Hiperplano e n-esfera: Posições Relativas

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1 Hiperplano e n-esfera: Posições Relativas Joselito de Oliveira, Wender Ferreira Lamounie Departamento de Matemática Universidade Federal de Roraima (UFRR) Boa Vista RR Brazil Escola de Aplicação Universidade Federal de Roraima (UFRR) Boa Vista RR Brazil joselito.oliveira@ufrr.br, wender.lamounier@ufrr.br Abstract. In the flat analytic geometry are studied the line, the circle and their relative positions. In this paper, similarly is presented a study of the relative positions of the hyperplane and of the n-sphere, in the euclidian space n-dimentional. Initially, will be presented a study of the relative positions between the hyperplane and the n-sphere. After, relative positions between the hyperplanes are presented. And, finally, we study the relative positions between n-spheres. Particular cases in R and R 3 are seen. Resumo. Na Geometria Analítica Plana são estudados a reta, o círculo e as suas posições relativas. Neste artigo, de forma semelhante é apresentado um estudo das posições relativas do hiperplano e da n-esfera, no espaço euclidiano n-dimensional. Inicialmente apresenta-se um estudo sobre as posições relativas entre o hiperplano e a n-esfera. Depois, as posições relativas entre hiperplanos são apresentados. E, finalmente estuda-se as posições relativas entre n-esferas. Casos particulares em R e R 3 são vistos.. Introdução Na Geometria Analítica Plana e Espacial estuda-se as posições relativas de retas e planos, que são exemplos de hiperplanos em R e R 3, respectivamente. Estudase também a posição relativa: entre circunferência e reta e entre circunferências. Com relação as posições relativas da esfera, desconhecemos se há algum estudo a respeito. Já em [LAMOUNIER 04] encontra-se um estudo no espaço euclidiano R n das posições relativas entre o hiperplano e a (n )-esfera, onde o principal resultado é apresentado aqui de modo diferenciado. Neste artigo estuda-se as posições relativas envolvendo hiperplanos e (n ) -esferas, elementos do espaço euclidiano R n. Além das proposições que caracteriza as posições relativas dos referidos objetos geométricos, apresenta-se o conceito de hipersecante. Em [MILLMAN 977] e [MENDELSON 990] a definição de (n )-esfera restringi-se ao caso em que o raio vale um e o centro é a origem. Aqui, sem perda de generalidades vamos considerar a (n )-esfera com raio maior ou igual a um e centro em um ponto qualquer do R n. O artigo está organizado da seguinte forma: Na seção dois encontra-se a matemática necessária ao entendimento das seções seguintes. Sua leitura poderá ser dispensada. A seção três trata das posições relativas entre hiperplanos. Na seção quatro as posições relativas entre (n )-esferas. RCT v..n. (05)

