mostre a seguinte forma aperfeiçoada da Desigualdade de Gronwall:

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1 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP 036 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/EDO2 Os exercícios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor SXY indica exercício Y do capítulo X do livro do Sotomayor DLXY indica exercício Y do capítulo X do livro dos autores Claus Doering e Artur Lopes Exercício S36 i Seja f : R R n R n contínua e Lipschitziana na segunda variável com constante de Lipschitz K Sejam ϕ e ϕ 2 funções diferenciáveis num intervalo I =]a, b[ que contém o ponto t 0 Suponha que para todo t I ϕ it ft, ϕ i t ɛ i, i =, 2, mostre a seguinte forma aperfeiçoada da Desigualdade de Gronwall: ϕ t ϕ 2 t ϕ t 0 ϕ 2 t 0 e K t t0 + ɛ + ɛ 2 K e K t t0 Sugestão: Seja t t 0 integrando entre t 0 e t obtenha ˆ t ϕ t ϕ 2 t ϕ t 0 ϕ 2 t 0 [fs, ϕ s fs, ϕ 2 s] ds ɛ + ɛ 2 t t 0 t 0 e daí conclua que ϕ t ϕ 2 t ϕ t 0 ϕ 2 t 0 + K Dene agora Rt = t t 0 ϕ s ϕ 2 s ds, t 0 t b Então, ˆ t t 0 ϕ s ϕ 2 s ds + ɛ + ɛ 2 t t 0 R t KRt ϕ t 0 ϕ 2 t 0 + ɛ + ɛ 2 t t 0 e multiplicando ambos os lados desta expressão por e Kt t0 e integrando entre t 0 e t resulta Rt ϕ t 0 ϕ 2 t 0 e Kt t0 ɛ + ɛ 2 K K 2 + Kt t 0 + ɛ + ɛ 2 K 2 e Kt t0 Combinando esta desigualdade com segue-se o resultado ii Sejam f m : R R n R n tais que f m f 0 uniformemente em I R n e todas têm a mesma constante de Lipschitz K Se ϕ m é a solução de x = f m t, x, xt 0 = x m, use i para provar que ϕ m tende uniformemente em I para ϕ 0 se x m x 0, De fato, seja dado um ɛ > 0 Seja M tal que se m > M, então f m t, x f 0 t, x < ɛ e x m x 0 < ɛ, em que ɛ [ e Kb a + K e Kb a ] = ɛ Assim ϕ mt f 0 t, ϕ m t ϕ mt f m t, ϕ m t + f m t, ϕ m t f 0 t, ϕ m t = Obviamente, ϕ 0t f 0 t, ϕ 0 t = 0 Logo f m t, ϕ m t f 0 t, ϕ m t < ɛ ϕ m t ϕ 0 t ϕ m t 0 ϕ 0 t 0 e K t t0 + ɛ e K t t0 K [ ɛ e Kb a + e Kb a ] K Exercício 2 DL44

2 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Use a mudança de variáveis hr, θ = r cosθ, rsenθ para colocar a equação diferencial { r = sen θ = r em coordenadas cartesianas x, x 2 Seja x = rcosθ e y = rsenθ Logo x = r cosθ rsenθθ = r r rcosθ rsenθθ = sen x 2 +y 2 y = r senθ + rcosθθ = r r rsenθ + rcosθθ = x + y x 2 +y 2 sen y x x2 +y 2 x2 +y 2 Assim x = sen x + y x2 +y 2 x2 +y 2 y = sen y x x 2 +y 2 x 2 +y 2 Exercício 3 DL48 Considere o sistema não linear em R 2 dado por { x = x 2 ξ x, x 2 x 2 = x ξ x, x 2, onde ξ : R 2 R é de classe C a Prove que toda órbita deste sistema ou está contido em uma circunferência centrada na origem ou é a própria origem 0, 0 do plano Sabemos que o campo de vetores é fx, x 2 = x 2 ξ x, x 2, x ξ x, x 2 Logo f x, x 2, x, x 2 = x 2 ξ x, x 2, x ξ x, x 2, x, x 2 = x x 2 ξ x, x 2 x 2 x ξ x, x 2 = 0 Assim se x = x, x 2 é uma solução da EDO acima, então t xt = x t, x 2 t é constante, pois d dt x t, x 2 t 2 = 2 f x t, x 2 t, x t, x 2 t = 0 b Esboce as trajetórias deste sistema, realçando os pontos críticos e as órbitas periódicas, nos casos particulares i ξx, x 2 = x 2 + x 2 2 x 2 x 2 2 ii ξx, x 2 = x 2 x 2 2 x2 + x Em i, os pontos críticos são a origem, a circunferência de raio e a parábola x 2 = x Em ii, os pontos críticos são a