CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO LINEARES COM REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA

Transcrição

1 18 a 21 de setembro de 211 CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO LINEARES COM REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA Manoel R. Moreira, Edson I. M. Júnior, Talita T. Esteves, Rodrigo Cardim, Marcelo C. M. Teixeira, Edvaldo Assunção UNESP - Univ Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Elétrica, Lab. de Pesquisa em Controle, Av. José Carlos Rossi, 137, , Ilha Solteira, São Paulo, Brasil s: manoel.rodrigo@hotmail.com, edsonitalo@yahoo.com.br, tataesteves@hotmail.com, rcardim@dee.feis.unesp.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br Abstract The control of nonlinear systems with time-varying uncertainties is investigated in this paper. New conditions, based on Linear Matrix Inequalities (LMI), for designing robust state-derivative feedback gains, which simultaneously stabilizes the system and maximizes the bounds of a nonlinear uncertainty, based on quadratic Lyapunov functions are presented. The proposed methodology is illustrated through an example. Keywords Linear Matrix Inequalities (LMIs), Robust Controller Design, Nonlinear System, Lyapunov Stability, State-Derivative Feedback. Resumo O controle de sistemas não lineares com incertezas variantes no tempo é investigado nesse trabalho. Novas condições, na forma de desigualdades matriciais lineares, para o projeto de controladores robustos utilizando uma realimentação estática da derivada do vetor de estado, que ao mesmo tempo estabiliza o sistema e maximiza o limite de uma incerteza não linear são estabelecidas com base em funções de Lyapunov quadráticas. A metodologia proposta neste trabalho é ilustrada através de um exemplo. Palavras-chave Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs), Projeto de Controladores Robustos, Sistemas Não Lineares, Estabilidade Segundo Lyapunov, Realimentação Derivativa. 1 Introdução Na teoria de Controle Moderno existe uma vasta literatura sobre o conceito de realimentação de sistemas(ogata, 23; Dorf and Bishop, 21; Chen, 1999). Sabe-se que as técnicas mais usadas para realimentar os sistemas são as realimentações da saída e das variáveis de estado (da Silva and Bottura, 21; da Silva, 21). Porém, é sabido da teoria de controle que a realimentação das derivadas das variáveis de estado (ou, realimentação derivativa) pode ser muito útil e em alguns casos, essencial para a obtenção do desempenho desejado (Lewis and Syrmos, 1991). A existência de problemas práticos, nas quais a obtenção das derivadas das variáveis de estado é mais fácil do que das variáveis de estado, torna interessante o controle com a realimentação derivativa. Por exemplo, eistemas mecânicos que usam acelerômetros como sensores. Sua importância reside no fato de que a partir da aceleração é possível obter a velocidade com boa precisão, porém a complexidade aumenta quando se trata de se obter o deslocamento (Abdelaziz and Valášek, 24). Devido a isso, os sinais usados para realimentar esses sistemas são: a aceleração e a velocidade. Justamente as derivadas da velocidade e da posição, respectivamente, que podem representar as variáveis de estado do sistema mecânico que se deseja controlar. A utilização de acelerômetros nas indústrias tee tornado cada vez maior, devido ao seu baixo custo. A aplicação de acelerômetros se dá em vários sistemas, como por exemplo: eistemas de suspensão de carros (Reithmeier and Leitmann, 23), em controle de oscilações de sistemas mecânicos (Abdelaziz and Valášek, 24), no controle de vibrações dos componentes de aterrissagem de aviões (Kwak et al., 22) e no controle de cabos de pontes suspensas (Duan et al., 25). O principal foco deste trabalho é propor um projeto de controlador robusto utilizando realimentação estática da derivada do vetor de estado, de sistemas não lineares que ao mesmo tempo estabiliza o sistema e maximiza o limite de uma incerteza não linear. Em (Šiljak and Stipanović, 2; da Silva and Bottura, 21) procedimentos para o controle de sistemas não lineares com incertezas variantes no tempo utilizando a realimentação de estados ( u(t) = Kx(t) ) são