5 a LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 5 a LITA DE EXERCÍCIO ) A ação de controle proporcionalderivativo só apresenta influência durante o regime permanente não tendo nenhum efeito durante os transitórios do sistema. Responda se a afirmação acima é verdadeira ou falsa; Justifique sua resposta. ) Dado o sistema abaixo, defina o valor do erro causado na saída, devido a uma perturbação P T (s), a qual é um degrau de amplitude,5. P T (s) 0 5 3) Para o sistema abaixo, após esboçar o lugar das raízes, determine o valor de K, tal que os pólos de malha fechada dominantes tenham uma relação de amortecimento entre 0,5 e 0,75. Porém, a resposta do sistema deve ser a mais rápida possível. Utilizando o ganho K projetado acima, obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema. K ()() 0,5 4) Para o sistema abaixo, esboce o lugar das raízes. Determine o valor de w, tal que a relação de amortecimento dos pólos de malha fechada dominantes seja 0,5. Calcule o tempo de acomodação para as faixas de % e 5% de tolerância. W () 5) Um sistema de controle para uma plataforma lançadora de foguetes é regido pelas expressões mostradas a seguir, onde r(t): posição desejada da plataforma; p(t): posição atual da plataforma; W(t): perturbação na posição da plataforma devido a um agente externo. Obtenha uma representação por espaço de estado para o sistema onde p(t) é a saída do sistema e r(t) e w(t) são as entradas. a) dx ( t ) dx( t) 4x( t) θ ( t) e) v t t t dt dt ( ) r ( ) b( ) b) x( t) m ( t) p( t) f) d θ( t ) v( t) dt 3 c) dm ( t ) dm ( t) dm( t) 3 4 3ω ( t) g) v ( t) 8v( t) dt dt dt d) b( t) ρ( t) dp( t) dt

2 6) eja o diagrama de blocos de um sistema mostrado abaixo, onde R() é a entrada principal do sitema e N() é uma perturbação indesejada. abese que a entrada principal é do tipo rampa e a perturbação é do tipo degrau. Projete a função de transferência dos blocos G c () e H() para que o sinal de saída não apresente erro de regime em relação a entrada principal e a perturbação. Comente sobre a influência dos ganhos de G c () e H() na minimização da parcela do sinal de saída referente a perturbação. N() R() E() Gc() b a C() H() 7) O diagrama mostrado abaixo representa um sistema de controle de velocidade e posição de um servo motor de corrente contínua. Calcule o erro de regime permanente para uma entrada do tipo degrau unitário.o sistema apresenta erro de posição em regime, qual é sua sugestão para tornálo nulo, caso isto seja possível. Todas as unidades abaixo são compatíveis. C 00µF; R 0KΩ; La 5mH; Ra 0mΩ ; B 6Nm. seg / rad; J Kgm As expressões do torque e da força contraeletromotriz produzida na armadura são: T(s) 5Ia( s) e Ea(s) θ ( s) OB : ERVO MOTOR CONTROLADO PELA ARMADURA. 8) eja o diagrama de Blocos mostrado abaixo, onde os ganhos K e Kx só podem assumir valores. x(s) K () y(s).kx Pedese: a) Considerando que a chave encontrase aberta, determine a estabilidade do sistema em função da variação do parâmetro K, através do Lugar das Raízes do sistema. b) Considere agora que a chave foi fechada, e que o ganho K é igual a. Determine a estabilidade do sistema em função da variação do parâmetro Kx.

3 c) Com a chave fechada, determine o valor do ganho Kx e do ganho K, que faça com que o sistema apresente uma resposta de segunda ordem com um overshoot igual a 80%, para um entrada do tipo degrau unitário. 9) Considere o servomecanismo mostrado abaixo. COMPENADOR x(s) Ga(s) 5550 y(s) Gs(s) K.( Z) a) abese que o modelo compensador é igual a Ga(), e o modelo do sensor é igual a ( P) Gs(), onde P 3. Determine os valores de K, Z e P, para que as raízes dominantes da equação Z característica deste sistema, apresentem ξ 0, 5 e parte real igual a 7. b) Qual o erro de regime permanente do sistema acima, se a entrada for: Um degrau unitário; Uma Rampa unitária; Uma parábola unitária. c) Projete um compensador do tipo PI, que faça com o sistema projetado no item a, apresente erro nulo para uma entrada do tipo rampa unitária. 50 0) eja a função G( ) H( ) ( ) ( 0) Determine: o valor da função, para a qual a fase associada é 80 ; o valor do ganho K a ser adicionado ao sistema, para que o sistema tornese criticamente estável; o valor de ω para o qual a fase do sistema e 80 ) O sistema em malha aberta mostrado na figura.a, apresenta uma entrada principal R() e uma perturbação D() que são do tipo degrau unitário. a) Calcule o valor do ganho K na figura l.b, para que a resposta em regime permanente do sistema, para a entrada principal, seja a mesma apresentada pelo sistema em malha aberta na figura.a. b) Com o valor do ganho K definido em (a), comente sobre as principais alterações causadas pela realimentação utilizada na figura l.b. D(s) τ. figura l.a

