Variedades Diferenciáveis

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1 Variedades Diferenciáveis Notas de aula em construção Fernando Manfio ICMC USP

2 Sumário 1 Variedades diferenciáveis Superfícies Variedades diferenciáveis A topologia de uma variedade diferenciável Aplicações diferenciáveis entre variedades O espaço tangente A diferencial Subvariedades As formas locais Subvariedades Partição da unidade Extensões de aplicações diferenciáveis O teorema de mergulho de Whitney Distribuições O fibrado tangente Campos de vetores Derivações Curvas integrais e o fluxo local Campos f-relacionados O teorema de Frobenius Variedades quocientes Variedades quocientes Grupos propriamente descontínuos Orientação em espaços vetoriais Orientação em variedades diferenciáveis Orientação via ação de grupos i

3 5 Integração em superfícies Álgebra Multilinear Formas diferenciais em variedades Integrais de formas diferenciais Cohomologia de de Rham Operadores lineares O operador Laplaciano O Teorema da Decomposição de Hodge Grupos de Lie Grupos de Lie e homomorfismos Álgebras de Lie Exemplos clássicos Uma aplicação do teorema de Frobenius Referências Bibliográficas 183 ii

4 Capítulo 1 Variedades diferenciáveis 1.1 Superfícies Nesta seção estudaremos as superfícies Euclidianas, as quais são generalizações naturais dos objetos estudados na Geometria Diferencial. Além disso, tais superfícies servirão como modelos concretos para as variedades diferenciáveis abstratas, introduzidas na seção seguinte. Definição Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão m e classe C k se, para todo ponto p M, existem um aberto V R n, com p V, e uma aplicação ϕ : U M V, onde U é um aberto de R m, tais que (a) ϕ : U M V é um homeomorfismo; (b) ϕ é uma imersão de classe C k. A aplicação ϕ chama-se uma parametrização de classe C k de M. O número n m chama-se a codimensão de M em R n. Nos casos particulares em que m = 1 e n m = 1, M é chamada de curva e hipersuperfície, respectivamente, de R n. Observação Na definição estamos considerando M com a topologia induzida de R n. Além disso, a condição (a) implica que toda superfície de classe C k e dimensão m é uma variedade topológica de dimensão m (em relação à topologia induzida de R n ), i.e., para todo p M, existe um aberto V R n contendo p, tal que M V é homeomorfo a um aberto de R m. Observação A condição de ϕ ser uma imersão é equivalente a qualquer das condições a seguir: 1

5 (a) dϕ(p) : R m R n é injetora; (b) O conjunto de vetores {dϕ(p) e i : 1 i m} é linearmente independente, onde {e 1,..., e m } é a base canônica de R m ; (c) A matriz jacobiana de ordem n m, ( ) ϕi Jϕ(p) = (p) x j tem posto m, onde 1 i n, 1 j m e ϕ = (ϕ 1,..., ϕ n ), ou seja, algum de seus determinantes menores m m é diferente de zero. Exemplo Qualquer subespaço vetorial m-dimensional E R n é uma superfície de dimensão m e classe C de R n. De fato, seja T : R m E um isomorfismo linear. Munindo E com a topologia induzida de R n, T torna-se um homeomorfismo. Além disso, como toda transformação linear é de classe C, segue que T é um difeomorfismo de classe C. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} é uma superfície de dimensão n e classe C de R n+1. De fato, denotando por N = (0,..., 0, 1) S n seu polo norte, considere a projeção estereográfica ϕ N : S n {N} R n. ϕ N é um difeomorfismo entre S n {N} e R n. Geometricamente, ϕ N (x) é o ponto em que a semi-reta Nx R n+1 intercepta o hiperplano x n+1 = 0. Note que os pontos da semi-reta Nx são da forma N + t(x N), t 0. Este ponto pertence ao hiperplano x n+1 = 0 se, e somente se, 1+t(x n+1 1) = 1 0, onde x = (x 1,..., x n+1 ). Assim, t = 1 x n+1 e, portanto, ϕ N (x) = 1 1 x n+1 (x 1,..., x n, 0). Analogamente defini-se ϕ S : S n {S} R n, onde S = (1, 0,..., 0) S n é o seu polo sul. Exemplo Todo aberto U R n é uma superfície de dimensão n e classe C de R n, imagem de uma única parametrização ϕ, sendo ϕ : U U a aplicação identidade. Reciprocamente, seja M R n uma superfície de dimensão n e classe C k. Assim, para todo p M, existem um aberto V R n, com p V, e um homeomorfismo ϕ : U M V, onde U é um 2

6 aberto de R n. Usando o Teorema da Invariância do Domínio 1, segue que a vizinhança coordenada M V é aberta em R n. Portanto, o conjunto M, reunião das vizinhanças coordendas M V, é aberto em R n. Exemplo Um subconjunto M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma parametrização ϕ : U M V, onde U é um aberto de R 0 = {0}. Assim, devemos ter U = {0} e V = {p}. Portanto, M R n é uma superfície de dimensão 0 se, e somente se, M é um conjunto discreto. O teorema a seguir nos dá caracterizações equivalentes da Definição Teorema Seja M um subconjunto de R n. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) M é uma superfície de dimensão m e classe C k de R n. (b) Para todo p M, existem abertos U R m e V R n, com p V, e uma aplicação de classe C k g : U R n m tal que M V = Gr(g). (c) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e uma submersão de classe C k f : V R n m tal que M V = f 1 (0). (d) Para todo p M, existem um aberto V de R n, com p V, e um difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) que satisfaz ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Antes de apresentarmos sua prova, vejamos como usá-lo a fim de produzir exemplos de superfícies em R n. Lembre que, dado uma aplicação diferenciável f : U R n R n m, dizemos que c R n m é valor regular de f se a diferencial df(p) é sobrejetora para todo p f 1 (c). Corolário Seja f : U R n R n m uma aplicação de classe C k. Se c R n m é valor regular de f então M = f 1 (c) é uma superfície de dimensão m e classe C k de R n. Exemplo A esfera S n = {x R n+1 : x = 1} pode ser descrita como a imagem inversa f 1 (1) da função f : R n+1 R definida por f(x) = x, x, para todo x R n+1. Note que f é diferenciável e, dados x, v, R n+1, tem-se df(x) v = 2 x, v. Isso implica que 0 R n+1 é o único ponto crítico de f. Como f(0) = 0 1, concluimos que 1 é um valor regular de f, logo S n = f 1 (1) é, como já sabíamos, uma superfície de dimensão n e classe C de R n+1. 1 cf. [16], Theorem

