PROJETO DA REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA DISCRETA NO TEMPO UTILIZANDO O PROJETO COM REALIMENTAÇÃO NÃO-DERIVATIVA CONTÍNUA NO TEMPO

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1 PROJETO DA REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA DISCRETA NO TEMPO UTILIZANDO O PROJETO COM REALIMENTAÇÃO NÃO-DERIVATIVA CONTÍNUA NO TEMPO Marcelo C. M. Teixeira, Rodrigo Cardim, Flávio A. Faria, Edvaldo Assunção, Silvio R. Castelão UNESP - Universidade Estadual Paulista Departamento de Engenharia Elétrica, Campus de Ilha Solteira Avenida Brasil, 56, Ilha Solteira, SP, Brasil s: marcelo@dee.feis.unesp.br, rcardim@aluno.feis.unesp.br, flaviof15@yahoo.com.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, silvio.castelao@itelefonica.com.br Abstract A simple method for designing a digital state-derivative feedback gain and a feedforward gain such that the control law is equivalent to a known and adequate state feedback and feedforward control law of a digital redesigned system is presented. It is assumed that the plant is a linear controllable, time-invariant, Single-Input (SI) or Multiple-Input (MI) system. This procedure allows the use of well-known continuous-time state feedback design methods to directly design discrete-time state-derivative feedback control systems. The state-derivative feedback can be useful in the vibration control of mechanical systems, where the main sensors are accelerometers. One example considering the digital redesign with state-derivative feedback of a helicopter illustrates the proposed method. Keywords Digital Redesign, State-derivative Feedback, Control of Mechanical Systems, Linear Matrix Inequalities. Resumo É proposto um método simples para projetar a matriz de realimentação da derivada do vetor de estado e a matriz de alimentação direta (do inglês feedforward gain), tal que o sinal de controle obtido seja equivalente a uma lei de controle contínua no tempo com realimentação do vetor de estado com uma matriz de alimentação direta. O sistema discreto é obtido através do sistema contínuo, utilizando um método interessante de aproximação, baseado em desigualdade matriciais lineares (LMIs). É suposto que a planta é controlável, linear e invariante no tempo, com uma (SI) ou múltiplas (MI) entradas. Este procedimento permite o uso de métodos de projeto bem conhecidos de realimentação das variáveis de estado para calcular diretamente os ganhos de realimentação da derivada das variáveis de estado em sistemas discretos. Projetos com realimentação derivativa podem ser úteis no controle de sistemas mecânicos, utilizando-se acelerômetros como sensores. Para ilustrar de forma prática a eficiência do método, foi considerado como exemplo, um sistema de controle de um helicóptero. Palavras-chave Redesign, Realimentação Derivativa, Controle de Sistemas Mecânicos, Desigualdades Matriciais Lineares. 1 Introdução Nos últimos anos, o controle com realimentação da derivada do vetor de estado tem sido muito utilizado, por exemplo, no projeto de controladores dos seguintes problemas: realimentação derivativa em sistemas multivariáveis lineares usando LMIs (Linear Matrix Inequalities) (Faria, Assunção and Teixeira, 29), alocação de pólos com robustez de sistemas lineares, baseado em projetos com LMIs (Faria et al., 29; Assunção et al., 27), estabilização com robustez de sistemas lineares descritores (Duan et al., 1999; Cardim et al., 28), controle de sistemas singulares (Jin, 1994), controle não-linear com linearização exata (Boukas and Habetler, 24), e controle H de sistemas contínuos no tempo com atraso nas variáveis de estado (Fridman and Shaked, 22). Na prática, existem problemas nos quais os sinais da derivada do vetor de estado são fáceis de se obter. Por exemplo, em sistemas mecânicos para controle de vibrações (Abdelaziz and Valášek, 24; Teixeira et al., 26; Cardim et al., 27a; Cardim et al., 27b), sendo que os sensores mais usados são os acelerômetros. A partir da aceleração, é possível obter a velocidade com boa precisão, porém é mais complexo obter o deslocamento. Definindo como variáveis de estado o deslocamento e a velocidade, podem-se usar os sinais de aceleração e velocidade para realimentar esses sistemas, e estes sinais são justamente a derivada do vetor de estado. Em (Cardim et al., 27a) foi proposto um método para projetar um ganho de realimentação derivativa e um ganho de alimentação direta (do inglês feedforward gain), tal que a lei de controle obtida seja equivalente a uma lei de controle com realimentação do vetor de estado. Este método apresenta uma análise teórica simples e estende os resultados descritos em (Abdelaziz and Valášek, 24) para uma classe mais geral de sistemas de controle, como por exemplo, o problema de controle com desacoplamento (noninteracting control). Em (Chang et al., 22) foi proposto um método interessante para o cálculo aproximado de uma igualdade matricial através de um processo de minimização utilizando LMIs. O método é utilizado para calcular os parâmetros do controlador de um sistema digital, partindo de um sistema contínuo adequado, utilizando uma técnica de aproximação. Este método também é estudado em (Lee et al., 26) para projetar o controlador de um sistema discreto a partir de um controlador contínuo, sem perder as propriedades do sistema contínuo original. Neste trabalho, a técnica estudada em (Chang et al., 22) será muito útil para o desenvolvimento do método proposto, e será adotada a terminologia redesign para se referir ao sistema discreto obtido através do mé-