4 D(s) K 9 τ. figura l.b ) Considere um sistema com realimentação unitária, cujo modelo de espaço de estado esta representado a seguir: x (t) 0 b x (t) x ( t) u(t) y(t) [ 0 ] x (t) a x (t) b x ( t) Determine graficamente a região no plano ab para a qual o sistema é completamente estável. 3) As equações diferenciais do sistema de controle para um motor são dadas por: T(t) J. d θ (t) B. d (t) c θc K. θ c(t) () T(t) Ki. i( t) (4) dt dt di( t) v( t) Ri( t) L. K dt b dθc ( t). dt ( ) v( t) K. e( t) (5) A e( t) K.( θ ( t) θ ( t)) (3) R C Onde: T(t): Torque do motor; i(t): corrente do motor; v(t): tensão aplicada no motor; q C (t): deslocamento de saída do motor; q R (t): entrada de referência; e(t): sinal de erro; L: indutância do motor; R: resis tência do motor; K b : constante de força contraeletromotriz do motor; J: momento de inércia da carga do motor; K: constante de elasticidade ligada ao eixo do motor; K A : ganho do amplificador; K : ganho do detector de erro e(t). Pedese: (a) Defina as variáveis de estado e escreva as equações de estado para osistema na forma: X(t) A.X(t) B.u(t) y(t) C.X(t) D.u(t) (b) Mostre o diagrama de blocos para este sistema; c) Determine a função de transferência entre θ C () e θ R (), utilizando a regra de Mason. Com o objetivo de obter o melhor desempenho possível deste sistema, qual das relações acima, você escolheria. Explique sua resposta. 4) eja o mesmo diagrama de blocos mostrado na questão anterior, onde: 00 G( s) e H(s).( 0) Projete G C (), se possível, para que o sistema atenda as seguintes especificações; Erro de regime permanente menor que 5%, para uma entrada do tipo rampa unitária; Margem de Fase de 55 graus.

5 OBERVAÇÕE: Caso não seja possível atender estas especificações, explique sua resposta. 5) Dada a função abaixo, determinar a sua transformada de Laplace. f(t) α a aα 6) eja a Função de transferência mostrado abaixo: X( ) 0( ) M( ) 4( 5)( ) Pedese: (a) Obtenha a expressão de X(t), sabendose que: a.) m(t) 0t a.) m(t) 4t (b) Para m(t) 0t, determine o valor de X(t) quando t c) Para m(t) 4t, determine o valor de X(t) quando t t 7) eja o sistema elétrico mostrado abaixo, onde i (t) e i (t) são sinais de entrada. Pedese: a) Diagrama de blocos equivalente, considerando a tensão sobre a resistência, como sendo o sinal de saída do sistema; b) Um modelo de variáveis de estado para o sistema, considerando como variáveis de estado a tensão v C (t) e a corrente i L (t). Os sinais de saída a serem considerados são também v C (t) e i L (t). 8) Para o diagrama de blocos mostrado a seguir, pedese: a) A função de transferência entre o sinal de entrada e de saída, através da simplificação de blocos; b) A função de transferência entre o sinal de entrada e de saída, através da fórmula do ganho de Mason;

6 ) abendo que a equação diferencial que define um determinado sistema é dada por: c(t) 3.c(t) 4.c(t) 7.u(t).t Onde: c(0) c(t) Pedese o valor de c(t). 0) Dada a função abaixo, determine a sua transformada de Laplace. f(t) a ) eja o seguinte circuito elétrico: a (aa) t Pedese: Utilizando transformada de Laplace, obtenha a expressão de i(t). ) eja a Função de transferência mostrada abaixo: X( ) 0( ) M( ) 4( )( 5) Pedese: a) Obtenha a expressão de x(t), sabendose que: a.) m(t) degrau unitário a.) m(t) rampa unitária b) Para m(t) sendo um degrau unitário, calcule o valor final de x(t). 3) eja o sistema mecânico mostrado abaixo. O sistema esta inicialmente em repouso, isto é, x(0)0 e x ( 0) 0. Para t0 uma força f(t)fsen wt é aplicada na massa. Obtenha a expressão x(t), para t>0, sabendo que: M kg, K00 N/m, F50N, W5 rad/seg., ωn K M. OB.: rad/seg ( N/kg.m).