7 Exemplo Seja M R 3 o cone de uma folha, i.e., M = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 2, z 0}. Note que M é homeomorfo a R 2. De fato, denotando por π a projeção π(x, y, z) = (x, y), a restrição de π a M é um homeomorfismo. No entanto, M não é uma superfície regular. De fato, caso fosse, existiriam abertos U R 2 e V R 3, com 0 V, e uma função diferenciável g : U R tal que M V = Gr(g). Observe que M V não pode ser um gráfico em relação a uma decomposição da forma R 3 = R 2 R, no qual o segundo fator seja o eixo-x ou o eixo-y. Assim, tem-se necessariamente g = f U, onde f(x, y) = x 2 + y 2. Como f não é diferenciável em (0, 0), obtemos uma contradição. Portanto, M é uma superfície de classe C 0 mas não é de classe C k, k 1. Seja M(m n) o espaço vetorial das matrizes reais m n. Dado uma matriz X M(m n), com X = (x ij ), a transposta de X, denotada por X t, é a matriz X t = (x ji ), que se obtém de X trocando-se ordenadamente suas linhas por suas colunas. Assim, X t M(n m). Se det X 0, então det X t 0 e vale (X t ) 1 = (X 1 ) t. Uma matriz quadrada X M(n) chama-se simétrica se X t = X e antisimétrica se X t = X. As matrizes simétricas e anti-simétricas formam subespaços vetoriais, S(n) e A(n), de M(n), de dimensão n(n+1) 2 e n(n 1) 2, respectivamente. Dado uma matriz X M(n), tem-se X + X t S(n) e X X t A(n). Assim, ou seja, X = 1 2 (X + Xt ) (X Xt ), M(n) = S(n) A(n). Exemplo O grupo ortogonal O(n) = {X M(n) : XX t = I} é uma superfície compacta de dimensão n(n 1) 2 e classe C de M(n) R n2. De fato, considere a aplicação f : M(n) S(n) definida por f(x) = XX t, 4

8 para toda matriz X M(n). Note que O(n) = f 1 (I). Resta provar que I S(n) é valor regular de f. Seja X O(n) = f 1 (I). Temos: f(x + H) f(x) = (X + H)(X + H) t XX t = XH t + HX t + HH t. r(h) Como lim = 0, segue que f é diferenciável em X e df(x) H = H 0 H XH t + HX t. Finalmente, dada S S(n), tome V = 1 2SX. Assim, tem-se df(x) V = S, ou seja, df(x) é sobrejetora para toda X O(n), logo O(n) é uma superfície de dimensão n(n 1) 2 e classe C de M(n). Além disso, como f é contínua, segue que O(n) = f 1 (I) é fechado em R n2. Como cada vetor linha de X O(n) é unitário tem-se X = n, logo O(n) está contido na esfera centrada na origem e de raio n. Portanto, O(n) é fechado e limitado em R n2. Observação A imagem inversa f 1 (c) pode ser uma superfície sem que c seja valor regular de f. Por exemplo, seja f : R 2 R dada por f(x, y) = y 2. Note que f 1 (0) = eixo x, que é uma curva de classe C de R 2. No entanto, 0 R não é valor regular de f, pois df(x, 0) = 0, para todo (x, 0) f 1 (0). A fim de provarmos o Teorema 1.1.8, faremos uso do seguinte Lema de Álgebra Linear. Lema Seja E R n um subespaço vetorial m-dimensional. Então existe uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que a primeira projeção π : R n R m, π(x, y) = x, transforma E isomorficamente sobre R m. Demonstração. Dado uma base {v 1,..., v m } de E, sejam e j1,..., e jn m vetores da base canônica de R n tais que {v 1,..., v m, e j1,..., e jn m } seja uma base de R n. Sejam R n m = span{e j1,..., e jn m } e R m gerado pelos vetores canônicos restantes. Temos, então, duas decomposições em soma direta: R n = R m R n m = E R n m. Seja π : R m R n m R m, π(x, y) = x. Dado x R m, seja x = x 1 + y, onde x 1 E e y R n m. Temos: x = π(x) = π(x 1 ) + π(y) = π(x 1 ). Isso implica que π E : E R m é sobrejetora. Como E tem dimensão m, segue que π E é um isomorfismo linear. 5

9 Demonstração do Teorema (a) (b) Dado p M, seja ϕ : U ϕ(u) uma parametrização de classe C k, com p = ϕ(q). Como E = dϕ(q)(r m ) é um subespaço vetorial m-dimensional de R n existe, pelo Lema , uma decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que π E é um isomorfismo linear entre E e R m. Defina a aplicação η = π ϕ : U R m. Como dη(q) = π dϕ(q) é um isomorfismo linear, segue do Teorema da Aplicação Inversa que existe um aberto W R m, com q W U, tal que η W : W η(w ) = Z é um difeomorfismo de classe C k. Defina ξ = (η W ) 1 : Z W e ψ = ϕ ξ. ψ é uma parametrização de classe C k de M e π ψ = π (ϕ ξ) = η ξ = Id. Da igualdade acima segue que a primeira coordenada de ψ(x), em relação à decomposição R n = R m R n m, é x. Denote por g(x) a segunda coordenada. Assim, ψ(z) = ϕ(w ) = {(x, g(x)) : x W } para alguma aplicação de classe C k g : W R n m. tem-se ϕ(w ) = M V = Gr(g), para algum aberto V R n, com p V. (b) (c) Defina a aplicação f : V R n m pondo f(x, y) = y g(x), Como ϕ é aberta, onde V R n = R m R n m é o aberto dado por hipótese. Temos: M V = Gr(g) = {(x, y) R n : y = g(x)} = {(x, y) R n : f(x, y) = 0} = f 1 (0). Resta provar que df(x, y) é sobrejetora, para todo (x, y) V. De fato, dados (x, y) V e (u, v) R n, temos: df(x, y) (u, v) = df(x, y) (u, 0) + df(x, y) (0, v) = Id(0) dg(x) u + Id(v) dg(x) 0 = v dg(x) u. 6

10 Portanto, dado v R n m, tem-se df(x, y) (0, v) = v, ou seja, df(x, y) : R n R n m é sobrejetora. Portanto, f é uma submersão de classe C k, com M V = f 1 (0). (c) (d) Dado p M, seja f : V R n m a submersão de classe C k tal que M V = f 1 (0). Como df(p) : R n R n m é sobrejetora, o conjunto {df(p) e 1,..., df(p) e n } gera R n m. Assim, podemos escolher vetores e i1,..., e in m tais que {df(p) e i1,..., df(p) e in m } seja uma base de R n m. Considere a decomposição em soma direta R n = R m R n m tal que R n m = span{e i1,..., e in m } e R m gerado pelos demais vetores canônicos. Assim, df(p) R n m é um isomorfismo linear. Defina pondo ϕ : V R n = R m R n m ϕ(x, y) = (x, f(x, y)), para todo (x, y) V. ϕ é uma aplicação de classe C k e dϕ(p) é um isomorfismo. Assim, pelo Teorema da Aplicação Inversa, existe um aberto Ṽ Rn, com p Ṽ V, tal que ϕ : Ṽ ϕ(ṽ ) é um difeomorfismo de classe Ṽ C k. Podemos, supor, sem perda de generalidade, que ϕ(ṽ ) = Z W R m R n m, onde W é um aberto contendo 0 R n m. Assim, (x, y) M Ṽ ϕ(x, y) = (x, f(x, y)) ϕ(x, y) = (x, 0). Portanto, ϕ(m Ṽ ) = ϕ(ṽ ) Rm. (d) (a) Dado p M, considere o difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) tal que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m, onde V é um aberto de R n, com p V. Como ϕ(v ) é aberto em R n, U = ϕ(v ) R m é aberto em R m. Defina, então, ψ : U R n pondo ψ = ϕ 1 U. Assim, ψ é uma parametrização de classe Ck de M, com ψ(u) = M V. Corolário Sejam ϕ 1 : U 1 M V 1 e ϕ 2 : U 2 M V 2 parametrizações de classe C k de uma superfície M, com V 1 V 2. Então, ϕ 1 2 ϕ 1 e ϕ 1 1 ϕ 2 são de classe C k. Demonstração. Dado p M V 1 V 2, seja f : V f(v ) um difeomorfismo de classe C k tal que f(m V ) = f(v ) R m. Como ϕ 1 (U 1 ) = M V 1 e V é aberto em R n, existe um aberto Ũ1 R m, com ϕ 1 1 (p) Ũ1 U 1, tal 7

11 que ϕ 1 (Ũ1) M V. Assim, (f ϕ 1 )(Ũ1) R m. Analogamente, existe um aberto Ũ2 R m, com ϕ 1 2 (p) Ũ2 U 2, tal que (f ϕ 2 )(Ũ2) R m. Assim, no aberto ϕ 1 1 (W ), onde W = ϕ 1(Ũ1) ϕ 2 (Ũ2), temos: ϕ 1 2 ϕ 1 = ϕ 1 2 f 1 f ϕ 1 = (f ϕ 2 ) 1 (f ϕ 1 ). A composta f ϕ 1 é de classe C k. Como d(f ϕ 2 )(x) é um isomorfismo linear, segue do Teorema da Aplicação Inversa que f ϕ 2 é, possivelmente num aberto menor, de classe C k. Assim, ϕ 1 2 ϕ 1 é de classe C k. Analogamente se prova que ϕ 1 1 ϕ 2 também o é. Exercícios 1. Verifique se os seguintes conjuntos são superfícies de dimensão 1 (curvas) de R 2. Caso sejam, determine a classe de diferenciabilidade. 1. M = {(t, t 2 ) : t R} {(t, t 2 ) : t R} 2. M = {(t, t 2 ) : t R } {(t, t 2 ) : t R + } 3. M = {(t 2, t 3 ) : t R} 2. Sejam M 1 R n 1 e M 2 R n 2 superfícies de classe C k e dimensão m 1 e m 2, respectivamente. Prove que o produto cartesiano M 1 M 2 R n 1+n 2 é uma superfície de classe C k e dimensão m 1 + m 2. Conclua, daí, que o toro bidimensional T 2 = S 1 S 1 é uma superfície de dimensão 2 e classe C de R Denote por M(m n; k) o subconjunto de M(m n) formado pelas matrizes reais m n de posto k. Prove que M(m n; k) é uma superfície de dimensão k(m + n k) e classe C de M(m n) R mn. 4. O grupo linear GL(n) é o subconjunto aberto de M(n) formado pelas matrizes invertíveis. O grupo linear especial, SL(n) = {X GL(n) : det X = 1}, é um subgrupo de GL(n). Prove que SL(n) é uma hipersuperfície de classe C de M(n), i.e., uma superfície de dimensão n 2 1 e classe C de M(n) R n2. 8

12 1.2 Variedades diferenciáveis Nesta seção introduzimos a noção de variedade diferenciável de classe C k, onde estaremos fixando um valor para k, 0 k. Definição Seja M um conjunto. Uma carta local em M é uma bijeção ϕ : U ϕ(u), onde U é um subconjunto de M e ϕ(u) é um aberto de algum espaço Euclidiano R n. Definição Duas cartas locais em M, ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ), são C k -compatíveis (0 k ) se ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R n e a aplicação de transição ψ ϕ 1 é um difeomorfismo de classe C k. Note que a condição de ψ ϕ 1 ser um difeomorfismo de classe C k implica que ϕ ψ 1 também é um difeomorfismo de classe C k. Observação Se U V =, então a aplicação de transição ψ ϕ 1 é a aplicação vazia. Convencionaremos que a aplicação vazia é um difeomorfismo de classe C k, para qualquer k 0. Assim, ϕ e ψ são sempre C k -compatíveis quando U V =. Observação A noção de C k -compatibilidade para cartas locais ϕ : U ϕ(u) e ψ : V ψ(v ) faria sentido também na situação mais geral em que ϕ(u) é um aberto de R m e ψ(v ) é um aberto de R n onde, a princípio, m não precisa ser igual a n. Mas se U V, tal compatibilidade implicaria na existência de um difeomorfismo de classe C k de um aberto não-vazio de R m sobre um aberto de R n, o que implicaria m = n (no caso k 1, isso segue do fato que a diferencial de tal difeomorfismo em qualquer ponto fornece um isomorfismo de R m sobre R n ; para o caso k = 0, cf. Exercício 2.) Definição Um atlas A de classe C k e dimensão n em um conjunto M é um conjunto de cartas locais em M, A = {(U α, ϕ α ) : α I}, onde cada ϕ α (U α ) é aberto em R n, duas a duas C k -compatíveis, e tal que M = α I U α. Exemplo Um atlas de classe C em R n é o conjunto A = {(R n, Id)}. Exemplo Na esfera S n, um atlas de classe C é o conjunto A = {(S n {N}, ϕ N ), (S n {S}, ϕ S )}, onde ϕ N e ϕ S são as projeções estereográficas relativas ao polos norte e sul, respectivamente. 9

13 Definição Uma carta local ϕ em M é dita C k -compatível com um atlas A de classe C k em M se ϕ é C k -compatível com tada carta ψ A. A noção de C k -compatibilidade é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. De fato, se (U, ϕ), (V, ψ), (W, ξ) são cartas locais em M, com ϕ C k -compatível com ψ e ψ C k -compatível com ξ, então só podemos garantir que a aplicação de transição ξ ϕ 1 seja de classe C k em ϕ(u V W ). É bem possível, por exemplo, que U V =, V W = (o que torna a C k -compatibilidade entre ϕ, ψ e ψ, ξ triviais), mas U W e que ϕ e ξ não sejam C k -compatíveis. No entanto, temos o seguinte: Lema Seja A um atlas de classe C k em M. Se (U, ϕ) e (V, ψ) são cartas locais em M, ambas C k -compatíveis com A, então ϕ e ψ são C k - compatíveis. Demonstração. Suponha U V. Devemos provar que ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos em R n e que ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) ψ(u V ) é um difeomorfismo de classe C k. Como U = α I (U U α), segue que ϕ(u V ) = α I ϕ(u V U α ). Assim, basta provar que, para cada α I, ϕ(u V U α ) é aberto em R n e que ψ ϕ 1 ϕ(u V Uα) é de classe C k. De fato, como (U, ϕ) e (V, ψ) são C k - compatíveis com (U α, ϕ α ), segue que ϕ α (U α U) e ϕ α (U α V ) são abertos em R n e ϕ ϕ 1 α é um difeomorfismo de classe C k. Assim, ϕ(u V U α ) = (ϕ ϕ 1 α )(ϕ α (U V U α )) = (ϕ ϕ 1 α )(ϕ α (U α U) ϕ α (U α V )) é aberto em R n. Finalmente, que é de classe C k. ψ ϕ 1 ϕ(u V Uα) = (ψ ϕ 1 α ) (ϕ α ϕ 1 ) ϕ(u V Uα), Definição Um atlas A de classe C k em M é dito maximal se não está propriamente contido em nenhum outro atlas de classe C k em M. Lema Seja A um atlas de classe C k em M. Então existe um único atlas maximal de classe C k em M contendo A. 10