2 todo proposto em (Chang et al., 22). É suposto que a planta é controlável, linear e invariante no tempo, com uma (SI) ou múltiplas entradas (MI). Este procedimento permite o uso de métodos de projeto bem conhecidos de realimentação das variáveis de estado, para então, calcular diretamente os ganhos de realimentação da derivada das variáveis de estado em sistemas discretos. Alguns métodos apresentados em (Lewis and Syrmos, 1991; Jin, 1994; Abdelaziz and Valášek, 24; Duan et al., 1999; Fridman and Shaked, 22; Boukas and Habetler, 24; Cardim et al., 27a; Cardim et al., 27b; Assunção et al., 27; Cardim et al., 28; Faria et al., 29) consideram projetos de sistemas contínuos com realimentação da derivada do vetor de estado, mas pelo conhecimento dos autores, até o momento a literatura não registra artigos aplicando o método redesign em sistemas discretos com realimentação derivativa. Para ilustrar de forma prática a eficiência do método proposto, foi considerado como exemplo, um sistema de controle de um helicóptero, utilizando alocação de pólos como técnica de projeto. 2 Redesign Digital com Realimentação do Vetor de Estado Esta seção descreve os principais resultados apresentados em (Chang et al., 22). Estes resultados serão utilizados na solução do novo problema, proposto neste trabalho. Considere o sistema linear controlável e invariante no tempo descrito por: ẋc (t) = Ax c (t) + Bu c (t), x c () = x, (1) y c (t) = Cx c (t), sendo x c (t) R n o vetor de estado, u c (t) R m o vetor de controle, y c (t) R p o vetor de saída, A R n n, B R n m e C R p n matrizes invariantes no tempo. O sinal de controle u c (t) é dado por u c (t) = K c x c (t) + E c r, (2) sendo K c R m n o ganho de realimentação de estado, E c R m p o ganho de alimentação direta, e r R m o sinal de referência constante. Note que o ganho K c pode ser projetado através de métodos bem conhecidos na literatura, por exemplo, tal que os pólos do sistema em malha fechada (1) e (2) sejam alocados em posições desejadas (Chen, 1999; Valášek and Olgac, 1995a; Valášek and Olgac, 1995b). De (1) e (2) tem-se que ẋc (t) = (A BK c )x c (t) + BE c r, (3) y c (t) = Cx c (t). O modelo discreto do sistema em malha fechada (3), sendo t = kt + T, e T o período de amostragem, é dado por (Chang et al., 22) xc (kt + T) = G c x c (kt) + H c E c r, (4) y c (kt) = Cx c (kt), sendo G c = e (A BKc)T e H c = (G c I n )(A BK c ) 1 B. Considerando a mesma análise apresentada em (Chang et al., 22), seja a equação de estado do sistema contínuo no tempo (1) com uma entrada de controle digital, representado da seguinte forma: ẋd (t) = Ax d (t) + Bu d (t), x d () = x, (5) y d (t) = Cx d (t), u d (t) = u d (kt) = K d x d (kt) + E d r, kt t < kt + T, (6) sendo K d R m n o ganho de realimentação digital e E d R m p o ganho de alimentação direta. Assim, o sistema em malha fechada é dado por ẋ d (t) = Ax d (t) BK d x d (kt) + BE d r, kt t < kt + T, (7) e o modelo discreto do sistema (5) com (6) é xd (kt + T) = (G HK d )x d (kt) + HE d r, (8) y d (kt) = Cx d (kt), com G = e AT e H = (G I n )A 1 B. Se A for uma matriz singular, então a matriz H pode ser calculada através da seguinte equação (Chang et al., 22): H = i=1 1 i! (AT)i 1 BT. (9) O problema proposto em (Chang et al., 22) foi o seguinte: Problema 1 (Chang et al., 22) Para os ganhos K c e E c projetados, utilizando a lei de controle convencional (2), determine os ganhos de controle discreto K d e E d da lei de controle (6) tais que: (i) O sistema de controle digital em (7) seja estável no sentido de Lyapunov; (ii) As saídas do sistema de controle digital (8) estejam o mais próximo possível das saídas do sistema (4). O Teorema 1 resolve o Problema 1 proposto em (Chang et al., 22). Teorema 1 (Chang et al., 22) Se existirem uma matriz simétrica definida positiva Γ, uma matriz F, e um escalar α > tais que as restrições para o problema de minimização a seguir forem satisfeitas, então a lei de controle digital dada em (6) atende os objetivos de projeto descrito no Problema 1. min α αγ <, (1) αi Γ <, (11) GΓ HF Γ sendo que F = K d Γ e representa a transposta do elemento da posição simétrica. O ganho de realimentação K d e de alimentação direta E d são dados por, K d = FΓ 1, (12) E d = ((I (G HK d )) 1 H) +1 (I G c ) 1 H c E c. (13) A notação ( ) +1 representa a pseudo-inversa de ( ).

