Campos hamiltonianos e primeiro grupo de cohomologia de De Rham.

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1 Campos hamiltonianos e primeiro grupo de cohomologia de De Rham. Ronaldo J. S. Ferreira e Fabiano B. da Silva 18 de novembro de 2015 Resumo Neste trabalho vamos explorar quando um campo vetorial simplético é um campo hamiltoniano global por meio do primeiro grupo de Cohomologia de De Rham da variedade simplética. Palavras Chave: variedade simplética, campo hamiltoniano, cohomologia de De Rham. Introdução. Os sistemas hamiltonianos são estudados na mecânica clássica, e foram introduzidos em 1833 pelo matemático irlandês William Rowan. Tais sistemas são um caso especial de sistemas dinâmicos, onde suas equações diferenciais, nas coordenadas (p, q), em geral são escritas da forma d dt p(t) = H(p(t), q(t)), q d dt q(t) = H(p(t), q(t)). p Para estender estes sistemas num contexto de variedades, como veremos mais adiante, é necessário uma estrutura especial para seus espaços tangentes. Neste artigo, fixaremos algumas notações e apresentaremos alguns resultados da teoria de variedades simpléticas, úteis para demonstrar um teorema que pode ser encontrado em Lee [2], que garante que todo campo simplético em M é globalmente hamiltoniano se, e somente se, o primeiro grupo de cohomologia de De Rham é zero, i.e. HdR 1 (M) = {0}. Neste trabalho buscaremos a compreensão do teorema e faremos os detalhes omitidos pelo autor durante a demonstração. Por fim, daremos dois exemplos de campos vetoriais que são simpléticos mas não hamiltonianos globais. Este trabalho é parte da dissertação de mestrado acadêmico desenvolvido na UFMA pelo primeiro autor, sob a orientação do segundo autor. ronaldoj.sf@hotmail.com (UFMA). fabiano@fc.unesp.br (UNESP). 1

2 1 Primeiro grupo de cohomologia de De Rham. Seja M uma variedade diferenciável. Como a derivada exterior d : Ω k (M) Ω k+1 (M) é uma aplicação linear, seu núcleo e sua imagem são subespaços vetoriais lineares. Assim, definimos Z k (M) := ker[d : Ω k (M) Ω k+1 (M)] = { k-formas fechada em M}; B k (M) := Im[d : Ω k 1 (M) Ω k (M)] = { k-formas exata em M}. Como toda forma exata é fechada, segue que B k (M) Z k (M). Portanto, faz sentido definirmos o k-ésimo grupo de cohomologia de De Rham de M, nome escolhido em homenagem ao matemático George De Rham, como sendo o espaço vetorial quociente HdR k (M) = Zk (M) B k (M). (1.0.1) Assim HdR k (M) é um espaço vetorial sobre R, e em particular um grupo com relação a adição de vetores. Sendo assim o nome mais apropriado seria espaço de cohomologia de De Rham, porém usaremos o termo grupo como a maioria dos livros. Seja ω uma forma fechada em M. Denotamos por [ω] a classe de equivalência de ω neste espaço quociente, onde chamaremos de classe de cohomologia de ω. Se k < 0 ou k > dim M então por convenção Ω k (M) = 0, o que implica em HdR k (M) = 0. Se [ω] = [ω ], isto é, se ω e ω diferem por uma forma exata, ω = ω + dη, dizemos que ω e ω são cohomólogos. Não é difícil verificar que variedades difeomorfas possuem grupo de cohomologia de De Rham isomorfos. Mais geral ainda, a cohomologia de De Rham é uma invariante topológico. Este resultado é surpreendente, pois a definição de grupos de De Rham de M está relacionado com a estrutura diferenciável e, portanto, não há razão para esperar que estruturas diferenciáveis diferentes na mesma variedade topológica dêem o mesmo grupo de De Rham. Para maiores detalhe ver, entre outros, Lee [2]. 2 Variedade simplética. Sejam V um espaço vetorial real e Ω : V V R uma forma bilinear anti-simétrica. Dizemos que a forma Ω é não-degenerada, ou simplética, se Ω(u, v) = 0, v V u = 0. Ou seja, a aplicação Ω : V V definida por v Ω(v, ) é um isomorfismo linear. Um espaço vetorial simplético (V, Ω) é um espaço vetorial V com uma forma (ou estrutura) simplética Ω. Um simplectomorfismo S entre dois espaços vetoriais simpléticos (V 1, Ω 1 ) e (V 2, Ω 2 ) é um isomorfismo linear S : V 1 V 2 tal que S Ω 2 = Ω 1, ou seja, (S Ω)(u, v) = Ω(S(u), S(v)), para todo u, v V 1. Se existe um simplectmorfismo S : V 1 V 2, dizemos que (V 1, Ω 1 ) e (V 2, Ω 2 ) são simplectomorfos. Exemplos. (1) Considere o espaço R 2n com Ω 0 (u, v) = Ju, v, para todos u, v R 2n, onde J é uma matriz, 2n 2n, definida por ( ) 0 I J =, I 0 2

