Cálculo avançado. 1 TOPOLOGIA DO R n LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo avançado 1 TOPOLOGIA DO R n 1. Considere o produto interno usual, no R n. ostre que para toda aplicação linear f : R n R existe um único vetor y R n tal que f (x) = x, y para todo x R n. 2. ostre que se uma norma, no R n provém de um produto interno, então ela deve satisfazer a identidade do paralelogramo, isto é, para todos x, y R n temos x y 2 + x + y 2 = 2( x 2 + y 2 ) 3. Considere o R n munido de uma norma,. Seja T : R n R m uma aplicação linear. ostre que se T é injetora, então existe c > tal que T (x) c x para todo x R n. 4. Calcule, caso exista, lim f (x, y) onde (x,y) (,) f (x, y) := x y x 2 +y 2 (x, y) (,) (x, y) = (,) 5. ostre que R n+1 {} e S n R são homeomorfos. 6. ostre que se E R n é um subespaço vetorial, então E possui interior vazio no R n. 7. Seja X R n. Considere a função característica de X, isto é, a função dada por 1 x X ξ X (x) := x R n X Qual é o conjunto dos pontos de descontinuidade de ξ X? 8. Um subconjunto X R n possui interior vazio se, e só se, R n X é denso em R n. Prove. 9. Seja GL(R n ) o conjunto de todas as aplicações lineares inversíveis T : R n R n. ostre que se A GL(R n ) e se B L (R n ) é tal que B A < A 1 1, então temos B GL(R n ). Deduza então que GL(R n ) é aberto em L (R n ). 1. Resolva o exercício 1 para o caso de um produto interno arbitrário no R n. 11. ostre que vale a recíproca no resultado do exercício 2. 1

2 2 APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS 1. ostre que a aplicação f : R 2 R dada por x 2 y (x, y) (,) x 2 +y 2 f (x, y) := (x, y) = (,) possui todas as derivadas direcionais em (,) mas não é diferenciável em (,). 2. ostre que se f : R n R é tal que f () = e f (t x) = t f (x) para todo real t e todo x R n, então f possui todas as derivadas direcionais na origem e f () = f (v) para todo v R n. 3. Seja U R n um aberto e f : U R possuindo todas as derivadas direcionais f (a) num ponto a U. ostre que se não existirem pelo menos n 1 vetores v linearmente independentes e que satisfazem f (a) =, então f não é diferenciável no ponto a. 4. Seja f : U R de classe C 1 no aberto U R n. Suponha que f (a) para um certo a U e considere o vetor unitário u R n tal que { } f f (a)(u) = max (a) : v = 1 Se v R n é tal que f (a)(v) =, mostre que v é ortogonal a u. 5. Seja f : U R m diferenciável no aberto U R n. Se, para algum b R m, o conjunto f 1 (b) possui um ponto de acumulação a U, então f (a) : R n R m não é injetora. 6. Fixe um inteiro k >. Seja f : R n2 R n2 dada por f (X ) = X k. ostre então que f é diferenciável e que, dados X R n2 e V R n2, temos f (X ) V = k X i 1 V X k i i=1 7. Seja f : U R m de classe C 1 no aberto convexo U R n. Suponha que U, f () = e que f (x) x para todo x U. ostre que para todo x U. f (x) 1 2 x 2 8. Seja g : [, [ R uma função contínua que satisfaz g (t) > para todo t. Seja também U = { (x, y) R 2 : < x < y }. Defina f : U R 2 pela expressão abaixo ( x+y y x ) f (x, y) = g (t)dt, g (t)dt ostre que f é um difeomorfismo sobre um aberto do R 2. 2

3 3 VARIEDADES NO R n 1. (Teorema da função implícita) Seja U R n R m um aberto. Seja f : U R m uma aplicação de classe C 1. Seja (a,b) U tal que f (a,b) =. Suponha que f = (f 1,..., f m ) e que o determinante da seguinte matriz m m é diferente de zero ( ) fi (a,b) x n+j 1 i,j m ostre que existem abertos A R n (com a A) e B R m (com b B) e uma aplicação g : A B, de classe C 1, tal que f (x, g (x)) = para todo x A. 2. (Forma local das submersões) Seja U R n um aberto. Suponha que f : U R p é de classe C 1 e que a U é tal que f (a) =. Suponha que f (a) : R n R p é sobrejetora. ostre que existe um difeomorfismo h : V R n W U R n entre abertos do R n tal que a W e f h(x 1,..., x n ) = (x n p+1,..., x n ) para todo x = (x 1,..., x n ) V. 3. (Forma local das imersões) Seja U R n um aberto. Suponha que f : U R p é de classe C 1 e que a U é tal que f (a) =. Suponha ainda que f (a) : R n R p é injetora. ostre que existe um difeomorfismo h : V R p W R p entre abertos do R p tal que f (a) V e h f (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n,,...,) para todo x = (x 1,..., x n ) f 1 (V f (U )). 4. Considere o conjunto das matrizes ortogonais n n do R n2, ou seja, o conjunto { } O(n) = X R n2 : X X T = I ostre que O(n) é uma variedade C de dimensão n(n 1) 2 do R n2. 5. ostre que a variedade O(n) do exercício anterior é compacta. 6. (Figura oito) ostre que a aplicação diferenciável f : R R 2 dada por ( [ π ] [ π ]) f (t) = 2cos 2 + 2arctan(t), sen arctan(t) é uma imersão injetora mas não é um homeomorfismo sobre a sua imagem. 7. Seja f : U R n m uma aplicação de classe C k no aberto U R n. Suponha também que c R n m é um valor regular de f, ou seja, para cada x f 1 (c) a aplicação linear f (x) sobrejetora. ostre então que := f 1 (c) é uma variedade C k de dimensão m. ostre ainda que em cada ponto p, o espaço tangente T p () é o núcleo da derivada f (p) : R n R n m. 8. ostre que o espaço tangente T I O(n) é formado pelas matrizes anti-simétricas n n do R n2, ou seja, as V R n2 tais que V +V T =. 9. Use o exercício 7 acima e mostre que a esfera unitária S n dada por S n = { x R n+1 : x = 1 } é uma n-variedade C do espaço R n+1. 3

4 4 INTEGRAÇÃO NO R n 1. Dado um retângulo Q R n e uma função constante f (x) = c R definida sobre Q. ostre que se P é uma partição de Q que determina subretângulos R, então c = c vol(q) = c vol(r) Q R 2. Seja Q um retângulo no R n. Seja também f : Q R limitada integrável. ostre que se f é igual a zero em Q, exceto em um conjunto de medida nula A Q, então f =. 3. ostre que um retângulo Q R n não possui medida nula no R n. 4. (Princípio de Cavalieri) Seja S R n+1 um conjunto J-mensurável tal que S Q [a,b], onde Q é um retângulo em R n e [a,b] R. Suponha que para cada t [a,b] o conjunto S t = { x R n : (x, t) S } é J-mensurável. ostre que vale a seguinte igualdade vol(s) = b a vol(s t )dt 5. Seja X R n um conjunto J-mensurável. ostre que para toda transformação linear bijetora T : R n R n temos vol(t (X )) = det(t ) vol(x ). 6. Calcule sen(x 2 + y 2 )dxd y, onde B = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 e y }. 7. Calcule B B cos(x y) sen(x + y) dxd y, onde B = { (x, y) R 2 : 1 x + y 2, x e y }. 8. Calcule o volume do sólido C = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 x 2 + y 2}. 9. Calcule o volume da bola unitária n-dimensional no R n, ou seja, calcule o volume de seguindo os seguintes passos: B n 1 () = { (x 1,..., x n ) R n : x x2 n 1} a) Denote por α n o volume de B n 1 () e mostre que α n = 2α n 1 I n, onde I n é dado por I n = π/2 sen n (θ)dθ b) ostre que α n = 4α n 2 I n I n 1, para todo n 2. c) ostre que I n I n 1 = π/2n, para todo n 2. d) Deduza as seguintes fórmulas α 2m = πm m!, α 2m+1 = 2 m+1 π m (2m + 1) Q 4

5 5 FORAS DIFERENCIAIS 1. Seja U R n um aberto do R n e ω uma 1-forma definida em U. Seja : [a,b] U uma curva C 1 em U. ostre que se existe f : U R de classe C 1 tal que d f = ω, então ω = f ((b)) f ((a)) 2. Seja U R n um aberto do R n e ω uma 1-forma de classe C 1 definida em U. ostre que são equivalentes as seguintes afirmações: a) ω é exata; b) ω = para toda curva diferenciável fechada em U ; c) ω possui integral independente do caminho. 3. Seja : [,2π] R 2 {(,)} dada por (t) = (cos(t),sen(t)). ostre que a 1-forma ω = y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 d y definida em R2 {(,)} não é exata calculando ω. 4. Defina diferenciabilidade para uma aplicação f : H n R m. Defina também a derivada de f em um ponto p H n. 5. Seja n uma n-variedade com bordo orientada. ostre então que o bordo é uma (n 1)-variedade e possui uma orientação natural produzida pela orientação de. 6. Seja n uma n-variedade com bordo, compacta, orientada, de classe C 1 e contida em um aberto U R m. Tome ω uma (n 1)-forma de classe C 1 definida em U. Então dω = ( 1) n ω 7. Seja ω a 2-forma do R 3 dada por w = x 3 d y dz + z 3 dx d y + y 3 dz dx. Considere ainda a esfera unitária S 2 orientada pela normal externa. Calcule a integral S 2 ω 8. Seja uma (k + l + 1)-variedade com bordo, compacta e orientável contida em um aberto U R n. Seja ω uma k-forma definida em U e η uma l-forma definida em U. Tomando o bordo com a orientação induzida, mostre que (dω) η = ω η ( 1) k ω (dη) 5