EES-20: Sistemas de Controle II. 01 Setembro 2017

Transcrição

1 EES-2: Sistemas de Controle II 1 Setembro / 56

2 Controle com realimentação de estado Lei de controle: u(t) = Kx(t) + Fr(t) r t u t y t F K x t 2 / 56

3 Projeto por alocação de polos Determina-se K de modo a posicionar os autovalores de (A BK) em pontos convenientes do plano complexo. (Supondo referência degrau) Faz-se [ ] 1 F = C(A BK) 1 B 3 / 56

4 Exemplo u t = t J 1 J 2 1 t y t = 2 t k s 1 2 J 1 ω 1 = k s (θ 1 θ 2 ) + u J 2 ω 2 = k s (θ 1 θ 2 ) y = θ 2 4 / 56

5 Exemplo Variáveis de estado: x 1 = θ 1, x 2 = θ 2, x 3 = ω 1, x 4 = ω 2. Parâmetros físicos: J 1 =,5 kgm 2, J 2 =,4 kgm 2, k s = 2 Nm/rad Matrizes do modelo: A = , B = 2, C = [ 1 ] Matriz A com autovalores em (duplo) e ±3j. Par (A, B) controlável. 5 / 56

6 Resultados de simulação: Saída Projeto 1: Polos dominantes em 4 ± 3j e polo duplo em 5. Projeto 2: Polos dominantes em 4 ± 3j e polo duplo em y (rad) Projeto 1 Projeto t (s) 6 / 56

7 Resultados de simulação: Controle Projeto 1: Polos dominantes em 4 ± 3j e polo duplo em 5. Projeto 2: Polos dominantes em 4 ± 3j e polo duplo em Projeto 1 Projeto 2 u (Nm) t (s) 7 / 56

8 Compromisso de projeto Há um compromisso entre esforço de controle e desempenho na condução da saída à referência. Como levar em conta o esforço de controle no projeto do controlador? 8 / 56

9 Abordagem a ser adotada: Controle ótimo Considerar os desvios das variáveis de estado e controle com respeito aos respectivos valores de equiĺıbrio em regime estacionário. Definir um índice ( custo ) para quantificar a magnitude desses desvios ao longo do tempo. Obter o ganho K por meio da minimização desse custo. 9 / 56

10 Cálculo dos valores de equiĺıbrio Modelo da planta (malha aberta): ẋ = Ax + Bu y = Cx Em regime estacionário, os valores de equiĺıbrio de entrada, estado e saída estarão relacionados por A x + Bū = ȳ = C x Suponha que r(t) = r, t. Para que a saída seja igual à referência em regime estacionário (isto é, ȳ = r), deve-se ter A x + Bū = C x = r 1 / 56

11 Cálculo dos valores de equiĺıbrio A x + Bū = C x = r Em forma matricial, pode-se escrever [ ] [ ] [ A B x n 1 = C ū 1 ] r ou seja: [ x ū ] = [ A B C ] 1 [ n 1 1 ] r desde que exista a inversa indicada. 11 / 56

12 Cálculo dos valores de equiĺıbrio [ x ū ] = [ A B C ] 1 [ n 1 1 ] r Definindo N x R n e N u R como [ Nx N u ] = [ A B C ] 1 [ n 1 1 ] pode-se escrever x = N x r, ū = N u r 12 / 56

13 Cálculo dos valores de equiĺıbrio: Exemplo >> A = [ 1 ; 1; -4 4 ; 5-5 ]; >> B = [; ; 2; ]; >> C = [ 1 ]; >> aux = inv([a B; C ])*[zeros(4,1);1]; >> Nx = aux(1:4) Nx = 1 1 u t = t J 1 J 2 k s 1 t y t = 2 t >> Nu = aux(5) Nu = 1 2 x 1 = θ 1, x 2 = θ 2, x 3 = ω 1, x 4 = ω 2 Faz sentido? 13 / 56

14 Observação: Uso do operador backlash >> help slash \ Backslash or left division. A\B is the matrix division of A into B, which is roughly the same as INV(A)*B, except it is computed in a different way. 14 / 56

15 Observação: Uso do operador backlash >> inv([a B;C ])*[zeros(4,1);1] ans = 1 1 >> [A B;C ] \ [zeros(4,1);1] ans = / 56

16 Como forçar a convergência para os valores de equiĺıbrio desejados? Se x = x e u = ū, então y = r. Como forçar x(t) t x e u(t) t ū? 16 / 56