3 Observação 1 A solução do problema de minimização descrito no Teorema 1 pode ser facilmente resolvida através de softwares baseados em técnicas de programação convexa, por exemplo, o LMI Control Toolbox do MATLAB (Gahinet et al., 1995). Observe que (1) é uma inequação matricial não-linear nas variáveis α e Γ. Este problema pode ser resolvido, considerando que é equivalente a Z = αγ αγ Γ < αi αi Z α 2 <, (14) I sendo que a matriz não-singular Z é dada por ( α) Z = 1 I. (15) α I Portanto, (1) é equivalente a: min µ Γ <, (16) µi com µ = α 2. Assim, note que (16) é uma LMI e (1) uma Bilinear Matrix Inequalities (BMI). O procedimento acima é conveniente, porque a solução do problema com LMIs é mais simples de se obter. Observação 2 (Chang et al., 22) Se o sistema original (3) e o sistema redesigned (8) forem assintoticamente estáveis, utilizando os ganhos K d e E d dados em (12) e (13), respectivamente, então as saídas destes sistemas satisfazem a equação abaixo: lim (y c(kt) y d (kt)) =. k 3 Redesign Digital com Realimentação da Derivada do Vetor de Estado Considerando os resultados apresentados em (Chang et al., 22), o Problema 2 é proposto neste trabalho. Problema 2 Considere que, utilizando o Teorema 1, foi obtida uma solução para o Problema 1, dada pelas matrizes K d e E d. Então a lei de controle discreta no tempo (6) é praticamente equivalente à lei de controle contínua no tempo (2), para este sistema. O problema consiste na determinação de matrizes K df e E df de modo que, para k =,1,..., a lei de controle discreta (6), com realimentação do vetor de estado, seja igual à lei de controle discreta, com realimentação da derivada do vetor de estado, dada abaixo: u d (kt) = K d x d (kt)+e d r = K df ẋ d (kt)+e df r. (17) A equação (17) mostra que o sistema (5) apresenta o mesmo vetor x d (t), para t >, com o sinal de controle u d (kt) = u df (kt) = K df ẋ d (kt) + E df r (realimentação derivativa) e u d (kt) = K d x d (kt) + E d r (realimentação do vetor de estado). Para estabelecer o método proposto, são consideradas as seguintes hipóteses: (i) O determinante da matriz A na equação (1) é diferente de zero; (ii) O determinante da matriz (A BK c ) é diferente de zero; (iii) A matriz B tem posto igual a m. A hipótese (i) também foi utilizada em (Abdelaziz and Valášek, 24) e é uma condição importante para a estabilidade do sistema (1), com o método proposto e a lei de controle u d (kt) = u df (kt) = K df ẋ d (kt) + E df r. A hipótese (ii) é necessária para que o sistema (1), com a lei de controle u c (t) = K c x c (t), dado por ẋ c (t) = (A BK c )x c (t), x c () = x c, (18) seja um sistema assintoticamente estável, pois caso contrário, a matriz (A BK c ) teria pelo menos um autovalor igual a zero. O teorema a seguir estabelece o principal resultado deste trabalho. Teorema 2 Considere que o sistema (5) com a lei de controle dada em (6), apresenta um desempenho adequado. Então, se as hipóteses (i), (ii) e (iii) forem satisfeitas, o sinal de controle por realimentação da derivada do vetor de estado u d (t) = u d (kt) = u df (kt) = K df ẋ d (kt) + E df r, kt t < kt + T, (19) K df = K d (A BK d ) 1, (2) E df = (I m + K df B)E d, (21) é tal que, para o sistema controlado (5) e (19), u d (kt) = K df ẋ d (kt)+e df r = K d x d (kt)+e d r. (22) Prova: De (5), (19) e t = kt tem-se que, ẋ d (kt) = Ax d (kt) BK df ẋ d (kt) + BE df r, (I n + BK df )ẋ d (kt) = Ax d (kt) + BE df r. (23) De E df dado em (21) e (23), (I n + BK df )ẋ d (kt) = Ax d (kt) + B(I m + K df B)E d r, = Ax d (kt) + (I n + BK df )BE d r. (24) Note que, de K df dado em (2), (I n + BK df ) = I n + BK d (A BK d ) 1 = (A BK d )(A BK d ) 1 +BK d (A BK d ) 1 = A(A BK d ) 1, (25)

