2.2.1 Cálculo do m.d.c. à direita de matrizes polinomiais

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João Henrique Amorim Fortunato
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1 2.2.1 Cálculo do m.d.c. à direita de matrizes polinomiais Teorema 2.1: Sejam N(s) IR p m [s] e D(s) IR m m [s] e assuma que det[d(s)] 0. Seja U(s) uma matriz unimodular tal que [ ] D(s) U(s) = N(s) R(s), D(s) IR m m [s] 0 Então R(s) é um m.d.c. à direita de N(s) e D(s) (não singular) Prova: (i) R(s) é um divisor comum à direita de N(s) e D(s) Como U(s) é unimodular, então V(s) = U 1 (s) é uma matriz polinomial [ ] [ ] [ ][ ] D(s) R(s) V11 (s) V 12 (s) R(s) = V(s) = N(s) 0 V 21 (s) V 22 (s) 0 D(s) = V 11 (s)r(s) N(s) = V 21 (s)r(s), onde V 11(s) e V 21 (s) são matrizes polinomiais. (ii) Seja, agora, R(s) um novo divisor comum de N(s) e D(s). Portanto, N(s) = N(s) R(s) e D(s) = D(s) R(s), N(s) e D(s) são matrizes polinomiais Note que [ ][ ] [ ] U11 (s) U 12 (s) D(s) R(s) = U 21 (s) U 22 (s) N(s) 0 U 11 (s)d(s)+u 12 (s)n(s) = R(s) U 11 (s) D(s) R(s)+U 12 (s) N(s) R(s) = R(s) R(s) = [ U 11 (s) D(s)+U 12 (s) N(s) ] R(s) matriz polinomial R(s) é um divisor de R(s)

2 Obs. 1: Máximos divisores comuns de matrizes polinomiais não são únicos Proposição 2.1: Seja R 1 (s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s) e U(s) uma matriz unimodular qualquer. Então a matriz polinomial R 2 (s) = U(s)R 1 (s) também é um m.d.c. à direita de N(s) e D(s). Prova: N(s) = N 1 (s)r 1 (s) = N 1 (s)v(s) R 2 (s) N 2 (s) ( N 2 (s) é uma matriz polinomial.) D(s) = D 1 (s)r 1 (s) = D 1 (s)v(s) R 2 (s) D 2 (s) ( D 2 (s) é uma matriz polinomial.) Logo, R 2 (s) também é um divisor comum à direita de N(s) e D(s). Seja agora Q(s) um divisor comum à direita qualquer de N(s) e D(s). Como R 1 (s) é um m.d.c. à direita, então Q(s) divide R 1 (s) R 1 (s) = R 1 (s)q(s) para alguma matriz polinomial R 1 (s) qualquer R 2 (s) = U(s)R 1 (s) = U(s) R 1 (s) Q(s) = R 2 (s)q(s) R 2 (s) Logo, Q(s) também será um divisor de R 2 (s) e portanto, R 2 (s) também será um m.d.c. à direita de N(s) e D(s). Obs. 2: A matriz unimodular U(s) do Teorema 2.1 é formada pelo produto de matrizes elementares Matrizes elementares (3 3) - pré-multiplicação (1) Troca de posição entre duas linhas E = 0 E = 1 0 (trocar linhas 1 e 2) (2) Multiplicção de uma linha por uma constante real c 0 E = 0 c 0 (multiplicar a linha 2 por c IR ) 0 E = c IR

3 (3) Substituir uma linha pela soma desta linha com outra linha multiplicada por um polinômio p(s) E = 0 0 p(s) 1 E = p(s) 0 (nova linha 3 é igual a soma da linha 3 com a linha 2 multiplicada por p(s)) (nova linha 2 é igual a soma da linha 2 com a linha 3 multiplicada por p(s)) E = 1 Exemplo: N(s) = [ s+1 s+2 ] e D(s) = [ ] s+2 s+1 1 s 0 s+2 s+ s 1 s = s+2 s+1 0 s+1 s+2 E 1 (s) M(s) s+1 s+2 M 1 (s) 1 s 1 s (s+2) 1 0 s+2 s+1 = 0 s 2 s+1 (s+1) s+1 s+2 E 2 (s) M 1 (s) 0 } s 2 +2 {{ } M 2 (s) 1 s 1 s 0 0 s 2 s+1 = 0 s 2 s } s 2 +2 {{ } E 3 (s) M 2 (s) 1 s 1 s s 0 s 2 s+1 = 0 0 } s+1 {{ } E 4 (s) M 3 (s) 0 } s+1 {{ } M 3 (s) M 4 (s)