origem, a circunferência de raio e a parábola x 2 = x 2 2 Exercício 4 DL40 Mostre que uma conjugação topológica leva singularidades em singularidades e órbitas periódicas em órbitas periódicas, preservando o período Seja f : E R n e f 2 : E 2 R n Seja φ o uxo de f e φ 2 o uxo de f 2 Por m, seja g : E E 2 uma conjugação topológica Seja x 0 uma singularidade de E Logo φ 2 t, gx 0 = g φ t, x 0 = gx 0 Logo f 2 gx 0 = t φ 2 0, gx0 = 0 Assim gx 0 é uma singularidade de f 2 Seja t φ t, x 0 uma solução periódica e T o período de φ Logo φ 2 t + T, gx 0 = g φ t + T, x 0 = g φ t, x 0 = φ 2 t, gx 0, t Suponha que exista τ < T tal que φ 2 t + τ, gx 0 = φ 2 t, gx 0, para todo t R Logo φ t + τ, x 0 = g φ 2 t + τ, gx 0 = g φ 2 t, gx 0 = φ t, x 0

3 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Assim o min {c > 0; φ t + c, x 0 = φ t, x 0 } < T Concluímos, assim, que o período de φ não é T Absurdo Logo este τ não existe Assim, vemos que min {c > 0; φ 2 t + c, x 0 = φ 2 t, x 0 } = T, ou seja, t φ 2 t, x 0 é uma solução periódica e o seu período é igual a T Exercício 5 DL4 Lembre que os campos lineares A, B M n R são linearmente conjugados se, e somente se, as matrizes A e B são semelhantes A = P BP Mostre que A e B são linearmente conjugados se, e somente se, são diferencialmente conjugados Suponha que A = P BP, ou seja, que A e B sejam linearmente conjugados Seja g : R n R n dado por gx = P x Como P é inversível, concluímos que g é um difeomorsmo C Além disso, se f x = Ax e f 2 x = Bx, então Dgxf x = P Ax = BP x = Bgx = f 2 gx Logo f é diferenciavelmente conjugado a f 2 Agora suponha que A seja diferenciavelmente conjugado a B Logo existe um difeomorsmo g : R n R n tal que DgxAx = Bgx Note que se x = 0, a relação acima mostra que Bg0 = 0, ou seja, g0 KerB Seja g : R n R n dado por gx = gx g0 Logo D gxax = DgxAx = Bgx = B gx g0 = B gx Assim g é uma conjugação e g0 = 0 Vemos assim, que podemos supor que existe uma conjugação g tal que g0 = 0 Seja e j = 0,,,, 0, em que aparece na j ésima casa e t > 0 Se x = te j, então temos Logo Assim Dgte j A te j = Bgte j t Dgte ja te j = t Bgte j Dg0A e j = lim Dgte j A e j = lim t 0 t 0 t Bgte j = B lim t 0 t gte j = Como isto vale para todo j, concluímos que B lim t 0 t gte j g0 = B g 0 = BDg0e j x j Dg0A = BDg0 Para P := Dg0, temos A = P BP Logo concluímos que A e B são conjugados Exercício 6 DL42 Sejam f : E R n um campo, K E um compacto e r > 0 dados Mostre que existe α > 0 tal que, para cada x 0 K, a solução x de x = fx com x0 = x 0 leva pelo menos tempo α para se afastar uma distância r de x, ou seja, vale xt x 0 < r para cada 0 t α Sabemos que o uxo φ : Ω = {t, x, x E, t Ix} R n é contínuo e de classe C vamos assumir que f seja de classe C e que Ω é um aberto Logo {0} K é um compacto de Ω Pela continuidade de φ e por Ω ser aberto, concluímos que para todo x K, existe δ x > 0 tal que se t, y 0, x < 2δ x, então t, y Ω e φt, y φ0, x < r 2 Como K x KB δx x = {t, y, t, y 0, x < δ x } e K é compacto, concluímos que existem x,,x m em K tais que K m j=b δxj x j

