Geometria analítica - Programação linear

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1 Ga - Programação linear 1 Geometria analítica - Programação linear Período de Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Junho de Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação linear. Antes, devemos verificar as diferenças entre a geometria analítica no plano e no espaço. Primeiro, os pontos e vetores são representados por somente duas coordenadas: (x, y). O produto escalar continua o mesmo e ainda serve para calcular ângulos. Se u = (a, b) e v = (a, b ) então u v = aa + bb. O ângulo entre dois vetores continua sendo cos θ = u v u v. Também a projeção de v = (a, b ) na direção de u = (a, b) tem a mesma fórmula u v proj u v = ( v v ) u = + bb (aa )(a, b). a + b Quanto ao produto vetorial, só serve para calcular àreas. A área do paralelogramo gerado por u e v será (a, b, 0) (a, b, 0) = (0, 0, ab a b) = ab a b. Quanto à ortogonalidade, somente pares de vetores podem ser ortogonais entre si. Trios de vetores não podem ser ortogonais dois a dois. Portanto essa utilidade do produto vetorial desaparece no caso do plano. Neste caso, dado u = (a, b) existe uma maneira simples de achar um vetor ortogonal a u: é só inverter a posição das coordenadas e mudar o sinal de uma delas, ou seja n = ( b, a) u = (a, b). O produto misto perde totalmente a utilidade já que no caso coplanar ele é nulo.

2 Ga - Programação linear Equação da reta no plano Dados o ponto P (x, y) e A(x 0, y 0 ) no plano e o vetor n = (a, b), a seguinte equação AP n = 0 determina uma reta no plano. Mais especificamente, determina a reta que passa pelo ponto A e tem vetor normal n = (a, b). Isso acontece porque no plano cada direção tem somente uma direção ortogonal. No caso de vetores, isso significa que cada vetor n = (a, b) tem um representante ortogonal, o vetor v = ( b, a). Desenvolvendo a equação temos 0 = AP n = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = ax + by (ax 0 + by 0 ) Vamos definir a inclinação da reta 0 = ax + by d, tal que d := ax 0 + by 0, ou ax + by = d. ax + by = d como a tangente de um dos ângulos que a reta faz com o eixo Ox: tan θ = a b.

3 Ga - Programação linear 3 Na figura acima temos a reta 3x + 4y = 1, de inclinação 3 4. Para o próximo tópico, devemos saber além de retas, de semi-planos. Um semi-plano, como diz o nome, é metade do plano. Para dividir o plano em duas metades, precisamos de uma reta. Portanto, a cada semi-plano associamos uma reta. Ela divide o plano bidimensional em dois semi-planos, Se a reta tem equação geral ax + by = d os semi-planos são ax + by d e ax + by d.

4 Ga - Programação linear 4 Na figura acima temos a reta que define o semi-plano x + y 4. O vetor normal é o vetor (1, 1) e seguindo o sentido do vetor normal vamos da reta até a reta e assim por diante. x + y = 0 x + y = 4 3 Posição relativa entre duas retas Dadas duas retas r 1 : ax + by = d, r : a x + b y = d o ângulo entre r 1 e r é o menor ângulo formado pelas duas retas. Isto implica que o ângulo está entre 0 o e 90 o. Dados os vetores n 1 = (a, b), n = (a, b ) normais a r 1 e r respectivamente, se α é o ângulo entre n 1 e n, o menor ângulo entre as retas será α ou 180 o α, dependendo do sentido dos vetores normais escolhidos. Logo, como o cosseno do ângulo entre as retas é positivo e é o valor de cosseno de α e de 180 o α a menos de um sinal, vale a fórmula: cos θ = n 1 n n 1 n.

5 Ga - Programação linear 5 Exemplo 3.1. Sejam as retas O ângulo entre elas é r 1 : x + y = 1, r : 4x 3y =. cos θ = = 10. Exemplo 3.. Retas ortogonais têm vetores normais ortogonais: r 3 : x + y = 5, r 4 : x y = 3. Podemos agora estudar a posição relativa entre duas retas no plano. São duas as posições possíveis: paralelas ou concorrentes. A posição relativa pode ser determinada de acordo com o ângulo entre duas retas, ou a interseção ou a distância. Posição relativa Paralelas distintas Concorrentes Ângulo = 0 0 Interseção 1 ponto Distância 0 = 0 Considerando os dois exemplos dessa seção, r 1 e r são concorrentes, r 3 e r 4 também são concorrentes, e r 1 e r 3 são paralelas distintas. O cosseno do ângulo entre r 1 e r e do ângulo entre r 3 e r 4 é diferente de 1 e, portanto, esses ângulos são diferentes de zero. O cosseno do ângulo entre r 1 e r 3 é 1 e portanto o ângulo entre elas é zero: cos θ = + = 1. Outra maneira de concluir que são paralelas é verificar se os vetores normais são paralelos - no caso dos exemplos são iguais, (1, 1) e (, ). Agora descobriremos a interseção dos dois exemplos anteriores. A interseção entre r 1 e r é o ponto que satisfaz às duas equações: { x + y = 1, 4x 3y = { 3x + 3y = 3, 4x 3y = 7x = 5 x = 5 7, y = 7. A interseção entre r 3 e r 4 é o ponto que satisfaz às duas equações: { { x + y = 5, x + y = 5, x y = x = 11 x = x y = 6 4, y = 1 4. A interseção entre r 1 e r 3 é o ponto que satisfaz às duas equações: { x + y = 1, x + y = 5 { x + y =, x + y = 5 5 = 6 r 1 r 3 =.

6 Ga - Programação linear 6 A distância nos dois primeiros casos é zero porque as retas são concorrentes, i.e., têm um ponto em comum. No último, é dada pela fórmula: d(s 1, s ) = d 1 d a + b, tal que s 1 : ax + by = d 1, s : ax + by = d. No caso de r 1 e r temos: { { r1 : x + y = 1, r 3 : x + y = 5 r1 : x + y =, r 3 : x + y = 5 d(r 1, r 3 ) = 4 Programação linear Vamos começar por um exemplo. 5 + = 3 = 3 4. Exemplo 4.1. Seja um fabricante de sofás, que produz os sofás A e B. Os dois sofás são feitos com tecidos de brim e lona. O fabricante tem somente 40m de lona e 160m de brim. Um sofá do tipo A tem 6m de lona e m de brim, um do tipo B tem 4m de brim e 4m de lona. O fabricante tem um lucro de 160 reais por cada sofá, independente do tipo. Quantos sofás de cada tipo ele deve fazer para maximizar o lucro? Vamos estudar os conceitos envolvidos na solução. Primeiro, devemos maximizar o lucro. Se dizemos que x é a quantidade de sofás do tipo A e y a de sofás do tipo B, então devemos maximizar 160x + 160y. Note que cada valor fixo do lucro representa uma reta no plano: 160x + 160y = 0, 160x + 160y = 1, 160x + 160y = 10 representam retas paralelas no plano. As primeiras informações a respeito das quantidades envolvidas no problema representam restrições. Vamos colocá-las numa tabela: A B Total Lona Brim A tabela quer dizer que valem as seguintes restrições: { 6x + 4y 40 x + 4y 160 Além disso, como o fabricante não pode produzir um número negativo de sofás, vale

7 Ga - Programação linear 7 As restrições todas juntas são, portanto: { x 0 y 0 x 0 y 0 6x + 4y 40 x + 4y 160 Note que as restrições são dadas por quatro semiplanos no plano bidimensional. As retas que definem estes semiplanos são x = 0 y = 0 6x + 4y = 40 x + 4y = 160 As quatro retas formam a figura abaixo. A interseção dos semiplanos é o interior do polígono colorido da mesma figura. Na figura os pontos são A(0, 0), B(0, 60), C(0, 40), D(80, 0), E(40, 0).

8 Ga - Programação linear 8 F é a interseção entre as duas retas { 6x + 4y = 40 x + 4y = 160 que vamos calcular depois. Se desenhamos o feixe de retas paralelas na figura acima, teremos a figura abaixo: 160x + 160y = d, d real, Veja que o valor de d aumenta seguindo o vetor normal (160, 160). Na figura isso significa que o lucro máximo é atingido no ponto F. Logo, devemos achar F e descobrir em que reta 160x + 160y = d o ponto F está. Como F é a interseção entre as retas { 6x + 4y = 40 x + 4y = 160 temos que (6x + 4y) (x + 4y) = = 80 x = 0, y = 30, e portanto F (0, 30) e a reta é 160x + 160y = A conclusão é que o lucro máximo é de 8000 reais e esse lucro é obtido fabricando 0 sofás do tipo A e 30 do tipo B.

9 Ga - Programação linear 9 A última observação é que as inclinações das retas que definem os semiplanos das restrições são x = 0 : y = 0 : 0 6x + 4y = 40 : 3 x + 4y = 160 : 1 Em ordem: 0 < 1 < 3 <. Exatamente porque a inclinação das retas do feixe de paralelas 160x + 160y = d é 1 e está entre 1 e 3 que o máximo é atingido na interseção entre as retas de inclinação 1 e 3. Além disso, se projetamos o vetor normal (1, 1) a 160x + 160y = d na direção das retas que definem os semiplanos dados pelas restrições, teremos proj (0,1) (1, 1) = 1 (0, 1); proj ( 4,6) (1, 1) = 5 ( 4, 6) = 1 (, 3); 13 proj ( 4,) (1, 1) = 0 ( 4, ) = 1 (, 1); 5 proj ( 1,0) (1, 1) = 1 ( 1, 0) = 1 (1, 0). Projetando sobre os lados do polígono temos:

10 Ga - Programação linear 10 As projeções sobre os lados mostram um caminho que vai do mínimo do lucro, 0 no ponto (0, 0), até o máximo do lucro, 8000 no ponto (0, 30). Exemplo 4.. Uma criança tem motos e carrinhos, todos sem rodas. As motos e os carrinhos de brinquedo usam o mesmo tipo de roda. São ao todo 0 motos, 0 carros e 80 rodas. Ela quer maximizar a quantidade de brinquedos completos: motos com todas as rodas (duas) e carros com todas as rodas (quatro). Qual a distribuição que ela deve fazer para atingir esse máximo? Quantos brinquedos completos terá, depois de feita a melhor distribuição? Solução: As restrições são as seguintes: x 0 y 0 x 0 y 0 x + 4y 80 As inclinações das retas que definem as restrições são 0, 1,. Devemos maximizar x + y, que tem inclinação 1. Logo, será a interseção entre as retas x = 0, de inclinação infinita, e a reta x + 4y = 80, de inclinação 1 : x = y = 80 4y = 40 y = 10.

11 Ga - Programação linear 11 Logo, ela tem que distribuir entre 0 motos e 10 carros, totalizando 30 brinquedos completos. Exercício 1. Dadas as restrições maximizar Solução: x 0, y 0, 18 x + y, 1 x + y, 3x + y. As inclinações das restrições são x 0 :, y 0 : 0, 18 x + y :, 1 x + y : 1, e a inclinação do valor a ser maximizado é 3. Se fizermos a figura da região dada pelas restrições vemos que o máximo é atingido na interseção: 18 = x + y :, 4 = x + 4y : 1 3y = 4 y = 8, x = 1 y = 1 16 = 5.,

12 Ga - Programação linear 1 E o máximo é 3x + y = = 31. Exercício. Dadas as restrições maximizar x 0, y 0, 18 x + y, 1 x + y, 5x + y. Solução: As inclinações das restrições são as mesmas do exercício anterior e a inclinação do valor a ser maximizado é 5. Se fizermos a figura da região dada pelas restrições vemos que o máximo é atingido na interseção: { 18 = x + y :, y = 0 x = 18 0 x = 9. 0 = y, E o máximo é Exercício 3. Dadas as restrições descobrir o máximo de 5x + y = = 45. x 0, y 0, 18 x + y, 1 x + y, ax + by em função de a e b e as quantidades de x e y que garantem esse máximo. Solução: Os vértices da região dada pelas restrições são A(0, 0), B(0, 1 ), C(5, 8), D(9, 0). Se fizermos a figura veremos que se a inclinação a b está entre 1 1 < a b < e, i.e.

13 Ga - Programação linear 13 então o máximo é atingido em C e será 5a + 8b. Se então acontece em D e o máximo será a b > 9a. Se a b < 1 então será em B e teremos como máximo Se 1 b. a b = o máximo não é atingido num ponto mas no segmento CD. Se a b = 1 o máximo não é atingido num ponto mas no segmento BC. Exercício 4. Uma fábrica produz o produto A e o produto B. Na fábrica temos três unidades, a de mistura, a de corte e a de embalagem. Cada uma das unidades trabalha oito horas por dia. Uma tonelada do produto A passa uma hora na unidade de mistura e meia hora na de embalagem. Uma tonelada do produto B passa meia hora na unidade de corte e quarenta minutos na de embalagem. Cada tonelada de produto A dá um lucro de 100 reais e cada tonelada do B um lucro de 80 reais. Quanto a fábrica deve produzir dos produtos A e B para maximizar o lucro. Faça a modelagem do problema e desenhe o polígono que representa as possíveis soluções. Solução: Se colocamos as informações em uma tabela temos: A B Total Mistura 1h 0h 8h 1 Corte 0h Embalagem 1h 3

14 Ga - Programação linear 14 Então as restrições são: x 0, y 0, 8 x, 8 1 y, 8 1 x + 3 y, e o valor a ser maximizado é 100x + 80y. Colocando essas informações no plano com eixos coordenadas temos a figura abaixo: tal que os pontos na figura são A(0, 0), B(0, 16), C(8, 0), D(8, 16), E(16, 0), F (0, 1), G(0, 10). Portanto a reta que passa por C e G é do tipo 100x + 80y = d, e a reta que passa por E e F é 1 x + 3 y = 8. Calculando os vértices da região determinada pelas restrições vemos que são os pontos A, C, F e H. Além disso, pela inclinação de 100x + 80y = d

15 Ga - Programação linear 15 e pela figura, o máximo ocorre no vértice H(8, 6). Logo, precisamos de 8 toneladas do produto A e 6 do produto B, e o máximo é = 180. Exercício 5. Uma dieta que consiste nos nutrientes A e B possui as seguintes restrições: o sujeito deve consumir no mínimo 56 gramas de proteína, 0 gramas de gordura e 30 de carboidratos. O produto A tem por unidade 16 gramas de proteína, 5 gramas de gordura e 10 gramas de carboidratos enquanto o B tem por unidade 14 gramas de proteína, 8 de gordura e 6 de carboidratos. Encontre o custo mínimo da dieta e as quantidades dos produtos A e B que minimizam o custo nos casos: os dois nutrientes custam o mesmo valor por unidade; A custa o dobro de B; A custa 90 centavos e B custa 60 centavos. Solução: Se colocamos as informações em uma tabela temos: A B Mínimo Proteína Gordura Carboidratos Então as restrições são: e o valor a ser maximizado é x 0, y 0, 16x + 14y 56, 5x + 8y 0, 10x + 6y 30, ax + by, a e b tais que, em cada caso a = b; a = b; a = 90 e b = 60.

16 Ga - Programação linear 16 Os vértices da região definida pelas restrições são A(0, 0), B(0, 5), D(4, 0), H é a interseção de { { { 16x + 14y = 56 e 8x + 7y = 8 4x + 1y = 84 10x + 6y = 30 5x + 3y = 15 35x + 1y = 105 x = 1 11, y = 0 11 e I a interseção de { 16x + 14y = 56 e 5x + 8y = 0 como podemos ver na figura abaixo: x y = 7 x y = 4 ( )y = 1 y = 0 9, x = 84 9 Se a = b o mínimo acontece em I( 84, 0) e será a. Se a = b o mínimo acontece em B(0, 5) e será 5a. Se a = 90 e b = 60 o mínimo acontece em H( 1 11, 0 11 ) e será 3090.

17 Ga - Programação linear 17 Exercício 6. [?]: Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina. Devido a certas restrições de matéria prima, não se pode produzir mais do que 4 toneladas de papel do tipo A e 6 toneladas do papel do tipo B. Requer-se uma hora de máquina para produzir uma tonelada de papel, tanto do tipo A quanto do tipo B. O lucro por tonelada de papel do tipo A é de 000 reais, por tonelada de papel do tipo B é de 5000 reais. O tempo de utilização da máquina é de 8 horas por dia. Deseja-se maximizar o lucro. Exercício 7. [?]: Uma pequena indústria usa três tipos de matéria prima, P, Q e R para a fabricação de dois produtos: A e B. As matérias primas em disponibilidade são 0 unidades de P, 1 de Q e 16 de R. Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita de de P, de Q e 4 de R, uma unidade de B necessita de 4 de P, de Q e 0 de R. O lucro por unidade de A é de 5 reais, por unidade de B é de 10 reais. Qual é o lucro máximo e quais as quantidades produzidas de A e B para se obter o lucro máximo? References [1] Ana Catarina Hellmeister - editora, Geometria em sala de aula, SBM. [] Elon Lages Lima, Coordenadas no plano, SBM. [3] George Dantzig, The diet problem, Vol. 0, No. 4, The Practice of Mathematical Programming (Jul. - Aug., 1990), pp [4] Hilton Machado Programacao linear, 10o coloquio brasileiro de matematica, IMPA (1975). [5] Maria Angelo de Camargo, Programacao linear - exercicio resolvido com inequacao, Pagina 3 Pedagogia e Comunicacao - Uol educacao. [6] Mario Jorge Ferreira Braga, Mihail Lermontov, Maria Augusta Soares Machado, Modelos de programação linear, Imprensa Naval, Rio de Janeiro, [7] Sultan, Linear programming: an introduction with applications, CreateSpace Independent Publishing Platform; edition (July 1, 011).

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