMA NOVA METODOLOGIA BASEADA NA FUNÇÃO DE LYAPUNOV FUZZY Leonardo A. Mozelli Rafael F. dos Santos Reinaldo M. Palhares Eduardo M. A. M. Mendes Universidade Federal de São João del-rei Campus Alto Paraopeba Rod. MG 44, Km Ouro Branco MG Brasil Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia Eletrônica Av. Antônio Carlos, 667, Pampulha 7- Belo Horizonte MG Brasil {mozelli,palhares,emmendes}@cpdee.ufmg.br, rafaelfdsantos87@gmail.com Abstract This paper presents a new methodology for control design for Takagi-Sugeno (TS) systems in the context of linear matrix inequality (LMI). The membership functions are assumed differentiable with bounded time-derivatives. This approach is based on the idea of fuzzy Lyapunov functions, using an elimination lemma and relying on the linearity of the constraints regarding the time-derivative of the membership functions. Numerical tests investigate the advantages and possible drawbacks of this new design. Keywords fuzzy Lyapunov function, Takagi-Sugeno (TS) fuzzy model, linear matrix inequalities (LMIs), fuzzy control Resumo Este trabalho apresenta uma nova metodologia para síntese de controladores para sistemas Takagi- Sugeno (TS) no contexto de desigualdade matricial linear (LMI). As funções de pertinência consideradas possuem derivada temporal limitada. Esta abordagem é baseada na idéia de funções de Lyapunov fuzzy, utilizando um lema de eliminação e baseando na linearidade existente nas restrições envolvendo a derivada temporal das funções de pertinência. Testes numéricos investigam as potencialidades e desvantagens deste novo tipo de projeto. Palavras-chave função de Lyapunov fuzzy,modelagem fuzzy Takagi-Sugeno (TS),desigualdades matriciais lineares(lmis),controle fuzzy Introdução Ao longo das últimas duas décadas, muita atenção tem sido dedicada ao estudo de metodologias rigorosas e formais para o projeto de controladores fuzzy, buscando garantir estabilidade e critérios de desempenho para sistemas dinâmicos Takagi- Sugeno (TS) (Takagi e Sugeno, 985). Tais ferramentas baseiam-se na teoria de estabilidade de Lyapunov e se traduzem em problemas de otimização, seja na forma de desigualdades matriciais lineares ou LMIs (linear matrix inequalities) (Tanaka e Wang, ) ou, mais recentemente, em problemas do tipo SOS (sum-of-squares) (Tanaka et al., 9). Existe um predomínio da chamada estabilidade quadrática, na qual se emprega uma função de Lyapunov quadrática nos estados (x Px) com uma única matriz P, resultando em condições suficientes para estabilidade (Tanaka e Wang, ). Embora seja preterida a característica variante no tempo dos sistemas TS, esse tipo de função preserva linearidade no problema de otimização, facilitando tanto sua solução por meio de LMIs bem como a síntese de controlador. Contudo, notase que as condições geradas são bastante conser- Em contra-posição às metodologias heurísiticas de codificação de regras dos anos 7 (Mandami e Assilian, 975), não raro especializadas para uma planta de interesse, dificultando uma aplicação ampla. vadoras do ponto de vista numérico. Neste contexto, um grande esforço foi feito no sentido de redução de conservadorismo, através do uso de variáveis de folga e os chamados termos de relaxação do lado direito (Kim e Lee, ; Teixeira et al., ; Fang et al., 6; Mozelli et al., 7). Finalmente em (Montagner et al., 9), são propostas condições suficientes mas que tendem a necessidade a medida que certo parâmetro cresce, com certificado de convergência. Embora a questão do conservadorismo numérico pareça encerrada, a metodologia proposta em (Montagner et al., 9) não serve para todos sistemas TS. Mesmo em caso de falha do teste proposto em (Montagner et al., 9), pode ser que exista um outra categoria de função de Lyapunov, não-quadrática, que proporcione certificado de estabilidade ao sistema. Com essa motivação foram propostos novos tipos de funções, destacandose a chamada função de Lyapunov fuzzy (FLF) (Jadbabaie, 999). A FLF é caracterizada pela combinação fuzzy de um conjunto de funções quadráticas por meio do mesmo conjunto de regras fuzzy usado na modelagem do sistema TS. A FLF de Jadbabaie (999) se assemelha bastante com funções quadráticas nos estados mas afim nos parâmetros, usadas para sistemas lineares variantes no tempo (LPV) (Montagner e Peres, ; Chesi et al., 7). A diferença é que 47