14 Demonstração. Seja A max o conjunto formado por todas as cartas locais de M que são C k -compatíveis com A. Disso decorre que A A max. Além disso, o Lema implica que A max é de fato um atlas de classe C k. Quanto à maximalidade, considere um atlas B de classe C k em M, contendo A. Disso decorre que todo elemento de B é C k -compatível com A, logo, B A max. Finalmente, quanto à unicidade, suponha que exista um atlas maximal B de classe C k em M, com A B. Disso decorre que todo elemento de B é C k -compatível com A, logo B A max. Como B é maximal tem-se, necessariamente, que B = A max. Lema Seja A = {(U α, ϕ α ) : α I} um atlas de classe C k em um conjunto M. Então, existe uma única topologia em M tal que cada U α é aberto em M e cada ϕ α é um homeomorfismo. Demonstração. Defina τ A = {V M : ϕ α (U α V ) é aberto em R n, α I}. O fato de que τ A é uma topologia segue das igualdades ϕ α (U α ) =, ϕ α (U α M) = ϕ α (U α ), ϕ α (U α V 1 V 2 ) = ϕ α (U α V 1 ) ϕ α (U α V 2 ), ( )) ϕ α (U α V λ = ϕ α (U α V λ ). λ J λ J Para provar que cada U α é um aberto em M e cada ϕ α é um homeomorfismo, é suficiente provar a seguinte afirmação: dados α I e V U α, então V τ A se, e somente se, ϕ α (V ) é aberto em R n. De fato, se V τ A então ϕ α (V ) = ϕ α (U α V ) é aberto em R n. Reciprocamente, suponha ϕ α (V ) aberto em R n. Para provar que V τ A, devemos provar que ϕ β (U β V ) é aberto em R n, para todo β I. Mas isso segue da igualdade ϕ β (U β V ) = ϕ β (U β V U α ) = (ϕ β ϕ 1 α )(ϕ α (V ) ϕ α (U α U β )) e do fato que ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ) é um homeomorfismo ente abertos de R n. Quanto à unicidade, seja τ uma topologia em M que torna cada U α aberto em M e cada ϕ α um homeomorfismo. Dado V τ, tem-se V U α τ, para todo α I, logo ϕ α (U α V ) é aberto em R n. Isso mostra que V τ A, logo τ τ A. Por outro lado, dado V τ A, tem-se que ϕ α (U α V ) é aberto em R n, para todo α I. Assim, V U α = ϕ 1 α (ϕ α (U α V )) é aberto em (M, τ), para todo α I. Logo, V = α I V U α é aberto em (M, τ). Isso prova que τ A τ. 11

15 Definição Dado um atlas A = {(U α, ϕ α ) : α I} em um conjunto M, a única topologia τ A que torna cada U α aberto em M e cada ϕ α um homeomorfismo é chamada a topologia induzida pelo atlas A em M. Observação Se dois atlas A 1 e A 2 de classe C k em M são tais que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M, então as topologias induzidas em M por A 1 e A 2 coincidem (cf. Exercício 3). Disso decorre, em particular, que a topologia induzida por um atlas A coincide com a topologia induzida pelo atlas maximal que o contém. Definição Uma variedade diferenciável de classe C k e dimensão n é um par (M, A), onde M é um conjunto e A é um atlas maximal de classe C k e dimensão n em M, tal que a topologia induzida em M por A é Hausdorff e satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Exemplo O conjunto unitário A = {(R n, Id)} é um atlas de classe C em R n. De fato, como a aplicação identidade Id é um homeomorfismo, com domínio aberto em relação à topologia usual de R n, segue que a topologia induzida por A em R n coincide com a topologia usual. O atlas maximal A max que contém A consiste de todos os difeomorfismos de classe C ϕ : U ϕ(u), com U e ϕ(u) abertos em R n. Exemplo Sejam (M, A) uma variedade diferenciável de classe C k e U um aberto de (M, τ A ). Para cada (U α, ϕ α ) A, considere Ũα = U U α e ϕ α = ϕ α Ũα. Considere o conjunto à = {(Ũα, ϕ α ) : (U α, ϕ α ) A}. Claramente à é um atlas de classe Ck em U. Denotemos por τ a topologia induzida por τ A em U, e por τã a topologia induzida por à em U. Mostremos que τã = τ. De fato, dado V τ, tem-se V = U W, onde W τ A. Assim, ϕ α (Ũα V ) = ϕ α (U U α V ) = ϕ α (U U α W ), que é aberto em R n, logo V τã. Por outro lado, dado V τã, segue que ϕ α (Ũα V ) = ϕ α (U U α V ) é aberto em R n. Disso decorre que U V τ A. Assim, V = U (U V ) τ, logo V τ. Portanto, a topologia τã é Hausdorff e tem base enumerável, logo (U, Ã) torna-se uma variedade diferenciável de classe C k. 12

16 Exercícios 1. Seja V um espaço vetorial real n-dimensional. Prove que o conjunto A constituído de todos os isomorfismos lineares ϕ : V R n é um atlas de classe C em V. Prove também que a topologia induzida em V por A coincide com a topologia usual (definida por qualquer norma). Portanto, o espaço vetorial V, munido do atlas maximal que contém A, é uma variedade diferenciável de classe C. 2. Usando o Teorema da Invariância do Domínio, prove que se um aberto não-vazio de R m é homeomorfo a um aberto de R n, então m = n. 3. Sejam A 1 e A 2 atlas de classe C k num conjunto M. (a) Prove que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M se, e somente se, todo ϕ A 1 é C k -compatível com A 2. (b) Prove que A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M se, e somente se, A 1 e A 2 estão contidos no mesmo atlas maximal de classe C k em M. (c) Se A 1 A 2 é um atlas de classe C k em M, prove que as topologias induzidas em M por A 1 e A 2 coincidem. 4. Sejam A um atlas maximal de classe C k num conjunto M e (U, ϕ) A. Se W é um aberto de R n, com W ϕ(u), e se V = ϕ 1 (W ), então a restrição ϕ V : V W também pertence a A. 5. Considere a esfera S n, n 1. (a) Prove que S n tem a mesma cardinalidade que R, i.e., existe uma bijeção ϕ : S n R. (b) Se A é o único atlas maximal de classe C k que contém ϕ, então (S n, A) é uma variedade diferenciável de classe C k e dimensão 1. Verifique que ϕ não é um homeomorfismo, se considerarmos S n com a topologia induzida de R n+1. Segue, portanto, que a topologia da variedade (S n, A) não coincide com a topologia usual da esfera. Observação Em geral, quando considerarmos a esfera S n como uma variedade, estaremos pensando no atlas que contém as projeções estereográficas. 13

17 1.3 A topologia de uma variedade diferenciável Nesta seção discutiremos algumas propriedades da topologia induzida em M por um atlas A. O lema seguinte é útil para determinar se um dada topologia em uma variedade diferenciável coincide com sua topologia induzida. Lema Sejam (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k e τ uma topologia em M. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) τ = τ A ; (b) Para toda carta (U α, ϕ α ) A, tem-se U α τ e ϕ α é um homeomorfismo, em relação à topologia induzida em U α por τ; (c) Existe um atlas à A tal que vale (b) para toda carta (U α, ϕ α ) Ã. Demonstração. (a) (b) Segue do fato que ϕ α : U α ϕ α (U α ) é homeomorfismo segundo a topologia τ A. (b) (c) Basta tomar à = A. (c) (a) Basta provar que a aplicação identidade Id : (M, τ) (M, τ A ) é um homeomorfismo. De fato, para todo (U α, ϕ α ) à segue por hipótese que U α τ A, U α τ, ϕ α : (U α, τ A ) ϕ α (U α ) e ϕ α : (U α, τ) ϕ α (U α ) são homeomorfismos. Como o diagrama (U α, τ) Id (U α, τ α ) ϕ α ϕ α (U α ) ϕ α comuta, segue que Id : (U α, τ) (U α, τ α ) é um homeomorfismo. Como M = α Ĩ U α, segue que Id : (M, τ) (M, τ A ) é um homeomorfismo. Exemplo Seja M m R n uma superfície de classe C k. Para cada parametrização ψ α : V α M W α = U α de M, denote por ϕ α a inversa de ψ α. Seja A = {(U α, ϕ α ) : ϕ α = ψ 1 α }. Segue do Corolário que ϕ β ϕ 1 α = ψ 1 β ψ α é de classe C k, logo A é um atlas de classe C k em M. Além disso, como cada ϕ α : U α V α é um homeomorfismo em relação à topologia induzida em M de R n segue, do Lema 1.3.1, que a topologia τ A coincide com a topologia usual de M. Portanto, (M, A) torna-se uma variedade diferenciável de classe C k. 14

