Introdução à topologia diferencial e. Fabio Ferrari Ruffino

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1 Introdução à topologia diferencial e algébrica Vol. I Topologia diferencial Fabio Ferrari Ruffino

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3 Sumário Introdução 5 Capítulo 1. Variedades topológicas Variedades topológicas mergulhadas em R n Espaços localmente euclidianos Atlas e funções de transição Variedades topológicas abstratas Complementos Exercícios 25 Capítulo 2. Variedades diferenciáveis Variedades diferenciáveis mergulhadas em R n Variedades diferenciáveis abstratas Funções suaves e difeomorfismos entre variedades Espaço tangente e diferencial Fibrado tangente Partições da unidade Orientabilidade Exercícios 81 Capítulo 3. Mergulhos, imersões, submersões Subvariedades Mergulhos e imersões Preliminares de teoria da medida Valores regulares e submersões Teoremas de Whitney Exercícios 114 Capítulo 4. Variedades com bordo Variedades topológicas com bordo Variedades suaves com quinas Variedades suaves com bordo Subvariedades com bordo 124 Capítulo 5. Fibrados vetoriais e vizinhanças tubulares Definição e propriedades fundamentais Funções de transição Seções 136 3

4 4 SUMÁRIO 5.4. Funções de transição vs seções locais Fibrados sobre variedades e fibrado tangente Operações entre fibrados vetoriais Métricas e orientações Algumas construções naturais Fibrados genéricos Exercícios 158 Capítulo 6. Formas diferenciais e cohomologia de de-rham Formas em um fibrado vetorial Formas diferenciais Cohomologia de de-rham Cohomologia de de-rham com suporte compacto Integração de formas diferenciais Formas diferenciais e orientação Cohomologia de de-rham e integração Cohomologia relativa com respeito a uma função Cohomologia de de-rham torcida Comentários Exercícios 180 Capítulo 7. Derivada de Lie Curvais integrais e fluxos Derivada de Lie de um campo vetorial 181

5 Introdução Todos sabemos que a superfície da Terra é quase esférica, mas todos, em nosso dia a dia, atuamos como se fosse quase plana. De fato, por vários séculos os homens acreditaram que fosse realmente um plano e não foi simples dar-se conta que se tratava de uma ilusão. Obviamente não estamos considerando as irregularidades evidentíssimas devidas às variações de altitude, mas, em grandes distâncias, estas aproximações fazem sentido. Por que temos a sensação que se trate de um plano? O motivo consiste no fato que, como o raio da Terra é muito grande comparado com nosso tamanho, a curvatura da parte de superfície que conseguimos enxergar é muito pequena. Se vivêssemos em um planeta com um raio bem menor, comparável com nossa altura, então perceberíamos claramente que se trata de uma superfície esférica. Contudo, se nesse planeta houvesse uma bactéria, muito pequena em relação ao raio, esta bactéria pensaria de viver sobre uma superfície plana, pelo mesmo motivo pelo qual nós temos esta impressão. Isso mostra que a superfície de um planeta, que podemos aproximar com uma superfície esférica, se parece localmente com um plano, ou seja, fixando um ponto e estando suficientemente perto daquele ponto, a superfície parece ser plana. Entretanto, globalmente está bem longe de ser um plano. Acabamos de mostrar que uma superfície esférica é um exemplo da noção de variedade. Sendo uma superfície, se trata de um exemplo em duas dimensões, mas o mesmo conceito vale em um número arbitrário de dimensões: uma variedade de dimensão n é um espaço que localmente se parece com R n, mas globalmente pode ter uma estrutura bem diferente. Como podemos descrever geometricamente esta semelhança local com R n? Pensemos novamente na superfície da Terra. Uma região suficientemente pequena pode ser representada através de um mapa desenhado em uma folha. O fato que não se trate globalmente de um plano implica que não seja possível desenhar um mapa plano global, portanto, se quisermos representar a superfície toda, precisamos de várias folhas, correspondentes a regiões diferentes. O conjunto destes mapas é um atlas. Veremos que qualquer variedade de dimensão n pode ser descrita de modo análogo: perto de cada ponto podemos construir uma carta local, que corresponde a um mapa em uma folha de dimensão n, e podemos descrever a variedade toda através de um atlas, ou seja, uma coleção de mapas locais que esgotam o espaço todo. Este atlas pode ser somente contínuo ou também suave; no primeiro caso fica definida uma variedade topológica, no segundo caso uma variedade suave. O fato que uma variedade suave se pareça localmente com R n tem uma consequência fundamental. O espaço R n é o ambiente natural do cálculo diferencial, ou 5

