ANÁLISE DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS LINEARES COM ZONA MORTA E

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1 Natal RN, 25 a 28 de outubro de 25 ANÁLISE DE ESTABILIDADE PARA SISTEMAS LINEARES COM ZONA MORTA E SATURAÇÃO Vanessa Dilda, Eugênio B. Castelan Faculdade Meridional - IMED Rua Senador Pinheiro, 34, Bairro Rodrigues , Passo Fundo, RS, Brasil Grupo de Controle de Sistemas em Rede DAS/CTC/UFSC 884-9, Florianópolis, SC, Brasil s: vanedilda@gmail.com, eugenio.castelan@ufsc.br Abstract The presence of dead-zone and saturation nonlinearities is common in many physical systems, as is the case of hydraulic and pneumatic systems. These nonlinearities have adverse effects especially on the performance of control systems, causing the presence of limit cycles or undesirable equilibrium points and even instability. In this context, the objective of this paper is to propose conditions for local stability analysis for systems subject to nonlinearity that combines the effects of dead-zone and saturation. Absolute stability tools are used to consider the presence of saturation and the concept of ultimately boundedness stability to take into the dead-zone. The computational algorithms for stability analysis are based on linear matrix inequality (LMI). Keywords Ultimate Boundedness Stability, Dead-zone, Saturation, Control Theory. Resumo A presença das não linearidades de tipo zona morta e saturação é comum em diversos sistemas físicos, como é o caso de sistemas de acionamento hidráulico e pneumático. Estas não linearidades têm efeitos adversos especialmente sobre o desempenho de sistemas de controle, causando ciclos limites ou pontos de equilíbrio indesejados e podendo, inclusive, levar o sistema à instabilidade. Neste contexto, o objetivo neste trabalho é propor condições para a análise de estabilidade local (regional) de sistemas sujeitos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da saturação, fazendo uso de ferramentas de estabilidade absoluta para considerar a presença da saturação e do conceito de estabilidade ultimamente limitada para levar em conta a presença da zona morta. Os algoritmos propostos para análise computacional da estabilidade utilizam desigualdades matriciais lineares (do inglês LMI). Palavras-chave Estabilidade ultimamente limitada, Zona Morta, Saturação, Teoria de Controle. Introdução Dentre as não linearidades existentes em sistemas de controle reais, merecem destaque as presentes em dispositivos atuadores, tais como saturação, zona morta, histerese, entre outras. A presença destas não linearidades se dá geralmente devido a limitações físicas ou de segurança, como é o caso em servo-motores elétricos ou servo-válvulas hidráulicas (Tarbouriech, Queinnec, Alamo, Fiacchini and Camacho, 2). Considerar tais não linearidades no projeto de controladores tem sido de grande interesse da comunidade científica, com o objetivo de tratar teoricamente o problema de controle o mais próximo possível do real. Para sinais de controle suficientemente pequenos a saída da zona morta é nula, levando o sistema de controle a se comportar em malha aberta em uma determinada região em torno da origem. Assim, a estabilidade assintótica da origem do sistema linear com atuadores sujeitos à zona morta apenas é possível para sistemas assintoticamente estáveis em malha aberta. Em outros casos, a zona morta provoca uma perda de estabilidade local, o que limita as trajetórias a uma região de estabilidade em torno da origem (Turner, 26). Em Dilda et al. (25) (veja também (Dilda, 23)), condições para análise de estabilidade de sistemas lineares na presença de zona morta foram desenvolvidas através de uma parametrização da não linearidade por uma classe de função, esta parametrização será utilizada neste trabalho para também considerar a presença da saturação. Em certos sistemas físicos, como é o caso dos sistemas de acionamentos hidráulicos e pneumáticos, a não linearidade de zona morta aparece acompanhada da saturação. Portanto, tratar o problema de análise de estabilidade de sistemas sujeitos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da saturação é um tema importante, tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Quando o objetivo é solucionar um problema de análise de estabilidade de sistemas com atuador saturante, busca-se uma estimativa para o domínio de atração do sistema. Pois qualquer trajetória com condição inicial localizada no interior do domínio de atração, converge assintoticamente para a origem. Dentre vários trabalhos que tratam da análise de estabilidade e/ou síntese de sistemas com atuador saturante, pode-se citar: Paim et al. (22), Tarbouriech, Queinnec and Garcia (26), Ebenbauer and Allgower (27), Tarbouriech, Prieur and da Gomes da Silva Jr. (26). 993

2 Em Tarbouriech, Queinnec, Alamo, Fiacchini and Camacho (2) são propostas condições de estabilização para sistemas com diferentes elementos não lineares no atuador como, por exemplo, zona morta e saturação, strick-slip e saturação, histerese e saturação. Para tratar essas não linearidades, é proposta uma modelagem relacionada à noção de inclusão diferencial convexa (Alamo et al., 29) e as condições para solução do problema são descritas na forma de LMIs. Devido ao fato da modelagem proposta abranger diferentes elementos não lineares, a inclusão diferencial convexa pode se mostrar mais restritiva ou conservadora do que uma análise realizada através de uma ferramenta adaptada para a não linearidade particular ou sob consideração. Neste sentido, tem-se por objetivo neste artigo apresentar condições de análise de estabilidade para sistemas lineares sujeitos a não linearidade de zona morta e saturação no atuador, baseadas nos resultados propostos em Dilda et al. (25) e também Dilda (23). Na seção seguinte é apresentado o problema a ser tratado e na sequência apresenta-se a proposta de análise de estabilidade seguida de um exemplo numérico. Por fim, são apresentadas as conclusões. 2 Apresentação do Problema Considere um sistema linear contínuo e invariante no tempo, com atuador sujeito a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da saturação, representado por: ẋ(t) = Ax(t) + Bsat(dz(u(t))) () u(t) = Kx(t) (2) em que x(t) R n, u(t) R m, são, respectivamente, os vetores de estado e de controle, A R n n e B R n m são as matrizes do sistema e K R m n é a matriz de realimentação de estados do sistema. A não linearidade sat(dz( )) : R m R m é descentralizada e simétrica, dada por: δ i, se u i (t) ρ i, u i (t) ρ i, se ρ i < u i (t) < ρ i, sat i (dz i (u(t))) =, se u i (t) ρ i, (3) u i (t) + ρ i, se ρ i < u i (t) < ρ i, δ i, se u i (t) ρ i. com ρ i = δ i + ρ i, i = {;...; m}. Note que o valor ρ i refere-se à não lineariadade de zona morta e δ i ao limite de saturação do atuador. A presença da zona morta no sinal de controle do sistema implica no comportamento em malha aberta do sistema em uma região em torno da origem. Por outro lado, a presença da saturação no controle também pode ser uma fonte de pontos de equilíbrios parasitas e ciclos limites, ou ainda, pode levar as trajetórias do sistema à instabilidade (Tarbouriech, Garcia, Gomes da Silva Jr and Queinnec, 2). Assim, quando sujeito à não linearidade sat(dz(u)), a estabilidade do sistema em malha fechada deve ser analisada em termos do possível confinamento das trajetórias em torno da origem quando t, devido à presença da zona morta, e em termos da possibilidade de instabilidade (ou não convergência) das trajetórias para uma região em torno da origem, dependendo da condição inicial. O conceito de estabilidade ultimamente limitada local (do inglês ultimate boundedness (UB) (Khalil, 22; Dilda et al., 25) é apresentado na sequência e