17 Reformulação do modelo Equação de estado: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) Relação de equiĺıbrio: A x + Bū = Seja δx(t) = x(t) x, δu(t) = u(t) ū Tem-se, então: [ ] [ ] δẋ(t) = ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) = A δx(t) + x + B δu(t) + ū = Aδx(t) + Bδu(t) + A x + Bū 17 / 56

18 Lei de controle δẋ(t) = Aδx(t) + Bδu(t) Adotando uma lei de controle da forma obtém-se δu(t) = Kδx(t) δẋ(t) = (A BK)δx(t) Se K for escolhido de modo que (A BK) seja Hurwitz, então δx(t) t a partir de qualquer condição inicial e, portanto, δu(t) t. Como resultado, tem-se x(t) t x, u(t) t ū e, consequentemente, y(t) t r, conforme desejado. 18 / 56

19 Lei de controle: Resumo δx(t) = x(t) x, δu(t) = u(t) ū Lei de controle: δu(t) = Kδx(t) isto é: u(t) = ū K[x(t) x] com x = N x r, ū = N u r 19 / 56

20 Diagrama de blocos u(t) = ū K[x(t) x] x = N x r, ū = N u r r t r u u t y t N u x t u t K x t x N x 2 / 56

21 Observação: Relação com a lei de controle adotada anteriormente Anteriormente, havíamos chegado a uma lei de controle da forma u = Kx + F r com [ ] 1 F = C(A BK) 1 B Agora, com r = r, temos u = ū K(x x) ou seja, x = N x r, ū = N u r u = N u r Kx + KN x r = Kx + (N u + KN x )r 21 / 56

22 Verificação >> csi =.8; wn = 5; >> pdom = roots([1 2*csi*wn wn^2]); p = [pdom;-5;-5]; >> K = acker(a,b,p); >> F = -1/(C*inv(A-B*K)*B) F = 62.5 >> Nu + K*Nx ans = / 56

23 Regulação Equação de estado: δẋ(t) = Aδx(t) + Bδu(t) Condição inicial: δx() = x() x A tarefa de conduzir δx(t) para a origem partindo de uma condição inicial δx() é conhecida como regulação. 23 / 56

24 Diagrama de blocos: Regulador r t r u u t y t N u x t u t K x t x N x O projeto do regulador pode ser feito considerando r =. 24 / 56

25 Diagrama de blocos: Regulador u t K x t 25 / 56

26 Projeto do regulador Equação de estado: ẋ = Ax + Bu Condição inicial: x() Lei de controle: u = Kx 26 / 56

27 Projeto do regulador por meio de otimização Deseja-se ajustar a matriz de ganho K levando em conta o desempenho na condução do estado para a origem e o esforço de controle envolvido. Para quantificar o desempenho e o esforço de controle, pode-se empregar os seguintes índices ( funcionais de custo ): J x1 = J x2 =. J xn = x 2 1 (t)dt x 2 2 (t)dt x 2 n(t)dt J u = u 2 (t)dt Dificuldade: Como combiná-los em um único índice a ser minimizado no projeto? 27 / 56

28 Projeto do regulador por meio de otimização J x1 = J x2 =. J xn = x 2 1 (t)dt x 2 2 (t)dt x 2 n(t)dt J u = u 2 (t)dt Ideia - Utilizar uma soma ponderada: J = q 1 J x1 + q 2 J x2 + + q n J xn + ρj u = [ ] q 1 x1 2 (t) + q 2 x2 2 (t) + + q n xn(t) 2 + ρu 2 (t) dt sendo q 1, q 2,..., q n e ρ pesos positivos escolhidos pelo projetista. 28 / 56

29 Projeto do regulador por meio de otimização O custo J pode também ser escrito como J = [ ] x T (t)qx(t) + ρu 2 (t) dt sendo Q = Q T R n n uma matriz de peso positivo-definida da forma q 1 q 2 Q = q n 29 / 56

30 Regulador Linear Quadrático Em resumo, dado um modelo linear da forma ẋ = Ax + Bu com (A, B) controlável, deseja-se obter uma matriz de ganho K de modo a minimizar o funcional de custo quadrático J definido como J = com Q = Q T > e ρ >. [ ] x T (t)qx(t) + ρu 2 (t) dt Problema conhecido na área de Controle Ótimo como projeto de Regulador Linear Quadrático (Linear Quadratic Regulator, LQR) 3 / 56

31 Regulador Linear Quadrático: Solução O ganho que minimiza o custo J é dado por K = ρ 1 B T P sendo P = P T > obtida como solução da seguinte Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = (Matlab: Função are) Demonstração? Obs: Considerando (A, B) controlável, Q = Q T > e ρ >, sabe-se que a Equação Algébrica de Riccati tem uma única solução P simétrica e positivo-definida. Referência: Wonham, W. M. On a matrix Riccati equation of stochastic control. SIAM Journal of Control, v. 6, n. 4, p , / 56