18 Exemplo Em M = R n+1 {0}, definimos uma relação de equivalência pondo: x y y = tx, para algum t 0. O espaço quociente RP n = M/ chama-se o espaço projetivo real. Provemos que RP n é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n. Geometricamente, cada classe [x] RP n pode ser identificada com a reta em R n+1 que passa pela origem, cuja direção é dada pelo vetor x. Provemos, inicialmente, que a topologia quociente τ em RP n é Hausdorff e tem base enumerável. De fato, sejam π : M RP n a aplicação quociente e A M um aberto. Temos: π 1 (π(a)) = {x M : x a, para algum a A} = t 0 ta, onde ta = {tx : x A}. Como cada ta é aberto em M, segue que π 1 (π(a)) é aberto. Logo, por definição de topologia quociente, π(a) é aberto, logo π é aberta. Assim, como M tem base enumerável, M/ também o tem (cf. Exercício 1). A fim de provar que τ é Hausdorff, considere a função f : M M R definida por f(x, y) = i j (x i y j x j y i ) 2, para quaisquer x, y M. Note que f(x, y) = 0 x i y j x j y i = 0, i j y i = tx i, para algum t 0, 1 i n + 1 x y. Ou seja, R = {(x, y) M M : x y} = f 1 (0). Como f é contínua, R é fechado em M M, logo (RP n, τ) é Hausdorff (cf. Exercício 1). A fim de construir um atlas em RP n considere, para cada 1 i n + 1, o aberto Ũi em M definido por Ũ i = {x M : x i 0}. Defina uma aplicação ϕ i : Ũi R n pondo ϕ i (x 1,..., x n+1 ) = 1 (x 1,..., x i,..., x n+1 ). x i 15

19 ϕ i é contínua, pois suas funções coordenadas são contínuas, e ϕ i é sobrejetora. De fato, dado x = (x 1,..., x n ) R n, tome x = (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ) Ũ i. Assim, tem-se ϕ i ( x) = x. Além disso, como x y ϕ i (x) = ϕ i (y), segue do Lema de passagem ao quociente que, para cada 1 i n + 1, existe uma bijeção contínua ϕ i : RP n R n tal que o diagrama π Ũ i RP n ϕ i ϕ i R n comuta. Seja U i = π(ũi). Provemos que o conjunto A = {(U i, ϕ i ) : 1 i n + 1} é um atlas de classe C em RP n. Note que ϕ 1 i (x,..., x n ) = π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ), para todo 1 i n + 1. Assim, dados (U i, ϕ i ), (U j, ϕ j ) A, com i < j, temos: (ϕ j ϕ 1 i )(x) = ϕ j (π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n )) = ϕ j (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ) = 1 x j (x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x j,..., x n ), logo ϕ j ϕ 1 i é de classe C. Finalmente, resta provar que τ A = τ. De fato, como π 1 (U i ) = Ũi é aberto em M, segue que U i é aberto em (RP n, τ). Além disso, da igualdade ϕ 1 i (x,..., x n ) = π(x 1,..., x i 1, 1, x i,..., x n ), segue que ϕ 1 i é contínua. Logo, ϕ i : U i ϕ i (U i ) é um homeomorfismo relativo à topologia τ. Portanto, pelo Lema 1.3.1, segue que τ A = τ. Exemplo (Variedade não-hausdorff). Em R 2, considere os subconjuntos A = {(x, 1) R 2 : x 0}, B = {(x, 0) R 2 : x > 0}, C = {(x, 1) R 2 : x 0}. 16

20 Sejam U 1 = A B e U 2 = B C, e defina as aplicações ϕ 1 : U 1 R e ϕ 2 : U 2 R pondo ϕ 1 (x, y) = x e ϕ 2 (x, y) = x. O conjunto A = {ϕ 1, ϕ 2 } é um atlas de classe C em M = A B C. No entanto, a topologia τ A não é Hausdorff, pois qualquer vizinhança em torno dos pontos (0, 1) e (0, 1) têm pontos em comum. A proposição seguinte reune as principais propriedades da topologia induzida em M por um atlas A. Proposição Seja (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k. As seguintes afirmações são válidas: (a) Existe atlas à A tal que à tem um número enumerável de elementos. (b) A topologia τ A é metrizável. (c) (M, τ A ) é localmente compacto e localmente conexo. (d) (M, τ A ) é conexo se, e somente se, é conexo por caminhos. Exercícios 1 (Topologia quociente). Dados um espaço topológixo X e uma relação de equivalência em X, denotemos por X/ o espaço quociente. Assim, os elementos de X/ são as classes de equivalências [x] = {y X : x y}. A topologia quociente em X/ é a topologia τ que torna a aplicação quociente π : X X/ contínua. Mais precisamente, um subconjunto U X/ é aberto se π 1 (U) é aberto em X. Uma relação de equivalência em X é dita ser aberta se, para todo aberto A X, o subconjunto [A] é aberto em X/, onde [A] = a A[a]. (a) Prove que uma relação de equivalência em X é aberta se, e somente se, π é uma aplicação aberta. Quando é aberta e X tem uma base enumerável de abertos, então X/ também tem base enumerável. (b) Seja uma relação de equivalência aberta em X. Então, o conjunto R = {(x, y) X X : x y} é um subconjunto fechado de X X se, e somente se, X/ é Hausdorff. 2. Prove as afirmações da Proposição

21 1.4 Aplicações diferenciáveis entre variedades Nesta seção discutiremos a noção de diferenciabilidade de aplicações, transferindo algumas noções básicas do cálculo no R n para o contexto de variedades diferenciáveis. Definição Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k. Dizemos que uma aplicação f : M N é de classe C r, 1 r k, se para todo ponto p M, existem cartas locais ϕ : U ϕ(u) em M e ψ : V ψ(v ) em N tais que p U, f(u) V e ψ f ϕ 1 seja de classe C r. A composta ψ f ϕ 1 é a aplicação que representa f em relação às cartas ϕ e ψ. Observação A definição acima independe da escolha das cartas. De fato, sejam ϕ : U ϕ (U ) e ψ : V ψ (V ) cartas locais em M e N, respectivamente, com p U e f(u ) V. Então, no aberto ϕ (U U), temos: ψ f ϕ 1 = (ψ ψ 1 ) (ψ f ϕ 1 ) (ϕ ϕ 1 ). Como ϕ e ϕ, ψ e ψ são C k -compatíveis e ψ f ϕ 1 é de classe C r, segue que ψ f ϕ 1 é de classe C r. Definição Uma aplicação f : M N é um difeomorfismo de classe C k se f é uma bijeção de classe C k, cuja inversa f 1 : N M também é de classe C k. Uma aplicação f : M N chama-se um difeomorfismo local de classe C k se todo ponto p M possui uma vizinhança aberta U M tal que f(u) N é aberto e f U : U f(u) seja um difeomorfismo de classe C k. Exemplo Se U é um aberto de R n, então U é uma variedade diferenciável de classe C e dimensão n, e a aplicação identidade Id : U U é uma carta em U. Assim, dado uma variedade diferenciável M m de classe C k, uma aplicação f : U M é de classe C r se, e somente se, para todo p U, existem um aberto W U, com p W, e uma carta local ψ : V ψ(v ) em M, com f(w ) V, tal que ψ f W é de classe C r. Disso decorre, em particular (no caso em que M = R m ), que f é diferenciável no sentido de variedades se, e somente se, é diferenciável no sentido do Cálculo. A proposição seguinte mostra que as cartas locais de uma variedade M são nada mais que difeomorfismos entre abertos de M e abertos do espaço Euclidiano. 18