6 6 INTRODUÇÃO seja, podemos definir a noção de função diferenciável e suas inúmeras consequências. Contudo, a noção de diferencial é local, ou seja, é suficiente conhecer o valor da função em uma vizinhança de um ponto para que fique definido o diferencial naquele ponto. Por isso, não é essencial que o ambiente seja R n globalmente, e sim é suficiente que seja parecido a R n localmente. Um ambiente deste tipo é precisamente uma variedade suave, portanto podemos afirmar que as variedades suaves constituem o contexto mais geral em que se pode definir e aplicar o cálculo diferencial. Também o cálculo integral poderá ser estendido às variedades e isso terá muitas aplicações interessantes. Observamos que o cálculo integral tem uma natureza mais global que o diferencial, pois, por exemplo, a integral de uma função em uma região de R n depende do comportamento da função na região toda; contudo, esta integral coincide com a soma de várias contribuições locais, portanto veremos que é possível definir uma noção análoga no contexto das variedades. A topologia diferencial consiste essencialmente no estudo das variedades suaves e de suas propriedades fundamentais, através das ferramentas do cálculo diferencial e integral. O capítulo 1 deste volume será dedicado às variedades topológicas, que poderiam ser introduzidas também em um curso de topologia geral, mas que constituem um passo preliminar natural antes de acrescentar uma estrutura diferencial. Em seguida, no capítulo 2 definiremos a noção de variedade suave e mostraremos como definir o diferencial de uma função. Também introduziremos várias outras noções além da de variedade, como as de fibrado tangente, de partição da unidade suave e de orientação. No capítulo 3 estudaremos a noção de subvariedade e algumas classes fundamentais de funções suaves, ou seja, as imersões, as submersões e os mergulhos. No capítulo 4 definiremos as variedades com bordo, ampliando a classe dos espaços considerados. Por exemplo, um hemisfério da superfície terrestre não é uma variedade, pois nos pontos do equador não se parece localmente com um plano, e sim com um semi-plano. De fato, é natural pensar que o equador seja o bordo do hemisfério, portanto se trata de uma variedade com bordo. Esta noção pode ser estendida considerando as variedades com quinas, mas só esboçaremos a descrição desta classe muito importante de espaços. No capítulo... Há muitos outros assuntos interessantes para uma introdução à topologia diferencial, mas obviamente é necessário selecionar alguns tópicos para que um manual não se torne demasiado extenso. Esperamos que os escolhidos neste volume deem ao leitor a possibilidade de aproximar-se desta área fundamental da matemática, que poderá ser aprofundada em manuais e artigos mais avançados.

7 CAPíTULO 1 Variedades topológicas Neste capítulo vamos introduzir a noção de variedade topológica. Começaremos considerando as sub-variedades do espaço euclidiano. Mostraremos a seguir como dar uma boa definição que não pressuponha o mergulho em R n Variedades topológicas mergulhadas em R n Seja X R n um subconjunto dotado da topologia euclidiana. Em geral X pode ser um espaço muito irregular. Por exemplo, podemos considerar X = Q n R n, ou X = {( 1 n, 0) : n N} {(0, 0)} R2 e assim em diante. Contudo, consideremos os seguintes subconjuntos de R 2 : (1) uma reta, por exemplo X = {(x, 2x) : x R}; (2) uma circunferência, por exemplo X = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}; (3) o gráfico da função módulo, ou seja, X = {(x, x ) : x R}. Estes subconjuntos podem ser associados à ideia intuitiva de curva contínua. Os primeiros dois são também suaves, enquanto o terceiro forma um ângulo em (0, 0), porém, se considerarmos somente a continuidade, parece razoável chamá-los de curvas. Analogamente, consideremos os seguintes subconjuntos de R 3 : (4) uma reta, por exemplo X = {(x, x, x) : x R}; (5) uma parábola, por exemplo X = {(x, x 2, 0) : x R}; (6) um plano, por exemplo X = {(x, y, x + y) : x, y R}; (7) uma superfície esférica, por exemplo X = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 1}; (8) o gráfico da função módulo de uma variável, por exemplo, X = {(x, y, x ) : x, y R}. Os subconjuntos (4) e (5) parecem também curvas contínuas, mergulhadas em R 3 ao invés de R 2. Os últimos três podem ser associados à ideia intuitiva de superfície contínua. O plano e a superfície esférica são também suaves, enquanto (8) tem uma quina ao longo da reta x = z = 0, porém, se considerarmos somente a continuidade, parece razoável chamar os três de superfícies. 7