4 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Seja α = min { δ xj, j =,, m } Consideremos x K e t < α Logo x B δxj x j para algum j Isto implica que t, x 0, x j t + x x j < δ + δ xj = 2δ xj Assim t, x Ω e φt, x φ0, x φt, x φ0, x j + φ0, x j φ0, x < 2 r 2 = r Exercício 7 DL43 Verique quais dos sistemas lineares x = Ax são campos gradientes ou seja, Ax = Ux, para alguma função diferenciável U : R 2 R, no caso em que A M 2 R está na forma de Jordan λ 0 I A =, em que λ 0 λ e λ 2 são números reais Ax é um campo gradiente, pois se Ux, x 2 = 2 λ x 2 + λ 2 x 2 2, então 2 Ux, x 2 = λ x, λ 2 x 2 = Ax Para os dois casos abaixo, vamos usar que se fx, x 2 = f, f 2 = f f 2 = 0 x 2 x λ 0 II A = λ Neste caso, temos fx, x 2 = λx, x + λx 2 Logo f x 2 f 2 x = 0 Logo não é um campo gradiente a b III A =, b 0 b a Neste caso, temos fx, x 2 = ax + bx 2, bx + ax 2 Logo U x, U x 2 = Ux, x 2, então Logo não é um campo gradiente f x 2 f 2 x = b + b = 2b 0 Exercício 8 DL44 Dizemos que a trajetória t xt por x0 = x 0, ou então, o ponto x 0 é positivamente recorrente ou estável segundo Poisson se não é singular e, para alguma sequência t n +, vale que xt n x 0 Prove que um campo de vetores gradiente não possui trajetórias positivamente recorrentes Suponha que f = U e x = fx seja uma solução não constante Logo fxt 0 para todo t Assim d dt Uxt = Uxtx t = Uxtfxt = Uxt 2 = fxt 2 < 0 Logo t Uxt é uma função estritamente decrescente Por continuidade de U, se xt n x0, então Ux0 = lim n U xt n Mas se t n > 0, então U xt n < Ux0 Assim lim n U xt n < Ux0 Absurdo Logo não existem trajetórias positivamente recorrentes para vetores gradientes Exercício 9 DL45 Considere o sistema mecânico que descreve um pêndulo sujeito a uma força de atrito, porém não à força gravitacional A equação do movimento angular é dada por m d2 θ dθ = k dt2 dt Transforme num sistema de equações ordinárias de ordem retrato de fase deste sistema Calcule as soluções deste problema e esboce o

5 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Basta escrever { θ = ω ω = k m ω θ 0 ω = 0 k m θ ω Para resolver, podemos calcular a exponencial da matriz Porém é mais simples resolver em ω e depois em θ Se ω = k m ω, então ωt = ω0e k m t Como θ = ω, concluímos que θ = ω0e k m t Logo θt = θ0 + m k ω0 m k ω0e k m t Assim θt = θ0 + m k ω0 m k ω0e k m t ωt = ω0e k m t Exercício 0 DL48 Um exemplo mais simples que o do pêndulo é o da mola sem atrito, dada pelo sistema mecânico determinado pela lei de Hooke F x = kx, com x R e constante de mola k > 0 Obtenha a um potencial Ux e a energia cinética V x do sistema Ux = x 0 F ξdξ = x 0 kξdξ = 2 kx2 V x = 2 mx 2 b as curvas de nível da energia total Ex, x do sistema Para todo c, as curvas devem ser as elipses ou o ponto 0 dadas por c o retrato de fase do sistema Ex, x = 2 mx kx2 Exercício DL9 Calcule a energia total do sistema mecânico determinado pelo campo de forças F x = x 3 em R Obtenha a expressão do campo de vetores associado fx, y = x, y Esboce o retrato de fase da equação de primeira ordem associada ao campo f usando a integral primeira dada pela energia total A energia será dada por Ex, v = m 2 v2 + 4 x4 O campo de vetores é fx, v = v, x 3 para massa igual a Exercício 2 DL420 Sejam V,, V n : E R funções de classe C no aberto E R n e dena G : E R n por Gx = V x,, V n x Utilizando a forma local das submersões, mostre que se os vetores gradiente V x,, V n