apresentados. Uma abordagem diferente, com a realimentação ( estática ) da derivada do vetor de estado u(t) = Kẋ(t) é proposta neste trabalho. O método proposto se baseia no segundo método de Lyapunov para obter um controlador robusto para sistemas não lineares com incertezas variantes no tempo. Desta forma, construímos um problema convexo de otimização em termos de Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs, do inglês, Linear Matrix Inequalities)(Boyd et al., 1994). Problemas baseados em LMIs podeer, em geral, estendidos para tratar sistemas que possuem incertezas nos parâmetros da planta ou estejam sujeitos a falhas estruturais (Assunção et al., ISSN: Vol. X 915

2 18 a 21 de setembro de a; Assunção et al., 27; Faria et al., 29b). Devido à flexibilidade, as LMIs têido cada vez mais usadas para resolver diversos tipos de problemas de controle (Assunção et al., 28a; Cardim et al., 27b; Cardim et al., 28; Faria et al., 29a; Moreira et al., 21b; Moreira et al., 21a). A abordagem da metodologia proposta apresenta várias vantagens, por exemplo: a facilidade na busca pela solução de um projeto de controlador, tratado como um problema de otimização convexa, pois existem vários pacotes computacionais (de Oliveira et al., 1997; Lofberg, 24) que asseguram a existência de uma solução, quando o problema for factível. O artigo está organizado da seguinte forma: na próxima seção é feita uma descrição da classe de sistemas não lineares de que trata esse trabalho. Na Seção 3 é formulado um problema. Na Seção 4 são propostas condições de estabilidade, baseadas em LMIs e realimentação derivativa, para a resolução do problema proposto. Na Seção 5 um exemplo ilustra a metodologia utilizada. Na última seção são feitas as considerações finais sobre a metodologia desenvolvida e sobre os resultados obtidos. 2 Controle Robusto Considere uistema não linear com incertezas variantes no tempo com a seguinte representação no espaço de estado: ẋ(t) = Ax+Bu+h(t,x) (1) sendo que x IR n é o vetor de estado do sistema, A é uma matriz n n, B possui dimensão n m, h : IR n+1 IR n é o termo não linear incerto variante no tempo e u : IR n IR m é a lei de controle. Em relação à modelagem do parâmetro incerto variante no tempo h(t, x), consideraremos que ele é limitado em norma (Šiljak and Stipanović, 2) h T (t,x)h(t,x) α 2 x T (t)h T Hx(t) (2) sendo que α > é dado e corresponde ao limite de incerteza e H é uma matriz constante e conhecida de dimensão l n. Note que para qualquer matriz H dada, a desigualdade (2) define uma classe de funções localmente contínuas H α = {h IR n+1 IR n : h T h α 2 x T H T Hx}. 3 Formulação do Problema Problema 1: Considere o sistema não linear invariante no tempo (1) com a restrição dada em (2). O problema proposto é encontrar uma matriz constante K IR m n, tal que, as seguintes condições sejam válidas: 1. (I + BK) possui posto completo; 2. O ponto de equilíbrio x = do sistema em malha fechada (1), (2) é assintoticamente estável, com a lei de controle utilizando realimentação derivativa dada por u(t) = Kẋ(t). (3) Observação 1 De (1) e (3) tem-se que ou ẋ(t) = Ax(t) BKẋ(t)+h(x) (I +BK)ẋ(t) = Ax(t)+h(x). Quando (I +BK) for invertível, então o sistema em malha fechada é bem definido e dado por ẋ(t) = ( I+BK ) 1 Ax(t)+ ( I+BK ) 1h(x). (4) 4 Condições de estabilidade baseadas em LMI para realimentação derivativa Temos o seguinte resultado, conhecido na literatura: dada uma matriz Z IR n n, com Z Z T. Então (Slotine and Li, 1991) Z +Z T < Z <. (5) Este resultado será utilizado na prova do próximo teorema, que apresenta uma solução para o Problema 1. Teorema 1 Uma condição suficiente para a solução do Problema 1 é que existam matrizes X = X 1 e M, sendo que X IR n n e M IR m n, tais que o seguinte problema de otimização seja factível: min γ s.a X > AQ T +QA T I QH T I I < HQ T Iγ sendo que γ = (α 2 ) 1 > e Q = (X +BM). (6) Além disso, quando (6) é factível, a matriz de ganho de realimentação que resolve o Problema 1 é dada por K = MX 1. (7) Prova: Defina X = P 1, M = KX. Considere γ = (α) 1 >, Q = (X + BM) e que (6) é satisfeita. Aplicando o Complemento de Schur em (6): AQ T +QA T +QH T (γ 1 )HQ T I <. I I (8) ISSN: Vol. X 916