4 e assim, com base nas hipóteses (i) e (ii), esta matriz é invertível. Portanto, de (24) e (25) obtém-se: ẋ d (kt) = (I n + BK df ) 1 Ax d (kt) + BE d r = A(A BK d ) 1 1 Ax d (kt) + BE d r = (A BK d )x d (kt) + BE d r = Ax d (kt) + B( K d x d (kt) + E d r). (26) Finalmente, através da hipótese (iii) e das equações (5) e (26) observe que (6) é satisfeita. Assim a condição (22) é atendida. 4 Implementação Prática do Controlador Considere que em (5) ẋ d (t) esteja disponível, mas x d (t) não esteja completamente disponível, para t = kt, k =,1,... Note que em (5), para u d (kt) = u df (kt) dado em (19), ẋ d (kt) depende de u df (kt) e u df (kt) depende de ẋ d (kt). Para contornar este problema, uma alternativa de implementação da lei de controle (19) é apresentada a seguir. Considere os seguintes sistemas: ẋ A (kt) = Ax d (kt) + Bu df (kt T), (27) ẋ B (kt) = Ax d (kt) + Bu df (kt), (28) u df (kt) = K df ẋ B (kt) + E df r. (29) Então, a lei de controle u d (kt) = u df (kt) dada em (19) também pode ser obtida da seguinte forma: de (27) note que Ax d (kt) = ẋ A (kt) Bu df (kt T), (3) e de (28), ẋ B (kt) = ẋ A (kt) Bu df (kt T) + Bu df (kt), (31) = ẋ A (kt) + B(u df (kt) u df (kt T)). (32) De (29) e (31), obtém-se: ẋ B (kt) = ẋ A (kt) Bu df (kt T) BK df ẋ B (kt) +BE df r, ẋ B (kt) = (I n + BK df ) 1 (ẋ A (kt) Bu df (kt T) Agora, de (29) e (33), +BE df r). (33) u df (kt) = K df (I n + BK df ) 1 (ẋ A (kt) Bu df (kt T) +BE df ) + E df r, (34) u df (kt) = Q 1 ẋ A (kt) + Q 2 u df (kt T) + Q 3 r, (35) sendo Q 1 = K df (I n + BK df ) 1, Q 2 = Q 1 B e Q 3 = K df (I n + BK df ) 1 BE df + E df. Para a implementação da lei de controle, note que das equações (5), (27) e (28), ẋ A (kt) = ẋ d (kt) para u d (kt) = u df (kt T),(36) ẋ B (kt) = ẋ d (kt) para u d (kt) = u df (kt). (37) Assim, ẋ A (kt) pode ser obtido, aproximadamente, da seguinte forma: ẋ A (kt) ẋ d (t), t < kt e t kt. Considerando que u d (kt) = u df (kt), note que no instante t definido anteriormente, u d (t) = u df (kt T) e assim, de (5) e (27), ẋ d (t) ẋ A (kt). Observação 3 Note que em (27), se k =, ẋ A () = Ax()+Bu df ( T). Neste caso é suposto que u df ( T) =. 5 Exemplo Considere o problema de controle de um helicóptero, também conhecido como Veículo de Aterrissagem e Pouso Vertical (VTOL) do inglês Vertical Take Off and Landing, apresentado em (Keel et al., 1988). A equação (38) mostra a dinâmica do sistema no espaço de estados ẋ c (t) = x c(t) u c(t) = Ax c (t) + Bu c (t), (38) 1 y c (t) = x 1 c (t) = Cx c (t). (39) A descrição física para as variáveis das equações (38) e (39) é a seguinte: x c1 (t) - velocidade horizontal, nós; x c2 (t) - velocidade vertical, nós; x c3 (t) - velocidade de arfagem (pitch rate), graus/s; x c4 (t) - ângulo de arfagen (pitch angle), graus; u c1 (t) - collective pitch control; u c2 (t) - longitudinal cyclic pitch control, sendo x c (t) = x c1 (t) x c2 (t) x c3 (t) x c4 (t) T e u c (t) = u c1 (t) u c2 (t) T. A Figura 1 mostra o VTOL com a indicação de algumas variáveis do sistema. x c2 (t) x c1 (t) x c4 (t) Figura 1: Ilustração do helicóptero com algumas variáveis de estado. Suponha que, para a implementação da lei de controle, somente acelerômetros são usados como sensores. Então, ẋ c1 (t), ẋ c2 (t) e ẋ c3 (t) são disponíveis. Através dos sinais ẋ c1 (t), ẋ c2 (t) e ẋ c3 (t) é possível obter diretamente as velocidades x c1 (t), x c2 (t) e x c3 (t) com boa precisão, mas não o ângulo x c4 (t) (Assunção et al., 27; Cardim et al., 27a). Assim, o vetor ẋ c (t) = ẋ c1 (t) ẋ c2 (t) ẋ c3 (t) x c3 (t) T é disponível e a realimentação da derivada do vetor de estado de um sistema discreto pode ser implementada através do método proposto. O sistema em malha aberta possui os seguintes pólos:.2758±j.2576,.2325 e Utilizando a alocação

