A (u + iv) = (a + ib) (u + iv) = (au bv) + i (av + bu).

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1 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP 036 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/EDO Os exercícios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor SXY indica exercício Y do capítulo X do livro do Sotomayor DLXY indica exercício Y do capítulo X do livro dos autores Claus Doering e Artur Lopes Nos exercícios abaixo f sempre denota um campo de classe C Exercício DL5 Verique para quais sistemas lineares x = Ax, com A M R em forma de Jordan, a origem é uma singularidade estável e para quais a origem é instável Seja λ 0 A = 0 λ Se λ ou λ for maior do que zero, a origem é uma singularidade instável Se ambos forem estritamente menores do que zero, a origem é uma singularidade assintoticamente estável Se forem menores ou iguais a zero e algum dos dois for igual a zero, então a origem é estável, mas não assintoticamente estável indiferente a b b a Se a > 0, então é instável Se a < 0, então é assintoticamente estável Se a = 0, então é estável, porém não é assintoticamente estável indiferente 3 λ 0 λ Se λ > 0, então é instável Se λ < 0, então é assintoticamente estável Se λ = 0, então é instável Exercício DL5 Mostre que a origem é sempre um ponto de equilíbrio instável para um sistema linear x = Ax denido por uma matriz A M n R que tem pelo menos um autovalor complexo com parte real positiva Seja λ um autovalor com parte real positiva Suponha que λ seja um número real Logo, dado uma vizinhança qualquer da origem, existe um vetor v 0 R n contido nesta vizinhança tal que Av = λv Logo e ta v = e tλ v Como lim e tλ v =, concluímos que e ta v não está contido em nenhuma vizinhança limitada de 0 Logo a origem é instável Suponha que λ = a + ib, em que a > 0 e b 0 Seja u + iv C n um autovetor complexo de λ Assim Logo A u + iv = a + ib u + iv = au bv + i av + bu Au = au bv Av = bu + av Assim, podemos vericar explicitamente que xt = αe at costu + sentv é solução de x = Ax com x0 = αu, α > 0 Logo, dado uma vizinhança qualquer da origem, existe um número α > 0 tal que αu pertence a esta vizinhança Como lim xt =, concluímos que a imagem de t R + xt não está contida em nenhuma vizinhança limitada de 0 Logo a origem é instável Exercício 3 DL53 a Dê um exemplo de um campo com singularidade estável não isolada

2 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Seja A = Assim as singularidades de x 0 0 = Ax são {0, y, y R}, ou seja, não são isoladas No entanto, são estáveis De fato, vamos mostrar que 0, y 0 é uma singularidade estável Dado ɛ > 0, seja 0 < δ < ɛ Assim se x, y 0, y 0 < δ e t 0, então ϕ t, x, y 0, y 0 = xe t, y 0, y 0 = xe t, y y 0 x, y y0 < δ < ɛ Acima ϕ denota o uxo de x = Ax b Dê uma condição para que um campo linear x = Ax, com A M n R, tenha a origem como singularidade isolada Vamos mostrar que a origem é isolada se, e somente se, A é uma matriz inversível Se A é inversível, então Ax = 0 se, e somente se, x = 0 Logo 0 é a única singularidade e é, portanto, isolada Se A não é inversível, então, por ser matriz quadrada, não dene uma transformação linear injetora de R n em R n Logo existe v 0 tal que Av = 0 Assim o conjunto {λv, λ R} está contido no conjunto do ponto de singularidades de A Toda vizinhança da origem contém, desta forma, innitas outras singularidades Concluímos que 0 não é um ponto de singularidade isolado Exercício 4 DL54 Mostre que toda singularidade assintoticamente estável é uma singularidade isolada Suponha que x 0 seja um ponto de singularidade assintoticamente estável de x = fx Logo existe uma vizinhança aberta de x 0, W, tal que se x W, então [0, [ Ix ou seja, o uxo está denido para todo os reais positivos se x W e lim ϕt, x = x 0, x W Logo a única singularidade que existe em W é o ponto x 0 De fato, se x W é uma singularidade e x x 0, então lim ϕt, x = x Isto contradiz a armação Concluímos que x 0 é uma singularidade isolada Exercício 5 DL55 Mostre que uma conjugação entre campos de vetores leva singularidades assintoticamente estáveis em singularidades assintoticamente estáveis Sejam x = f x e x = f x, em que f : E R n e f : E R n são campos de classe C Seja g : E E uma conjugação basta ser topológica e x 0 uma singularidade assintoticamente estável de f Denotemos por φ o uxo de f e por φ o uxo de f Logo y 0 = gx 0 é uma singularidade assintoticamente estável Vamos provar por partes: O ponto y 0 é uma singularidade De fato, φ t, y 0 = g φ t, x 0 = gx 0 = y 0 Logo t φ t, y 0 é uma função constante Assim f y 0 = φ t 0, y 0 = 0 O ponto y 0 é uma singularidade estável Seja U E uma vizinhança de y 0 Logo g U é uma vizinhança de x 0 Como x 0 é uma singularidade estável, podemos achar uma vizinhança aberta de x 0, W g U, tal que para todo x W, o uxo está denido para todo t 0 e φ t, x g U, x W, t 0 Assim seja V := gw Logo V é uma vizinhança aberta de y 0 e V = gw g g U = U Além disso, se x V e t 0, então g x W e φ t, x = g φ t, g x g g U U Logo y 0 é estável 3 O ponto y 0 é uma singularidade assintoticamente estável

