UFRJ-COPPE- Programa de Engenharia

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1 UFRJ-COPPE- Programa de Engenharia Elétrica 1/30 Sistemas Não-Lineares I Liu Hsu Programa de Engenharia Elétrica, COPPE/UFRJ Aula 14 UFS

2 O Lema de Kalman-Yakubovitch Este lema é muito importante e estabelece uma relação (nada intuitiva) simples entre a propriedade SPR e a realização de estado de h(p): 2/30 Lema 1 :(Kalman-Yakubovitch). Considere-se um sistema linear invariante no tempo ẋ = Ax + bu (1) y = c T x A função de transferência h(p) = c T [pi A] 1b é SPR se, e somente se, existirem matrizes postivas definidas tal que A T P + P A = Q (2) P b = c (3)

3 Observação 1 Extensão para PR é simples: Q pode ser semidefinida positiva. O Lema é conhecido também por Lema da Positividade Real. 3/30 Um lema mais geral é o seguinte (que não exige controlabilidade) e que inclui h(p) causal (não-estritamente), ou seja, a saída pode ser do tipo y = c T x + γ u (γ 0). 2 Lema 2 (Kalman-Meyer-Yakubovitch): Dado um escalar γ 0, vetores b e c, uma matrix A estável assintoticamente, e uma matriz simétrica positiva definida L, e se a f.t. H(p) = γ 2 + ct [pi A] 1b

4 é SPR, então ɛ > 0, um vetor q, e uma matriz definida positiva P tal que A T P + P A = qq T ɛl (4) P b = c + q γ 4/30 Para o caso multivariável consultar (Khalil 2002) ou (Slotine and Li 1991), p. 131.

5 Passividade A própria função de Lyapunov é relacionada à noção de energia e para sistemas estáveis, ela decresce com o tempo quando não se age sobre o sistema. O mesmo ocorre com um sistema dissipativo, que dissipando energia volta ao ponto de equiĺıbrio. Um sistema dissipativo é um tipo de sistema passivo. A Teoria da passividade permite formalizar uma abordagem para construir funções de Lyapunov para sistemas de controle combinando funções de Lyapunov de seus subsistemas passivos interligados de alguma forma. A relação básica que exprime a lei da conservação de energia é d dt [Energia Armazenada] = [Potência Externa de Entrada] + [Potência de Geração Interna] A potência de entrada pode ser representada pelo produto de uma en- 5/30

6 trada ( esforço ou fluxo ) u e da saída ( fluxo ou esforço ) y. y T u por exemplo, u é tensão e y é corrente. 6/30 No que segue vamos considerar sistemas que verificam equações da forma de potência: V 1 (t) = y T 1 u 1 g 1 (t) (5) onde V 1 e g 1 são funções do tempo, u 1 é a entrada do sistema, e y 1 é a sua saída. Combinações de blocos Seja outro sistema satisfazendo V 2 (t) = y T 2 u 2 g 2 (t)

7 Vamos interconectá-lo com (5) através de uma configuração de realimentação u 2 = y 1 u 1 = y 2 7/30 u 1 =-y 2 y 1 V 1, g 1 y 2 V 2, g 2 u 2 =y 1 Figura 1: Dois blocos ligados por realimentação Suponha que V 1 + V 2 tenha ( t) um limite inferior (por exemplo, positivo). Então temos:

8 Se t, g 1 + g 2 0, então V = V 1 + V 2 é superiomente limitada e 0 [g 1 (t) + g 2 (t)] < Se além disso g 1 e g 2 forem ambos não-negativos e uniformemente contínuos, então ambos tendem a zero com t. Este último resultado é consequência do importante Lema de Barbalat que instrumental na prova do Teorema de La Salle (Khalil 2002). Lema 3 (Barbalat): Se a função diferencial f(t) tem um limite finito quanto t, e se f(t) for uniformemente contínua, então f(t) 0 quando t. Observação: Uma função com derivada limita é uniformemente contínua. Exemplo: f não é uniformemente contínua (note que f não é limitada) e no entando tende a uma constante limitada. Sua derivada, entretanto, não tende a zero! 8/30

9 Note que não necessitamos da expressão expĺıcita de V 1 + V 2. Mas geralmente, sem nenhuma hipótese sobre o sinal de V 1 +V 2 ou g 1 +g 2 podemos concluir que Se V 1 + V 2 tem limite finito com t, e se g 1 g 2 é uniformemente contínua, então g 1 + g 2 0 quando t. 9/30 Um sistema verificando (3) com V 1 limitado inferiormente e g 1 0 é dito SER PASSIVO (ou ser um MAPEAMENTO PASSIVO entre u 1 e y 1 ). Além disso, um sistema passivo é dito ser dissipativo se 0 y T 1 (t)u 1 (t)dt 0 0 g 1 (t)dt > 0 Exemplo 1 Sistema mola massa não-linear mẍ + x 2 ẋ 3 + x 7 = F