2 o parâmetro variante em sistemas LPV é desconhecido, enquanto para sistemas TS são as funções de pertinência. Nesse caso existe a necessidade de se obter um limitante para a taxa de variação da pertinência. Métodos para determinar esses limitantes podem ser vistos em (Tanaka et al., ; Tanaka et al., 7). Já a FLF proposta por Rhee e Won (6) tem formato de integral e por isso sua derivada temporal não tem dependência com a taxa de variação das pertinências. O preço pago é a necessidade de uma estrutura especial para as matrizes da FLF: veja (Rhee e Won, 6; Mozelli, Palhares, de Avelar e dos Santos, ). Existe também a imposição de que somente os estados podem ser variáveis premissas, impedindo sua aplicação a sistemas TS quaisquer. Funções de Lyapunov no formato de integral são utilizadas no contexto geral de sistemas não-lineares, sendo obtidas através do método do gradiente variável (Haddad e Chellaboina, 8). Uma dificuldade observada no uso da FLF, desde sua proposição por Jadbabaie (999), é a questão da síntese de controlador fuzzy. As condições obtidas são BMIs (bilinear matrix inequalities), não sendo possível aplicar transformações para linearizá-las. Em (Tanaka et al., ) é comunicada uma primeira tentativa de estabelecer condições LMI para projeto de controlador do tipo PDC (parallel distributed compensation) (Tanaka e Wang, ), mas o procedimento de completamento de quadrados adotado para obtêlas gera resultados muito conservadores, além da necessidade de ajuste de dois parâmetros escalares. Recentemente, em (Mozelli et al., 8; Mozelli, Palhares e de Avellar, 9) condições LMI menos conservadoras e de menor custo computacional do que em (Tanaka et al., ) foram obtidas por meio de uma metodologia que se mostra equivalente ao lema de Finsler (Mozelli, Palhares e Mendes, ; Oliveira, 4), em alguns casos. No caso não-pdc, resultados para síntese de controlador foram apresentados em (Tanaka et al., 7). Usando uma técnica de inclusão de variáveis proposta em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9) o resultado de (Tanaka et al., 7) tornou-se um caso particular das condições propostas em (Mozelli, Palhares e Mendes, ). A FLF de (Rhee e Won, 6) também gera dificuldades adicionais para a síntese de controlador. Isso ocorre pois apenas os elementos da diagonal das matrizes que compoem a função são modificados com as regras fuzzy. Ao se fazer inversão para obter condições LMI, ocorre a perda dessa propriedade comum em todas as matrizes. De qualquer forma, a metodologia proposta em (Mozelli, Palhares e de Avellar, 9; Mozelli, Palhares, de Avelar e dos Santos, ) faz o desa- coplamento das matrizes do sistema com relação as matrizes da FLF, viabilizando a obtenção de condições LMI sem a necessidade de inversão nas matrizes. Em (Li et al., 8) foi apresentado um resultado para síntese de controlador com base na FLF de (Rhee e Won, 6). Contudo, os resultados apresentados por Li et al. (8) são de difícil reprodução, já que alguns parâmetros de sintonia não são apresentados. Além disso, nos resultados apresentados em (Li et al., 8) se faz necessário considerar a inversa de matrizes com estrutura especiais inspiradas em (Rhee e Won, 6), no entanto não se apresenta nenhum demonstração formal de que a função dada pelas matrizes inversas é realmente uma função de Lyapunov. Neste artigo é proposta uma nova metodologia para síntese de controladores fuzzy PDC, baseada em propriedades do lema de eliminação apresentado em (Geromel e Korogui, 6). Ao contrário das abordagens em (Tanaka et al., ) e (Mozelli