Estabilização Robusta

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1 Estabilização Robusta 1. Regiões LMIs: Alocação de pólos 2. Restrições sobre entrada e saída 3. Controlador baseado no observador e LMIs pag.1 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

2 Regiões LMIs e Alocação de pólos Uma região LMI é uma subregião convexa do plano complexo, simétrica em relação ao eixo real e que pode ser definida como: D = {z C : L + zm + zm T < 0} sendo L = L T e M matrizes reais. A função matricial f D (z) = L + zm + zm T < 0 é chamada função característica de D Alocação de pólos em uma região LMI especificada pode ser caracterizada em termos dos elementos das matrizes L e M (l ij e m ij ), de modo que a matriz A terá autovalores em uma região determinada D sse P = P T 0 tal que M D (A, X) = [l ij X + m ij AX + m ji XA T ] 1 i,j p = L X + M (AX) + M T (AX) T pag.2 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

3 Regiões LMIs e Alocação de pólos A é D-estável, ie λ(a) D, sse X = X T tal que M D (A, X) 0, X 0 Veja que M D (A, X) e f D (z) estão relacionados através da substituição (X, AX, XA T ) (1, z, z) M D (A, X) pode ser visto como uma generalização da desigualdade de Lyapunov pois se D é todo o semi-plano esquerdo, com f D (z) = z + z < 0, então M D (A, X) = AX + XA T 0, X 0 pag.3 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

4 Regiões LMIs e Alocação de pólos Faixa, disco ou cone? Como proceder via LMIs? Im(s) Im(s) ents Re(s) Re(s) Região de alocação dos pólos em malha fechada: caso contínuo no tempo pag.4 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

5 Regiões LMIs e Alocação de pólos 1. Região semiplano: Re(z) < σ S z + z = (σ + jω) + (σ jω) = 2σ < 2σ S z + z 2σ S < 0 Para semiplano no lado esquerdo do plano complexo, σ S = α, α > 0, ou z + z + 2α < 0 que resulta na LMI AP F + P F A T + 2αP F 0 Considerando o sistema em malha fechada, ie para A + B u K, obtém-se (A + B u K)P F + P F (A + B u K) T + 2αP F 0 que resulta, com a mudança de variável linearizante, Z F = KP F, AP F + P F A T + B u Z F + Z T F B T u + 2αP F 0, P F 0 e K = Z F P 1 F pag.5 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

6 Regiões LMIs e Alocação de pólos 2. Região do tipo disco de raio r e centrado em (c, 0): z c < r σ c + jω < r (σ c) 2 + ω 2 < r (σ c) 2 + ω 2 r 2 < 0 elevando ao quadrado e somando e subtraindo jωc e jωσ obtém-se σ 2 σc σc + c 2 + ω 2 r 2 + jωc jωc + jωσ jωσ < 0 (σ jω)(σ + jω) (σ jω)c (σ + jω)c + c 2 r 2 < 0 zz zc cz + c 2 r 2 < 0 (z c)(z c) r 2 < 0 (z c) 1 (z c) r < 0 r pag.6 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

7 Regiões LMIs e Alocação de pólos Aplicando o complemento de Schur na desigualdade: (z c)r 1 (z c) r < 0 obtém-se a LMI r z c z c r 0 Para um disco centrado em c = q, com q > 0 segue r z + q z + q r 0 pag.7 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

8 Regiões LMIs e Alocação de pólos Veja que f D (z) = r z + q z + q r = r q q r z z < 0 L M M T que resulta na LMI, substituindo (P D, AP D, P D A T ) (1, z, z) rp D P D A T + qp D AP D + qp D rp D 0 pag.8 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

9 Regiões LMIs e Alocação de pólos Considerando o sistema em malha fechada, ie para A + B u K, obtém-se rp D P D (A + B u K) T + qp D (A + B u K)P D + qp D rp D 0 que resulta, com a mudança de variável linearizante, Z D = KP D, rp D P D A T + Z T DB T u + qp D AP D + B u Z D + qp D rp D 0, K = Z D P 1 D pag.9 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

10 Regiões LMIs e Alocação de pólos Outras regiões LMIs 3. Cone descrito como Im(z) < β Real(z) : f D (z) = resulta na LMI (z + z) 1 (z z) β 1 (z z) (z + z) β 0 (AP C + P C A T ) 1 β (AP C P C A T ) 1 β (AP C P C A T ) (AP C + P C A T ) 0 pag.10 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