8 8 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Nestes exemplos temos também uma ideia intuitiva de dimensão. De fato, podemos pensar que as curvas sejam objetos geométricos de dimensão 1, pois podem ser descritas através de um parâmetro real. Por exemplo, a curva (4) pode ser parametrizada por t (t, t, t) e a curva (2) por t (cos(2πt), sin(2πt)). Observamos que, no segundo caso, a parametrização é injetora somente em intervalos da forma (t ε, t + ε), sendo 0 ε < 1, mas isso é suficiente para representar a curva em 2 uma vizinhança de cada ponto fixado. 1 Analogamente, podemos pensar que as superfícies sejam objetos de dimensão 2, pois cada ponto admite uma vizinhança que pode ser descrita por dois parâmetros reais. Por exemplo, a superfície (6) pode ser parametrizada globalmente por (t, u) (t, u, t + u). Encontrar uma parametrização de (7) é um pouco mais complicado, pois temos que subdividir a superfície esférica em várias partes. Por exemplo, se considerarmos os pontos tais que z > 0, uma boa parametrização é dada por (t, u) (t, u, 1 t 2 u 2 ), sendo (t, u) < 1, enquanto, se considerarmos os pontos tais que z < 0, uma boa parametrização é dada por (t, u) (t, u, 1 t 2 u 2 ). Por enquanto ficam excluídos os pontos tais que z = 0, os quais formam uma circunferência (o equador). Por isso, podemos considerar os pontos tais que y > 0, com a parametrização (t, u) (t, 1 t 2 u 2, u), e os pontos tais que y < 0, com a parametrização (t, u) (t, 1 t 2 u 2, u). Com estas quatro parametrizações ainda ficam excluídos os pontos tais que y = z = 0, ou seja, (±1, 0, 0). Por isso, podemos considerar os pontos tais que x > 0, com a parametrização (t, u) ( 1 t 2 u 2, t, u), e os pontos tais que x < 0, com a parametrização (t, u) ( 1 t 2 u 2, t, u). Desta maneira, com seis parametrizações esgotamos os pontos da superfície esférica. Em geral, não existe uma parametrização global de uma superfície, ou existe uma que é injetora só localmente, como vimos em relação à circunferência. 2 O primeiro objetivo desta seção consiste em definir e analisar rigorosamente os conceitos que acabamos de esboçar, generalizando-os a subconjuntos de R n de dimensão arbitrária. Observação. Daqui em diante, quando considerarmos o espaço R n ou um seu subespaço, subentenderemos que seja dotado da topologia euclidiana Cartas locais. Voltemos ao caso da superfície esférica, que denotamos por S 2. Observamos que a parametrização (t, u) (t, u, 1 t 2 u 2 ) é um homeomorfismo da bola unitária de R 2 ao hemisfério superior aberto de S 2. Uma consideração análoga vale para as demais parametrizações que consideramos. Por isso, podemos dar as seguintes definições. Definição Sejam X R n um subespaço topológico e x X um ponto fixado. Uma carta local de X em x de dimensão k é uma tripla (U, V, ϕ), onde: U X é uma vizinhança aberta conexa de x; V R k é um subconjunto aberto; ϕ: V U é um homeomorfismo. 1 No exemplo discutiremos mais rigorosamente este conceito. 2 Por exemplo, o toro S 1 S 1 R 2 R 2 R 4 pode ser parametrizado globalmente por (t, u) (cos(2πt), sin(2πt), cos(2πu), sin(2πu)), mas esta parametrização é injetora só localmente.

9 1.1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS MERGULHADAS EM Rn 9 Se U = X, a carta local pode ser chamada também de carta global. Definição Um subespaço topológico conexo X R n é dito variedade topológica de dimensão k mergulhada em R n se, para todo x X, existe uma carta local em x de dimensão k. A inclusão i: X R n é dita mergulho de X em R n. Observação O mergulho i: X R n é uma função contínua. De fato, é a inclusão de um subespaço topológico. Definição Uma variedade topológica de dimensão 1 mergulhada em R n é dita curva contínua em R n. Uma variedade topológica de dimensão 2 mergulhada em R n é dita superfície contínua em R n. O fato que uma variedade seja conexa por definição é somente uma convenção prática, não significativa do ponto de vista conceitual, que será discutida mais em detalhe na seção Esta convenção corresponde à nossa intuição, pois, por exemplo, se o leitor observar duas circunferências disjuntas no plano, provavelmente não pensará que se trate de uma curva, e sim de duas curvas. Além disso, na definição impusemos que U fosse conexo. Isso obviamente implica que também V o seja, pois ϕ: V U é um homeomorfismo. Também neste caso não se trata de uma hipótese restritiva, e sim de uma convenção prática. De fato, suponhamos que, dado um ponto x X R n, exista uma tripla (U, V, ϕ) que verifica a definição 1.1.1, exceto pelo fato que U não é conexo. Seja U a componente conexa de U que contém x. Definimos V := ϕ 1 (U ) e ϕ := ϕ V : V U. É fácil verificar que (U, V, ϕ ) é uma carta local Exemplos. Podemos agora considerar os exemplos (1) (8), que mostramos no começo desta seção, verificando que se trata de variedades topológicas. (1) Trata-se de uma curva em R 2, pois podemos considerar a carta global (X, R, ϕ), sendo ϕ(t) = (t, 2t). A função ϕ é claramente contínua e bijetora. Também a função ϕ 1 é contínua, por ser a restrição ao subespaço topológico X R 2 da projeção π : R 2 R, (x, y) x. Um argumento análogo vale para mostrar a continuidade de ϕ 1 nos próximos exemplos. (2) Trata-se de uma curva em R 2, que denotamos por S 1. De fato, seja U = S 1 {(x, y) R 2 : y > 0}. Obviamente U é aberto em S 1 e em todo ponto de U podemos considerar a carta (U, ( 1, 1), ϕ), sendo ϕ(t) = (t, 1 t 2 ). Ficam definidas cartas análogas intersetando S 1 com os semiplanos y < 0, x > 0 e x < 0. Desta maneira a circunferência toda fica coberta por quatro abertos homeomorfos a um aberto de R. (3) Trata-se de uma curva em R 2, considerando a carta global (X, R, ϕ), sendo ϕ(t) = (t, t ). (4) Trata-se de uma curva em R 3, considerando a carta global (X, R, ϕ), sendo ϕ(t) = (t, t, t). (5) Trata-se de uma curva em R 3, considerando a carta global (X, R, ϕ), sendo ϕ(t) = (t, t 2, 0). (6) Trata-se de uma superfície em R 3, considerando a carta global (X, R 2, ϕ), sendo ϕ(t, u) = (t, u, t + u).