et al., 8), neste trabalho a linearidade existente entre as derivadas das funções de pertinência é explorada para reduzir conservadorismo, da maneira similar ao apresentado em (Jadbabaie, 999) ou em (Montagner e Peres, ). Teste numéricos e simulações com sistemas dinâmicos não-lineares são apresentadas para ilustrar as potencialidades e desvantagens dessa nova metodologia. A notação usada nesse trabalho é padrão: o sobre-escrito ( ) indica transposição de matrizes e vetores; ( ) indica termos transpostos em uma matriz simétrica; M >, ( ) indica que a matriz M é definida (semi-definida) positiva; M indica M + M ; o subconjunto {,,..., r} N é denotado por R. A seguinte notação também é adotada r i<j r r i= j=i+.. Preliminares Neste trabalho, a classe de sistemas dinâmicos estudada é dos sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (TS) (Takagi e Sugeno, 985) contínuos: sendo ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), () A(t) h i A i (t) i= h i B i i= tal que r é o número de regras fuzzy; h i são funções de pertinência (ou antecedentes); A i i são matrizes reais de dimensão apropriada que constituem os modelos locais (ou consequentes) (Tanscheit et al., 7; Teixeira e Assunção, 7). As funções de pertinência normalizadas satisfazem as propriedades Uma discussão mais detalhada nesse tópico pode ser vista na seção 6 de (Mozelli, Palhares, de Avelar e dos Santos, ). h i [, ], h i =, i= ḣ i =. () i= 47

3 O sinal de controle é feito com uma realimentação especial de estados, a chamada configuração PDC (Tanaka e Wang, ) u(t) = K(t)x(t), resultando na forma em malha fechada ẋ(t) = [A(t) + B(t)K(t)] x(t). () Para obter as novas condições LMI de síntese o teorema a seguir será útil: Teorema (Geromel e Korogui, 6)[Corolário ] Sejam matrizes simétricas W R n n e G R n n dadas e α um escalar positivo. Se existirem matrizes quaisquer L R m n, U R n n e matrizes definidas positivas P R n n e J R n n tal que a LMI a seguir é factível W + BL + L B + J BL U U αp U < então U é não-singular e K = αlu satisfaz a desigualdade não-linear W + BKP + P K B <. Projeto de Controlador O resultado principal deste trabalho é apresentado no Teorema a seguir. Este resultado serve como uma estratégia diferente das existentes na busca por controladores estabilizantes na forma PDC. Teorema Considere h i C, ḣi φ i e que o escalar α > seja dado. O sistema TS em malhafechada () é estável caso as seguintes LMIs forem satisfeitas P i >, i R (4) Ψ ii <, i R, Ψ ij + Ψ ji <, i, j R, i < j (5) sendo que Θ ± ij + J B il j Ψ ij U U αp j U <, Θ ± ij ±φ k (P k + X) + A i P j + B i L j. (6) k= A notação ± em (6) indica que todas as possíveis combinações de + e devem ser testadas nas LMIs. Por exemplo, para r = deverão aparecer restrições do tipo Θ ± ij = +φ (P + X) φ (P + X) + A i P j + B i L j Θ ± ij = φ (P + X) + φ (P + X) + A i P j + B i L j Θ ± ij = φ (P + X) φ (P + X) + A i P j + B i L j Θ ± ij = +φ (P + X) + φ (P + X) + A i P j + B i L j Prova: Considere a FLF de Jadbabaie (999) V (x) = x P(t) x = x ( i= h i P i ) x, que é definida positiva caso sejam satisfeitas as restrições (4). Considerando a derivada temporal dessa função ao longo das trajetórias do sistema em () tem-se que V (x) = x P (t)x + x P (t)ẋ = x { P (t) + [A(t) + K(t) B(t) ] P (t) + P (t)[a(t) + B(t)K(t)] } x. Para garantir V (x) < a seguinte desigualdade linear deve ser satisfeita P (t) + P (t)[a(t) + B(t)K(t)] <, e multiplicando ambos os lados por P(t) segue que P(t) + [A(t) + B(t)K(t)] P(t) <. Reescrevendo essa desigualdade não-linear W(t) + P(t)K(t) B(t) + B(t)K(t)P(t) <, sendo W(t) P(t) + A(t)P(t) + P(t)A (t), obtém-se a seguinte desigualdade linear com auxílio do Teorema Θ(t) + J B(t)L(t) Ξ(t) = U U αp(t) U <, sendo Θ(t) W(t)+ B(t)L(t). Finalmente, temse que Ξ(t) = h i Ξ ii + i= h i h j (Ξ ij + Ξ ji ) <, i<j sendo Ξ ij Θ ij + J B i L j U U αp j U <, tal que Θ ij P + A i P j + B i L j. Nesse ponto a estratégia apresentada em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9) pode ser aplicada. Devido às propriedades em () segue que P ḣ k P k = k= ḣ k (P k + X), k= resultando em Θ ij = ḣ k (P k + X) + A i P j + B i L j. k= 474