32 Demonstração: Considerações iniciais J = [ ] x T (t)qx(t) + ρu 2 (t) dt, Q >, ρ > Para minimizar o custo J, é necessário que o controle resulte na convergência do estado para a origem, isto é x(t) t ou seja, a lei de controle deve ser estabilizante. Pergunta 1: A lei de controle u(t) = Kx(t), com K = ρ 1 B T P, atende essa condição? 32 / 56

33 Demonstração: Estabilidade Seja K = ρ 1 B T P, com P = P T > obtida como solução da Equação Algébrica de Riccati: Tem-se então: A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = (A BK) T P + P(A BK) = A T P + PA K T B T P PBK = A T P + PA PBρ 1 B T P PBρ 1 B T P }{{} Q = (Q + PBρ 1 B T P) < Conclui-se, portanto, que (A BK) é Hurwitz e V (x) = x T Px é uma função de Lyapunov para a dinâmica de malha fechada. 33 / 56

34 Demonstração: Otimalidade J = [ ] x T (t)qx(t) + ρu 2 (t) dt, Q >, ρ > Concluímos que a lei de controle u(t) = Kx, com K = ρ 1 B T P, é estabilizante. Pergunta 2: Existe alguma outra lei de controle estabilizante que resulte em um valor menor para o custo J? 34 / 56

35 Demonstração: Otimalidade Seja V (x) = x T Px, com P = P T > obtida como solução da Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = Sabendo que ẋ = Ax + Bu, pode-se escrever: V (x) = ẋ T Px + x T Pẋ = (Ax + Bu) T Px + x T P(Ax + Bu) = x T (A T P + PA) x + u T B T Px + x T PBu }{{} Q+PBρ 1 B T P = x T Qx + x T PBρ 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu 35 / 56

36 Demonstração: Otimalidade V (x) = x T Qx + x T PBρ 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu = x T Qx + x T PBρ 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu + ρu 2 ρu 2 = x T Qx ρu 2 + ρ (u + ρ 1 B T Px) T (u + ρ 1 B T Px) }{{}}{{} escalar escalar = x T Qx ρu 2 + ρ(u + ρ 1 B T Px) 2 36 / 56

37 Demonstração: Otimalidade V (x) = x T Qx ρu 2 + ρ(u + ρ 1 B T Px) 2 Desse modo, tem-se J { }}{ [ ] V (x(t))dt = x T (t)qx(t) + ρu 2 (t) dt e, portanto: + ρ lim V (x(t)) V (x()) = J + ρ t Como V (x) = x T Px, segue que J = x T ()Px() lim t x T (t)px(t) + ρ [ u(t) + ρ 1 B T Px(t)] 2dt [ u(t) + ρ 1 B T Px(t)] 2dt [ u(t) + ρ 1 B T Px(t)] 2dt 37 / 56

38 Demonstração: Otimalidade J = x T ()Px() lim x T (t)px(t) + ρ }{{} t constante [ u(t) + ρ 1 B T Px(t)] 2dt Considerando leis de controle estabilizantes, tem-se x(t) t. Desse modo, como ρ >, o custo J é minimizado tomando-se u(t) = ρ 1 B T Px(t) que corresponde à solução apresentada para o problema LQR. Vale notar que o custo mínimo assim obtido é J = x T ()Px(). 38 / 56

39 Exemplo (sistema de primeira ordem) Equação de estado: ẋ = 2x + u Funcional de custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Passo 1: Obter P > resolvendo a Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = Passo 2: Calcular o ganho K: K = ρ 1 B T P (Neste caso, tem-se A = 2, B = 1, Q = q) 39 / 56

40 Exemplo (sistema de primeira ordem) A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = A = 2, B = 1, Q = q >, ρ > Deve-se obter P > resolvendo a equação ou seja: Obtém-se, então: 4P ρ 1 P 2 + q = P 2 + 4ρP ρq = P = 4ρ ± 16ρ 2 + 4ρq 2 = 2ρ ± 4ρ 2 + ρq Adotando a solução positiva, chega-se a P = 2ρ + 4ρ 2 + ρq 4 / 56

41 Exemplo (sistema de primeira ordem) P = 2ρ + 4ρ 2 + ρq Como resultado, o ganho K é dado por K = ρ 1 B T P B=1 = ρ 1( 2ρ + ) 4ρ 2 + ρq ou seja, K = q/ρ 41 / 56