10 10 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS (7) Trata-se de uma superfície em R 3, que denotamos por S 2. De fato, como já vimos, seja U = S 2 {(x, y, z) R 3 : z > 0}. Para todo ponto de U podemos considerar a carta (U, B 2, ϕ), sendo B 2 = {(t, u) R 2 : (t, u) < 1} e ϕ(t, u) = (t, u, 1 t 2 u 2 ). Ficam definidas cartas análogas intersetando S 2 com os semi-espaços z < 0, y > 0, y < 0, x > 0 e x < 0. Desta maneira S 2 toda fica coberta por seis abertos homeomorfos a um aberto de R 2. (8) Trata-se de uma superfície em R 3, considerando a carta global (X, R 2, ϕ), sendo ϕ(t, u) = (t, u, t ). Em relação à definição 1.1.2, podemos fazer algumas observações elementares mas relevantes. Observação R n mesmo é uma variedade topológica de dimensão n em R n, com a carta global (R n, R n, id). Mais em geral, um aberto conexo U R n é uma variedade topológica de dimensão n, com a carta global (U, U, id). Observação Se X R n for uma variedade de dimensão k, um subconjunto aberto conexo Ω X é uma variedade da mesma dimensão. De fato, para todo x X, seja (U, V, ϕ) uma carta local de X em x. Seja U a componente conexa de U Ω que contém x. A tripla (U, ϕ 1 (U ), ϕ ϕ 1 (U )) é uma carta local de Ω em x. Observação Todo ponto x R n é uma variedade topológica de dimensão 0 em R n, com a carta global ({x}, {0}, 0 x) Esféras e cubos. Os exemplos da superfície esférica e da circunferência são casos particulares do seguinte lema. Lema Seja S n R n+1 a n-esfera, ou seja, S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x x 2 n+1 = 1}. Para todo n N, a n-esfera é uma variedade topológica de dimensão n mergulhada em R n+1. Demonstração. Consideremos os abertos U i e U i de S n, sendo U i = S n {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x i > 0} e U i = S n {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x i < 0}. Para todo x = (x 1,..., x n+1 ) S n existe i {1,..., n + 1} tal que x i U i ou x i U i, pois a soma dos quadrados tem que ser igual a 1. Seja B n = {(x 1,..., x n ) R n : (x 1,..., x n ) < 1}. Consideramos as cartas locais (U i, B n, ϕ i ), sendo ϕ i (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x i 1, 1 x 2 1 x 2 n, x i,..., x n ), e (U i, B n, ϕ i), sendo ϕ i(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x i 1, 1 x 2 1 x 2 n, x i,..., x n ). As funções ϕ i e ϕ i são claramente contínuas e bijetoras. Também as inversas ϕ 1 i são contínuas, por serem a restrição ao subespaço topológico respetivamente U i e U i e ϕ 1 i da projeção π i : R n+1 R n, (x 1,..., x n+1 ) (x 1,... x i 1, x i+1,..., x n+1 ). Desta maneira S n toda fica coberta por 2n + 2 abertos homeomorfos a R n. Lema Seja C n R n+1 o n-cubo, ou seja, C n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : 1 x 1,..., x n+1 1 e i {1,..., n + 1} : x i = ±1}. Para todo n N, o n-cubo é uma variedade topológica de dimensão n mergulhada em R n+1. Demonstração. Mostremos que existe um homeomorfismo f : C n S n da seguinte maneira. Consideremos a função contínua F : R n+1 \{0} S n definida por

11 1.1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS MERGULHADAS EM Rn 11 F (x 1,..., x n+1 ) := (x 1,..., x n+1 ) 1 (x 1,..., x n+1 ). Seja f := F C n. A função f é bijetora, pois a imagem inversa através de F de qualquer ponto (x 1,..., x n+1 ) S n é a semirreta {λ(x 1,..., x n+1 ) : λ > 0}, a qual intercepta o n-cubo no único ponto tal que λ max{ x 1,..., x n+1 } = 1. Sendo C n compacto e S n de Hausdorff, também f 1 é contínua, portanto f é um homeomorfismo. Compondo as cartas de S n, definidas no lema 1.1.8, com f obtemos as cartas locais do n-cubo (f 1 (U i ), B n, f 1 ϕ i ) e (f 1 (U i), B n, f 1 ϕ i). Observamos que, para n = 0, temos que S 0 = C 0 = { 1, 1}, portanto neste caso há duas componentes conexas, cada uma sendo uma variedade de dimensão 0 em R. Observação Na demonstração dos lemas e cobrimos a n- esfera e o n-cubo com 2n + 2 cartas locais. Veremos no próximo exercício que é possível cobrir S n e C n só com duas cartas, mas não se pode achar uma carta global para a esfera toda ou para o cubo todo. De fato, se existisse uma carta global (S n, V, ϕ), o homeomorfismo ϕ : V S n teria um domínio não compacto, sendo aberto em R n, e um contra-domínio compacto, sendo um subconjunto fechado e limitado de R n+1. Claramente isso é absurdo. O mesmo vale para o cubo. Em geral, este argumento mostra que uma variedade compacta não pode admitir uma carta global. Exercício Cubra S n e C n com duas cartas locais. Resolução. Seja e n+1 = (0,..., 0, 1) o polo norte e seja U = S n \ {e n+1 }. Para todo x R n {0}, existe uma única reta passante por e n+1 e x, a qual intercepta U em um único ponto ϕ(x). Identificando R n {0} com R n, fica definida a carta local (U, R n, ϕ). Para verificar que ϕ é contínua, vamos calcular a expressão explícita. Dado x R n, a reta passante por x e e n+1 é o conjunto dos pontos da forma e n+1 + t(x e n+1 ) = (tx 1,..., tx n, 1 t), cuja norma ao quadrado é t 2 ( x 2 + 1) 2t + 1. Impondo que seja igual a 1 obtemos a equação t 2 ( x 2 + 1) 2t = 0, cujas soluções são t = 0 e t = 2 x A solução t = 0 corresponde a e n+1, que não pertence a U, portanto temos uma solução admissível, logo: (1) ϕ(x) = e n x 2 +1 (x e n+1). A inversa ϕ 1 é dita projeção estereográfica. Para mostrar que é contínua, vamos calculála explicitamente. Dado y = (y 1,..., y n+1 ) U, a reta passante por y e e n+1 é o conjunto dos pontos da forma e n+1 + t(y e n+1 ) = (ty 1,..., ty n, 1 + t(y n+1 1)). O único ponto desta resta que pertence a R n {0} corresponde ao valor de t tal que 1 + t(y n+1 1) = 0, ou seja, t = 1 y n+1 1, logo: (2) ϕ 1 (y) = e n+1 1 y n+1 1 (y e n+1). Observamos que ϕ fixa o equador S n 1 e manda a origem no polo sul e n+1. Substituindo o polo norte e n+1 pelo polo sul e n+1, obtemos a carta (U, R n, ϕ ), sendo U = S n \ { e n+1 } e (3) (4) ϕ (x) = e n x 2 +1 (x + e n+1) ϕ 1 (y) = e n y n+1 +1 (y + e n+1).