3 e I é a matriz identidade em n n. Não é difícil verificar que Ω 0 é nãodegenerada e anti-simétrica. (R 2n, Ω 0 ) é chamado de espaço vetorial simplético canônico. (2) Seja W um espaço vetorial de dimenção n, e W seu dual. Então o espaço vetorial V = W W possui uma estrutura simplética natural definida por Ω((u, z ), (v, w )) = w (u) z (v). Dizemos que uma variedade M é simplética quando admite uma 2-forma fechada e não-degenerada ω, ou seja, uma condição analítica e algébrica, respectivamente para a 2-forma. Um dos teoremas clássicos para tais variedades, é o Teorema de Darboux que garante que toda variedade simplética é localmente simplectomorfa a um aberto do R 2n munida da forma simplética canônica. A Fórmula de Cartan dá a seguinte relação entre derivada de Lie, derivada exterior e o produto interior: L X ω = d(i X ω) + i X (dω). Como a 2-forma ω é fechada, segue que L X ω = d(i X ω) para todo campo diferenciável X na variedade simplética. E dizemos que um campo é simplético se L X ω = 0, ou seja, se i X ω é fechada. E analogamente, um campo X é hamiltoniano global (ou hamiltoniano) na variedade M, se i X ω é uma forma exata, ou seja, existe h : M R diferenciável tal que i X ω = dh, e neste caso denotamos o campo por X h. E dizemos que é localmente hamiltoniano se para cada ponto p M existe uma vizinhança U de p, no qual o campo X é hamiltoniano em U. Notemos que todo campo hamiltoniano (global) é localmente hamiltoniano. Lembremos a seguinte propriedade para formas fechadas e exatas. Proposição 1 (Localmente toda forma fechada é exata) Sejam M uma variedade diferenciável e ω uma k-forma fechada em M, k 1. Para cada p M, existe uma vizinhança U de p na qual ω é exata. Por meio desta proposição, podemos mostrar o seguinte lema. Lema 2 Um campo X em M é simplético se, e somente se, este for localmente hamiltoniano. Demonstração. Suponhamos que o campo X seja localmente hamiltoniano. Então para cada ponto p M existe uma vizinhança U p e uma função diferenciável f : U p R, unicamente definida, tal que X = X f. Logo i X ω = i Xf ω = df. Assim, a 1-forma ι X ω é exata e, portanto, fechada. Reciprocamente, suponhamos que o campo X seja simplético. Pela Proposição 1, temos que para cada ponto p M existe uma vizinhança U p tal que a 1-forma fechada i X ω é exata. Logo, existe uma função f : U p R diferenciável tal que i X ω = df. Como ω é nãodegenerada segue que X = X f em U p ou seja, ω(x, ) = df = ω(x f, ). 3