será utilizado para tratar o problema de análise de estabilidade delineado anteriormente. Definição Seja D R n. As soluções do sistema ()-(2) são localmente ultimamente limitadas em relação à D se existe um conjunto convexo compacto, U D, que contém a origem, no qual todas as trajetórias com condição inicial x() = x D, entram em um tempo finito e permanecem nele confinadas, isto é: existe T = T (x ) finito, tal que x D x(t) U, t T. (4) O conjunto U que satisfaz (4) é chamado conjunto ultimamente limitado, (UB D ) local, com relação à D, e, por definição, é um conjunto positivamente invariante. A todo conjunto UB D local, associa-se uma esfera cujo diâmetro, γ, representa a constante UB D γ = sup x U x 2 < sup x D x 2. (5) Considerando esta definição, utiliza-se uma reformulação do sistema ()-(2), a qual permite utilizar o fato que (A+BK) é Hurwitz e considerase, então, uma não linearidade dual à (3), definida por ϕ(u(t)) = u sat(dz(u(t))). (6) Portanto, o sistema ()-(2) pode ser reescrito como: ẋ(t) = (A + BK)x(t) Bϕ(u(t)). (7) Para comprovar que as trajetórias do sistema (7) são localmente UB, são consideradas funções de Lyapunov quadráticas. Define-se V P (x(t)) = x(t) P x(t), P R n n, P = P > (8) e V N (x(t)) = x(t) Nx(t), N R n n, N = N >. (9) Os conjuntos E(P, c), associados as curvas de nível da função de Lyapunov (8), são dados por: E(P, c) = {x(t) R n ; V P (x(t)) c, c > }. () 994

3 Se c =, denota-se E(P, c) = E(P ). Assim, ao conjunto E(N) está associado à curva de nível unitária da função de Lyapunov (9) e é dado por: E(N) = {x(t) R n ; V N (x(t)) }. () O lema seguinte é fundamental para a proposição das soluções do problema que será apresentados na sequência. A prova do Lema pode ser encontrada em (Dilda, 23; Pomar et al., 22). Lema Considere o sistema (7), as funções de Lyapunov (8) e (9) e os conjuntos () e (), com c >. Dada qualquer condição inicial x() = x R n, seja x(t) : [, ) R n a trajetória de (7). Admitindo (2) e (3), existe T = T (x ) finito, tal que { x(t) E(N), t, e x (t) E(N) x(t) E(P ), t T (4) Logo, E(N) é um conjunto positivamente invariante e toda trajetória x(t) com condição inicial x E(N) converge para E(P ) em tempo finito e nele permanece confinada. Ou seja, E(P ) é um conjunto UB D local para o sistema (7), sendo E(P ) E(N), com D E(N) e constante UB D associada, dada por: γ sup x(t) E(P ) x(t) 2 = λ min (P ). (5) B R n m, a matriz de realimentação de estados K R m n, tal que (A + BK) seja Hurwitz, e um conjunto E(P ) ultimamente limitado para o sistema ((7)). Determinar uma região de condições iniciais E(N), a maior possível, tal que E(P ) seja um conjunto localmente UB D em relação à E(N), para o sistema ()-(2). 3 Análise de Estabilidade Considerando o sistema (7), a não linearidade (6) pode ser parametrizada como pertencente à uma classe de funções (Dilda, 23), como pode ser observado na Figura. Note, entretanto, que essa parametrização utilizada em Dilda et al. (25) é válida localmente quando também se considera a saturação no interior do conjunto: S(K, σ) = {x(t) R n ; σ i K i x(t) σ i }, (7) sendo σ i = δi+( αi)ρi α i. Além disso, γ < λ min (N) = η. (6) Considerando-se o sistema (7) sujeito somente à zona-morta, pode-se determinar uma primeira estimativa do conjunto ultimamente limitado local, como sugere-se no Corolário seguinte. Corolário Se E(P ) é um conjunto UB global para o sistema com zona morta, então existe D E(P ), tal que E(P ) é UB D local para o sistema somente com não linearidade ϕ(u), a qual combina os efeitos da zona morta e da saturação. A prova do Corolário pode ser encontrada em (Dilda, 23) e é baseada na ideia que é possível determinar c > tal que D = E(P, c) esteja, por exemplo, no interior da região do espaço de estados em que não há saturação. Note que o conjunto D determinado dessa forma não é, em geral, uma boa estimativa do conjunto de condições iniciais cujas trajetórias convergem para E(P ), tendo em vista que neste conjunto não ocorre a saturação. Sendo assim, propõe-se o seguinte problema de análise de estabilidade UB local. Problema (Análise UB local) Considere que sejam dadas as matrizes A R n n e Figura : Não linearidade ϕ i (u i (t)) parametrizada por uma classe de funções. Considerando (6), η está associado ao menor autovalor da matriz N o qual, geometricamente, está relacionado ao comprimento do eixo menor do conjunto E(N). Portanto, para obter o maior conjunto E(N), inclui-se uma esfera de diâmetro igual a η neste conjunto e busca-se maximizar esta esfera. Por definição, E( η ) E(N) x Nx, x η x, ou, equivalentemente: N ˆηI n, (8) sendo ˆη = η. Portanto, minimizar ˆη equivale à maximizar o tamanho do conjunto E(N). Propõe-se a seguir duas formas de encontrar soluções para o Problema, denotadas Análise I e II, as quais podem ser utilizadas em sequência a fim de melhorar a estimativa da região E(N) desejada. 3. Análise I A primeira análise é baseada no Corolário, admitindo-se que possa haver saturação. Assumese que já são conhecidos o conjunto UB E(P ) e a 995

4 V P (x(t), ϕ(u(t))) =x(t) ((A + BK) P + P (A + BK))x(t) ϕ(u(t)) B P x(t) x(t) P Bϕ(u(t)) <, (2) x E(P, c), x / E(P ), V N (x(t), ϕ(u(t))) =x(t) ((A + BK) N + N(A + BK))x(t) ϕ(u(t)) B Nx(t) x(t) NBϕ(u(t)) <, (3) x E(N) e x / E(P, c). constante α, a qual refere-se à inclinação de uma das retas utilizada na descrição da parametrização da função ϕ i (u i ) (veja Figura ). Estes valores podem ser obtidos utilizando-se o algoritmo proposto em Dilda (23). Busca-se, então, um conjunto de condições iniciais E(P, c), o maior possível, o qual está incluído na região S(ρ, σ) de validade local da parametrização e na qual observa-se que pode ocorrer saturação. Neste caso, E(N) = E(P, c), com N = P c. Proposição Sejam dados P = P >, tal que E(P ) é um conjunto UB, α i e σ i, i = {;...; m}, existe um escalar c >, tal que: [ ] P K i, (9) ĉσ 2 i sendo ĉ = c. Então, E(P, c) é um conjunto positivamente invariante para o sistema (7) e toda trajetória x(t) com condição inicial x E(P, c) converge para E(P ) em tempo finito e nele permanece confinada, ou seja, E(P ) é um conjunto localmente ultimamente limitado. Prova Seja E(P ) um conjunto UB global para o sistema sujeito a não-lineridade de zona morta Dilda (23). Tem-se sat i (u i ) = ϕ i (u i ) no interior do conjunto S(K, ρ) = {x(t) R n ; ρ i K i x(t) ρ i }, portanto, E(P ) é um conjunto UB local para o sistema (7) e (2) é verificada. Sendo assim, existe um conjunto positivamente invariante E(P, c), com c >, tal que E(P, c) S(K, σ) S(K, σ) x K i K σi 2 i x x P c x, e esta relação é equivalente a (Boyd et al., 994): [ P ] c K i. (2) σ 2 i Pré-( e pós-multiplicando (2) por cin ) diag, c e por seu transposto, respectivamente, e considerando c = ĉ, obtém-se a desigualdade (9), garantindo assim a inclusão do conjunto E(P, c) na região de validade do modelo S(K, σ). Para realizar a análise de estabilidade, com base na Proposição, tem-se por objetivo encontrar o maior conjunto elipsoidal E(P, c). Fazendo E(N) = E(P, c), obtém-se uma relação equivalente à (8) para o conjunto E(P, c), dada por: P ĉ ˆηI n, (2) sendo ĉ = c e ˆη = η. Desta forma, ao minimizar ˆη, será maximizado o conjunto E(P, c). Propõe-se então o seguinte problema de otimização. Problema de Otimização 3.2 Análise II min ˆη,ĉ ˆη sujeito à (9) e (2). Visando melhorar a estimativa do conjunto de condições iniciais cujas trajetórias convergem para o entorno da origem, propõe-se o resultado que segue. Proposição 2 Sejam dados P = P > e c >, tais que E(P ) é um conjunto UB D local, com D E(P, c). Considere que existe um escalar positivo τ, vetores α, β R m, tais que α i < e β i, i {;...; m}, matrizes diagonais definidas positivas T j, S j, T2, T3 R m m, j {;...; 4} e uma matriz