4 Finalmente, assume-se que ḣk φ k, k R, sendo φ k um escalar. Dessa forma, devido à linearidade de ḣk(p k +X) em ḣk, esse termo pode ser considerado de forma não conservativa com dois limitantes para as LMIs: um para ḣk = φ k e outro para ḣk = φ k. Segue então que os limitantes são dados por (6). Portanto, caso sejam satisfeitas as LMIs em (5), garante-se estabilidade ao sistema em malha-fechada e os ganhos do controlador são obtidos fazendo-se K i = αl i U. Resultados Numéricos A seguir dois testes numéricos são usados para verificar as potencialidades da nova metodologia. As implementações foram feitas com o parser Yalmip (Löfberg, 4) e resolvidas com o solver SeDuMi (Sturm, 999) no ambiente MATLAB.. Teste Considere o sistema TS com A = A = com funções de pertinência [ ] [ ],6,6,45 6, 4, =, (7) [ ] [ ] a,6 b 6, 4, =, (8) h (x ) = ( π )) π arctan(x, (9) h (x ) = x. () Considerando o valor de α igual a 5 e φ k =.85, k R, a controlabilidade do sistema foi checada para alguns valores dos pares (a, b), a [, 5], b [, 6]. b malha fechada. Note que o novo teorema consegue uma região factível muito maior do que o teorema proposto em (Montagner et al., 9, g = 5, d = 5). Para o sistema dinâmico no qual a = e b =, o retrato de fase é mostrado na Figura. Note que para certas condições iniciais as trajetórias descritas são estáveis mas na região assinalada em vermelho ocorre o contrário. x x Figura : Retrato de fase do sistema em malha aberta para a = e b =. Marcado em vermelho (pontilhado) uma região de condições iniciais que produzem trajetórias instáveis. Algumas trajetórias podem ser vistas em magenta (linhas cheias). Usando o teorema, os seguintes ganhos são obtidos: K = [,798,77], K = [,95,5]. () O retrato de fases em malha-fechada é mostrado na Figura. Veja que as mesmas condições iniciais são testadas, mas agora o ponto de equilíbrio é globalmente assintoticamente estável. Realizando os mesmos passos descritos anteriormente, porém agora para o ponto a = 5 e b = 55, um ponto no limite da borda factível/infactível, chegou-se aos retratos de fase representados nas Figuras 4 e 5. Portanto, o sistema em malha-fechada é estável para quaisquer condições iniciais a Figura : Área factível do teorema de (Montagner et al.,9) para g = 5 e d = 5 ( ); Teorema ( ) e ( ). A Figura mostra as regiões onde se consegue obter controladores que estabilizam o sistema em. Teste Considere o sistema TS com [ ] [,59 7,9 A =, =, ] [ ] [, 4,64 8 A =,5, =, ] [ ] [ ] a 4, b + 6 A =,5 =, 475

5 x x x x Figura : Retrato de fase do sistema em malhafechada para a = e b = : estabilidade global. Figura 5: Retrato de fase do sistema em malhafechada para a = 5 e b = 55: estabilidade global. x x x x Figura 4: Retrato de fase do sistema em malha aberta para a = 5 e b = 55. Marcado em vermelho (pontilhado) uma região de condições iniciais que produzem trajetórias instáveis. Algumas trajetórias podem ser vistas em magenta (linhas cheias). Figura 6: Retrato de fase: malha aberta. e com funções de pertinência h (x ) = cos(x ) + 4, h (x ) = sin(x ) +, 4 h (x ) = cos(x ) + sin(x ) + 4. Considerando o sistema com a =, b = 6, α = 5 e φ k =.85, k R, tem-se o retrato de fase instável em malha aberta representado na Figura 6. Com esses valores de a e b, obteve-se os ganhos: K = [,474,967], K = [,756,9], () K = [,49,7]. () Através do Teorema obtém-se um sistema estável em malha fechada como pode ser observado no retrato de fase da Figura 7. x x Figura 7: Retrato de fase do sistema em malhafechada: estabilidade global. Considerando a =, controladores para b 6 são obtidos com o teorema. Já com (Montagner et al., 9, g = 5, d = 5) consegue-se somente 476