3 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Como x 0 é assintoticamente estável, dado U E, podemos escolher uma vizinhança aberta de x 0, W g U que satisfaz as propriedades do item acima e que satisfaz Assim, se x V = gw, temos em que usamos a constinuidade de g e g lim φ t, x = x 0, x W lim φ t, x = lim g φ t, g x = g x 0 = y 0, Exercício 6 DL56 Mostre com um exemplo que se f é um campo de vetores não-linear tal que Df0 = 0, é possível ter lim xt = 0 para toda solução de x = fx, sem que os autovalores de Df0 tenham parte real negativa Seja x = x 3 Logo Df0 = 0 No entanto, se x0 > 0, então Concluímos, assim, que ˆ xt x0 ds = t = s s3 xt x0 xt = t + = xt = x0 = t = xt x0 = t t+ t+ x0, x0 > 0 x0, x0 < 0 Vemos assim, que as soluções estão denidas para todo t 0 Seja agora dado um ɛ > 0 Logo existe δ > 0 basta escolher δ < ɛ tal que se x < δ, então ϕt, x = t + x x < δ < ɛ Assim 0 é um ponto de equlíbrio estável Por m lim ϕt, x = lim ± = 0 t + x Logo 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável Exercício 7 DL50 Seja f : E R 3 o campo de vetores dado por fφ, ψ, ω = ψ, η ω senφcosφ gsenφ b m ψ, k J cosφ F J com E =]0, π [ R ]0, [ Este campo aparece no problema do regulador automático de pressão Mais informações sobre a origem deste campo podem ser encontradas na seção 53 do livro do Artur Lopes e Claus Doering a Mostre que fφ, ψ, ω = 0, 0, 0 se, e somente se, kcosφ = F, ψ = 0 e n ω cosφ = g Denote a única singularidade de f em E por φ 0, 0, ω 0 Vemos que fφ, ψ, ω = 0, 0, 0, se e somente se, ψ = 0 η ω senφcosφ gsenφ b m ψ = 0, k J cosφ F J = 0 ou seja, ψ = 0, kcosφ = F e η ω cosφ g = 0 Note que senφ 0, pois 0 < φ < π b Calcule a matriz jacobiana A = Dfφ 0, 0, ω 0 de f na singularidade Temos 0 0 Dfφ, ψ, ω = η ω cosφcosφ η ω senφsenφ gcosφ b m η ωsenφcosφ k J senφ 0 0,

4 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Logo Dfφ 0, 0, ω 0 = c Mostre que 0 0 η ω 0cosφ 0 cosφ 0 η ω 0senφ 0 senφ 0 gcosφ 0 b m η ω 0 senφ 0 cosφ 0 k J senφ pλ = λ 3 b m λ gsen φ 0 λ kgsen φ 0 cosφ 0 Jω 0 é o polinômio característico de A Basta calcular o determinante det Dfφ 0, 0, ω 0 λi d Mostre que todos os autovalores de A têm parte real negativa se, e somente se, bj m > kcosφ 0 = F ω 0 ω 0 = kg n ω0 3 Basta observar que as raízes de pλ são as raízes de pλ = λ 3 + b m λ + gsen φ 0 cosφ 0 λ + kgsen φ 0 Jω 0 Logo devemos ter a a > a 0 Assim b gsen φ 0 > kgsen φ 0 = bj m cosφ 0 Jω 0 m > k cosφ ω 0 As outras relações seguem das igauldades do item a Sugestão: Use o seguinte resultado: Seja pλ = λ 3 + a λ + a λ + a 0 Logo as raízes de p têm todas as partes reais negativas se, e somente se, a > 0, a > 0, a 0 > 0 e a a > a 0 Exercício 8 DL5 Dizemos que um ponto de equilíbrio x 0 de um campo de vetores f : E R n do aberto E R n é uma fonte de f se a matriz Dfx 0 M n R tem todos autovalores generalizados com parte real positiva Dizemos que o ponto de equilíbrio x 0 é assintoticamente instável se x 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para o campo oposto f, cujas trajetórias coincidem com as de f exceto pelo sentido de percurso Use o Teorema 53 para mostrar que se x 0 é uma fonte de f então x 0 é uma singularidade assintoticamente instável para f Basta observar que os autovalores de Dfx 0 são iguais a menos os autovalores de Dfx 0 De fato, p A λ = det λi A = n det λi + A = n p A λ Ou seja, as raízes de p A são iguais a vezes as raízes de p A Assim, se x 0 é uma fonte de f, então os autovalores complexos de Dfx 0 têm parte real positiva Logo, os autovalores complexos de Dfx 0 têm autovalores complexos com parte real negativa Assim x 0 é um poço para f Logo x 0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para f Assim, é um ponto de equilíbrio assintoticamente instável para f Exercício 9 DL54 Seja A M n R uma matriz com todos autovalores de parte real estritamente menor que um número real α negativo Mostre que existe um t 0 > 0 tal que para toda solução x de x = Ax temos xt e tα, para todo t > t 0 Sabemos que a solução xt = x t,, x n t é tal que x j t é combinação linear de termos t j cosbte at e t j senbte at, em que a + bi são os autovalores de A Sabemos que a < α para todo autovalor a + ib de A Logo lim e tα t j cosbte at = lim e tα t j senbte at = 0 Isto implica que lim e tα x j t = 0, para todo j =,, n Assim lim e tα xt = 0 e, portanto, lim e tα xt = 0 Logo, existe t 0 > 0 tal que se t > t 0, e tα xt, ou seja, para t > t 0 xt e tα, Exercício 0 DL58

5 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Classique estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes: a 0 M n R As soluções são constantes Logo todos os pontos são estáveis e as singularidades não são isoladas 0 b 0 0 As singularidades são {x, 0; x R} Logo não são isoladas As soluções do problema são xt, yt = x 0 + ty 0, y 0 Os pontos de equilíbrio não são estáveis De fato seja x 0, 0 um ponto de equilíbrio Logo, dada uma vizinhança de x 0, 0, esta vizinhança deve conter um elemento da forma x 0, y 0 para um y 0 0 sucientemente pequeno Porém lim x 0 + ty 0, y 0 = φ t, x 0, y 0 = φ denota o uxo da EDO em questão Logo a solução não está connada a um aberto limitado Logo x 0, 0 não é uma singularidade estável c Os autovalores são 3 e Logo a origem é a única singularidade e, assim, ela é isolada Como > 0, a singularidade é instável, pelo exercício 0 d As singularidades são {0, 0, z; z R} As soluções são da forma xt = cos 3t v + sen 3t v + z 0ˆk, em que v e v são vetores em R {0} e ˆk = 0, 0, Para concluir isto, basta observar que os autovalores são ±i 3 e 0 Com esta expressão é fácil demonstrar que as singularidades são estáveis, porém não são assintoticamente estáveis são indiferentes 0 e A origem é a única singularidade Portanto ela é isolada As soluções são da forma xt = cos 3t v + sen 3t v + z 0 e tˆk, em que v e v são vetores em R {0} e ˆk = 0, 0, Para concluir isto, basta observar que os autovalores são ±i 3 e Com esta expressão é fácil demonstrar que a origem é estável, porém não é assintoticamente estáveis é indiferente f A origem é a única singularidade Ela é instável, pois os autovalores são ±i e ± Como > 0, basta usar o exercício g Novamente a origem é a única singularidade Ela é instável, pois os autovalores são ±i e ± Como > 0, basta usar o exercício Exercício DL50 a Resolva a equação não-linear de primeira ordem r = r r Temos ˆ r dξ ξ ξ = t t 0 Resolvendo a integral obtemos o resultado dado em sala de aula b Obtenha explicitamente o uxo do campo não-linear f : R R dado por r 0 fx, x = x + x x x, x + x x x

6 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Sugestão: mude para coordenadas polares e use o item anterior Seja r = r r e θ = Façamos a mudança de variáveis x = rsenθ e x = rcosθ Logo x = senθr + rcosθθ = rsenθ rsenθr + rcosθ = x x r + x = x x x + x y = cosθr rsenθθ = rcosθ rcosθr rsenθ = x x x x Vemos assim que o sistema dado por f é conjugado ao sistema do item a com a conjugação g r, θ = rsenθ, rcosθ c Esboce o retrato de fase do campo não-linear f do item anterior Ver nas anotações de sala de aula ou no livro do Artur Lopes e Claus Doering Exercício DL5 a Obtenha a expressão cartesiana do campo de vetores f : R R que corresponde, em coordenadas polares, ao sistema { θ = r = ψr, onde ψ0 = 0 e, para r > 0, ψr = r sen r Seja x = rcosθ e y = rsenθ Logo x = cosθr rsenθθ = rcosθrsen r y = senθr + rcosθθ = rsenθrsen r rsenθ = x x + y sen + rcosθ = x x + y sen x + y y x + y + x Assim concluímos que f x, y = x x + y sen y, x x + y sen + x x + y x + y b Mostre que em cada vizinhança da origem existe uma órbita periódica de f envolvendo a origem Basta observar que r = nπ e θ = t é solução Assim xt, yt = nπ cost, nπ sent é solução Para toda vizinhança de 0, basta ecolher n sucientemente grande tal que B 0 esteja contido na vizinhança Isto implicará nπ que a solução também está contida na vizinhança c Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável para f Seja ɛ > 0 Escolho δ = nπ < ɛ Logo se x, y B δ0, então φt, x, y B δ 0 para todo t 0 De fato, se isto não for verdade, então existe t tal que φ t, x, y B δ 0 Como B δ 0 é uma órbita e duas órbitas se cruzam se, e somente se, são iguais, isto implica que x, y = φ0, x, y B δ 0 Mas isto é um absurdo Logo a solução ca connada dentro da bola B δ 0 Em particular, está denida para todo t R não tem como sair do compacto B δ 0 Exercício 3 DL5 Um a partícula move-se numa reta sob a inuência de uma força newtoniana que depende somente da posição da partícula Mostre que se a força é exercida na direção de 0 R e é nula em 0, então a origem é um ponto de equilíbrio estável para o sistema mecânico Sugestão: estude a energia total do sistema Temos x t = y y t = m F x = x t = y dv dx x y t = m Sabemos que E T x, y = m y + V x é constante e que V x = x 0 F sds Logo V x = F x Assim como F x < 0, se x > 0 e F x > 0, se x < 0, concluímos que V é estritamente crescente se x > 0, e V é estritamente decrescente se x < 0 Para mostrar que 0, 0 é uma singularidade estável, basta agora ver que quanto menor a energia, mais próximo a solução está na origem Basta agora formalizar o argumento

7 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP Exercício 4 DL53 Sejam f : E R n um campo de vetores e x 0 E uma singularidade de f Sabemos que se todos os autovalores generalizados de Dfx 0 M n R têm parte real negativa então existe uma vizinhança U de x 0 em E tal que lim xt = x 0, para qualquer solução x : R R n de x = fx, com x0 U Verique se a recíproca é válida Não A recíproca não é válida Já vimos no exercício 6 que a origem de x = x 3 tem esta propriedade: Na verdade, lim xt = 0 para toda solução da EDO No entanto, Df0 = 3x x=0 = 0 Logo o único autovalor complexo da matriz Df0 é 0 Logo não tem parte real negativa Para um exemplo em R, basta considerar x, y = x 3, y 3 Exercício 5 S54 Considere o sistema x = Atx + gx, 0 t < +, x < b, x R n, em que A : [0, [ M n R e g : {x R n, x < b} R n são funções contínuas e gx = o x Seja t Φt a matriz fundamental de x = Atx tal que Φ0 = I Suponha que existam K > e µ > 0 tais que ΦtΦs Ke µt s, t, s 0 Logo xt 0 é uma solução estável Repita os argumentos do livro do Sotomayor Cap 5