Observabilidade, Decomposição Canônica

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1 Observabilidade, Decomposição Canônica 1. Observabilidade de Sistemas LIT 2. Dualidade 3. Índices de Observabilidade 4. Decomposição Canônica pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

2 Observabilidade Sistemas LIT Um estado pode ser observado (acessado) a partir saída? R 1 R 2 u + C 1 R 3 C 2 y Definem-se as variáveis de estado como v C1 e v C2 Note que a corrente através de R 3 iguala-se a entrada u (o circuito está aberto em y), portanto a resposta gerada pelo estado inicial v C1 (0) não aparece na saída y. Então o estado inicial v C1 (0) não pode ser observado a partir da saída pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

3 Observabilidade Sistemas LIT Conceito dual à controlabilidade Considere a equação dinâmica de dimensão n, p entradas e q saídas ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du com A R n n, B R n p, C R q n e D R q p A equação de estado acima ou o par (A, C) é observável se, para qualquer estado inicial x(0), existir um tempo finito t 1 tal que o conhecimento da entrada u e da saída y no intervalo [0, t 1 ] seja suficiente para se determinar de maneira única o estado inicial x(0) pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

4 Observabilidade Sistemas LIT Exemplo i + u + 1 Ω x + 1 Ω y C 1 Ω 1 Ω Se a entrada é nula, a saída y é sempre nula independentemente da tensão inicial no capacitor (simetria do circuito). Conhece-se a entrada e a saída, porém não pode-se determinar unicamente o estado inicial O sistema é não observável... pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

5 Observabilidade Sistemas LIT Exemplo L x 1 + u R 1 R 2 C + x 2 y Variáveis de estado: corrente no indutor x 1 e tensão no capacitor x 2 Se u = 0, x 1 (0) = x 10 0 e x 2 (0) = 0, a saída y = x 2 é igual a zero. Qualquer condição inicial x(0) = [ a 0 ] com u = 0 produz a mesma saída y = 0 Não é possível determinar o estado inicial (não observável) pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

6 Observabilidade Sistemas LIT A saída do sistema para uma condição inicial x(0) e uma entrada u(t) é dada por y(t) = Ce At x(0) + C t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t) Assumindo y e u conhecidos, a única incógnita é x(0). Então Ce At x(0) = ȳ ȳ y(t) C t t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ Du(t) pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

7 Observabilidade Sistemas LIT Estudar a observabilidade se reduz a obter x(0) a partir de u(t) e y(t). Se u 0, a saída ȳ(t) reduz-se a resposta à entrada nula y(t) = Ce At x(0) Um sistema é observável se e somente se o estado inicial x(0) pode ser determinado de maneira única a partir da resposta à entrada nula durante um intervalo de tempo Note que para um t fixo, com q < n, a matriz Ce At tem posto no máximo igual a q e, conseqüentemente, nulidade n q ou maior, e as soluções não são únicas pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

8 Observabilidade Sistemas LIT Teorema O sistema é observável se e somente se a matriz n n W o (t) = for não singular para qualquer t > 0 t 0 e A τ C Ce Aτ dτ Demonstração Pré-multiplicando Ce At x(0) = ȳ(t) por e A t C e integrando no intervalo [0, t 1 ] tem-se ( t1 ) t1 e A t C Ce At dt x(0) = e A t C ȳ(t)dt 0 Se W o (t 1 ) é não singular, x(0) é único e dado por x(0) = W 1 o (t 1) t1 0 0 e A t C ȳ(t)dt Isso mostra que se W o (t) é não singular para qualquer t > 0 então o sistema é observável pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

9 Observabilidade Sistemas LIT Agora, mostra-se que se W o (t 1 ) é singular (ou, equivalentemente, semidefinda positiva) para todo t 1 > 0, então o sistema é não observável Se W o (t 1 ) é semidefinda positiva, existe v R n 1 não nulo tal que v W o (t 1 )v = = t1 0 t1 0 v e A t C Ce At vdt Ce At v 2 dt = 0 o que implica Ce At v 0 para todo t [0, t 1 ]. Se u 0, as condições iniciais x 1 (0) = v 0 e x 2 (0) = 0 produzem a mesma saída e portanto o sistema é não observável y(t) = Ce At x 1 (0) = Ce At x 2 (0) 0 pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

10 Observabilidade Sistemas LIT Teorema (Dualidade) O par (A, B) é controlável se e somente se o par (A, B ) for observável Demonstração (A, B) controlável se e somente se W c (t) = t 0 e Aτ BB e A τ dτ for não singular para qualquer t > 0. O par (A, B ) é observável se e somente se, trocando A por A e C por B W o (t) = t 0 e Aτ BB e A τ dτ for não singular para qualquer t > 0 pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

11 Observabilidade Sistemas LIT Observabilidade: depende apenas de (A, C) Teorema As afirmações abaixo são equivalentes: 1. O par (A, C) é observável 2. A matriz n n é não-singular t > 0 W o (t) = t 0 e A τ C Ce Aτ dτ 3. A matriz de observabilidade nq n (comando obsv no Matlab) C CA O =. CA n 1 tem posto n (posto completo de colunas) pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

12 Observabilidade Sistemas LIT 4. A matriz (n + q) n λi A C tem posto n (posto completo de colunas) para todo autovalor λ de A 5. Se todos os autovalores de A têm parte real negativa, a solução única de A W o + W o A = C C é definida positiva. Essa solução é chamada de Gramiano de observabilidade e pode ser expressa como W o = 0 e A τ C Ce Aτ dτ pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

13 Índices de Observabilidade Considere A R n n e C R q n com C de posto completo de linhas (se não for o caso, alguma linha redundante pode ser eliminada) Se (A, C) for observável, a matriz de observabilidade O tem rank n e, conseqüentemente, n linhas linearmente independentes (de um total de nq linhas) Seja c i a i-ésima linha de C. De maneira dual à controlabilidade, se uma linha associada a c m torna-se LD, todas as demais linhas subseqüentes também o serão. Seja ν m o número de linhas LI associadas a c m. Se O tem rank n, ν 1 + ν ν q = n {ν 1, ν 2,..., ν p } são índices de observabilidade e é o índice de observabilidade de (A, C) ν = max {ν 1, ν 2,..., ν p } pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

14 Índices de Observabilidade Se (A, C) é observável, o índice de observabilidade ν é o menor inteiro tal que ρ(o ν ) = ρ O intervalo para ν é dado por C CA = n. CA ν 1 n/q ν min ( n, n q + 1) q = rank (C) sendo n o grau do polinômio mínimo de A pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

15 Índices de Observabilidade Corolário O par (A, C) com A R n n e ρ(c) = q é observável se e somente se a matriz C CA O n q+1 =. tiver posto n CA n q Teorema A observabilidade é invariante sob qualquer transformação de equivalência Teorema O conjunto de índices de observabilidade do par (A, C) é invariante sob qualquer transformação de equivalência e para qualquer re-ordenamento das linhas de C pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

16 Índices de Observabilidade Diferenciando Ce At x(0) = ȳ(t) e tomando t = 0, tem-se C ȳ(0) CA ȳ(0) x(0) = O ν x(0) = ỹ(0).. CA ν 1 ȳ (ν 1) (0) Uma solução x(0) existe se ỹ(0) estiver no range de O ν. Se (A, C) é observável, O ν tem rank completo de colunas e a solução é única x(0) = [O O] 1 O ỹ(0) Note que para a determinação do vetor ỹ(0) (contendo as derivadas) é necessário o conhecimento de ȳ(t) na vizinhança de t = 0 pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