6 controladores até b 5. Contudo, a situação se inverte quando a =. Neste caso, o Teorema é factível até b = 6, enquanto (Montagner et al., 9) é factível até b = 6,5, ou seja, cada teorema prevalece em uma determinada faixa de parâmetros. 4 Conclusão Neste trabalho foi apresentada uma nova metodologia de projeto de controladores para sistemas TS contínuos onde o uso de uma função de Lyapunov menos conservadora possibilita a obtenção de melhores resultados quando comparados às metodologias disponíveis. O primeiro exemplo mostrado evidencia essa melhoria ao obter, para um certo tipo de sistema TS, resultados bem superiores àqueles de outros procedimentos da Literatura especializada. Entretanto, no segundo exemplo numérico, nota-se que uma metodologia baseada na tradicional função quadrática nos estados consegue suplantar o Teorema proposto em uma faixa de parâmetros, perdendo em outra. A razão para isso é desconhecida e necessita investigação, porém acredita-se que este resultado é devido ao alto grau de relaxação na metodologia comparada, por meio da introdução progressiva de termos do lado direito. Uma possibilidade de melhoria seria adotar a técnica de (Montagner et al., 9), incorporando tais termos. Agradecimentos Este trabalho contou com o apoio do CNPq e da FAPEMIG. Referências Chesi, G., Garulli, A., Tese, A. e Vicino (7). Robust stability of time-varying polytopic systems via parameter-dependent homogeneous Lyapunov functions, Automatica 4: 9 6. de Oliveira, M. C. (4). Novos testes de estabilidade para sistemas lineares, Sba Controle & Automação 5(): 7. Fang, C.-H., Liu, Y.-S., Kau, S.-W., Hong, L. e Lee, C.-H. (6). A new LMI-based approach to relaxed quadratic stabilization of TS fuzzy control systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 4(): Geromel, J. C. e Korogui, R. K. (6). Analysis and synthesis of robust control systems using linear parameter dependent Lyapunov functions, IEEE Trans. Automat. Contr. 5(): Haddad, W. M. e Chellaboina, V. (8). Nonlinear dynamical systems and control: a Lyapunov-based approach, Princeton University Press. Jadbabaie, A. (999). A reduction in conservatism in stability and L gain analysis of Takagi- Sugeno fuzzy systems, Proc. of IFAC World Congresseijing, China. Kim, E. e Lee, H. (). New approaches to relaxed quadratic stability condition of fuzzy control systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 8(5): Li, J., Zhou, S. e Xu, S. (8). Fuzzy control system design via fuzzy Lyapunov functions, IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B 8(6): Löfberg, J. (4). Yalmip : A toolbox for modeling and optimization in MATLAB, Proc. of the CACSD Conf., Taipei, Taiwan. Mandami, E. H. e Assilian, S. (975). An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller, Int. J. Hum. Comput. Stud. 7:. Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (9). Convergent LMI relaxations for quadratic stabilizability and H control of Takagi-Sugeno fuzzy systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 7(4): Montagner, V. F. e Peres, P. L. D. (). A new LMI condition for the robust stability of linear time-varying systems, Proc. of CDC, Maui, USA, pp Mozelli, L. A., Campos, C. D., Palhares, R. M., Tôrres, L. A. B. e Mendes, E. M. A. M. (7). Chaotic synchronization and information transmission experiments: a fuzzy relaxed H control approach, Circ. Syst. Signal Process. 6(4): Mozelli, L. A., Palhares, R. M., de Avelar, G. S. C. e dos Santos, R. F. (). Condições LMIs alternativas para sistemas Takagi-Sugeno via função de Lyapunov fuzzy, Controle & Automação (): Mozelli, L. A., Palhares, R. M. e de Avellar, G. S. (9). A systematic approach to improve multiple Lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems, Inform. Sci. 79(8): Mozelli, L. A., Palhares, R. M. e de Avellar, G. S. C. (8). Novas condições de estabilidade e de estabilização para sistemas Takagi-Sugeno baseadas na função de Lyapunov fuzzy, CBA 8, Juiz de Fora, MG, Brasil. 477

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