12 12 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Claramente U U = S n. Enfim, se f : C n S n for o homeomorfismo construído na demonstração do lema 1.1.9, obtemos as duas cartas (f 1 (U), R n, f 1 ϕ) e (f 1 (U ), R n, f 1 ϕ ). Observamos que acabamos de mostrar uma demonstração alternativa dos lemas e Gráficos de funções contínuas. Alguns dos exemplos (1) (8) são casos particulares do seguinte lema. Lema Seja f : R n R m uma função contínua. O gráfico X = {(x, f(x)) : x R n } é uma variedade de dimensão n em R n+m. Demonstração. Podemos considerar a carta global (X, R n, ϕ), sendo ϕ(t) = (t, f(t)) Espaços localmente euclidianos Por enquanto estudamos variedades mergulhadas em R n. Todavia, consideremos as definições 1.1.1, e O fato que X seja um subespaço de R n não desempenha nenhum papel. Só precisamos que X seja dotado de uma topologia, para que faça sentido dizer que U é aberto e que ϕ é um homeomorfismo, portanto podemos repetir as mesmas definições para um espaço topológico genérico X. Todavia, quando X não for um subespaço topológico de R n, não o chamamos ainda de variedade, por motivos que esclareceremos em seguida. Definição Sejam X um espaço topológico e x X um ponto fixado. Uma carta local de X em x de dimensão k é uma tripla (U, V, ϕ), onde: U X é uma vizinhança aberta conexa de x; V R k é um subconjunto aberto; ϕ: V U é um homeomorfismo. Se U = X, a carta local pode ser chamada também de carta global. Definição Um espaço topológico X é dito espaço localmente euclidiano de dimensão k se para todo x X existe uma carta local de X em x de dimensão k. Usamos a notação dim X = k. Na definição não precisamos pedir que X seja conexo, pois isso fará parte da definição de variedade (e não tem nada a ver com o conceito de localmente euclidiano ). Agora é natural perguntar-se se todo espaço localmente euclidiano conexo é homeomorfo a uma variedade mergulhada em R n. A resposta é negativa, mas se torna positiva acrescentando algumas hipóteses razoáveis à definição. Quando valerem essas hipóteses, chamamos o espaço de variedade topológica. Antes de mostrar os detalhes a respeito, vamos aprofundar a estrutura dos espaços localmente euclidianos. Lema Sejam X e Y espaços localmente euclidianos de dimensão respetivamente k e h. O produto cartesiano X Y, dotado da topologia produto, é um espaço localmente euclidiano de dimensão k + h.