2 . Preliminares Nessa seção serão apresentadas as ferramentas matemáticas que servirão de suporte teórico para o desenvolvimento do artigo. Para iniciar esta seção apresenta-se alguns conceitos básicos que podem ser encontrados nas referências [LIMA 005] e [SPIVAK 003]. Definição.. Seja n Z +, denota-se por R n o produto cartesiano de n fatores iguais a R, isto é, R n = R... R. As operações seguintes fazem do R n um R-espaço vetorial. Dados x = (x, x,..., x n ), y = (y, y,..., y n ) vetores do R n e um número real α, as operações de soma x + y e o produto α x são definidas por: i) x + y = (x + y, x + y,..., x n + y n ); ii) α x = (α x, α x,..., α x n ). Observação.. O elemento neutro para a adição é o 0 = (0, 0,..., 0) e o simétrico de x = (x, x,..., x n ) é x = ( x, x,..., x n ), uma vez que x + ( x) = 0. O conceito de simetria se faz presente da seguinte forma: sejam x = (x, x,..., x n ) e y = (y, y,..., y n ), y é o simétrico de x se, e somente se, y = x, y = x,..., y n = x n. Dados dois vetores x = (x, x,..., x n ) e y = (y, y,..., y n ), o produto interno de x e y aqui considerado é dado por x, y = n i= x iy i. Exemplo.. De acordo com a definição., temos os seguintes espaços euclidianos: a reta R = R; o plano R = {(x, y) x, y R} e o espaço R 3 = {(x, y, z) x, y, z R}. Lembramos que dois vetores x, y R n são ortogonais quando x, y = 0. Para o nosso estudo vamos considerar a norma euclidiana, isto é, o número real dado por x = x, x, onde x R n. Com base na norma pode-se definir a distância em R n do seguinte modo: Dados x, y R n, a distância de x à y é definida por: d(x, y) = x y Dessa forma dados P = (p, p,..., p n ) e Q = (q, q,..., q n ), pontos do R n, então d(p, Q) = n i= (p i q i ). O conceito de hiperplano pode ser encontrado em [COELHO 00] e [LANG 003], mas aqui será enunciado considerando o espaço vetorial R n. Definição.. Seja v 0 um vetor do R n. O conjunto dos pontos X do R n denotado por Γ n, que passa pelo ponto P do R n e é normal ao vetor v tal que é denominado hiperplano. X P, v = 0 Sendo o hiperplano, que passa pelo ponto P = (p,..., p n ) R n e é normal ao vetor v = (v,..., v n ) R n, o conjunto Γ n dos pontos X = (x, x,..., x n ) do R n que satisfaz a equação (X P ), v = 0. E sendo ainda X P = (x p,..., x n p n ) e v (X P ), então RCT v..n. (05)

3 (x p,..., x n p n ), (v,..., v n ) = v x v n x n p v... p n v n, ou seja, v x +...+v n x n +d = 0, onde d = p v... p n v n. E esta é a equação do hiperplano Γ n, que passa pelo ponto P e é normal ao vetor v = (v,..., v n ). Exemplo.. No plano, caso em que n =, o hiperplano é a conhecida equação da reta v x + v x + d = 0, objeto de estudo da geometria analítica plana. Exemplo.3. No espaço, caso em que n = 3, o hiperplano é a conhecido como equação do plano v x + v x + v 3 x 3 + d = 0. Apresentaremos a seguir a definição de (n )-esfera e a equação que à representa no R n, particularizando para n =, e 3. Em [MILLMAN 977] e [MENDELSON 990] a definição de (n )-esfera é restrita ao caso em que o raio vale um e o centro é a origem. Sem perda de generalidades iremos considerar a (n )-esfera em que o raio é maior ou igual a um e centro sendo um ponto qualquer do R n. Definição.3. Uma (n )- esfera no R n de raio r > 0 e centro c é o conjunto S n r (c) = {x R n ; d(c, x) = r}, onde n. Note que, sendo d(c, x) = r, onde x = (x,..., x n ) e c = (c,..., c n ), então (x c ) (x n c n ) =, que é a equação da (n )-esfera de centro c e raio r. Portanto, a (n )-esfera pode ser escrita como sendo o conjunto S n r (c) = {(x,..., x n ) R n Exemplo.4. Dados c = (c,..., c n ) R n e r > 0, então: n (x i c i ) = }.. Para n =, a 0-esfera S 0 r(c) = {x R (x c) = } = {c r, a + r};. Para n =, a -esfera S r(c) = {(x, x ) R i= (x i c i ) = } é o círculo de centro c = (c, c ) e raio r > 0; 3. Para n = 3, a -esfera S r(c) = {(x, x, x 3 ) R 3 3 i= (x i c i ) = } é a esfera de centro c = (c, c, c 3 ) e raio r > 0. Observação.. Para n 4 a (n )-esfera é denominada hiperesfera. As posições relativas entre o hiperplano e a (n )-esfera foram estudas em [LAMOUNIER 04], conforme a seguinte proposição: Proposição.. Sejam Γ n um hiperplano que passa pelo ponto P = (p,..., p n ) do R n e v = (v,..., v n ) um vetor normal a Γ n, e seja S n r (c) uma (n )-esfera de centro c = (c,..., c n ) e raio r > 0. a. d(c, Γ n ) > r se, e somente se, Γ S n r (c) = ; b. d(c, Γ n ) = r se, e somente se, Γ Sr n (c) = {P 0 }. Neste caso dizemos que o hiperplano é tangente a (n )-esfera; RCT v..n. (05) i=

4 c. d(c, Γ n ) < r se, e somente se, S n r (c) Γ n = S n r (q), onde S n k r (q) k é a (n )-esfera contida no plano Γ n que tem raio k com centro em q, ponto de intersecção do plano Γ n com a reta l normal a Γ n que passa pelo centro c da (n )-esfera Sr n (c), e k = d(c, Γ n ). Motivados pela proposição., nas próximas seções estudaremos as posições relativas entre hiperplanos e e as posições relativas entre (n )- esferas. Os resultados apresentados existem para os casos n = (plano) e n = 3 (espaço), porém o caso n > 3, salvo engano, não encontra-se na literatura. 3. Posições relativas entre hiperplanos Na geometria analítica plana e espacial estuda-se as posições relativas de retas e planos, que são hiperplanos em R e R 3, respectivamente. Aqui, estudaremos posições relativas entre hiperplanos no R n. Sejam Γ n e Γ n hiperplanos, observa-se intuitivamente que se Γ n e Γ n são paralelos o ângulo entre eles é igual a zero. Com base no conceito de ângulo entre planos dado em [SANTOS 007] definimos ângulo entre hiperplanos da seguinte forma: Definição 3.. Sejam Γ n e Γ n hiperplanos com vetores normais u e v, respectivamente. O ângulo entre Γ n e Γ n, denotado por (Γ n, Γ n ), é dado por (Γ n, Γ n ) = cos < u, v > ( u. v ). Definição 3.. Dois hiperplanos Γ n e Γ n são ortogonais se o ângulo entre eles é igual a 90. A próxima proposição nos dá a caracterização de hiperplanos ortogonais. Proposição 3.. Sejam Γ n e Γ n hiperplanos com vetores normais u e v, respectivamente. Então Γ n Γ n se, e somente se, < u, v >= 0. Proof. < u, v >= 0 cos (Γ n, Γ n ) = cos(u, v) = 0 (Γ n, Γ n ) = 90, isto é, Γ n Γ n. Definição 3.3. Dois hiperplanos Γ n e Γ n são iguais ou paralelos se o ângulo entre êles é igual a zero. Para demonstração da proposição seguinte precisamos do seguinte lema, cuja a demonstração pode ser vista em [COELHO 00]. Lema 3.. Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão n e W um subespaço próprio de V. Então W é um hiperplano se, e somente se, dim k W = n. Proposição 3.. Sejam Γ n e Γ n hiperplanos, tendo como vetores normais u e v, respectivamente. Então: i) u e v são colineares se, e somente se, Γ n e Γ n são paralelos ou iguais; ii) u e v não são paralelos se, e somente se, Γ n Γ n = Γ n, onde n. RCT v..n. (05)

5 Proof. Sejam Γ n e Γ n hiperplanos distintos com vetores normais u = (u,..., u n ) e v(v,..., v n ), respectivamente e com equações e u x u n x n + d = 0 () v x v n x n + d = 0. () i) ) Suponha que u e v são vetores colineares, então existe t R tal que u = tv. Logo, (Γ n, Γ n ) = cos < u, v > ( u. v ) = cos < tv, v > ( tv. v ) = cos (). Daí cos (Γ n, Γ n ) = e portanto (Γ n, Γ n ) = 0, isto é, Γ n //Γ n ou Γ n = Γ n ). (a) Se Γ n = Γ n existe um rep- de w em Γ n então < w, u >= 0, já que u Γ n. Daí temos que < w, u >= 0 e sendo w arbitrário, então u Γ n. Portanto, u//v, isto é, existe λ R tal que u = λv. ii) ) Suponha u e v não paralelos, pelo item (i) Γ n e Γ n não são paralelos, ou seja, Γ n Γ n., então u = v. (b) Suponha que Γ n //Γ n, como para cada w Γ n resentante w Dado p = (x,..., x n ) Γ n Γ n então p Γ n e p Γ n. Portanto, e u x u n x n + d = 0 (3) RCT v..n. (05) v x v n x n + d = 0. (4) Suponha sem perda de generalidades que v n 0, então Substituindo-se (5) em (3), obtemos x n = d v n u v n... u n v n. (5) A x A n x n + d = 0, (6) onde A i = u i v n u n v i, com i n, e d = d v n u n d.

6 Note que esta é a equação de um hiperplano Γ n com vetor normal v = (A,..., A n ). Logo p Γ n e portanto Γ n Γ n Γ n. Agora, como Γ n e Γ n são hiperplanos então Γ n Γ n é também um hiperplano. Pelo lema dim(γ n Γ n ) = dimγ n = n. Como dimγ n = n então Γ n Γ n = Γ n. 4. Posições relativas entre (n )-esferas Como no caso dos hiperplanos, aqui iremos apresentar as posições relativas entre (n )-esferas. Lembramos inicialmente que no espaço euclidiano duas esferas são iguais se possuem mesmo raio e o mesmo centro. E que são concêntricas se possuem o mesmo centro. No caso em que temos duas (n )-esferas a situação é a mesma. No que segue veremos como pode ser caracterizado este fato do ponto de vista da Geometria Analítica. Proposição 4.. Sejam S n b = (b,..., b n ), respectivamente. Então: i) = e d(a, b) = 0 se, e somente se, S n (a) e Sr n (b) (n )-esferas de centros a = (a,..., a n ) e (a) = Sr n (b); ii) e d(a, b) = 0 se, e somente se, S n (a) e Sr n (b) são concêntricas e não coincidentes. Proof. i) ) Como =, então x = (x,..., x n ) S n (a) (x a ) (x n a n ) = =. E sendo d(a, b) = 0 então a = b, ou seja, a i = b i, i n. Daí, = (x a ) (x n a n ) = (x b ) (x n b n ) Logo (x,..., x n ) S n prova-se que S n (b) e portanto Sr n (a) S n (b). Analogamente (b) S n (a) obtendo-se assim a igualdade. (a) S n (b). ) Vamos provar que se ou d(a, b) 0 então S n Suponha que d(a, b) 0 então a b. Se Sr n (a) Sr n (b) =, nada temos a provar. Suponha então que Sr n (a) Sr n (b), logo existe x Sr n (a) tal que x / S n (a) S n (b). Daí, x / S n (b) e portanto S n (a) S n (b). Se, sem perda de generalidades podemos supor >. Vamos supor também que d(a, b) = 0, caso contrario caímos no caso anterior e a proposição estará provada. Sendo assim a = b. Agora, dado x Sr n (b) então x b = e daí x a = x b = >. Logo x / Sr n (a) e portanto S n (a) S n (b). ii) ) Como d(a, b) = 0 a = b e sendo podemos supor sem perda de generalidades que <. Agora, dado x Sr n (a) então x a = < e portanto x / S n (b). Logo S n (a) e Sr n (b) são concêntricas não coincidentes. RCT v..n. (05)

7 ) Sendo S n (b) e S n são coincidentes, isto é, Sr n (i) temos que. (b) concêntricas então d(a, b) = 0. Como elas não (a) S n (b), então pela proposição 4. item Duas S esferas são ditas secantes se possuem dois pontos em comum. Para n-esferas, com n, o conceito é análogo. Definição 4.. Duas n-esferas S n (a) e Sr n (b), onde n, são ditas hipersecantes se existe uma (n )-esfera S n r (c) tal que S n (a) S n (b) = S n r (c). No caso em que n = 3 temos que S (a) S (b) = S r(c). Portanto, as esferas S (a) e S (b) são hipersecantes. Proposição 4.. Sejam S n (a) e Sr n (b) (n )-esferas de centros a = (a,..., a n ) e b = (b,..., b n ), respectivamente. Então: i) d(a, b) > + se, e somente se, S n (a) S n (b) = ; ii) d(a, b) é igual a + ou se, e somente se, S n iii) < d(a, b) < + se, e somente se, S n (a) S n (a) S n (b) = {p}; (b) = S n r (c). Proof. i) ) Suponha que S n (a) Sr n (b), então existe p = (p,..., p n ) S n (a) S n (b) e portanto p S n (a) e p S n (b). Daí d(p, a) = e d(p, b) =. Agora d(a, b) d(a, p) + d(p, b) = +. ) Suponha que S n (a) S n (b) =, vamos provar que d(a, b) > +. Sendo S n (a) e S n (b) fechados então d(s n (a), S n (b) ) = min{d(x, y) x Sr n (a) e y Sr n (b)} = d(x 0, y 0 ) > 0, pois S n Portanto, (a) S n (b) =. d(a, b) = d(a, S n (a)) + d(sr n (a), S n (b)) + d(s n (b), b) > +. ii) ) Seja x : [0, ] R n a curva que liga os pontos a e b definida por x(t) = ( t)a + tb, 0 t, onde x(0) = a, x() = b. Vamos supor inicialmente que d(a, b) = +. Seja x(t 0 ) Sr n (a) então = x(t 0 ) a = ( t 0 )a + bt 0 a = b a t 0 = ( + )t 0. Logo t 0 =. Agora, + p = x(t 0 ) = x( ) = a + b Daí, p b = a b =. Logo p Sr n + (b) e portanto p S n (a) S n (b). Vamos supor agora, sem perda de generalidades, que > e que d(a, b) =, então RCT v..n. (05)