simétrica definida positiva N R n n, tais que, i = {;...; m}: (A + BK) N + N(A + BK) + τ P ĉ NB n M (S, T ) M 2 (S 2, T 2, T 2 ) m m τ M 3 (S 3, T 3, T 3 ) M 4 (S 4, T 4 ) <, (22) [ ] N K i, (23) σ 2 i sendo σ i = δi+( αi)ρi α i, com ρ i e δ i dados e ĉ = c. Então, E(N) é um conjunto positivamente invariante para o sistema (7) e toda trajetória x(t) com condição inicial x E(N) converge para E(P ) em tempo finito e nele permanece confinada. Prova Considere que (23) é verificada, de forma análoga à (9) é garantida a inclusão do conjunto E(N) na região de validade do modelo e E(N) S(K, σ). 996

5 A partir da parametrização da não linearidade de zona morta por uma classe de funções, as matrizes M (S, T ), M 2 (S 2, T 2, T 2 ), M 3 (S 3, T 3, T 3 ) e M 4 (S 4, T 4 ) dependem das variáveis {T j } j {;...;4}, {S j } j {;...;4}, T2, T3. Multiplicando (22) à esquerda e à direita por z = [ x ϕ(u) ] e z = [ x ϕ(u) ], obtém-se x ((A + BK) N + N(A + BK))x x NBϕ(u) ϕ(u) B Nx τ ( x P ĉx) z M (S, T ) z z M 2 (S 2, T 2, T 2 ) z z M 3 (S 3, T 3, T 3 ) z z M 4 (S 4, T 4 ) z <. (24) Sendo ĉ = c, tem-se: x ( (A + BK) N + N(A + BK) ) x x NBϕ(u) ϕ(u) B Nx τ ( x P c x ) <. (25) Então, fazendo-se uso do S-procedure, obtémse (3). Como, por hipótese, (2) é verificada, então, pelo Lema, E(N) é um conjunto positivamente invariante e toda trajetória x(t) com condição inicial x E(N), converge para E(P ) em tempo finito e nele permanece confinada, ou seja, E(P ) é um conjunto localmente UB D para o sistema (7), com D E(N). A desigualdade (22) é uma BMI, devido a presença de produtos envolvendo as variáveis D α = α i I m, D β = β i I m, S, S 2, S 3 e S 4, as quais se encontram presentes nas matrizes M (S, T ), M 2 (S 2, T 2, T 2 ), M 3 (S 3, T 3, T 3 ) e M 4 (S 4, T 4 ) (detalhes referentes a estas matrizes podem ser encontrados em Dilda (23) e Dilda et al. (25)). A fim de solucionar o problema proposto na forma de LMI é feita uma busca nas variáveis escalares α i = α e β i = β, i {;...; m}. Sendo assim, é proposto o algoritmo seguinte. Algoritmo (Análise UB local). Faz-se uma busca nas variáveis α < e β, através da resolução do problema de otimização: min N, ˆη, {T j} j {;...;4}, {S j} j {;...;4}, T2, T3 ˆη sujeito à (22), (23), e (8). 2. Verifica-se qual o menor valor de η obtido e os valores correspondentes de α, β, N, {T j } j {;...;4}, {S j } j {;...;4}, T2, T3. 4 Exemplo numérico Considere o sistema multivariável dado por (Tarbouriech, Garcia, Gomes da Silva Jr and Queinnec, 2): A = , B = ρ = [ ] [ 2, δ =. 2] Para realizar a análise de estabilidade local considera-se a matriz de ganho de realimentação de estados obtida em (Dilda, 23) e dada por: K = [ Resultado da Análise I Inicialmente resolve-se o Problema de Otimização e obtém-se o primeiro resultado da análise de estabilidade. O conjunto E(P ) e a constante α foram obtidos utilizando-se o algoritmo proposto em Dilda (23), com α =.5, o que implica em σ = [ ] e ] P = Utilizando o Problema de Otimização, obteve-se: c = e ˆη = Vale lembrar que ˆη representa o valor da função objetivo e refere-se ao maior autovalor de E(P, c). O volume da região elipsoidal E(P, c) encontrada foi.258. Na Figura 2 é mostrada a região UB E(P ) em azul (região interna) e a região de condições iniciais E(P, c) em vermelho (região externa). São mostradas também duas trajetórias, com condições iniciais iguais a x = [ ] e x = [ ] Observe que as trajetórias convergem para a região UB e nela permanecem confinadas. A Figura 3 apresenta as mesmas regiões mostradas na figura anterior e duas trajetórias, com condições iniciais iguais a x = [.3 ] e x = [ ],.3 localizadas no exterior da região E(P, c) e que são instáveis. Observando as condições inicias das trajetórias instáveis, desejase melhorar a estimativa da região de condições iniciais que convergem para E(P ). 4.2 Resultado da Análise II Fixando o valor de c obtido quando na solução da Análise I, obtém-se α =.5 e β = (para mais detalhes veja (Dilda, 23)). Sendo assim, obteve-se um aumento de aproximadamente 3% no volume da região de condições iniciais E(N), se comparado com o volume de E(P, c) obtido anteriormente. O valor da função objetivo, o qual se refere ao maior 997