5 de pólos como técnica de projeto, considere por exemplo, os seguintes pólos para o sistema realimentado: 1, 5, 3 ± j15. Com esses dados, a matriz de ganho K c pode ser facilmente obtida através do comando place do MATLAB K c =. (4) Com base no Teorema 1, considerando um período de amostragem T =.1 s, a matriz de ganho K d é dada por: K d =. (41) Note que o sistema (38) com (4), satisfaz as hipóteses (i), (ii) e (iii). Então, através do Teorema 2, a matriz de ganho K df é a seguinte: K df = K d (A BK d ) 1, K df = (42) Portanto, considerando que E c = E d = E df =, para o sistema controlado (5), (19) e (42), u d (kt) = K df ẋ d (kt) = K d x d (kt). Para a implementação da lei de controle u d (kt) = u df (kt), como discutido na Seção 4, foi considerado o sinal u df (kt) dado na equação (35), sendo Q 1 = K df (I n + BK df ) = Q 2 = Q 1 B = , (43). (44) Além disso, o atraso δ = T/1 s foi usado para estimar ẋ A (kt): ẋ A (kt) ẋ d (kt δ), (veja mais detalhes no final da Seção 4). As Figuras 2, 3 e 4 mostram os resultados de uma simulação do sistema com a condição inicial x() = 1.5 T e período de amostragem T =.1 s. Note que os sistemas controlados, contínuo e discretos no tempo (com realimentação não-derivativa e derivativa do vetor de estado), apresentam praticamente as mesmas respostas. 6 Conclusões Neste trabalho foi estudado um novo método para projetar o ganho de realimentação da derivada do vetor de estado em um sistema linear invariante no tempo. O projeto foi baseado em alguns trabalhos já publicados pelos autores sobre realimentação derivativa ((Teixeira et al., 26; Cardim et al., 27a; Cardim et al., 27b; Cardim et al., 28)) e nos resultados apresentados em (Chang et al., 22), que propôs um novo método para o cálculo aproximado de uma igualdade matricial através de um processo de minimização utilizando LMIs. O método estudado velocidade nós x c1 (t) (contínuo) x d1 (kt) (Chang et al., 22) x c2 (t) (contínuo) x d2 (kt) (Chang et al., 22) T =.1 s t s Figura 2: Respostas transitórias do sistema (38) com as leis de controle (2) (contínuo) e (6) (discreto). velocidade nós x d1 (kt) (Chang et al., 22) x d1 (kt) (real. derivativa) x d2 (kt) (Chang et al., 22) x d2 (kt) (real. derivativa) T =.1 s t s Figura 3: Respostas transitórias do sistema (38) com as leis de controle (6) e (19) (realimentação derivativa). mostra-se de grande importância na aplicação do controle digital de sistemas mecânicos, que podem utilizar sensores acelerométricos na medição dos sinais necessários para o controle do sistema. Para demonstrar de forma prática e numérica a validade do método, foi estudado como exemplo, um sistema de controle digital de um helicóptero. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro recebido da FAPESP, CAPES e do CNPq. Referências Abdelaziz, T. H. S. and Valášek, M. (24). Poleplacement for SISO Linear Systems by Statederivative Feedback, IEE Proceedings-Control Theory and Applications 151(4):