7 4) eja o sistema mecânico abaixo, obtenha: d y t K dy t ( ) ( ). K. y( t) u( t) K3. u( t) dt dt dy ( t) K y t K dy ( t ) 4. ( ) 5. K6. u( t) dt dt Onde: y (t) e y (t) são saídas e u (t) e u (t) são entradas. Obtenha a REPREENTAÇÃO POR EPAÇO DE ETADO. 5) Um sistema de controle de temperatura de uma câmara fria, é mostrado abaixo. A perturbação D(s) modela (representa) a abertura da porta da câmara fria, e é do tipo degrau unitário quando a porta está aberta. Neste problema assuma que a porta da câmara esteja sempre fechada. a) Defina o valor da entrada r(t), em Volts, necessária para manter a temperatura interna da câmara em 40 C; b) e Gc(s), calcule o erro de regime permanente em grau Celsius; c) É necessário que o erro de regime seja menor que 5% da temperatura desejada. Caso isto não seja satisfeito pela própria planta, projete Gc(s), sem o uso de integradores, para atender esta especificação. d) Com o controlador projetado no item anterior, calcule o erro de regime para a perturbação. D(s) Graus Celsius Perturbação θ 0s Volts Controlador Gc() Planta 0 0s Graus Celsius ensor 0,04 6) eja o seguinte sistema: Compensador PD X() Kd Kp Planta K () Y()

8 a) Comente sobre os efeitos causados no desempenho do sistema, para cada um dos casos abaixo, Kp sabendose que: a Kd (i) a > 0; (ii) < a < 0; (iii) a < ; b) Qual dos 3 casos apresenta o menor tempo de resposta. Explique sua resposta. ATENÇÃO: As questões a seguir se relacionam com o diagrama de blocos mostrado abaixo. E(s) Gc(s) K.Gp(s) Gc(s) 7) No diagrama de blocos mostrado, os blocos apresentam as seguintes funções de transferência: Gc(s) K Gp(s) H(s) 5. Pedese: a) Desejase que este sistema apresente erro de regime permanente nulo para uma entrada do tipo rampa. Para tanto, devese modificar o bloco Gc(s)K para Gc(s) K. Comente sobre as alterações mais significativas que deverão ocorrer neste sistema, caso esta modificação seja realizada; b) e for mantida a modificação proposta no item a, e se o bloco H(s) for modificado para H(s),5, comente sobre as alterações que deverão ocorrer em relação ao sistema do item a. c) e for mantida a modificação proposta no item a, e se o bloco H(s) for modificado para H(s), comente sobre as alterações que deverão ocorrer em relação ao sistema do item a., 5 8) eja o diagrama de blocos mostrado. Quais são os efeitos causados, se adicionarmos um pólo real negativo na função de transferência de malha direta Gp(s). Comente também o caso deste mesmo pólo ser adicionado no ramo de realimentação H(s). As funções de transferência dos blocos são: Gc(s) K Gp(s) 4. H(s) 9) Diga se o sistema mostrado é estável para todos os valores de K. Explique. Caso não seja, apresente uma solução para tornálo estável para qualquer valor de K. As funções de transferências dos blocos são: Gc(s) K Gp(s) H(s) ( 0).( ± j) 30) Para o sistema mostrado, após esboçar o gráfico do lugar das raízes, determine o valor de K, tal que os pólos de malha fechada dominantes tenham uma relação de amortecimento entre 0,5 e 0,75. Porém, a resposta do sistema deve ser a mais rápida possivel. Utilizando o ganho K projetado acima, obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema. As funções de transferências dos blocos são:

9 Gc(s) K Gp(s).(, 5).( 35, ) H(s) 0,. 3) Para o sistema mostrado, esboce o gráfico do lugar das raízes. Determine o valor de w, tal que a relação de amortecimento dos pólos de malha fechada dominantes seja 0,5. Calcule o tempo de acomodação para as faixas de % e 5% de tolerância. As funções de transferências dos blocos são: Gc(s) W Gp(s) H(s).( ) 3) Dado o diagrama de bloco, mostrado a seguir, pedese: a) O circuito elétrico equivalente no domínio do tempo, especificando a variável de entrada, a variável de saída e as demais variáveis envolvidas; b) A função de Transferência obtida por simplificação de blocos, explicitando as simplificações feitas, passo a passo; c) Aplicando o teorema do Valor final, determine o valor de i o (t) em regime permanente, onde I() degrau unitário; d) A expressão no domínio do tempo de i o (t), sabendose que I() é um degrau de corrente cuja amplitude é 3A, e que R 0,5 Ω, L 7,5 mh, C,8 F. I() C L Io() R 33) abendose que no diagrama de blocos mostrado abaixo, N() é uma perturbação externa ao sistema e X() é a entrada de referência, quais as condições dos ganhos G (), G () e H(), para que a resposta do sistema a esta perturbação seja desprezível e que o sinal de saída seja igual ao sinal de entrada. N() X() G (s) G (s) Y() H(s) 34) Dada a função f(t) abaixo, obtenha a sua Transformada de Laplace F().

10 f(t) t 35) Utilizando a FÓRMULA DO GANHO DE MAON, obtenha a função de transferência para o diagrama de blocos do sistema dinâmico mostrado a seguir. Após, para uma entrada do tipo degrau unitário, obtenha o valor de v(t). 3 3s 4 0,5 36) Considere a seguinte função de T. de M.A. 50 G( s). H( s) ( )( )( 0) a) Obtenha a D.B. para este sistema: EXATO; APROX. AINTÓTICA. Comente sobre erros e para quais F. o ω é máximo. b) abendose que a entrada do sistema é igual a 0.cos (ωt30 ), determine a saída deste sistema, para: b.) ω 0,0 b.) ω 0, b.3) ω 0 Comente sobre os resultados obtidos. 37) eja o seguinte sistema: a) idem b) 4.cos ωt b. ω 0 b. ω G( s) ( )( ) 38) Obtenha os seguintes diagramas de Bode:

11 a) G( s) ( 0 ) d s ) G ( ) ( )( ) 8. b) G( s) ( ) e s ) G ( ) ( )( ) 00( ) c) G( s) f ) G ( s) ( ) ( ) 39) abese que a representação por espaço de estado para um dado sistema é a seguinte: 0 X t X t u t a 0 ( ). ( ). ( ) 5 a b Y(t) [5a 0]. X(t) jw j,73 j,73 a) Determine os valores de a e b para que as raízes do sistema, seja mostradas ao lado. b) Determine para este sistema os seguintes parâmetros: Overshoot: %; Tempo de Pico: segundos; Tempo de Acomodação: segundos; Constante de Erro de Posição: Erro de Regime Permanente: %. 40) Dado o sistema mecânico mostrado abaixo, pedese: a) Determine os valores das grandezas K, B e M para que o deslocamento x (t), apresente o comportamento mostrado considerandose que a força aplicada seja um degrau unitário. b) Caso esta força seja uma rampa unitária, qual é o erro de regime permanente do sinal de saída? x (t),08 4.τ 4 seg FiGURA 4) ejam os diagramas de blocos mostrados abaixo:

12 a) b) 0 0 () () K H Para o sistema mostrado na letra a, o coeficiente de amortecimento é de 0,58 e a freqüência natural nãoamortecida é de 3,6 rad/seg.. Para melhorar a estabilidade relativa, é empregada uma realimentação como mostrada em b. Pedese: a) Mostre como a introdução desta realimentação no sistema, pode melhorar a estabilidade relativa; b) Calcule o valor do parâmetro K H, para que o coef. de amortecimento seja igual a 0,5; c) Qual a vantagem que a alteração do coef. de amortecimento pode trazer para o sistema. 4) Considere um sistema de controle com Realimentação Unitária cuja Função de Transferência é a seguinte: C( ) K b R( ) a b Pedese: a) Determine a função de Transferência de malha direta; b) Calcule o erro de Regime Permanente na resposta à uma entrada do tipo Rampa Unitária, e qual a condição para que este erro seja nulo. 43) Determine a faixa de valores de K para o sistema abaixo, que resultará em instabilidade seja na Presença do sinal de entrada, seja na Presença de Perturbação. θi(s) 0 4 P(s) 5 5 As questões 44) e 45) estão relacionadas com o seguinte sistema: P(s) Gc (s) G(s) H(s) abese que em operação normal, a perturbação externa não apresenta interferência no desempenho desta planta. No diagrama de blocos mostrado, os blocos apresentam as seguintes funções de transferência: Gp( s) H(s) 44) endo Gc(s) um compensador do tipo proporcional, pedese: a) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema será estável;