22 Proposição Seja (M n, A) uma variedade diferenciável de classe C k. Dados um subconjunto U M e um aberto W R n, então uma bijeção ϕ : U W pertence ao atlas A se, e somente se, U é aberto em M e ϕ é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Suponha ϕ : U W uma carta local de M. Assim, U é aberto em M. Considere as representações de ϕ e ϕ 1 em relação às cartas ϕ na variedade U e Id na variedade W. U ϕ W ϕ W Id ϕ ϕ 1 W Ambas essas representações são iguais a aplicação identidade de W, que é de classe C k. Logo, ϕ é um difeomorfismo de classe C k. Reciprocamente, suponha que U é aberto em M e que ϕ : U W seja um difeomorfismo de classe C k. Devemos provar que ϕ é C k -compatível com o atlas A. Dado (V, ψ) A, como ϕ e ψ são homeomorfismos entre abertos, segue que ϕ(u V ) e ψ(u V ) são abertos de R n. A aplicação de transição ψ ϕ 1 é de classe C k pois ela é a representação da aplicação ϕ 1 : W U de classe C k, em relação às cartas locais Id : ϕ(u V ) ψ(u V ) e ψ U V : U V ψ(u V ). Analogamente se prova que ϕ ψ 1 é de classe C k. O corolário seguinte é útil quando queremos provar resultados sobre unicidade de estruturas diferenciáveis satisfazendo certas condições. Corolário Sejam A 1, A 2 atlas maximais de classe C k num conjunto M. Então A 1 = A 2 se, e somente se, a aplicação identidade Id : (M, A 1 ) (M, A 2 ) é um difeomorfismo de classe C k. Demonstração. Suponha que Id seja um difeomorfismo de classe C k. Assim, Id é, em particular, um homeomorfismo, logo A 1 e A 2 induzem a mesma topologia em M. Dado um aberto U M, denotemos por A 1 U, A 2 U os atlas induzidos em U por A 1 e A 2, respectivamente. Assim, Id : (U, A 1 U ) (U, A 2 U ) é um difeomorfismo de classe C k. Sejam V R n um aberto e ϕ : U V uma bijeção. Temos, assim, um diagrama comutativo: Id (U, A 1 U ) 1 ϕ Id (U, A 2 U ) V 19 2 ϕ

23 A flecha 1 no diagrama é um difeomorfismo de classe C k se, e somente se, a flecha 2 o for. Segue da Proposição que ϕ A 1 se, e somente se, ϕ A 2. Exemplo A função f : R R, dada por f(t) = t 3, é um homeomorfismo, cuja inversa é f 1 (t) = t 1/3, que não é diferenciável em t = 0. Logo, f não é um difeomorfismo. Sejam (R, A) e (R, B) estruturas de variedades diferenciáveis de classe C k em R, determinadas pelos atlas {(R, Id)} e {(R, f)}, respectivamente. Note que Id : R R e f : R R não são C k -compatíveis para nenhum k 1, pois (Id f 1 )(t) = t 1/3 não é diferenciável em t = 0. Assim (R, A) (R, B). Por outro lado, (R, A) e (R, B) são variedades difeomorfas, pois a aplicação φ : (R, A) (R, B), dada por φ(t) = t 1/3, é um difeomorfismo de classe C k. De fato, a representação de φ é a aplicação identidade Id : R R, que é de classe C k. Observação Em virtude do Exercício 1, segue que todo difeomorfismo é um homeomorfismo. Este fato reporta à questão natural de saber se, reciprocamente, duas variedades homeomorfas são necessariamente difeomorfas. Em R, é ralativamente simples provar que qualquer estrutura diferenciável é difeomorfa a estrutura canônica (R, A), onde A é o único atlas maximal que contém a aplicação identidade (cf. [18], Problem 9.24, ou [10], Problem 12.5). Em R 2 e R 3 a afirmação também é verdadeira. De fato, segue do trabalho de J. Munkres [17] (cf. também [15]) que toda variedade topológica de dimensão menor ou igual a 3 tem uma estrutura diferenciável que é única a menos de difeomorfismos. Em R 4 existem exemplos de estruturas diferenciáveis que não são difeomorfas à estrutura diferenciável usual (R 4, A). A existência de estruturas diferenciáveis, distintas da usual, em R 4 foram apresentadas por S. Donaldson e M. Freedman em 1984, como consequência de seus estudos em geometria e topologia das variedades compactas de dimensão 4. Os resultados podem ser encontrados em [4] e [5]. Na esfera S n, para n 6, quaisquer duas estruturas diferenciáveis são difeomorfas. Porém, na esfera S 7, J. Milnor [14] apresentou a existência de estruturas diferenciáveis que não são difeomorfas. Existem também espaços localmente Euclidianos que não possuem nenhuma estrutura diferenciável. M. Kervaire [9] exibiu exemplos em dimensão 10, e também exemplo de um espaço topológico homeomorfo à esfera S 9, mas que não são difeomorfos. 20

24 Exercícios 1. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k. Prove que toda aplicação f : M N de classe C r, 0 r k, é contínua. 2. Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N, g : N P aplicações de classe C r, 0 r k. Prove que g f : M N também é de classe C r. 3. Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação. Prove que: (a) Se N 1 é um aberto em N e f(m) N 1, então f : M N é de classe C r se, e somente se, f : M N 1 é de classe C r, 0 r k. (b) A aplicação identidade Id : M M é de classe C k. Mais geralmente, se M 1 é um aberto de M então a aplicação inclusão i : M 1 M é de classe C k. (c) Se f : M N é de classe C r, 0 r k, então, para todo aberto M 1 M, a restrição f M1 : M 1 N é de classe C r. 4. Sejam M 1, M 2 variedades diferenciáveis de classe C k e M = M 1 M 2 seu produto cartesiano. Prove que existe um único atlas maximal A de classe C k em M tal que (M, A) é uma variedade diferenciável de classe C k satisfazendo as seguintes propriedades: (a) As projeções π i : M M i são de classe C k, i = 1, 2. (b) Se N é uma variedade diferenciável de classe C k então uma aplicação f : N M é de classe C k se, e somente se, as aplicações coordenadas π i f : N M i são de classe C k, i = 1, 2. (c) A topologia induzida em M por A coincide com a topologia produto. 5. Seja M n uma variedade diferenciável de classe C k compacta. Prove que não existe um difeomorfismo local de classe C k f : M R n. 6. Sejam M, N conjuntos, f : M N uma aplicação bijetora e B um atlas maximal de classe C k em N. Prove que existe um único atlas maximal A de classe C k em M tal que f : (M, A) (N, B) seja um difeomorfismo de classe C k. 21