4 1 s 0 0 (s+1) 1 E 5 (s) M 4 (s) [ ] D(s) U(s) = N(s) = 1 s 0 0 M 5 (s) R(s) [ ] 1 s, R(s) = 0 U(s) = E 5 (s)e 4 (s)e 3 (s)e 2 (s)e 1 (s) U(s) = V(s) = U 1 (s) V(s) = s+2 s 2 s+1 s s+1 s 2 +2 s+1 0 s+1 2 s 2 2 2s+3 s 2 s+1 Note que: [ ] [ s+2 s+1 s+2 s 2 ][ ] s+ s D(s) = = = V 11 (s)r(s) 1 s 1 N(s) = [ s+1 s+2 ] = [ s+1 s 2 +2 ][ ] 1 s = V 21 (s)r(s) Obs. 3: Qualquer par de m.d.c. à direita deve ser relacionado por s R 1 (s) = W 2 (s)r 2 (s) e R 2 (s) = W 1 (s)r 1 (s) onde W 1 (s) e W 2 (s) são matrizes polinomiais Como podemos escrever R 1 (s) = W 2 (s)w 1 (s)r 1 (s) segue que: 1. Se R 1 (s) é não-singular, então W 1 (s) e W 2 (s) devem ser unimodulares, e conseqüentemente R 2 (s) também é não singular. 2. Se um m.d.c. à direita é unimodular, então todos os m.d.c.s à direita tem que ser unimodulares.

5 2.3 DFMs irredutíveis Definição: Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo número de colunas são coprimas à direita se seus m.d.c.s são unimodulares. Lema 2.1 (Identidade de Bezout): Duas matrizes polinomiais N(s) e D(s) com o mesmo número de colunas são coprimas à direita se e somente se existirem duas matrizes polinomiais X(s) e Y(s) tais que Prova: X(s)D(s)+Y(s)N(s) = I ( ) p q Se N(s) e D(s) são coprimas à direita, então de acordo com o Teorema 2.1 existem matrizes polinomiais U 11 (s) e U 12 (s) tais que U 11 (s)d(s)+u 12 (s)n(s) = R(s) sendo que R(s) é uma matriz unimodular R 1 (s)u 11 (s) D(s)+R 1 (s)u 12 (s) N(s) = I (X(s) e Y(s) são matrizes polinomiais.) X(s) Y(s) ( ) q p Suponha que existem X(s) e Y(s) polinomiais tais que X(s)D(s)+Y(s)N(s) = I Seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s), então: N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s) X(s) D(s)R(s)+Y(s) N(s)R(s) = I [ ] X(s) D(s)+Y(s) N(s) R(s) = I R 1 (s) = X(s) D(s)+Y(s) N(s) é uma matriz polinomial e, portanto, R(s) é unimodular.

6 Definição: G(s) = N(s)D 1 (s) é uma DFM irredutível se N(s) e D(s) forem coprimas à direita. Lema 2.2 Seja G(s) = N(s)D 1 (s) uma DFM à direita e seja R(s) um m.d.c. à direita de N(s) e D(s). Se as matrizes polinomiais N(s) e D(s) são tais que N(s) = N(s)R(s) e D(s) = D(s)R(s), então G(s) = N(s) D 1 (s) é uma DFM irredutível de G(s). Prova: (i) G(s) = N(s) D 1 (s) G(s) = N(s)D 1 (s) = N(s)R(s) [ D(s)R(s) ] 1 = N(s)R(s)R 1 (s) D 1 (s) G(s) = N(s) D 1 (s) (ii) N(s) e D(s) são coprimas à direita De acordo com o Teorema 2.1, tem-se [ ][ ] [ ] U11 (s) U 12 (s) D(s) R(s) = U 21 (s) U 22 (s) N(s) 0 U 11 (s)d(s)+u 12 (s)n(s) = R(s) U 11 (s) D(s)R(s)+U 12 (s) N(s)R(s) = R(s) U 11 (s) D(s)+U 12 (s) N(s) = I Portanto, de acordo com o Lema 2.1, as matrizes N(s) e D(s) são coprimas à direita. Definição: Uma matriz G(s) IR p m (s) é chamada de (i) imprópria: quando lim s G(s) não existe (ii) própria: quando lim s G(s) = K 0 (ii) estritamente própria: quando lim s G(s) = 0