3 18 a 21 de setembro de 211 De (6), observe que AQ T + QA <, o que implicade(5)queqa T < eassimqéinvertível. Logo, como Q = (X +BM) = (X +BKX) = (I +BK)X, temos que (I +BK) possui posto completo. Então, multiplicando (8) à esquerda e à direita, respectivamente, por Q 1 I, Q T I com γ 1 = α 2, obtêm-se Q 1 A+A T Q T +α 2 H T H Q 1 Q T I <. (9) Multiplicando (9) por x T h T à esquerda, x T h T T à direita e considerando (2), então, > x T (Q 1 A+A T Q T +α 2 H T H)x +x T Q 1 h+h T Q T x h T h x T (Q 1 A+A T Q T )x+x T Q 1 h +h T Q T x = x T P(I +BK) 1 A+A T (I +BK) T P x +h T (I +BK) T Px+x T P(I +BK) 1 h = x T P (I +BK) 1 Ax+(I +BK) 1 h + x T A T (I +BK) 1 +h T (I +BK) T Px = V(x), x, sendo que V(x) = x T Px, P = P T > e P = X 1. A prova está concluída. Em muitos problemas práticos, deve-se considerar a inserção de índices de desempenho no projeto do controlador, como por exemplo a restrição na taxa de decaimento e restrição no ganho do controlador, com a finalidade de obter o desempenho desejado do sistema controlado. O Teorema 2 propõe uma abordagem para o projeto do sistema controlado (4) com índices de desempenho. Teorema 2 Uma condição suficiente para a solução do Problema 1 é que existam matrizes X = X T e M, sendo que X IR n n e M IR m n, tais que o seguinte problema de otimização seja factível min γ +K M +K X s.a X > AQ T +QA T I Q QH T I I Q T X < (1) 2φ HQ T Iγ KMI M T <, (11) M I KXI I >, (12) I X 1 x T () x() X X XC T CX ξ 2 I >, (13) > (14) sendo φ > a taxa de decaimento, x() a condição inicial do sistema, e γ = (α 2 ) 1 >, K X >, K M > Q = (X +BM). Além disso, quando (1)-(14) são factíveis, a matriz de ganho de realimentação da derivada do vetor de estado é dada por K = MX 1, (15) sendo K T K K MK 2 X, (I + BK) invertível e y 2 = y T y ξ. Prova: AprovadoTeorema2podeserobtida de forma análoga à prova do Teorema 1, (Moreira, 211), considerando agora V(x) = x T Px, X = P 1, V(x) 2φV(x). As LMIs (11) e (12) foram utilizadas em (Šiljak and Stipanović, 2) e asseguram a restrição K T K KM KX 2 e as LMIs (13) e (14) foram empregadas em(assunção et al., 27) e garantem a condição y T (t)y(t) ξ, t. 5 Exemplo: Suspensão ativa do assento de um carro Considere o sistema de controle da suspensão ativa do assento de um carro, abordado em (Reithmeier and Leitmann, 23) e mostrado na Figura 1. O modelo considera a massa do carro ( ) e a massa do assento+motorista ( ) (Reithmeier and Leitmann, 23). Vibrações verticais causadas por ruas podeer parcialmente atenuadas pelo amortecedor (b 1 ) e a mola ( k m (x 1 ) ) do carro. No entanto, o motorista pode ainda estar sujeito a vibrações indesejáveis. Estas vibrações, novamente, podeer reduzidas por elementos na suspensão do assento do motorista, como por exemplo: a mola ( ) e o amortecedor ( ). As vibrações das massas ( ) e ( ) podeer ainda atenuadas por mudanças na entrada de controle u 1 (t) e u 2 (t). Como em (Reithmeier and Leitmann, 23), para a realimentação, somente os sinais de aceleração ẍ 1 (t) e ẍ 2 (t) estão disponíveis, já que podeer medidos por sensores como acelerômetros. As velocidades ẋ 1 (t) e ẋ 2 (t) são estimadas a partir de suas derivadas medidas no tempo e o vetor de estado é definido por: x(t) = x 1 (t) x 2 (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) T. ISSN: Vol. X 917

4 x 2(t) x 1(t) X SBAI Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 211 u 2(t) u 1(t) Acelerômetro ( ẍ 2(t)) Motorista + Assento Suspensão Ativa do assento Acelerômetro ( ẍ 1(t)) Carro A Figura 2 ilustra a dinâmica do sistema (17) livre, (ou seja, u(t) = ), com condição inicial x() =,1,1 T y 1 (t) y 2 (t) k m b 1 Pneu Suspensão Ativa do carro Deslocamento (m) Figura 1: Suspensão Ativa do assento de um carro. Consideremos o sistema da seguinte forma (Reithmeier and Leitmann, 23): { ẋ(t) = A(x)x(t)+Bu(t) (16) y(t) = Cx(t) sendo A(x) = B = 1 1 k m(x 1 ) b , C = 1 1, Os sinais das acelerações e velocidades estão disponíveis (derivadas das variáveis de estado). Suponha que = 15 kg (massa do carro), = 9 kg ( massa do assento (2 kg) + massa do motorista (7 kg) ) (, k m (x 1 ) = k 1 1+d 2 x 2 1(t) ), k 1 = N/m (constante de elasticidade da mola do carro), b 1 = Ns/m (constante do amortecedor do carro), d = 1m 1, = N/m (constante de elasticidade da mola do assento), e = Ns/m (constante do amortecedor do assento). Observe que nesta planta o termo não lineardependedex 1 (t). Então, considereavariável x 1 (t) limitada no intervalo de,2 x 1 (t),2 durante a operação de uso. Neste intervalo temos que a função não linear é contínua. Pelo método proposto, o sistema(16) pode ser reescrito por { ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t)+h(t,x), (17) y(t) = Cx(t) sendo e A = h(x) = x 2 1(t) 1 1 k 1 b 1 k 1 d 2 x 1(t) x 2(t) x 3(t) x 4(t).. (18) Figura 2: Simulação do sistema (17) livre com condição inicial x() =,1,1 T. Note que o sistema é naturalmente estável. Porém, o sistema (17) livre não atende os índices de desempenho do projeto. Então, utilizando o Teorema 2 os modelos locais obtidos foram: A = B = , , 3333, 55, , , , , Utilizando o software MATLAB por meio do solver lmilab, interfaciado pelo YALMIP (Yet Another LMI Parser) (Lofberg, 24) obteve-se como solução do problema proposto as seguintes matrizes: P = , K = (19) sendo K o ganho do controlador. Os valores de γ e α obtidos para o sistema (17) e (18) livre, (u(t) = ), utilizando o Teorema 1 com M = (o que equivale a K = MX 1 = ) são descritos na Tabela 1. São também apresentados nesta tabela os valores de γ, α, φ e ξ obtidos para o sistema controlado (4) e (18). Tabela 1: Valores de γ, α, φ e ξ. Teorema u(t) γ α φ ξ,215 2, Kẋ(t),132 8,739 2 Kẋ(t),5 1,4142 1,5 1 ISSN: Vol. X 918

5 18 a 21 de setembro de 211 Portanto o seguinte conjunto de tolerância do sistema (17) sem o controlador (K = ) foi obtido: H 2,2275 = { } h : h T h 4,9617 x T H T Hx. (2) Desta forma, o conjunto de tolerância do sistema (17) com (3) utilizando o Teorema 1 é dado por: H 8,739 = { } h : h T h 75,7579 x T H T Hx. (21) O conjunto de tolerância obtido do sistema controlado (16) com (3) utilizando o controlador proposto no Teorema 2 com φ = 1,5 é dado por H 1,4142 = De (18) note que { } h : h T h 2 x T H T Hx. (22) h T (x)h(x) = x 4 1(t)x T (t)h T Hx(t). (23) Agora, de (2) e (23), como α > observe que Como foi suposto x 4 1(t) α 2 x 2 1(t) α. (24) x 1(t),2,,2 x 2 1(t),4. (25) Então, de (24) e (25),,4 α γ 625. (26) De (26) e a Tabela 1 observa-se que os valores de γ e α fornecidos pelos Teoremas 1 e 2 satisfazem as exigências do Problema 1. AFigura3ilustraadinâmicadosistema(17)com o ganho (19) e restrições de desempenho com condição inicial x() =,1,1 T. Deslocamento do carro (m) Deslocamento do assento (m) y 1 (t) y 2 (t) Figura 3: Simulação da saída do sistema (17). AFigura4ilustraocomportamentodaentradade controle do sistema (17) com o ganho (19) e restrições de desempenho para a mesma condição inicial x(). Entrada de controle N Entrada de controle N u 1 (t) u 2 (t) Figura 4: Simulação da entrada de controle do sistema (17). Conclusão Foram propostas novas condições, baseadas em LMIs, para o projeto de controladores robustos utilizando realimentação estática da derivada do vetor de estado, que ao mesmo tempo estabiliza o sistema e maximiza o limite de incerteza do termo não linear. Entre os resultados obtidos com a metodologia apresentada, verifica-se a ampliação significativa do limite de incerteza do termo não linear que assegura a estabilidade do sistema controlado, como pode ser observado em (2) e (21), tendo o limite de incerteza um ganho de H 2,227 para H 8,739. O projeto de controlador robusto contemplando índices de desempenho apresentou significativa redução no tempo de estabelecimento do sistema, como mostram as Figuras 2 e 3. Além disso, observa-se o amortecimento da resposta do sistema controlado, eliminando consideravelmente as oscilações no carro e no assento do motorista, o que implica maior conforto ao motorista. De (2) e (22), verificou-se uma redução do limite de incerteza do termo não linear, de H 2,227 para H 1,4142. Essa redução se deve ao fato de que a inserção de restrições, em forma de LMIs, no projeto do controlador ocasionam uma redução da região de factibilidade do problema de otimização. Entretanto, mesmo com esta redução, o sistema controlado atende, com ampla margem, a condição para a estabilidade (H α,α,4). Agradecimentos Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e à FA- PESP pelo apoio financeiro. Referências Abdelaziz, T. H. S. and Valášek, M. (24). Pole placentement for siso linear systems by statederivative feedback, IEEE Proceedings-Control Theory and Applications 151(4): Assunção, E., Faria, F. A. and Teixeira, M. C. M. (28a). Controle robusto de sistemas lineares sujeitos à falhas estruturais usando realimentação derivativa, Brazilian Conference on Dynamics, Control and Applications. ISSN: Vol. X 919