8 = x(t 0 ) a = ( t 0 )a + bt 0 a = b a t 0 = ( )t 0. Logo, t 0 =. Agora, p = x(t 0 ) = x( ) = a + b. Sendo assim, p b = b a =. Logo p S n r (b) e portanto p S n (a) S n (b). Sendo x(t 0 ), em quaisquer dos dois casos, único, então S n {p}. ) Supomos agora que Sr n que x(t 0 ) = p. (a) S n (b) = (a) S n (b) = {p}, então existe t 0 (0, ) tal Como p S n (a) então = p a = b a t 0 = d(a, b)t 0. Enquanto que p S n (b) implica que = p b = t 0 d(a, b). Daí, (t 0 )d(a, b) = ou (t 0 )d(a, b) =. Como d(a, b) > 0 então ( d(a, b) )d(a, b) = ou ( d(a, b) )d(a, b) =. Portanto d(a, b) = + ou d(a, b) =. iii) Como d(a, b) > + pelo item (i) desta proposição temos que S n (a) S n (b). Logo, existe p = (x,..., x n ) S n (a) S n (b). Daí, e Note que onde i n. De 7, 8 e 9 obtemos (x b ) (x n b n ) = (7) (x n a n ) = (x a )... (x n a n ). (8) (x i b i ) = (x i a i ) + (a i b i )(x i a i ) + (a i b i ), (9) (a b )x (a n b n )x n + b b n a... a n =. Portanto p pertence à um hiperplano Γ n, que tem como vetor normal v = (a b,..., a n b n ). Como d(a, Γ n ) < então pela proposição. temos que Sr n (a) Γ n = S r n k(q), onde S n k(q) é a (n )-esfera contida no hiperplano Γn tendo q como centro, ponto de interseção de Γ n com a reta l normal a Γ n e que passa por a e por b. Além disso k = d(a, Γ n ). RCT v..n. (05)

9 References COELHO, Flávio Uchoa.; LOURENÇO, Mary Lilian.( 00). Um curso de álgebra linear. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo. LAMOUNIER, Wender Ferreira.(04). A geometria análitica do ensino médio no contexto do espaço euclidiano R n. Boa Vista. 6f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional-PROFMAT)- Universidade Federal de Roraima. LANG, Serge.(003). Álgebra linear: traduzido da terceira edição em inglês.. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. LIMA, Elon Lages.(005). Curso de análise Vol.. 8. ed. Rio de Janeiro: IMPA. Elements of Differential Ge- MILLMAN, Richard S.; PORKER, George D.(977). ometry New Jersey: Prentice Hall. Introduction to topology New York: Dover Publica- MENDELSON, Bert.(990). tions. SANTOS, Nathan Moreira dos.(007). Vetores e matrizes: uma introdução a álgebra linear. 4. ed. São Paulo: Thomson Pioneira. SPIVAK, Michael.(003) O cálculo em variedades. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda. RCT v..n. (05)