x são linearmente independentes, então {x E V x = c,, V n x = c n } = G c,, c n dene uma curva de classe C em R n Faremos aqui apenas um esboço com as ideias principais Vj Sabemos que V j x = x,, Vj x n são LI, para j =,, n Assim, para algum i, os vetores Vj x,, V j x i, V j,, V j, x i+ x n j =,, n são LI Podemos aplicar o teorema de álgebra linear: Posto Linha é igual ao Posto Coluna para concluir isto Vamos supor que podemos escolher i = n, apenas para ajudar a notação Assim, localmente existe um difeomorsmo h entre abertos do R n tal que G hx, t = x Em G c,, c n, obtemos que G hc, t = c, em que c := c,, c n Assim localmente, a curva será dada por t hc, t

6 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Forma Local das Submersões: Elon Análise Real Volume 2 Seja f = f,, f n uma aplicação de classe C k k de um aberto U R m+n em R n Se, num ponto p = a, b U, a matriz [ ] fi p i, j =,, n y j é invertível, então existem abertos Z p em R m+n, V a em R m, W c = fp em R n e um difeomorsmo vertical vertical quer dizer que hx, y = x, h 2 x, y h : V W Z, de classe C k,tal que fhx, w = w, para todo x V e todo w W Exercício 3 DL42 Sejam V,, V n : E R integrais primeiras do campo f : E R n de classe C no aberto E R n tais que os vetores V x,, V n x são linearmente independentes: pelo exercício acima, γ = {x E V x = c,, V n x = c n } dene uma curva de classe C em R n Parametrize γ por z :]a, b[ R n e considere o campo de vetores unidimensional induzido de f por z, ou seja, a função g :]a, b[ R,denida por gtz t = fzt como a razão das normas de fzt por z t vezes ou de tal forma que a equação acima seja satisfeita A equação diferencial y t = gt tem variáveis separáveis e é de fácil resolução por integração Portante podemos obter pelo menos em teoria a solução da equação diferencial original x = fx contida em γ através de xt = zgt Apenas detalhar o argumento Exercício 4 S228 Seja S = {A M n R : o uxo de x = Ax é hiperbólico} Mostre que S é aberto e denso em M n R, isto é, mostre: Dado A S, existe ɛ > 0 tal que se B A < ɛ, então B S Seja A S e p A o polinômio característico de A Seja ɛ > 0 tal que a distância entre as raízes de A e do eixo {z C; Rez = 0} sejam maiores do que ɛ Sabemos que existe δ > 0 tais que se os coecientes de um polinômio p distarem menos de δ dos coecientes de p A então a distância das raízes de p das raízes de p A será menor do que ɛ Como p A λ = detλi A, concluímos que os coecientes são função contínuas das entradas da matriz A e portanto, da matriz A Assim existe um ɛ > 0 tal que se B A < ɛ, então os coecientes de p B distam menos do que δ dos coecientes de p A Logo as raízes de p B distam das raízes de p A são menores que do ɛ Logo não podem pertencer a {z C; Rez = 0} Ou seja, a parte real dos autovalores é diferente de zero e B S 2 Dado A M n R e ɛ > 0, existe B S tal que B A < ɛ Seja ɛ > 0 Seja B = A + µi Logo p B λ = detλi B = detλ µ I A = p A λ µ Assim as raízes de p B são iguais as raízes de p A mais µ Se as raízes de A tiverem parte real diferente de zero, basta escolher B = A Senão, basta escolher µ < ɛ tal que p B não tenha mais raízes com parte real 0 Neste caso B A = µi = µ < ɛ Dica: Use que se pz = n j=0 a jz j é um polinômio e z,,z n são as raízes de p, então dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que se ã j a j < δ, então as raízes do polinômio pz = n j=0 ãjz j distam menos do que ɛ das raízes de p Isto é um consequência do Teorema de Rouché de análise complexa Exercício 5 S30 Seja C i = {A M n R : o uxo de x = Ax é hiperbólico e tem índice de estabildade i} Mostre que C i é aberto em M n R Lembre que i denota o número de autovalores com parte real negativa Uso o mesmo argumento do exercício anterior Dado A C i, basta escolher ɛ > 0 tal que as raízes de A tenham uma distância superior do que ɛ do conjunto {z C; Rez = 0} Agora basta escolher δ > 0 tal que se B A < δ, então as raízes de p A e de p B distam de uma distância de ɛ Logo continuará havendo i raízes de B com parte real negativa e n i raízes com pare real positiva Concluímos que se B A < δ, então B C i Exercício 6 S3

7 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Um sistema linear x = Ax chama-se estruturalmente estável se existe uma vizinhança V A de A em M n R tal que para toda matriz B V A o sistema linear x = Bx é topologicamente conjugado a x = Ax Prove que x = Ax é estruturalmente estável se, e somente se, x = Ax é hiperbólico Sugestão: para a prova de que a matriz deve ser hiperbólica observe que se λ é autovalor de A e v é um autovetor correspondente a λ, então ϕt = e λt v é solução de Ax = x Além disso, ϕt = e αt v se α = Reλ Podemos demonstrar da seguinte maneira Se A é hiperbólico e B for próximo a A, então B tem o mesmo índice de estabilidade de A Logo A e B são topologicamente conjugados, pelos resultados visto em sala de aula Se A não for hiperbólico, então numa vizinhança de A podemos achar denindo B = λi+a matrizes hiperbólicas com índices de estabilidade distintos Logo que não são topologicamente conjugadas Assim não podemos ter ambos topologicamente conjugadas a A já que a conjugação é uma relação de equivalência Usamos o seguinte resultado em sala de aula: Duas matrizes hiperbólicas denem uxos topologicamente conjugados se, e somente se, têm o mesmo índice de estabilidade Exercício 7 S37 Sistemas conservativos unidimensionais: Considere a equação x = F x num intervalo da reta Claramente ela é equivalente ao sistema x = v v = F x i Mostre que a energia total E = T + U é uma integral primeira de onde T v = v2 2 é a energia cinética e Ux = x x 0 F ξdξ é a energia potencial Vemos que Ex, v = x x 0 F ξdξ + v2 2 é tal que se x, v é solução da EDO acima, então d dt E xt, vt = Ex, v x, v = Ex, v v, F x = F x, v v, F x = F xv + F xv = 0 Logo t Ext, vt é constante Além disso, Ex, v = 0 só pode ocorrer se v = 0 No entanto, se houvesse algum aberto em que E fosse constante, então E seria igual a zero neste aberto Porém todo aberto deve conter x, v para algum v 0 Como isto não é o caso, concluímos que E não é constante em nenhum aberto Logo E é uma integral primeira ii Mostre que todos os pontos de equilíbrio de estão no eixo dos x Mostre também que todas as órbitas periódicas de interceptam o eixo dos x e são simétricas em relação a ele Vemos que v, F x = 0, 0 se v = 0 e se F x = 0 Assim as singularidades estão no eixo x v 0 Se uma órbita não intercepta o eixo dos x, então x t = vt é sempre