13 1.2. ESPAÇOS LOCALMENTE EUCLIDIANOS 13 Demonstração. Seja (x, y) X Y. Sejam (U, V, ϕ) uma carta de X em x e (U, V, ψ) uma carta de Y em y. A tripla (U U, V V, ϕ ψ) é uma carta de X Y em (x, y). Por exemplo, podemos considerar o toro S 1 S 1 ou o cilindro S 1 R. Ambos são espaços localmente euclidianos de dimensão 2. Lema Sejam X um espaço localmente euclidiano de dimensão k e Y um espaço topológico. Se Y for homeomorfo a X, então Y é localmente euclidiano de dimensão k. Demonstração. Sejam f : Y X um homeomorfismo e x X. Seja (U, V, ϕ) uma carta local de dimensão k em x. A tripla (f 1 (U), V, f 1 ϕ) é uma carta local de Y em f 1 (x) de dimensão k. Podemos refinar o lema precedente, considerando homeomorfismos locais. Lema Sejam X um espaço localmente euclidiano de dimensão k e Y um espaço topológico. Se f : Y X for um homeomorfismo local, então Y é localmente euclidiano de dimensão k. Demonstração. Sejam y Y e (U, V, ϕ) uma carta local de X em f(y). Seja A uma vizinhança de y tal que f(a) é aberto em X e f A : A f(a) é um homeomorfismo. Seja U a componente conexa de f(a) U que contém f(y). A tripla (f 1 (U ), ϕ 1 (U ), f 1 ϕ ϕ 1 (U )) é uma carta local de Y em y de dimensão k. Lema Sejam X um espaço topológico e Y um espaço localmente euclidiano de dimensão k. Se f : Y X for um homeomorfismo local sobrejetor, então X é localmente euclidiano de dimensão k. Demonstração. Seja x X. Sendo f sobrejetor, existe y Y tal que f(y) = x. Seja (U, V, ϕ) uma carta local de Y em y. Seja A uma vizinhança de y tal que f(a) é aberto em X e f A : A f(a) é um homeomorfismo. Seja U a componente conexa de A U que contém y. A tripla (f(u ), ϕ 1 (U ), f ϕ ϕ 1 (U )) é uma carta local de X em x de dimensão k. Observação No lema é necessário pedir que f seja sobrejetor. De fato, seja por exemplo X R 2 a união das duas retas y = x e y = x. Seja Y = {(x, x) : x > 0} e denotemos por f : Y X o mergulho. A função f é um homeomorfismo local (não sobrejetor), Y é um espaço localmente euclidiano, mas mostraremos no exemplo que X não o é. Dada uma carta local (U, V, ϕ) em x X, a menos de uma translação em R k podemos supor que 0 V e ϕ(0) = x. Ademais, sendo V aberto, podemos restringilo a uma bola de raio ε > 0 em 0, restringindo coerentemente U e ϕ, portanto toda carta local pode ser reconduzida à forma (U, B ε (0), ϕ), sendo ϕ(0) = x. Enfim, como B ε (0) é homeomorfa a R n, poderíamos também supor que a carta seja da forma (U, R n, ϕ), sendo ϕ(0) = x. Portanto, um espaço topológico é localmente euclidiano de dimensão k se, e somente se, todo ponto admite uma vizinhança aberta homeomorfa a R k.

14 14 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Cartas locais e conexidade. Na definição impusemos que a dimensão das cartas fosse constante. Esta não é uma limitação significativa, por causa do seguinte lema. Lema Seja X um espaço topológico conexo tal que, para todo x X, existe uma carta local em x. Então a dimensão destas cartas é constante, logo X é um espaço localmente euclidiano da dimensão correspondente. Demonstração. Sejam (U, V, ϕ) e (U, V, ψ) duas cartas locais em x X, de dimensão respetivamente k e h. Consideremos a função ϕ 1 ψ ψ 1 (U U ) : ψ 1 (U U ) ϕ 1 (U U ). Trata-se de um homeomorfismo de um aberto de R h a um aberto de R k, portanto k = h pelo corolário Isso demonstra que a função d: X N, que associa a x X a dimensão de qualquer carta local em x, está bem definida. Seja d(x) = k. Uma carta local (U, V, ϕ) de dimensão k em x é também uma carta local de dimensão k em todos os pontos y U, portanto d(y) = k para todo y U. Isso mostra que a função d é localmente constante, portanto, sendo X conexo, é constante. Por causa do lema 1.2.8, o fato de impor que a dimensão seja a mesma em todo ponto só é uma restrição quando X não é conexo. Neste caso é importante ressaltar que não vale a volta do seguinte lema. Lema Se X for um espaço localmente euclidiano de dimensão k, então cada componente conexa de X o é também. Demonstração. Seja X α uma componente conexa de X e seja x X α. Seja (U, V, ϕ) uma carta local de X em x. Como U é conexo, temos que U X α, logo (U, V, ϕ) é também uma carta de X α. Como isso vale para todo x, X α é localmente euclidiano de dimensão k. Para mostrar que não vale a volta, observamos que, se X for localmente euclidiano, um ponto x X tem que admitir uma vizinhança aberta conexa, portanto toda componente conexa tem que ser aberta em X. Isso não é consequência do fato que toda componente conexa é localmente euclidiana. Por exemplo, se considerarmos Q R, toda componente conexa é um ponto, que é localmente euclidiano de dimensão 0, porém toda vizinhança aberta de um ponto não é conexa, portanto não é homeomorfa a R k para nenhum k. Analogamente, no espaço X = Q R k toda componente conexa é localmente euclidiana de dimensão k, porém X não o é. Por estes motivos, a afirmação correta é a seguinte. Lema Um espaço topológico X é localmente euclidiano de dimensão k se, e somente se, toda componente conexa é aberta em X e é localmente euclidiana de dimensão k. Demonstração. ( ) Segue imediatamente do lema ( ) Seja x X e seja X α a componente conexa de x. Seja (U, V, ϕ) uma carta local de X α em x, de dimensão k. Como X α é aberto em X por hipótese, a vizinhança U de x, que é aberta em X α, é aberta também em X. Logo, (U, V, ϕ) é uma carta local de dimensão k de X em x. Como isso vale para todo x, X é localmente euclidiano de dimensão k.

15 1.2. ESPAÇOS LOCALMENTE EUCLIDIANOS 15 Se não fixarmos a dimensão, podemos dar a seguinte definição. Definição Um espaço topológico X é dito espaço localmente euclidiano se para todo x X existe uma carta local (de qualquer dimensão) em x. O lema pode ser generalizado facilmente da seguinte maneira, com a mesma demonstração. Lema Um espaço topológico X é localmente euclidiano se, e somente se, para toda componente conexa X α de X valem as duas seguintes condições: X α é aberta em X; X α é um espaço localmente euclidiano. Segue do lema que cada componente conexa X α tem uma dimensão k α bem definida. É claro que X é de dimensão k se, e somente se, k α = k para todo α. Observamos que, na prática, se X não for conexo podemos estudar separadamente cada componente conexa de X, portanto incluiremos a conexidade na definição de variedade topológica, como já fizemos para variedades mergulhadas em R n. Enfim, o seguinte lema mostra que as noções de conexidade e de conexidade por caminhos coincidem em relação aos espaços localmente euclidianos. Lema Um espaço localmente euclidiano conexo X é conexo por caminhos. Demonstração. Seja x X e seja A X a componente conexa por caminhos de x. Provemos que A é aberto e fechado em X, logo, sendo X conexo e x A, temos que A = X. Se y A, seja η : I X um caminho de x a y. Seja (U, B ε (0), ϕ) uma carta local em y. Para qualquer y U fixado, seja ξ : I B ε (0) o segmento que une 0 a ϕ 1 (y ). O caminho (ϕ ξ) η une x a y, portanto U A. Isso mostra que A é aberto. Suponhamos pelo contrário que y X \ A. Seja (U, B ε (0), ϕ) uma carta local em y. Para qualquer y U fixado, seja por absurdo y A. Consideremos um caminho η : I X, que une x a y, e seja ξ : I B ε (0) o segmento que une ϕ 1 (y ) a 0. O caminho (ϕ ξ) η une x a y, portanto y A, o que é absurdo por hipótese, logo U X \ A. Isso mostra que X \ A é aberto, portanto A é fechado Contra-exemplos. Vamos agora mostrar alguns exemplos de espaços topológicos que não são localmente euclidianos. Já vimos que Q n não o é, pois as componentes conexas não são abertas. O mesmo vale para Q n R m, ou para (R \ Q) n. Todavia, ainda não mostramos exemplos de espaços topológicos conexos que não sejam localmente euclidianos. Exemplo Seja X = {(x, ±x) : x R}, ou seja, a união das retas y = x e y = x em R 2. Consideremos o ponto (1, 1) X. Nesse ponto existe a carta local (U, (0, 2), ϕ), sendo U = X ((0, 2) (0, 2)) e ϕ(t) = (t, t). Por isso, se X fosse uma variedade topológica mergulhada em R 2, teria dimensão 1. Mostremos que não existe nenhuma carta local de dimensão 1 em (0, 0). Seja por absurdo (U, V, ϕ) uma carta deste tipo. Podemos restringir U a Bε 2 X, sendo Bε 2 R 2 a bola de centro 0 e raio ε suficientemente pequeno; como U é conexo, ϕ 1 (U) é um intervalo, portanto obtemos uma carta da forma (Bε 2 X, ( δ, δ), ϕ), tal que ϕ(0) = (0, 0). Por isso ϕ ( δ,δ)\{0} : ( δ, δ) \ {0} Bε 2 X \ {(0, 0)} é um homeomorfismo, o que é

16 16 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS absurdo, pois o domínio tem duas componentes conexas, enquanto o contra-domínio tem quatro. Este exemplo pode ser generalizado a qualquer dimensão, por exemplo, mostrando que a união dos hiperplanos x 2 = x 1 e x 2 = x 1 em R n não é localmente euclidiana, mas para demonstrar isso rigorosamente precisamos usar ferramentas de topologia algébrica. 3 O leitor pode facilmente imaginar vários exemplos análogos, formados por curvas ou superfícies que se auto-interceptam em alguns pontos. Podemos encontrar outros exemplos usando o teorema de invariância do domínio. Lema Seja U R n uma variedade topológica mergulhada de dimensão n. Então U é um subconjunto aberto (conexo). Demonstração. Seja x U e seja (W, W, ϕ) uma carta local de U em x. Por definição W R n é aberto e ϕ: W W é um homeomorfismo. Pelo teorema , W é aberto em R n. Isso mostra que todo ponto x U tem uma vizinhança aberta em R n, logo U é aberto. Corolário Seja U R n um subconjunto conexo não aberto, com interior não vazio. Então U não é uma variedade topológica mergulhada, portanto não é localmente euclidiano. 4 Demonstração. Seja x U um ponto interno e seja W V uma vizinhança aberta de x em R n. A tripla (W, W, id) é uma carta local de U em x de dimensão n, portanto, se U fosse uma variedade, teria dimensão n. Isso é impossível pelo corolário Exemplo O disco D n = {x R n : x 1} e o cubo cheio C n = {(x 1,... x n ) R n : 1 x i 1} não são variedades topológicas mergulhadas, pois não são subconjuntos abertos de R n mas têm interior não vazio. Dados a, b R, com a < b, os intervalos [a, b], [a, b) e (a, b] não são variedades. Consideremos um quadrado cheio mergulhado em R 3, por exemplo X = {(x, y, 0) : 1 x, y 1}: nesse caso o interior de X em R 3 é vazio, porém X é homeomorfo ao quadrado cheio em R 2, o qual não é uma variedade por ter interior não vazio; por causa do lema 1.2.4, nem X é uma variedade. Mostraremos no capítulo 4 que os exemplos pertencem à classe das variedades com bordo Atlas e funções de transição A seguinte definição introduz um conceito fundamental no estudo dos espaços localmente euclidianos. 3 Seja X a união dos hiperplanos x 2 = x 1 e x 2 = x 1 em R n. Se existisse uma carta local de dimensão n 1 em um ponto em que os hiperplanos se interceptam, ficaria definido um homeomorfismo entre B n ε X e um aberto contrátil V de R n 1, que se restringe a um homeomorfismo entre B n ε X \ {0} e V \ {0}. Isso é absurdo, pois B n ε X \ {0} tem o mesmo tipo de homotopia da união a um ponto de três cópias de S n 2, portanto seu grupo de homologia de grau n 2 é Z Z Z, enquanto o grupo de homologia de grau n 2 de V \ {0} é Z. 4 É claro que, pelas definições e 1.2.2, um subespaço topológico conexo de R n é localmente euclidiano se, e somente se, é uma variedade topológica mergulhada.