25 1.5 O espaço tangente Nesta seção estudaremos o espaço tangente a uma variedade diferenciável M. Começaremos com o caso dos modelos concretos, ou seja, o caso em que M é uma superfície de R n. Dado uma superfície M m R n de classe C k, dizemos que v R n é um vetor tangente a M no ponto p M se existe uma curva λ : I R n, onde I é um intervalo aberto de R contendo 0, diferenciável em t = 0, tal que λ(i) M, λ(0) = p e λ (0) = v. O conjunto de todos os vetores tangentes a M em p é chamado de espaço tangente a M em p, e será denotado por T p M. Observação Decorre diretamente da definição que se U é um aberto de uma superfície M m R n, então T p U = T p M, para todo p U. Em particular, se U é um aberto de R n, então T p U = T p R n = R n, para todo p U. Lema Sejam f : U R n uma aplicação de classe C k, onde U é um aberto de R m, e M r U, N s R n superfícies de classe C k tais que f(m) N. Então, df(p)(t p M) T f(p) N, para todo p M. Em particular, se f : U f(u) é um difeomorfismo de classe C k e f(m) = N, então df(p)(t p M) = T f(p) N, para todo p M. Demonstração. Dados p M e v T p M, seja λ : I M uma curva diferenciável em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Seja α = f λ. Tem-se α(0) = f(p) e α(i) N. Além disso, df(p) v = df(λ(0)) λ (0) = (f λ) (0) = α (0) T f(p) N. Logo, df(p)(t p M) T f(p) N, para todo p M. A última afirmação segue da parte já provada aplicada a f 1. Proposição Seja M m R n uma superfície de classe C k. Dado p M, temos: (a) T p M é um subespaço vetorial m-dimensional de R n. (b) Seja f : U R n m uma aplicação de classe C k, onde U é uma vizinhança de p em R n, e 0 R n m um valor regular de f tais que M U = f 1 (0). Então, T p M = ker df(p). (c) Se ϕ : U M V é uma parametrização de M, com p = ϕ(q), então T p M = dϕ(q)(r m ). 22

26 Demonstração. (a) Pelo Teorema 1.1.8, existem um aberto V de R n, com p V, e um difeomorfismo de classe C k ϕ : V ϕ(v ) tal que ϕ(m V ) = ϕ(v ) R m. Assim, pelo Lema 1.5.2, temos: dϕ(p)(t p M) = dϕ(p)(t p (M V )) = T ϕ(p) (ϕ(v ) R m ) = T ϕ(p) R m = R m. Portanto, T p M = dϕ(p) 1 (R m ), i.e., T p M é um subespaço vetorial m- dimensional de R n. (b) Dado v T p M, seja λ : I M uma curva diferenciavel em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Seja ɛ > 0 tal que λ( ɛ, ɛ) M U. Assim, f(λ(t)) = 0, para todo t ( ɛ, ɛ). Portanto, df(p) v = df(λ(0)) λ (0) = (f λ) (0) = 0, i.e., v ker df(p). Isso implica que T p M ker df(p). Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue a igualdade. (c) Pelo Lema 1.5.2, temos dϕ(q)(r m ) T p M. Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue a igualdade. Exemplo Considere a esfera S n = {x R n+1 : x = 1}. Dado um ponto p S n, considere o subconjunto C p = {v R n+1 : v, p = 0}. Note que C p é um subespaço vetorial n-dimensional de R n+1. Dado v T p S n, seja λ : I S n uma curva diferenciável em t = 0 tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Derivando a identidade λ(t), λ(t) = 1, obtemos 2 λ (t), λ(t) = 0, para todo t I. Assim, para t = 0, obtemos v, p = 0, i.e., v C p. Logo, T p M C p. Como ambos são subespaços vetoriais m-dimensionais de R n, segue que T p S n = {v R n+1 : v, p = 0}. Exemplo Considere o grupo ortogonal O(n). Vimos no Exemplo que a matriz indentidade I M(n) é valor regular da aplicação diferenciável f : M(n) S(n) definida por f(x) = XX t, 23

27 para todo X M(n). Além disso, tem-se que O(n) = f 1 (I) e df(x) H = XH t +HX t, para toda matriz H M(n). Disso decorre, em particular, que df(i) H = H t + H. Logo, df(i) H = 0 se, e somente se, H é anti-simétrica. Portanto, T I O(n) = ker df(i) = A(n). Passaremos agora à noção de espaço tangente a uma variedade diferenciável M. Dados uma variedade diferenciável M n de classe C k e um ponto p M, denotemos por C p o conjunto de todas as curvas λ : I M de classe C k, com λ(0) = p, onde I R é um intervalo aberto contendo a origem. Dizemos que duas curvas λ, µ C p são equivalentes, e escreveremos λ µ, se existe uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, tal que (ϕ λ) (0) = (ϕ µ) (0). (1.1) Note que, como λ e µ são contínuas e U M é aberto, temos que as compostas ϕ λ e ϕ µ estão definidas numa vizinhança da origem em R. Observação A definição dada em (1.1) independe da escolha da carta. De fato, se (V, ψ) é outra carta local em M, com p V, segue da regra da cadeia que: (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) (ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) (ϕ µ) (0) = (ψ µ) (0). Além disso, é fácil ver que a relação em C p, definida em (1.1), é uma relação de equivalência em C p. Definição O espaço tangente a M no ponto p, denotado por T p M, é definido por T p M = C p /. Dados um ponto p M e uma carta local (U, ϕ) em M, com p U, definimos uma aplicação ϕ : T p M R n pondo ϕ([λ]) = (ϕ λ) (0), 24

28 para toda classe [λ] T p M. Da Observação segue que ϕ está bem definida. Dados [λ], [µ] T p M, temos: ϕ([λ]) = ϕ([µ]) (ϕ λ) (0) = (ϕ µ) (0) λ µ [λ] = [µ], ou seja, ϕ é injetora. Além disso, dado v R n, considere a curva α : I ϕ(u) definida por α(t) = ϕ(p) + tv. Pondo λ = ϕ 1 α, temos: ϕ([λ]) = (ϕ λ) (0) = (ϕ ϕ 1 α) (0) = α (0) = v, ou seja, ϕ é sobrejetora. Assim, ϕ induz uma estrutura de espaço vetorial em T p M: [λ] + [µ] = ϕ 1 (ϕ([λ]) + ϕ([µ])), c [λ] = ϕ 1 (c ϕ([λ])). (1.2) Observação A estrutura de espaço vetorial induzida em T p M, por (1.2), independe da escolha da carta local. De fato, se (V, ψ) é outra carta local de M, com p V, temos: ou seja, ψ([λ]) = (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), ψ = T ϕ, onde T é o isomorfismo linear T = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)). Portanto ψ 1 (ψ([λ]) + ψ([µ])) = (ϕ 1 T 1 )(T ϕ([λ]) + T ϕ([µ])) Analogamente tem-se = ϕ 1 (ϕ([λ]) + ϕ([µ])). ψ 1 (c ψ([λ])) = ϕ 1 (c ϕ([λ])), para qualquer c R. Portanto, quaisquer duas cartas locais em M induzem a mesma estrutura de espaço vetorial em T p M. Exercícios 1. Prove as afirmações feitas na Observação Prove que o espaço tangente a SL(n), na matriz identidade, é o subespaço das matrizes de traço nulo. 25