11 Regiões LMIs e Alocação de pólos Considerando o sistema em malha fechada para A + B u K, obtém-se ((A + B u K)P C + P C (A + B u K) T ) 1 β ((A + B uk)p C P C (A + B u K) T ) 1 β ((A + B uk)p C P C (A + B u K) T ) ((A + B u K)P C + P C (A + B u K) T ) 0 que resulta, com a mudança de variável linearizante, Z C = KP C, (AP C + B u Z C + P C A T + ZC T BT u ) 1 β (AP C + B u Z C P C A T ZC T BT u ) 1 β (AP C + B u Z C P C A T Z C Bu T ) (AP C + B u Z C + P C A T + Z C Bu T ) 0 P C 0, K = Z C P 1 C pag.11 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

12 Regiões LMIs e Alocação de pólos 4. Faixa horizontal Im(z) < ω: f D (z) = 2ω z z z z 2ω 0 resulta na LMI 2ωP H AP H P H A T P H A T AP H 2ωP H 0 pag.12 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

13 Regiões LMIs e Alocação de pólos Considerando o sistema em malha fechada para A + B u K, obtém-se 2ωP H P H (A + B u K) T (A + B u K)P H (A + B u K)P H P H (A + B u K) T 2ωP H 0 que resulta, com a mudança de variável linearizante, Z H = KP H, 2ωP H AP H + B u Z H P H A T Z h B T u P H A T + Z T H BT u AP H B u Z H 2ωP H 0 K = Z H P 1 H pag.13 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

14 Regiões LMIs e Alocação de pólos Todas as regiões LMIs podem ser estendidas para sistemas a tempo discreto!!! Basta que se escolha de forma apropriada os elementos que a caracterizam Pode-se combinar duas ou mais regiões LMIs facilmente... No entanto, só é possível utilizá-las quando se deseja obter uma intersecção entre as mesmas que não seja vazia. Ie, não há como obter regiões LMIs desconexas Quer obter um único controlador quando se considera duas ou mais regiões LMIs? Basta para tanto que se fixe a matriz de Lyapunov adotada, ie imponha P = P F = P D = P C = P H Extensão imediata para sistemas com incertezas politópicas pag.14 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

15 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída Restrições sobre a entrada de controle Quando a condição inicial, x(0), é conhecida, pode-se encontrar um limitante superior para a norma da entrada do sinal de controle u(t) = Kx(t) de um sistema incerto (politópico) A restrição u(t) µ é imposta para todos os instantes t 0 se as LMIs 1 x(0) T x(0) Y 0, Y Z Z T µ 2 I 0 são factíveis, onde Y 0 e Z satisfazem as condições de estabilidade, i = 1,..., κ, A i Y + Y A T i + B ui Z + Z T B T ui 0 (Caso contínuo) Y Y A T i + Z T B T ui A i Y + B ui Z Y 0 (Caso discreto) Neste caso, o ganho estabilizante é: K = ZY 1... pag.15 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

16 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída E se x(0) não é precisamente conhecido? caso onde x(0) está contido em um politopo (ou elipsóide)... Pode-se estender os resultados para o Por exemplo, suponha que x(0) 1, então 1 x(0) T x(0) Y 0 = Y x(0)x(0) T 0 = Y I Obtendo-se assim as LMIs: Y I, Y Z Z T µ 2 I 0 pag.16 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

17 Restrições sobre Sinais de Entrada e Saída Restrições sobre o pico do sinal de saída conhecida e o sistema incerto considerado seja da forma Suponha que a condição inicial, x(0), é δ[x(t)] = Ax(t) + B u x(t), x(0) = x 0 y(t) = C y x(t) sendo (A, B u, C y ) P A restrição y(t) φ é imposta para todos os instantes t 0 se as LMIs 1 x(0) T x(0) Y 0, Y C yi Y Y C T yi φ 2 I 0 são factíveis, i = 1,..., κ, onde Y 0 satisfaz a LMI de estabilidade (contínuo ou discreto) como no caso anterior para entrada de controle pag.17 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

18 Controlador baseado no Observador e LMIs Considere o controlador dinâmico (controle baseado no observador), ie δ[ˆx(t)] = A c ˆx(t) + B c y(t) u(t) = C c ˆx(t) K(s) = A c B c C c 0 Neste caso as matrizes A c, B c, C c são incógnitas no projeto do controlador. Particularmente pode-se mostrar que B c L p, C c K e A c = A BK L p C obtidos para um sistema precisamente conhecido, ie o tradicional controle baseado no observador... pag.18 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

19 Controlador baseado no Observador e LMIs Sistema em malha fechada? Controlador K(s) realimentando o modelo abaixo: Σ : δ[x(t)] = Ax(t) + B u u(t) y(t) = C y x(t) Considerando o sistema Σ e o controlador K(s) obtém-se as equações: δ[x(t)] = Ax(t) + B u C c ˆx(t) δ[ˆx(t)] = A c x c (t) + B c C y x(t) Define-se o vetor aumentado: x(t) = x(t) x c (t) (Por que?) pag.19 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

20 Controlador baseado no Observador e LMIs Então o sistema aumentado admiti a seguinte realização: δ[ x(t)] = Ax(t) sendo A R 2n 2n e A = A B c C y B u C c A c As manipulações são bastante similares para sistemas a tempo contínuo ou discreto. Escolhendo o caso mais patológico, ie o contínuo... Estabilidade? P 0 satisfazendo A T P + P A 0, P = P T R 2n 2n pag.20 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

21 Controlador baseado no Observador e LMIs Suponha que a matriz P = P T R 2n 2n seja dividida da seguinte forma P P 11 P 12 P T 12 P 22, P 11 R n n e a sua inversa da forma S P 1 = S 11 S 12 S T 12 S 22, S 11 R n n pag.21 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

22 Controlador baseado no Observador e LMIs Da identidade P S = I obtém-se P 11 P 12 P T 12 P 22 S 11 S 12 S T 12 S 22 = I 0 0 I ou P 11 S 11 + P 12 S T 12 P 11 S 12 + P 12 S 22 P T 12S 11 + P 22 S T 12 P T 12S 12 + P 22 S 22 = I 0 0 I = P 11 S 11 + P 12 S T 12 = I = I P 11 S 11 = P 12 S T 12 pag.22 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

23 Controlador baseado no Observador e LMIs Nota P 12 e S 12 têm posto completo de linhas quando I P 11 S 11 é não singular Nota P satisfaz a identidade P M = N, sendo M = S 11 I S T 12 0 e N = I P 11 0 P T 12 Fato Pode-se assumir que P 12 e S 12 têm posto completo de linhas M e N têm posto completo de colunas Por que introduzir M e N? Construção de transformações de similaridade em função de M ou N... pag.23 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

24 Controlador baseado no Observador e LMIs Baseado na desigualdade de Lyapunov para análise de estabilidade, obtém-se M T A T P + P A M 0 M T A T P M + M T P AM 0 Resta a restrição de positividade para a Lyapunov, ie M T P M 0 pag.24 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

25 Controlador baseado no Observador e LMIs Calculando cada um dos termos onde aparece o produto com M M T P M = N T M = I 0 P 11 P 12 S 11 I S T 12 0 = S 11 P 11 S 11 + P 12 S T 12 I I P 11 então M T P M = S 11 I I P 11 pag.25 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

26 Controlador baseado no Observador e LMIs M T P AM = N T AM = I 0 P 11 P 12 A B c C y B u C c A c S 11 I S T 12 0 = A P 11 A + P 12 B c C y B u C c P 11 B u C c + P 12 A c S 11 I S T 12 0 pag.26 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

27 Controlador baseado no Observador e LMIs = AS 11 + B u C c S T 12 P 11 AS 11 + P 12 B c C y S 11 + P 11 B u C c S T 12 + P 12 A c S T A... P 11 A + P 12 B c C y pag.27 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

28 Portanto para a Lyapunov obtém-se: Controlador baseado no Observador e LMIs M T A T P M + M T P AM 0 Ψ 11 Ψ 12 Ψ 22 0 (1) sendo Ψ 11 AS 11 + S 11 A T + B u C c S T 12 + S 12 C T c B T u Ψ 12 A + S 11 A T P 11 + S 11 C T y B T c P T 12 + S 12 C T c B T u P 11 + S 12 A T c P T 12 Ψ 22 A T P 11 + P 11 A + P 12 B c C y + C T y B T c P T 12 pag.28 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

29 Controlador baseado no Observador e LMIs Note que (??) não é LMI. Necessita-se então introduzir as seguintes mudanças de variáveis linearizantes em (??) da forma A T S 11 A T P 11 + S 11 C T y B T c P T 12 + S 12 C T c B T u P 11 + S 12 A T c P T 12 B P 12 B c C C c S T 12 pag.29 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

30 Controlador baseado no Observador e LMIs Portanto pode-se obter um controlador dinâmico por realimentação de saída através do procedimento de otimização nas variáveis matriciais S 11, P 11, A, B e C S 11 = S 11, P 11 = P T 11, A, B e C satisfazendo as LMIs S 11 I P 11 0 AS 11 + S 11 A T + B u C + C T B T u A + A T A T P 11 + P 11 A + BC y + C T y B T 0 pag.30 Introdução ao Controle Robusto Aula 8

31 ST12 A P11AS11 P12 Bc Controlador baseado no Observador e LMIs Resta a questão: como reconstruir o controlador K(s)? De posse do conjunto solução do problema de otimização convexo anterior, ie S 11, P 11, A, B e C Primeiramente obtenha as matrizes não-singulares P 12 e S 12 da decomposição: P 12 S T 12 = I P 11 S 11 Siga os passos C c = C 1 3. B c = P 1 12 B 4. A c = P 1 12 S 11 P 11 B u C c S T 12 S T 12 pag.31 Introdução ao Controle Robusto Aula 8