4 3 Campos hamiltonianos globais e H 1 dr (M). O teorema a seguir, em geral, é bastante útil para determinar a existência de campos hamiltonianos globais em variedades simpléticas. Teorema 3 Seja (M, ω) um variedade simplética. Então todo campo localmente hamiltoniano em M é globalmente hamiltoniano se, e somente se, HdR 1 (M) = {0}. Demonstração. Suponha que HdR 1 (M) = 0. Pelo Lema 2 temos que qualquer campo localmente hamiltoniano X é simplético e, portanto, i X ω é fechada. Como HdR 1 (M) = 0, segue que i X ω é exata. Logo, existe uma função f : M R tal que i X ω = df. Como ω é não-degenerada, temos que X = X f e dessa forma X é globalmente hamiltoniana. Reciprocamente, seja η uma 1-forma fechada e X o campo definido por X = ω 1 η, onde ω : T M T M é o isomorfismo definido por ω(x) = ω(x, ). Como i X ω = ω(x, ) = ω(x) = η é fechada, temos que X é um campo simplético. Logo, pelo Lema 2, o campo X é localmente hamiltoniano e, portanto, X = X f onde f : M R é uma função diferenciável. Assim, η = ω(x) = ω(x f ) = ω(x f, ) = df, e portanto η é exata. 3.1 Exemplos de campos simpléticos que não são hamiltonianos globais. Agora serão feitos dois exemplos de campos vetoriais que são simpléticos, mas não hamiltonianos globais. Vale ressaltar que não encontramos o primeiro exemplo em nossas referências bibliográficas. Construímos fazendo uma analogia com algumas propriedades de campos de vetores gradientes. Já o segundo exemplo, é encontrado em Bursztyn e Macarini [1], porém as contas não foram explicitadas pelo autor Aberto de R 2 {0}. Considere a variedade M = R 2 {0} nas coordenadas (x, y) com estrutura simplética ω 0 = dx dy. Seja o campo vetorial X definido por X(x, y) = a(x, y) / x + b(x, y) / y para uma base fixada { / x, / y}. Calculando o produto interior de dx e dy para o campo X temos, Logo, A 1-forma i X ω 0 é fechada se d(ady bdx) = a x i X dx = dx(x) = a, i X dy = dy(x) = b. i X ω 0 = i X (dx dy) = (i X dx) dy dx (i X dy) = a(x, y)dy b(x, y)dx. b dx dy dy dx = y ( a x + b ) dx dy = 0, y ou seja, a/ x = b/ y. Tomemos a(x, y) = x/(x 2 +y 2 ) e b(x, y) = y/(x 2 +y 2 ). Portanto a 1-forma i X ω 0 é fechada pois, a x = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2, b y = x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2. 4

5 Como i X ω 0 é uma forma fechada para as funções a e b dadas acima, concluímos que o campo X assim definido é um campo simplético em R 2 {0}. Seja U R 2 {0} um aberto que contem uma circunferência C de raio R > 0 e centro na origem. Será que existe uma função diferenciável f : U R tal que X = X f? Ou equivalentemente, em termos do gradiente, existe uma função f tal que que X = J [ f] T em U? Vamos supor por absurdo que o campo X = ( x x 2 + y 2, ) y x 2 + y 2 seja hamiltoniano em U. Como f é contínua e C é compacto, temos que existe p C tal que f assume seu valor máximo em C. Logo, f(p) é normal a C no ponto p. Como f(p), X(p) = f(p), J [ f(p)] T = 0, segue que X(p) é perpendicular ao f(p). O que é absurdo, uma vez que X(p) = X(p 1, p 2 ) = 1 (p p2 2 )(p 1, p 2 ) = λ f(p). Logo, o campo X : U R 2 é simplético, mas não é globalmente hamiltoniano em U M=S 1 R. Considere o cilindro S 1 R com coordenadas cilíndricas (θ, h) e a forma simplética dada por ω = dθ dh. O campo X = h é simplético pois i X ω = (i X dθ) dh dθ (i X dh) = dθ. Lembremos que θ : V R é a função ângulo e, portanto, ela está definida em um aberto V que não contém todo o S 1. Vamos mostrar que a 1-forma i X ω = dθ não é exata em S 1. Logo X não é hamiltoniano (global) em M. Para isto, considere o caminho fechado em S 1 dado por γ : [0, 2π] S 1 t (cos t, sen t). Vamos verificar que γ dθ 0. Como α = dθ é a forma elemento ângulo, em coordenadas cartesianas podemos escrevê-la como α = y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 dy. Ver por exemplo Elon L. Lima [3] para maiores detalhes para esta expressão acima. Desta forma, temos que α = γ α γ = = = [0,2π] 2π 0 2π 0 2π 0 α γ(t) (γ (t))dt [ sen t ( sen t) + cos t (cos t) dt = 2π. sen 2 t + cos 2 t 5 ] dt

6 Referências [1] Bursztyn, H e Macarini, L. Introdução à geometria simplética, XIV Escola de Geometria Diferencial. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, [2] Lee, J. M. Introduction to smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer, [3] Lima, E. L. Curso de Análise Vol.2, Projeto Euclides. Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, [4] Silva, A. C. Introduction to symplectic and Hamiltonian geometry, Publicações Matemáticas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications] Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro,