Teorema 2.3: (Identidade de Bezout Generalizada) Sejam G(s) = N(s)D 1 1

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1 Teorema 2.3: (Identidade de Bezout Generalizada) ejam G(s) D (s) D (s)ñ(s) DFMs irredutíveis, então existem matrizes polinomiais X (s), Y (s), X(s) e Y(s) tais que Y(s) X(s) X (s) D(s) Ñ(s) D(s) Y (s) X (s) Y(s) X(s) D(s) Y (s) D(s) Ñ(s) Prova: e D(s) coprimas à direita existem matrizes X(s) e Y(s) tais que X(s)D(s)+Y(s) I Ñ(s) e D(s) coprimas à esquerda existem matrizes X(s) e Ỹ(s) tais que D(s) X(s)+Ñ(s)Ỹ(s) I G(s) D (s) D (s)ñ(s) D(s) Ñ(s)D(s) Y(s) X(s) X(s) I Q(s) D(s) Ñ(s) D(s) Ỹ(s) sendo que Q(s) Y(s) X(s)+X(s)Ỹ(s) I Q(s) I Q(s) Note que Y(s) X(s) X(s) I Q(s) I D(s) Ñ(s) D(s) Ỹ(s) X(s) I Q(s) X(s) Q(s) D(s) Ỹ(s) D(s) Ỹ(s) D(s)Q(s) Definindo X (s) X(s)+Q(s) e Y (s) Ỹ(s) D(s)Q(s), tem-se que Y(s) X(s) X (s) X (s) Y(s) X(s) D(s) Ñ(s) D(s) Y (s) D(s) Y (s) D(s) Ñ(s) Y(s) X(s) X (s) Obs.: As matrizes D(s) Ñ(s) e D(s) Y (s) são unimodulares. Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27

2 2.7 Pólos e Zeros de G(s) a partir de uma realização de ordem mínima uponha que G(s) D (s) seja uma DFM irredutível. ( e D(s) são coprimas à direita) G(s) C c (si A c ) B c, sendo que a realização (realização de ordem mínima) Ac B c C c está na forma controlador Pólos de G(s) G(s) ε (s) ψ (s) ε 2 (s) ψ 2 (s)... ε r (s) ψ r (s) (p r) r r (m r) (p r) (m r) Definição: O polinômio característico de uma matriz racional G(s) R p m (s) é o produto de seus polinômios invariantes p G (s) : ψ (s)ψ 2 (s)...ψ r (s) e o grau de G(s) (grau de McMillan de G(s)) também pode ser obtido diretamente destes polinômios G(s) D (s) δ G gr{p G (s)} detd(s) adjd(s) Os pólos de G(s) são as raízes do detd(s) detd(s) det(d hc ) r ψ i (s) i G(s) C c (si A c ) B c r gr{ψ i (s)} i detsi A c C cadj(si A c )B c det(si A c ) r ψ i (s) p G (s) i Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27

3 eja, agora, A B C outra realização de G(s) de ordem mínima, então existe uma matriz não singular T tal que A TA c T. Portanto, det(si A c ) det(st T T AT) dett (si A)T det(si A) Os pólos de G(s) são as raízes de det(si A), onde A é a matriz de estado de qualquer realização de G(s) de ordem mínima. Zeros de G(s) ε (s) ε 2 (s)... ε r (s) (p r) r r (m r) (p r) (m r) Definição: O polinômio z G (s) : ε (s)ε 2 (s)...ε r (s) é chamado de de polinômio dos zeros de G(s) e suas raízes são chamadas de zeros de transmissão de G(s) e G(s) é quadrada e não singular, então seus zeros são as raízes de det Lema 2.8: eja G(s) D (s) C c (si A c ) B c, com e D(s) coprimas à direita, então existem matrizes X(s), Y(s), X(s), Ỹ(s) tais que si Ac B c X(s) Ψ(s) X(s) Y(s) Prova: Pelo Lema 2.6, tem-se que si A c e B c são coprimas à esquerda existem matrizes X(s) e Ỹ(s) tais que (si A c ) X(s)+B c Ỹ(s) I Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27

4 Pelo Lema 2.6, tem-se que Ψ(s) e D(s) são coprimas à direita existem matrizes X (s) e Y (s) tais que X (s)ψ(s)+y (s)d(s) I Além disso, sabe-se que (si A c )Ψ(s) B c D(s). Portanto, si Ac B c X(s) Ψ(s) X (s) Y (s) Q(s) I Para concluir a prova basta seguir os mesmo passos apresentados na demonstração da Identidade de Bezout Generalizada. si Ac B c X(s) Ψ(s) Obs.: as matrizes X(s) Y(s) e são unimodulares. A B Teorema 2.4: eja G(s) D (s) C e sejam e D(s) coprimas à direita. Então, uma realização de G(s) de ordem mínima si A B I Prova: si A B si Ac B c (i) A TA c T, B TB c, C C c T si A B si TAc T TB c T si Ac B c T C c T T T Note que as matrizes e são unimodulares. si Ac B c I (ii) Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27

5 si Ac B c I C c X(s) I unimodular X(s) Ψ(s) unimodular I C c X(s) I C c X(s) Cc Ψ(s) Observações: () A matriz (2) I si A B é chamada de matriz do sistema de Rosenbrock I n ε(s)... ε r (s) (p r) (n+r) (n+r) (m r) (p r) (m r) Os zeros de G(s) são os valores s C tais que si A B perde posto. (3) Interpretação dinâmica dos zeros: eja z um zero de G(s), então existe um vetor ω x u, tal que z A B x u Defina u(t) { u e z t, t t <, então para x() x, tem-se que y(t), t Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27

6 Exemplo: G(s) s+ (s+2) 2 (s+2) 2 (s+3) (s+3) D (s), s+ (s+2) 2 e D(s) sendoqueed(s)sãocoprimasàdireita. s+3 Pólos de G(s) : P { 2(#2), 3} Zeros finitos de G(s) : Z { } y ẋ x x+ u s+4 4 s si A B H(s) s+3, deth(s) s+ Z f H( ) y(t) Ce At x + t Ce A(t τ) Bu(τ)dτ te 2t te 2t x u + te 2t te 2t u(t), t e t e t Prof. Eduardo Nunes 4:55 23 de Maio de 27