6 18 a 21 de setembro de 211 Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Faria, F. A., Silva, N. A. P. D. and Cardim, R. (27). Robust statederivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems., International Journal of Control 8(8): Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Studies in Applied Mathematics, 15, 2nd edn, SIAM Studies in Applied Mathematics. Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Covacic, M. (27b). Design of state-derivative feedback controllers using a state feedback control design, 3 rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Vol. 1, pp Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Faria, F. A. (28). Control designs for linear systems using state-derivative feedback, Systems, Structure and Control, In-Teh, Vienna, Austria, pp Chen, C. T. (1999). Linear system theory and design, Oxford Series in Electrical and Computer Engineering, 3rd edn, Oxford, New York. da Silva, M. P. (21). Controle e estimação de estado de sistemas multivariáveis não lineares variantes no tempo limitados em norma: aspectos de robustez, descentralização e otimização H, Master s thesis, FEEC-UNICAMP, Campinas. da Silva, M. P. and Bottura, C. P. (21). Controle robusto descentralizado de sistemas não-lineares com incertezas variantes no tempo limitadas em norma, XVIII Congresso Brasileiro de Automática pp de Oliveira, M. C., Farias, D. P. and Geromel, J. C. (1997). LMISol, User s guide, UNICAMP, Campinas-SP, Brazil. Dorf, R. C. and Bishop, R. H. (21). Sistemas de controle moderno, 8th edn, LTC, Rio de Janeiro. Duan, Y. F., Ni, Y. Q. and KO, J. M. (25). State-derivative feedback control of cable vibration using semiactive magnetorheological dampers., Computer-Aided Civil and Ingrastructure Engineering 2(6): Faria, F. A., Assunção, E. and Teixeira, M. C. M. (29a). Realimentação da derivada dos estados eistemas multivariáveis lineares usando LMIs, Controle & Automação 2(1): Faria, F. A., Assunção, E., Teixeira, M. C. M. and Cardim, R. (29b). Robust state-derivative feedback LMI-based designs for linear descriptor systems, Mathematical Problems in Engineering 82(1): Kwak, S. K., Washington, G. and Yedavalli, R. K. (22). Acceleration feedback-based active and passive vibration control of landing gear components, Journal of Aerospace Engineering 15(1): 1 9. Lewis, F. and Syrmos, V. (1991). A geometric theory for derivative feedback, IEEE Transactions on Automatic Control 36(9): Lofberg, J. (24). Yalmip : a toolbox for modeling and optimization in matlab, Computer Aided Control Systems Design, 24 IEEE International Symposium on, pp Moreira, M. R. (211). Controle robusto com realimentação derivativa de sistema não lineares via LMI, Master s thesis, Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira. Moreira, M. R., Junior, E. I. M., Esteves, T. T., Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Faria, F. (21a). Stability and disturbance rejection with state-derivative feedback, Mathematical Problems Engineering pp Moreira, M. R., Junior, E. I. M., Esteves, T. T., Cardim, R., Teixeira, M.C.M., Assunção,E.andFaria, F. A. (21b). Estabilidade e rejeição de distúrbios com realimentação da derivada do vetor de estados, XVIII Congresso Brasileiro de Automática 5(5): Ogata, K. (23). Engenharia de controle moderno, 4th edn, Prentice Hall, New York. Reithmeier, E. and Leitmann, G. (23). Robust vibration control of dynamical systems based on the derivative of the state, Archive of Applied Mechanics 72(11-12): Šiljak, D. D. and Stipanović, D. M. (2). Robust stabilization on nonlinear systems: The lmi approach, Mathemarical Problems in Engineering 6. Slotine, J. J. E. and Li, W. (1991). Applied Nonlinear Control, 1st edn, USA: Prentice Hall. ISSN: Vol. X 92