17 Sistemas Equivalentes Considere o sistema ẋ y = Ax + Bu = Cx + Du Seja x = P x com P não singular. Então x = Ā x + Bu y = C x + Du Ā = PAP 1 ; B = PB ; C = CP 1 ; D = D é um sistema equivalente (A, B) controlável (Ā, B) controlável (A, C) observável (Ā, C) observável pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

18 Sistemas Equivalentes Todas as propriedades (estabilidade, controlabilidade e observabilidade) são preservadas pela transformação de equivalência. As matrizes de controlabilidade e de observabilidade se relacionam da seguinte forma C = PC ; Ō = OP 1 pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

19 Decomposição Canônica Teorema Considere um sistema de dimensão n com ([ ]) ρ(c) = ρ B AB A n 1 B = n 1 < n [ e forme a matriz n n, P 1 q 1 q n1 q n ], cujas primeiras n 1 colunas são quaisquer n 1 colunas LI de C e as demais são escolhidas arbitrariamente de modo que P seja não singular A transformação de equivalência x = Px transforma o sistema em x c x c = y = Āc Ā 12 0 Ā c x c [ C c C c ] x c com Ā c R n 1 n 1 e Ā c R (n n 1) (n n 1 ) x c x c + + Du B c 0 u pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

20 Decomposição Canônica A sub-equação de dimensão n 1 x c = Ā c x c + B c u ȳ = C c x c + Du é controlável e tem a mesma matriz de transferência do sistema original pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

21 Decomposição Canônica Demonstração A transformação x = P 1 x realiza uma mudança de representação do estado da base ortonormal para a base Q P 1 = {q 1,..., q n1,..., q n }. A i-ésima coluna de Ā é a representação de Aq i na base {q 1,..., q n1,..., q n }. Para i = 1,..., n 1, os vetores Aq i são LD no conjunto {q 1,..., q n1 } e são LI em {q n1 +1,..., q n }, o que explica a forma da matriz Ā As colunas de B são a representação das colunas de B em relação à base {q 1,..., q n1,..., q n }. Mas as colunas de B dependem apenas de {q 1,..., q n1 }, o que explica a forma de B. Note que se B R n p tem rank p e se suas colunas são escolhidas como as primeiras p colunas de P 1, então a parte superior de B será a matriz identidade de ordem p pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

22 Decomposição Canônica Seja C a matriz de controlabilidade de (A, B). Então, tem-se ρ(c) = ρ( C) = n 1 e pode-se verificar que C = B c Ā c B c Ā n 1 c B c Ā n 1 c B c } = C c Ā n 1 c B c Ā n 1 c B c n 1 linhas } n n 1 linhas sendo C c a matriz de controlabilidade do par (Ā c, B c ). Como as colunas de Ā k c B c, para k n 1, são LD das colunas de C c, a condição ρ(c) = n 1 implica ρ( C) = n 1 e portanto a equação de dimensão n 1 é controlável Resta mostrar que a equação de dimensão n 1 tem a mesma função de transferência do sistema original? pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

23 Decomposição Canônica A equação de dimensão n 1 tem a mesma FT do sistema original? Como a transformação de equivalência não altera a FT, basta mostrar que a FT do sistema de dimensão n 1 é igual à do sistema transformado Note que no sistema transformado tem-se: 1 si Ā ( ) 1 c Ā 12 si Āc M = ( ) 1 0 si Ā c 0 si Ā c com M = ( si Ā c ) 1 Ā 12 ( si Ā c ) 1 e portanto a matriz de transferência do sistema transformado é... pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

24 Decomposição Canônica Matriz de transferência: [ C c C c ] si Ā c Ā 12 0 si Ā c 1 B c 0 + D = [ C c C c ] ( ) 1 si Āc M ( ) 1 0 si Ā c B c 0 + D = C c ( si Āc ) 1 B c + D i.e., têm a mesma FT... pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

25 Decomposição Canônica Na transformação de equivalência x = Px, o espaço de estados é dividio em dois subespaços: um controlável e outro não controlável Decomposição do espaço de estados não-controlável; dimensão n n 1 x c x c = x c x c controlável; dimensão n 1 pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

26 Decomposição Canônica Exemplo ẋ = x [ u ; y = ] x rank(b) é 2 C 2 = [ B AB ] ρ(c 2 ) = ρ o sistema é não controlável = 2 < 3 pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

27 Decomposição Canônica Escolha: P 1 = Q = ; x = Px as duas primeiras colunas de Q são as duas primeiras colunas LI de C 2. Note Ā = PAP 1 = ; B = PB = C = CP 1 = [ ] pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

28 Decomposição Canônica Sistema de dimensão n 1 = 2 x c = 1 0 x c u ; y = [ 1 2 ] x MATLAB A função ctrbf transforma o sistema para a forma canônica controlável, mas com as colunas de P 1 na ordem inversa, resultando Ā c 0 ; 0 B Ā 21 Ā c c pag.28 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

29 Decomposição Canônica Teorema (Decomposição Canônica Forma Dual) Considere um sistema de dimensão n com C CA ρ(o) = ρ. = n 2 < n. CA n 1 [ ] e forme a matriz n n P p 1... p n2... p n cujas primeiras n 2 linhas são quaisquer n 2 linhas LI de O e as demais são escolhidas arbitrariamente de modo que P seja não singular. Então... pag.29 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

30 Decomposição Canônica Então, x = Px transforma o sistema em x o = Āo 0 xō Ā 21 Āō y = [ C o 0 x o ] x o xō xō + + Du B o Bō u Ā o R n 2 n 2 e Āō R (n n 2) (n n 2 ). A sub-equação de dimensão n 2 x o = Ā o x o + B o u ȳ = C o x o + Du é observável e tem a mesma matriz de transferência MATLAB obsvf pag.30 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

31 Decomposição Canônica Teorema (Decomposição de Kalman) Toda equação de estado pode ser transformada na forma canônica equivalente x co Ā co 0 Ā 13 0 x co B co x cō Ā 21 Ā cō Ā 23 Ā 24 x cō B cō = + u x co 0 0 Ā co 0 x co 0 x cō 0 0 Ā 43 Ā cō 0 x cō y = [ C co 0 C co 0 ] x + Du sendo, x co controlável e observável; x cō controlável e não observável; x co não controlável e observável e x cō não controlável e não observável pag.31 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

32 Decomposição Canônica O sistema é equivalente (para estado inicial nulo) à equação de estado controlável e observável x co = Ā co x co + B co u y = C co x co + Du com a matriz de transferência dada por: G(s) = C co (si Ā co ) 1 B co + D pag.32 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

33 Decomposição de Kalman Decomposição Canônica CŌ u CO y CO C CŌ Descrição por FT não é necessariamente equivalente à descrição por equações de estado MATLAB minreal (realização mínima, cancelando pólos e zeros) pag.33 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

34 Decomposição Canônica Exemplo 2 F 1 Ω + x 1 u x 2 1 H 1 H 1 Ω 1 Ω 2 F x 4 + y + x 3 1 Ω 1 Ω Eliminando as variáveis de estado que são não controláveis e/ou não observáveis... pag.34 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

35 Decomposição Canônica Eliminando as variáveis de estado que não são controláveis (circuito com o R+L do lado aberto em y) e e/ou não são observáveis (C+L em paralelo na malha da fonte de corrente u) (note ainda que devido a simetria x 3 é não controlável e não observável...): u 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω + y Corrente em cada ramo: u/2 e saída y = u/2 + u/2 = u. Portanto FT: y = u, i.e., G(s) = 1 pag.35 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16

36 Decomposição Canônica Equação de estado do circuito original (forma canônica controlável) ẋ = x + u [ ] y = x + u Parte controlável ẋ c = y = x c u [ ] 0 0 x c + u y = u pag.36 Teoria de Sistemas Lineares Aula 16