6 sinal de controle u T =.1 s u c1 (t) (contínuo) u d1 (kt) (Chang et al., 22) u df1 (kt) (real. derivativa) t s 2 Chen, C. T. (1999). Linear System Theory and Design, 3rd edn, Oxford University Press, New York. Duan, G. R., Irwin, G. W. and Liu, G. P. (1999). Robust Stabilization of Descriptor Linear Systems Via Proportional-Plus-Derivative State Feedback, Proceedings of the 1999 American Control Conference pp Faria, F. A., Assunção, E. and Teixeira, M. C. M. (29). Realimentação da derivada dos estados em sistemas multivariáveis lineares usando LMIs, Revista Controle & Automação 2(1): sinal de controle u T =.1 s u c2 (t) (contínuo) u d2 (kt) (Chang et al., 22) u df2 (kt) (real. derivativa) t s Figura 4: Entradas de controle para o sistema controlado com u c (t) = K c x c (t) (contínuo), u d (kt) = K d x d (kt) e u d (kt) = K df ẋ d (kt) (realimentação derivativa). Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Faria, F. A., da Silva, N. A. P. and Cardim, R. (27). Robust State- Derivative Feedback LMI-Based Designs for Multivariable Linear Systems, International Journal of Control 8(8): Boukas, T. K. and Habetler, T. G. (24). High- Performance Induction Motor Speed Control Using Exact Feedback Linearization Whith State and State Derivative Feedback, IEEE Transactions on Power Electronics 19(4): Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Covacic, M. R. (27a). Design of State-Derivative Feedback Controllers Using a State Feedback Control Design, 3rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Vol. 1, Iguassu Falls, PR, Brazil, pp. Paper No pages. Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Covacic, M. R. (27b). Projeto de Controle de Sistemas Mecânicos Utilizando a Realimentação da Derivada de Estados, 6th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, São José do Rio Preto - SP, Brasil, pp Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Faria, F. A. (28). Control Designs for Linear Systems Using State-Derivative Feedback, in P. Husek (ed.), Systems, Structure and Control, In-Teh, pp Faria, F. A., Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Cardim, R. and da Silva, N. A. P. (29). Robust state-derivative pole placement LMI-based designs for linear systems, International Journal of Control 82(1): Fridman, E. and Shaked, U. (22). H -Control of Linear State-Delay Descriptor Systems: an LMI Approach, Linear Algebra and Its Applications 351: Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. J. and Chilali, M. (1995). LMI control toolbox - For use with Matlab, The Math Works Inc. Jin, H. Y. (1994). Eigenstructure Assignment by Proportional-Derivative State Feedback in Singular Systems, System and Control Letters 22(1): Keel, L. H., Bhattacharyya, S. P. and Howze, J. W. (1988). Robust Control with Structured Perturbations, IEEE Transactions on Automatic Control 33(1): Lee, H. J., Park, J. B. and Joo, Y. H. (26). Further Refinement on LMI-Based Digital Redesign: Delta- Operator Approach, IEEE Tansactions on Circuits and Systems 53(6): Lewis, F. L. and Syrmos, V. L. (1991). A Geometric Theory for Derivative Feedback, IEEE Transactions on Automatic Control 36(9): Teixeira, M. C. M., Assunção, E., Cardim, R. and Covacic, M. R. (26). Realimentação da Derivada de Estados a Partir do Projeto com Realimentação de Estados, Congresso Brasileiro de Automática (CBA), Salvador - Bahia, Brasil, pp Valášek, M. and Olgac, N. (1995a). An Efficient Pole- Placement Technique for Linear Time-Variant SISO System, IEE Proceedings-Control Theory and Applications 142(5): Valášek, M. and Olgac, N. (1995b). Efficient eigenvalue assignments for general linear MIMO systems, Automatica 31(11): Chang, W., Park, J. B., Lee, H. J. and Joo, Y. H. (22). LMI Approach to Digital Redesign of Linear Time- Invariant Systems, IEE Proceedings-Control Theory and Applications 149(4):