42 Discussão Equação de estado: ẋ = 2x + u Custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Ganho ótimo: K = q/ρ A solução depende apenas da razão q/ρ. Isso faz sentido? J = [ ] qx 2 (t) + ρu 2 (t) dt = ρ Fazendo u = Kx, chega-se a ẋ = 2x ( q/ρ)x = [ ] (q/ρ)x 2 (t) + u 2 (t) dt < {}}{ ( 4 + q/ρ) x ou seja, tem-se estabilidade assintótica, quaisquer que sejam q > e ρ >. (Qual seria o resultado de se tomar a solução P <?) 42 / 56

43 Discussão Custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Ganho ótimo: K = ( q/ρ) > Equação de estado em malha fechada: ẋ = ( 4 + q/ρ)x Aumentando (q/ρ), tem-se uma convergência mais rápida do estado para zero, à custa de maior esforço de controle. 43 / 56

44 Exercício (para casa): Sistema de primeira ordem Fazendo u = Kx, tem-se ẋ = (A BK)x e, portanto, x(t) = e (A BK)t x() Com isso, o custo pode ser expresso como função do ganho K: J(K) = = [ ] qx 2 (t) + ρu 2 (t) dt [ ( ) 2 ( ) 2 ] q e (A BK)t x() + ρ Ke (A BK)t x() dt Considerando A = 2, B = 1, q >, ρ > e x(), obter o valor de ganho K para o qual dj dk = e comparar o resultado com o obtido anteriormente. 44 / 56

45 Exemplo (Matlab): Sistema disco-mola >> help are A T P + PA PBρ 1 B T P + Q =, K = ρ 1 B T P Algebraic Riccati Equation solution. X = are(a, B, C) returns the stablizing solution (if it exists) to the continuous-time Riccati equation: A *X + X*A - X*B*X + C = Deve-se fazer P = are(a, B*B /rho, Q), K = B *P/rho 45 / 56

46 Exemplo: Sistema disco-mola >> A = [ 1 ; 1; -4 4 ; 5-5 ]; >> B = [; ; 2; ]; >> Q = diag([ ]); >> rho = 1; >> P = are(a, B*B /rho, Q); >> K = B *P/rho K = / 56

47 Exemplo: Sistema disco-mola >> help lqr Linear-quadratic regulator design for state space systems. [K,S,E] = lqr(sys,q,r,n) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral {x Qx + u Ru + 2*x Nu} dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K). 47 / 56

48 Exemplo: Sistema disco-mola [K,S,E] = lqr(a,b,q,r,n) is an equivalent syntax for continuous-time models with dynamics dx/dt = Ax + Bu >> K = lqr(a,b,q,rho) K = / 56

49 Efeito de alteração no peso associado a x 2 (Lembrete: No sistema considerado, tem-se y = x 2 ) >> rho = 1; >> Q = diag([ ]); K = lqr(a,b,q,rho) K = >> Q = diag([ ]); K = lqr(a,b,q,rho) K = >> Q = diag([ ]); K = lqr(a,b,q,rho) K = / 56

50 Simulink: Malha de controle u To Workspace y y Step Nu u x To Workspace Planta x To Workspace K* u Nx* u Lembrete: [ Nx N u ] = [ A B C ] 1 [ n 1 1 ] 5 / 56

51 Resultados: Saída (I) Q = diag([ ]), (II) Q = diag([ ]), (III) Q = diag([ ]) 1.8 y (rad) Projeto I Projeto II Projeto III t (s) 51 / 56

52 Resultados: Controle (I) Q = diag([ ]), (II) Q = diag([ ]), (III) Q = diag([ ]) Projeto I Projeto II Projeto III u (Nm) t (s) 52 / 56

53 Resultados: Aumento no peso associado a x 4 = ω 2 = ẏ (III) Q = diag([ ]), (IV) Q = diag([ ]) 1.8 y (rad) Projeto III Projeto IV t (s) 53 / 56

54 Resultados: Aumento no peso associado a x 4 = ω 2 = ẏ (III) Q = diag([ ]), (IV) Q = diag([ ]) 12 1 Projeto III Projeto IV 8 6 u (Nm) t (s) 54 / 56

55 Resultados: Aumento no peso associado a x 4 = ω 2 = ẏ (III) Q = diag([ ]), (IV) Q = diag([ ]) 1.5 Projeto III Projeto IV 1 x 4 (rad/s) t (s) 55 / 56

56 Próxima aula Robustez da malha de controle (margens de estabilidade) Observadores de estado 56 / 56