29 1.6 A diferencial Sejam M m, N n variedades diferenciáveis de classe C k e f : M N uma aplicação de classe C r, 1 r k. Dado um ponto p M, definimos uma aplicação df(p) : T p M T f(p) N, chamada a diferencial de f no ponto p, pondo df(p) [λ] = [f λ], (1.3) para todo [λ] T p M. Verifiquemos que df(p) é uma transformação linear bem definida. De fato, considere cartas locais (U, ϕ) em M e (V, ψ) em N, com p U e f(u) V. Dado [λ] T p M, temos: ou seja, ψ([f λ]) = (ψ f λ) (0) = (ψ f ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), df(p) [λ] = ψ 1 ( d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]) ). (1.4) A igualdade em (1.4) mostra que a classe [f λ] T f(p) N depende apenas da classe [λ], logo (1.3) está bem definido. Além disso, segue de (1.4) que o diagrama T p M ϕ R m df(p) d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) T f(p) N ψ (1.5) R n é comutativo. Portanto, df(p) : T p M T f(p) N é uma transformação linear. Dados uma carta local (U, ϕ) em M n e um ponto p U, denotemos por { } (p),..., (p) x 1 x n a base de T p M, induzida naturalmente pelo isomorfismo ϕ : T p M R n. Ou seja, x i (p) = ϕ 1 (e i ), 26

30 para todo 1 i n, onde {e 1,..., e n } denota a base canônica de R n. Assim, x i (p) = [λ i ], onde λ i = ϕ 1 α i e α i : I ϕ(u) é uma curva de classe C k tal que α i (0) = ϕ(p) e α i (0) = e i, para todo 1 i n. Proposição Sejam f : M m N n uma aplicação de classe C k e (U, ϕ), (V, ψ) cartas locais em M e N, respectivamente, com f(u) { V. Então, a matriz } da { diferencial de f em} p U, em relação às bases x i (p) : 1 i m, y j (f(p)) : 1 j n determinadas por ϕ e ψ, respectivamente, é a matriz jacobiana de ψ f ϕ 1 no ponto ϕ(p). Demonstração. Da comutatividade do diagrama (1.5), temos: df(p) x i (p) = n j=1 para todo 1 i m. a ij (f(p)) df(p) ϕ 1 (e i ) = y j n a ij ψ 1 (e j ) j=1 ψ ( df(p) ϕ 1 (e i ) ) = n a ij e j j=1 d(ψ f ϕ 1 )(ϕ(p)) e i = n a ij e j, Teorema (Regra da cadeia). Sejam M, N, P variedades diferenciáveis de classe C k, 1 k, e f : M N, g : N P aplicações de classe c k. Então, g f é de classe C k e, para todo p M, tem-se: j=1 d(g f)(p) = dg(f(p)) df(p). (1.6) Demonstração. A primeira afirmação é o conteúdo do Exercício 2. Para a segunda, seja [λ] T p M. Assim, d(g f)(p) [λ] = [g f λ] = [g (f λ)] = dg(f(p)) [f λ] = dg(f(p)) df(p) [λ]. Como [λ] é arbitrário, a igualdade (1.6) está provada. 27

31 Corolário Se f : M m N n é um difeomorfismo de classe C k então, para todo p M, a diferencial df(p) : T p M T f(p) N é um isomorfismo linear e df(p) 1 = d(f 1 )(f(p)). Demonstração. Basta aplicar o Teorema à igualdade f 1 f = Id no ponto p e à igualdade f f 1 = Id no ponto f(p) (cf. Exercício 1). Exemplo Sejam V um espaço vetorial real n-dimensional e ϕ : V R n um isomorfismo linear (então (V, ϕ) é uma carta em V ). Dado um vetor p V, afirmamos que o isomorfismo ϕ 1 ϕ : T p V V não depende de ϕ. De fato, dado outro isomorfismo ψ : V R n, temos: ψ([λ]) = (ψ λ) (0) = (ψ ϕ 1 ϕ λ) (0) = d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) ϕ([λ]), para todo [λ] T p M. Como ψ ϕ 1 é linear, temos d(ψ ϕ 1 )(ϕ(p)) = ψ ϕ 1. Assim, ψ = ψ ϕ 1 ϕ, logo ψ 1 ψ = ϕ 1 ϕ. Observação O Exemplo permite-nos realizar a seguinte convenção: se V é um espaço vetorial real n-dimensional então, para todo p V, identificamos o espaço tangente T p V com o próprio espaço vetorial V através do isomorfismo ϕ 1 ϕ : T p V V, onde ϕ : V R n é um isomorfismo arbitrário. No caso particular em que V = R n, identificamos T p R n com R n, para qualquer p R n, através do isomorfismo Id : T p R n R n induzido pela carta (R n, Id) em R n. Trabalharemos, então, como se T p R n = R n, para todo p R n, e como se Id : T p R n R n fosse a aplicação identidade de R n, para todo p R n. Lema Sejam M n uma variedade diferenciável de classe C k e W M um aberto. Então, para todo p W, a diferencial da aplicação inclusão i : W M é um isomorfismo linear de T p W sobre T p M. Demonstração. Seja (U, ϕ) uma carta local em W. Como W é aberto em M, (U, ϕ) é também uma carta em M. A representação de i em relação às cartas ϕ e ϕ é a aplicação identidade do aberto ϕ(u) de R n. Logo, d(ϕ i ϕ 1 )(ϕ(p)) é a aplicação identidade de R n. Sejam ϕ W, ϕ M os 28

32 isomorfismos induzidos pela carta ϕ nas variedades W e M, respectivamente. Assim, di(p) = (ϕ M ) 1 Id ϕ W = (ϕ M ) 1 ϕ W Como ϕ W e ϕ M são isomorfismos, segue que di(p) também é um isomorfismo. W i M T p W di(p) T i(p) M ϕ ϕ(u) Id ϕ ϕ(u) ϕ W R n Id R n ϕ M Observação O Lema permite-nos adotar a seguinte convenção: se W é um aberto de uma variedade diferenciável M, identificamos o espaço tangente T p W com o espaço tangente T p M, através do isomorfismo di(p) : T p W T i(p) M. Em virtude da identificação acima, temos também o seguinte resultado sobre a diferencial da restrição de uma aplicação a um aberto. Lema Sejam M, N variedades diferenciáveis de classe C k, M 1 M, N 1 N subconjuntos abertos e f : M N uma aplicação de classe C k tal que f(m 1 ) N 1. Se f 1 : M 1 N 1 denota a restrição de f a M 1, então df 1 (p) = df(p), para todo p M 1. Demonstração. Denotando por i : M 1 M e j : N 1 N as aplicações de inclusão, temos que j f 1 = f i. A conclusão segue então da regra da cadeia, observando que, em virtude da identificação acima, di(p) é a aplicação identidade de T p M e dj(f(p)) é a aplicação identidade de T f(p) N. Lema Seja (U, ϕ) uma carta local em uma variedade diferenciável M n de classe C k. Então, para todo p U, a diferencial dϕ(p) coincide com o isomorfismo induzido ϕ p : T p M R n. Demonstração. Para calcular a diferencial dϕ(p), podemos considerar ϕ como uma aplicação com contra-domínio R n, em vez de ϕ(u) (cf. Lema 1.6.8). Em relação às cartas ϕ em U e Id em R n, a representação da aplicação ϕ é a aplicação de inclusão i do aberto ϕ(u) em R n. Assim, di(ϕ(p)) é a aplicação identidade de R n. U ϕ R n T p U dϕ(p) T ϕ(p) R n ϕ ϕ(u) i R n Id ϕ U R n Id R n Id 29