7 [ Exemplo: G(s) = 1 s+1 ] s+2 s+1 lim G(s) = [ ] s G(s) é uma matriz de transferência própria [ G(s) = G sp (s)+d = ] s+1 s+1 C(sI A) 1 B + [ ] D [ Problema: Obter uma DFM irredutível para G sp (s) = 1 s+1 ] 1 s+1 ] 1 G sp (s) = N(s)D 1 (s) = [ ] [ s+1 0 N(s) D(s) N(s) e D(s) são coprimas à direita? 0 0 s (s+1) s (s+1) 0 0 [ ] R(s) = R(s) = s+1 R(s) não é unimodular N(s) e D(s) não são coprimas à direita. N(s) = N(s)R(s) N(s) = N(s)R 1 (s). [ ] R 1 (s) = 1 s+1 1 s+1

8 N(s) = 1 [ ] [ ] s+1 1 = [ 1 0 ] s+1 D(s) = D(s)R(s) D(s) = D(s)R 1 (s). [ ][ ] D(s) = 1 s+1 1 s+1 [ ] s+1 1 D(s) = D 1 (s) s+1 s+1 Note que N(s) D 1 (s) = G sp (s)

9 2.4 Matrizes Polinomiais e Racionais Forma de Smith Para N(s) IR p m [s] existem matrizes unimodulares U(s) IR p p [s] e V(s) IR m m [s] tais que onde U(s)N(s)V(s) = Σ(s) i) Σ(s) = σ 1 (s) σ 2 (s)... σ r (s) 0 (p r) r 0 r (m r) 0 (p r) (m r) ii) σ i (s), i = 1,...,r são polinômios mônicos e σ i (s)σ i+1 (s) (σ i (s) divide σ i+1 (s), i.e. σ i+1 (s) = p(s)σ i (s)) A Matriz Σ(s) é chamada de forma de Smith de N(s) Observações: (i) Seja i (s) o m.d.c. mônico de todosos menores de ordem ida matrizn(s). Pode-se mostrar que σ i (s) = i(s) i 1 (s) onde 0 (s) = 1, por definição. Os menores de ordem i da matriz N(s) são os determinantes de todas as submatrizes quadradas i i de N(s) (ii) Os polinômios σ i (s) são chamados de polinômios invariantes da matriz N(s). (iii) r é denominado de posto normal de N(s) (iv) Como U(s) e V(s) são unimodulares, então ρ[n(s)] = ρ[σ(s)], s. Portanto, N(s) perde posto para todos os valores de s = z tais que σ i (z) = 0.

10 Exemplo: N(s) = Cálculo de Σ(s) 1) 0 (s) = 1 s 2 +3s+2 s 2 1 s+1 s 2 +3s+2 1 (s) = 1 (menores de ordem 1 são os próprios elementos de N(s)) Menores de ordem 2: m 12 (s) = (s+1)(s+2) (s 1)(s+1) = (s 1)(s+1)(s+2) (s+1)(s+2) 2 (s+1)(s+2)[ s 1 s 2] = 3(s+1)(s+2) m 13 (s) = (s+1) (s+1)(s+2) = (s+1)(s+2) 2 (s+1)(s+2) (s+1)(s+2)[s+2 1] = (s+1) 2 (s+2) m 23 (s) = (s+1)(s+2) (s 1)(s+1) (s+1) (s+1)(s+2) = (s+1) 2 (s+2) 2 (s+1) 2 (s 1) (s+1) 2 [s 2 +4s+4 s+1] = (s+1) 2 (s 2 +3s+5) 2 (s) = s+1 Portanto: σ 1 (s) = 1(s) 0 (s) = 1 σ 2 (s) = 2(s) 1 (s) = s+1 Σ(s) =

11 2) (s+1) U 1 (s) (s+1)(s+2) (s 1)(s+1) s+1 (s+1)(s+2) U 2 (s) 0 3(s+1) 1 s(s+2) 0 (s+2) U 3 (s) 1 s(s+2) 0 3(s+1) 1 s(s+2) [ ] 1 s(s+2) 0 3(s+1) 0 (s+1) 2 (s+2) V 1 (s) (s+1)(s+2) 1 U 4 (s) (s+1) 0 (s+1) 2 (s+2) Σ(s) = U(s) = U 4 (s)u 3 (s)u 2 (s)u 1 (s) U(s) = [ ] 1 s(s+2) V(s) = V 1 (s) = (s+1) (s+1)(s2 +3s+5) (s+1)(s+2) s+2 3 Note que N( 1) = 0 0 ρ[n( 1)] = Forma de Smith-McMillan Seja G(s) IR p m (s) escrita como G(s)= 1 N(s), sendo d(s) o mínimo múltiplo comum d(s) (m.m.c.) mônico dos denominadores de G(s) e N(s) IR p m [s]. Então, existem matrizes unimodulares U(s) e V(s) tais que U(s)N(s)V(s) = Σ(s) onde Σ(s) é a forma de Smith de N(s).

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