crescente ou sempre decrescente Logo t xt, vt é injetora e a órbita não é periódica Seja t x, v uma órbita periódica Se t 0 tal que vt 0 = 0 Deno yt, wt = xt, vt, se t < t 0 yt, wt = xt 0 t, vt 0 t, se t t 0 Vemos que yt, vt satisfaz a equação também para t t 0 Além disso, yt 0, wt 0 = xt 0, 0 está bem denido Logo y, w e por unicidade é igual a x, v Concluímos daí a simetria iii Mostre que se Ux = Ux 2 = c e Ux < c para x < x < x 2, com F x e F x 2 não nulos, então tem uma órbita periódica passando pelos pontos x, 0 e x 2, 0 Uma solução x, v tal que x0, v0 = x, 0 não pode ser singular, pois 0, F x 0, 0 Além disso, está connada num conjunto limitado pelas conservação da energia e pelas hipóteses do exercício Logo a solução está denida para todo t real A periodicidade pode ser demonstrada usando argumentos de conservação de energia iv Suponha que F x 0 para 0 < x a < ɛ, para algum ɛ > 0 Mostre que tem um centro ou uma sela em a, 0 conforme Ua seja um mínimo ou um máximo relativo

8 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Basta estudar 0 df dx a 0 e ver que as raízes do polinômio característico são λ ± = ± df dx a = ± complexas, ou uma raiz positiva e outra negativa Supondo d2 U dx 2 a 0 d2 U dx 2 a Temos assim, ou duas raízes Exercício 8 S38 Com base no exercício anterior, faça uma representação do espaço de fase das seguintes equações: i x = x mola ii x = senx pêndulo iii x = x gravitação 2 Exercício 9 S3 Seja f : E R n um campo vetorial de classe C Uma função contínua V : E R chama-se integral primeira de f em E se: a V é constante ao longo de toda órbita de f b V não é constante em nenhum aberto de E Resolva as seguintes questões: i Seja f : E R de classe C tal que V xfx = 0 e V x 0 para todo x E Então V é uma integral primeira de f Seja x : I R n uma solução de x = fx Logo d dt V xt = V xtx t = V xtfxt = 0 Logo t V xt é uma função constante Assim a é satisfeito Suponha que V seja constante em algum aberto de E Logo, neste aberto temos V x = 0 Como isto não é verdadeiro para nenhum x, concluímos que b é satisfeito ii Se x E não é ponto singular de f então existe uma vizinhança U de x tal que f U tem n integrais primeiras V,,V n de classe C funcionalmente independentes isto é, tais que V,, V n são linearmente independentes para todo x U Sugestão: Use o Teorema do Fluxo Tubular iii Encontre uma integral primeira do centro dado por para β 0 e da sela x = βx 2 x 2 = βx x = λ x x 2 = λ 2 x 2 onde λ < 0 < λ 2 Para o primeiro, vemos que V x, x 2 = x 2 + x 2 2 é uma integral primeira, pois V x, x 2 βx 2, βx = 2x, 2x 2 βx 2, βx = 2βx x 2 + 2βx x 2 = 0 Além disso, V x, x 2 = 0 só na origem, ou seja, V não é constante em nenhum aberto Para a sela podemos denir V x, x 2 = x λ 2 λ V x, x 2 λ x, λ 2 x 2 = x 2 Logo λ 2 x λ 2 λ λ x 2, x λ2 λ λ 2 x λ 2 λ x 2 + λ 2 x λ2 λ x 2 = 0 λ x, λ 2 x 2 = Novamente, V só se anula se x = 0 ou se x 2 = 0 Assim V não é constante em nenhum aberto iv Para sistemas lineares, não existe nenhuma integral primeira em R 2, se ambos autovalores tiverem parte real > 0 ou ambos tiverem parte real < 0