10 Ver (Slotine and Li 1991), p d dt (1 2 mẋ x8 ) }{{} V 1 De F para ẋ o sistema é passivo. = }{{} ẋf x}{{} 2 ẋ 4 y 1 u 1 g 1 10/30 Combinação de blocos paralela ou realimentada Combinações paralelas ou realimentadas de blocos na forma de potência (5) continuam na forma de potência: y T u = y1 T u 1 + y2 T u 2 Combinação Paralela y T u = (y 1 + y 2 ) T u = y1 T u + y2 T u = y1 T u 1 + y2 T u 2 Combinação Realimentada: y T u = y1 T (u 1 + y 2 ) = y1 T u 1 + y2 T y 2 = y1 T u 1 + u T 2 y 2

11 Para o sistema global temos V = V 1 + V 2 ; g = g 1 + g 2 Por indução, qualquer combinação paralela ou realimentada mantém a forma de potência e 11/30 V = V 1 + V V n ; g = g 1 + g g n Este resultado é forte pois não é só para sistemas lineares. Exemplo 2 : Um sistema adaptativo de uma planta de 1a. ordem resulta nas seguintes equações ė = e + θw(t), θ = θ θ, θ = θ = ew(t) onde e representa o erro de rastreamento e θ o parâmetro a ser ajustado, idealmente para o valor desconhecido θ. Quando θ = θ, temos que e(t) tende exponencialmente a zero. (w representa um sinal mensurável). Temos o seguinte diagrama de blocos (equivalente).

12 1. ũ e é passivo e dissipativo 2. e θw é passivo 1 2 d dt e2 = eė = eũ e d dt θ 2 = ( θw)e 12/30

13 f M ;;; 13/30 1 2(1/2 2 +2) n(1/n 2 +n) f M(1+1/2 2 +1/ )= 6

14 u 1 =u V 1, g 1 y 1 u y=y 1 +y 2 14/30 u 2 =u V 2, g 2 y 2 u u 1 =u-y 2 y 1 V 1, g 1 y=y 1 y 2 V 2, g 2 u 2 =y 1 Figura 2: Configuração paralela e realimentada

15 15/30 ~ u 1 (p+1) e W X 1 P X W(t)

16 Positividade e Passividade de Sistemas Lineares 16/30 Seja o sistema linear ẋ = Ax + Bu ; y = Cx (6) onde A é estritamente estável (estritamente Hurwitz). Então, sabemos que existe um par (P, Q) ; P, Q > 0, tal que A T P + P A = Q Vejamos como se comporta a função candidata V = 1 2 xt P x para o sistema (1) V = x T P (Ax + Bu) = x T P Bu 1 2 xt Qx (7)

17 Como y = C x, vemos que (2) mostra que o mapeamento entre u e y é passivo desde que C = B T P como no Lema de Kalman-Yakubovitch. Como consequência, 17/30 1. Um sistema (6) com f.t. SP R é passivo e dissipativo (Q > 0) ou 2. Se a f.t. é PR, é apenas passivo (Q 0). No exemplo de controle adaptativo visto acima, vemos que se tratava de um sistema linear SP R realimentado por um bloco não-linear passivo (mas não dissipativo). Essa combinação resulta em um sistema passivo e estável.

18 Estabilidade Absoluta Consideremos um sistema linear realimentado por um bloco não-linear conforme a Fig. 3: 18/30 e G(p) y (. ) Figura 3: Sistema linear realimentado por sistema não linear cujas equações de estado são ẋ = Ax bφ(y) (G(p) = c T (pi A) 1 b) y = c T x (8)

19 Se φ(y) = αy, isto é, uma função linear, a análise de estabilidade seria simples (autovalores, Hurwitz, Nyquist, lugar das raízes). Poderíamos até considerar toda uma classe de funções lineares examinando o diagrama de Nyquist ou as condições de Routh-Hurwitz ou o lugar das raízes. Para a classe definida com α [k 1, k 2 ] o gráfico de φ estaria dentro do setor cônico da Fig /30 Figura 4: O setor [k 1, k 2 ] de φ

20 Obviamente, para essa classe temos y 0 k 1 φ(y) y k 2 (9) Se φ(y) fôr não-linear poderíamos ter algo como mostrado na Fig. 4. Por que considerar tais funções não-lineares contidas em um setor? Na prática, um dispositivo físico, por exemplo um atuador, raramente tem uma característica bem conhecida, inclusive, tal característica pode variar de um atuador para outro. É importante assegurar que o sistema fique pelo menos estável dentro de uma faixa de incerteza do tal dispositivo. Uma maneira de formular a incerteza é através de uma condição do setor 4. Quanto maior a incerteza, maior o intervalo [k 1, k 2 ]. A conjectura de Aizerman (1949): 20/30

21 Se o sistema for assintóticamente estável para toda característica linear no setor [k 1, k 2 ] então é também GAE para toda característica não linear no mesmo setor. A conjectura é válida para sistemas de 1a. ordem e é quase sempre válida para sistemas de 2a. ordem. Embora difícil de mostrar, a conjectura não vale para sistemas de ordem maior. A conjectura de Aizerman gerou uma rica teoria de estabilidade denominada Estabilidade Absoluta. Definição 1 (Estabilidade Absoluta): O sistema da Fig. 3, descrito pela equação (1), é absolutamente estável no setor [k 1, k 2 ] se for GAE para qualquer não linearidade φ [k 1, k 2 ]. Observação 2 (a) (k 1, k 2 ], (b) (k 1, k 2 ) ou É possível considerar também setores abertos: 21/30

22 (c) [k 1, k 2 ): Exemplo 3 : Considere G(p) = 1/p. Então temos estabilidade absoluta no setor (0, ). Não podemos considerar o setor [0, ) (por que?). 22/30 O critério de Popov Os trabalhos de Lur e sobre Estabilidade Absoluta foram seminais porém foi V.M. Popov que deu uma solução elegante conhecida por Critério de Popov.

23 Teorema 1 (Critério de Popov): Se o sistema (8) satisfaz as condições A é Hurwitz (i.e., Re(λ i ) < 0, i) e o par [A, b] é controlável φ [0, k] α > 0 t.q. 23/30 w 0 : Re[(1 + jαw)g(jw)] + 1 k ɛ (10) para um ɛ arbitrariamente pequeno, então a origem x = 0 é globalmente assintoticamente estável. (10) é a desigualdade de Popov e claramente é uma condição de Real Positividade. A prova pode ser feita usando-se uma função de Lyapunov candidata baseada no Lema de KY. Principais características do critério de Popov: só se aplica para sistemas autônomos;

24 é restrito a não-linearidades estáticas, sem memória e invariantes no tempo a Estabilidade Absoluta pode ser determinada examinando a resposta em frequência de um subsistema linear, sem necessidade de uma função expĺıcita de Lyapunov. 24/30 Interpretação Gráfica: Mediante as seguintes manipulações simples: G(jw) = G 1 (w) + jg 2 (w) De (3) G 1 (w) αwg 2 (w) + 1 k ɛ (11) Vamos definir uma resposta em frequência modificada W (jw) = x + jy = G 1 (w) + jwg 2 (w)

25 Então (11) implica que é suficiente para estabilidade global assintótica que o diagrama de W (jw) no plano de Nyquist esteja (uniformemente) abaixo da reta x αy + (1/k) = 0 conforme a Figura abaixo. 25/30 Figura 5: Critério gráfico de Popov

26 Exemplo 4 G(jw) = p + 3 p 2 + 7p + 10 φ [0, k] 4w G 1 = w w ; G 2 = w(w2 + 11) w w A desigualdade de Popov dá ( ) 1 4w α(w )w 2 + k ɛ (w w ) > 0 que é satisfeita para 0, k <, α > 0 e ɛ > 0 (suficientemente pequeno). MatLab: 26/30

27 É possível reformular o critério de Popov usando LMI. 27/30 Função de Lyapunov associada ao Critério de Popov A função de Lyapunov associada ao critério de Popov é uma função do tipo Lur e dada por: V (x) = x T P x + β y 0 ϕ(σ)dσ

28 O critério do círculo: Outro critério de estabilidade absoluta derivado a partir de uma simples função de Lyapunov quadrática V = x T P x 28/30 é o Critério do Círculo que é uma generalização direta do critério de Nyquist para sistemas não-lineares. Considere-se o disco D(k 1, k 2 ) conforme mostrado na Fig. 6 Teorema 2 (Critério do Círculo): Se um sistema (1) satisfaz as condições A não tem autovalores no eixo imaginário, e tem ρ autovalores estritamente no semi-plano direito; a não-linearidade φ pertence ao setor [k 1, k 2 ], uma das seguintes condições é verdadeira < k 1 k 2, o diagrama de Nyquist G(jw) não entra no disco D(k 1, k 2 ) e o circunda ρ vezes no sentido anti-horário;

29 2. 0 = k 1 < k 2, ρ = 0 e G(jw) permanece no semi-plano Re p > 1/k 2 ; 3. k 1 < 0 < k 2, ρ = 0 e G(jw) fica no interior do disco D(k 1, k 2 ); 4. k 1 < k 2 < 0, G(jw) não entra no disco D( k 1, k 2 ) e o circunda ρ vezes no sentido anti-horário; então o equiĺıbrio x = 0 é GAE. 29/30 Note que o disco D(k 1, k 2 ), faz o papel do ponto crítico 1/k ao qual se reduz quando k 1 k 2 k, isto é, quando a incerteza não existe. NB: Como consequência da função de Lyapunov V = x T P x não depender da não-linearidade, o Critério do Círculo vale para ϕ variante no tempo, i.e., ϕ(t, y) k 1 k 2 (y 0) y

30 30/30 Figura 6: Critério do Círculo O critério do círculo é mais conservativo do que o de Popov Compare no caso 0 = k 1 < k 2 em que a reta de Popov pode ser inclinada e a do Teorema 2 deve ser vertical.