6 autovalor de E(N), foi ˆη =.626, e a matriz N encontrada foi: N = Na Figura 4 é mostrada a região E(P ) em azul e a região de condições iniciais E(P, c) em vermelho. São mostradas também duas trajetórias, com condições iniciais iguais a x = [ ] [ ] e x = A Figura 5 apresenta as mesmas regiões mostradas na figura anterior e duas trajetórias, com condições iniciais iguais às condições consideradas na Figura 3, localizadas no exterior da região E(N). 5 Conclusões Neste trabalho foram propostas condições para a análise de estabilidade de sistemas lineares sujeitos a uma não linearidade que combina os efeitos da zona morta e da saturação. Esta não linearidade é parametrizada por uma classe de funções, o que permite o uso de conceitos de estabilidade absoluta e estabilidade ultimamente limitada para a análise de estabilidade. Os resultados numéricos relatados demonstram uma boa estimativa do conjunto de condições iniciais do sistema. Agradecimentos Os autores agradecem à CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro x x Figura 2: Análise I e trajetórias estáveis x 2.4 x Figura 3: Análise II e trajetórias instáveis x x Figura 4: Análise II e trajetórias estáveis x 2 x.5 Figura 5: Análise II e trajetórias instáveis. Referências Alamo, T., Cepeda, A., Fiacchini, M. and Camacho, E. (29). Convex invariant sets for discrete-time Lur e systems, Automatica 45: Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (994). Linear matrix inequalities in system and control theory, Society for Industrial and Applied Mathematics, Studies in Applied Mathematics. Dilda, V. (23). Controle de sistemas lineares sujeitos a zona morta no atuador, PhD thesis, Florianópolis, Brasil: Universidade Federal de Santa Catarina. Dilda, V., Jungers, M. and Castelan, E. (25). Uniformly ultimate boundedness analysis and synthesis for linear systems with dead-zone in the actuator, International Journal of Robust and Nonlinear Control 25: Ebenbauer, C. and Allgower, F. (27). Stability analysis of constrained control systems: an alternative approach, Systems & Control, North-Holland 56(2): Khalil, H. (22). Nonlinear systems, Vol. 3, Prentice Hall. Paim, C., Tarbouriech, S., Gomes da Silva Jr., J. and Castelan, E. B. (22). New conditions for determining stability regions for linear systems with saturating actuator, XIV Congresso Brasileiro de Automática (CBA), Natal, Brasil, pp Pomar, M., Silveira, H. and Castelan, E. (22). Condições LMIs para análise e síntese de sistemas lineares sujeitos a uma classe de perturbações limitadas, Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, pp Tarbouriech, S., Garcia, G., Gomes da Silva Jr, J. and Queinnec, I. (2). Stability and stabilization of linear systems with saturating actuators, Springer- Verlag London. Tarbouriech, S., Prieur, C. and da Gomes da Silva Jr., J. (26). Stability analysis and stabilization of systems presenting nested saturations, IEEE Transaction Automatic Control 5(8): Tarbouriech, S., Queinnec, I., Alamo, T., Fiacchini, M. and Camacho, E. (2). Ultimate bounded stability and stabilization of linear systems interconnected with generalized saturated functions, Automatica 47: Tarbouriech, S., Queinnec, I. and Garcia, G. (26). Stability region enlargement through anti-windup strategy for linear systems with dynamics restricted actuator, International Journal of System Science 37(2): Turner, M. (26). Actuator deadzone compensation: theoretical verification of an intuitive control strategy, Control Theory and Applications, IEE Proceedings 53():