9 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Basta observar que todas as soluções neste caso vão a 0 quando o tempo tende a + ou, dependendo do sinal dos autovalores Logo se existisse integral primeira, teríamos usando que t φt, x é constante que V x = lim V φt, x = V lim φt, x = V 0 t ± t ± Logo a integral primeira seria uma função constante em R 2 Absurdo v Generalize iii e iv para sistemas lineares em R n vi Seja H : R 2n R uma função de classe C r, r 2 Suponha que os pontos onde H é igual a zero sejam isolados e encontre uma integral primeira para o campo H H f =,,, H,, H x n+ x 2n x x n tal campo é conhecido como Hamiltoniano Uma integral primeira para o campo acima é o próprio Hamiltoniano De fato, H não é constante em nenhum aberto e H Hxfx =,, H H H H H,,,,,, H,, H = x x n x n+ x 2n x n+ x 2n x x n H H + + H H H H H H = 0 x x n+ x n x 2n x x n+ x n x 2n vii Dada uma função V : E R de classe C 2, tal que V não se anula em nenhum aberto, encontre um campo f : E R n cuja integral primeira seja V Suponha E R 2 Basta denir f : E R 2 por V fx, x 2 =, V x 2 x Agora basta usar o mesmo argumento do item anterior viii Se f : E R n e f 2 : E 2 R n são topologicamente equivalentes e f tem uma integral primeira, então o mesmo é válido para f 2 Suponha que g : E E 2 seja um homeomorsmo e que para todo x E e t Ix, temos g φ t, x = φ 2 t, g x Logo se V : E R é uma integral primeira de f, então V g : E 2 R é uma integral primeira de f 2 De fato, V g é constante em abertos Se fosse constante no aberto U E 2, então V seria constante no aberto g U Isto é um absurdo Por m V g φ 2 t, y = V g g φ t, g y = V φ t, g y Logo t V g φ 2 t, y é uma função constante em t ix Se V é uma integral primeira de f, então M c = V c é invariante por f Em particular, como M c não contém abertos, podemos considerar as órbitas contidas em M c como um subsistema, com dimensão inferior em uma unidade com respeito ao sistema denido por f Este item é mais um observação O fato dev c ser invariante por f signica que uma solução de x = fx com x0 = x 0 pertence a V c se V x 0 = c, já que V é constante sobre órbitas da EDO Por m, como M c não é aberto, podemos pensar em M c como um subsistema Ou seja, podemos estudar a órbita de x = fx com x0 V c restrita a M c x Se f tem uma integral primeira V com V x 0 0, então existe uma vizinhança U de x 0 tal que f U é diferenciavelmente conjugado a um sistema da forma f = f, f 2,, f n, 0 xi Generalize este último resultado para o caso em que f possui k integrais primeiras funcionalmente independentes ver ii em um ponto x 0 E Sugestão: Compare com o Teorema do uxo tubular e imite a prova, usando o Teorema da Aplicação Inversa x e xi A ideia é a mesma Vamos dar apenas as ideias principais

10 DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3 EDO II - MAP Sabemos que pelo teorema das submersões, se V,, V m são integrais primeiras com gradientes linearmente independentes, então existe um difeomorsmo h entre abertos do R n tal que Localmente φt, x = hy Como V hx,, x n,, V m hx,, x n = x,, x m V j hy = y j V j φt, x = V j φ0, x = V j x = y j = V j x, concluímos que y = h φt, x = V x,, V m x, y m+ t, x,, y n t, x Ou seja, t h φt, x é constante nas m primeiras entradas Logo h φt, x satisfaz uma equação da forma x = fx, em que e h é a conjugação entre os campos f e f f = 0,, 0, f m+,, f n