13 b) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta superamortecida; c) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta subamortecida; d) Para qual faixa de valores de Gc(s) o sistema apresenta uma resposta criticamente amortecida; e) Para quais valores de w e Gc(s), o sistema apresentará uma resposta oscilatória; f) e a perturbação externa for modelada como um degrau unitário e o sistema apresentar uma resposta criticamente amortecida, qual será o erro causado no sinal de saída devido a perturbação. 45) endo Gc(s)(Td Kd.). Pedese: a) Que tipo de compensador é este (P, PI, PD ou PID). Explique sua resposta: b) Desejase que a saída do sistema, seja o mais próximo possível do sinal mostrado abaixo, isto é, y(t)(e 3.t ), para uma entrada do tipo degrau unitário. Caso isto seja possível, projete os valores de Kd e Td que atendam a esta especificação. Caso não seja possível, explique sua resposta. y(t) 46) eja o seguinte sistema: t Gc (s) G(s) Onde: H(s) 0 Gc( s) ; Gp(s) ; 0, ,5 H(s) O diagrama de Bode mostrado a seguir, é referente a este sistema. a) Calcule a margem de fase e a margem de ganho deste sistema; b) Calcule o erro em regime permanente, considerando que a entrada é uma rampa unitária; c) Desejase que este erro seja igual ou menor a 0,35. Caso esta especificação não seja satisfeita pelo sistema, qual é sua sugestão para satisfazêla; d) Para a sugestão implementada no item c), calcule a nova margem de fase e margem de ganho; e) uponha que fosse desejado trabalhar com o menor erro possível, mantendo o sistema estável. Qual é sua sugestão e qual é a margem de fase e de ganho, neste caso. OB.: Nesta questão somente o ganho Proporcional, poderá ser alterado. 47) eja o seguinte sistema: X(s) G(s) y(s) H(s)

14 ( ) 47.) eja G( s) e H(s). Pedese: a) Esboce o Diagrama de Nyquist; b) Calcule a freqüência para qual G ( jw ) ; c) Determine a margem de fase e margem de ganho ) eja G( s) 3 e H(s). Pedese: ( 3) a) Esboce o Diagrama de Nyquist; b) Determine se o sistema é estável; c) Adicione um ganho K ao sistema, tal que o sistema tornese oscilatório em K.P.. Calcule o valor de K e a freqüência de oscilação. 47.3) Repita o problema 49.), para H(s)4; 4( ) 47.4) eja G( s) e H(s) ( 4) a) Esboce o Diagrama de Nyquist; b) Calcule a Freqüência para o qual G ( jw ) ; c) Determine a margem de ganho e a margem de fase. 50. K 47.5) eja K. G( s) ( ).( ).( 0) e H(s), onde a resposta em freqüência de G(s) é dada na tabela abaixo: a) endo K, determine a margem de fase e de ganho para este sistema; b) endo K,5, repita a letra a); c) abendose que x(t)5 cos(t30 ) e K, determine o valor de y(t). 48) No sistema mecânico mostrado abaixo, f (t) e f (t) são forças aplicadas nas massas M e M, respectivamente. Estas forças quando aplicadas a este sistema produzem os deslocamentos x (t) e x (t). Obtenha uma representação por espaço de estado para este sistema. FIGURA 50 49) eja a seguinte equação diferencial: dx( t) e x ( t ) dt Linearizea para o ponto x0 e obtenha a expressão que define x(t), sabendo que x(0)0,05. 50) No sistema abaixo, X(s) é a entrada do sistema e N(s) é uma perturbação indesejada. Calcule se o sistema apresenta erro de regime permanente e qual é o valor deste erro, caso exista. Considere a perturbação, como sendo um degrau de amplitude Mo. Caso o sistema apresente erro de regime devido a perturbação, proponha uma solução para eliminálo.

15 N(s) X(s) K R R() R R() y(s) H(s)