17 1.3. ATLAS E FUNÇÕES DE TRANSIÇÃO 17 Definição Seja X um espaço localmente euclidiano. Um atlas de X é uma família de cartas locais Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I tal que a família U := {U i } i I é uma cobertura aberta de X. Usamos a notação Φ U para indicar que U é a cobertura subjacente ao atlas Φ. A definição afirma que um atlas é uma família de cartas locais tal que todo ponto de X pertence ao menos a uma carta da família. Exemplo A família de cartas locais {(U 1, B n, ϕ 1 ), (U 1, B n, ϕ 1),..., (U n+1, B n, ϕ n+1 ), (U n+1, B n, ϕ n+1)}, considerada na demonstração do lema 1.1.8, é um atlas de S n. Exemplo A família {(U, R n, ϕ), (U, R n, ϕ )}, formada pelas duas cartas locais do exercício , é um atlas de S n. Exemplo Se um espaço admite uma carta global, aquela carta sozinha forma um atlas. Seja A a classe dos atlas de um espaço localmente euclidiano X. A família A é parcialmente ordenada por inclusão. Ademais, se {(Φ α ) Uα } α A for uma família de atlas de X, a união Φ U := α A (Φ α) Uα é também um atlas de X, pois, como cada U α é uma cobertura de X, a união U = α A U α o é também. Logo, na família A existe um máximo, que consiste na união de todos os atlas de X. Este atlas contém todas as cartas locais de X Atlas e conexidade. Se X for um espaço localmente euclidiano não conexo, um atlas de X é formado por um atlas para cada componente conexa de X. De fato, seja X = α A X α a decomposição de X em componentes conexas e seja Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I um atlas de X. Para cada i I, como U i é conexo por hipótese, existe α A tal que U i X α. Para cada α A fixado, seja I α = {i I : U i X α } e seja (Φ α ) Uα = {(U i, V i, ϕ i )} i Iα. Temos que I = α A I α, logo Φ U = α A (Φ α) Uα. Como (Φ α ) Uα é um atlas de X α, decompusemos Φ U na união disjunta de um atlas para cada componente conexa de X. Isso mostra que não é restritivo considerar espaços localmente euclidianos conexos. Por isso, daqui em diante analisaremos atlas de espaços conexos, subentendendo que, para espaços genéricos, cada componente conexa pode ser estudada separadamente Atlas e homeomorfismos. Sejam X um espaço localmente euclidiano, Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I um atlas de X, Y um espaço topológico e ψ : Y X um homeomorfismo. Por causa do lema 1.2.4, também Y é um espaço localmente euclidiano. É fácil verificar que o homeomorfismo ψ induz um atlas em Y. De fato, como fizemos na demonstração do lema 1.2.4, para cada carta local (U i, V i, ϕ i ) de X podemos construir a carta local (ψ 1 (U i ), V i, ψ 1 ϕ i ) de Y. A família formada por estas cartas é um atlas de Y. Notação Dados um atlas Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I de X e um homeomorfismo ψ : Y X, denotamos por ψ 1 (Φ U ) := {(ψ 1 (U i ), V i, ψ 1 ϕ i )} i I o atlas de Y induzido por ψ. Equivalentemente, podemos usar a notação ψ 1 (Φ) ψ 1 (U), sendo ψ 1 (U) = {ψ 1 (U i )} i I.

18 18 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Funções de transição. Fixemos um atlas Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I de um espaço localmente euclidiano conexo X de dimensão k. Para i, j I, definimos U ij := U i U j. Claramente U ij pode não ser conexo. Se U ij, fica definida a seguinte função: (5) ϕ ij := ϕ 1 j ϕ i ϕ 1 i (U ij ) : ϕ 1 i (U ij ) ϕ 1 j (U ij ). Trata-se de um homeomorfismo entre dois abertos de R k. Seja U ijk := U i U j U k. Vale a seguinte relação: (6) ϕ jk ϕ 1 j (U ijk ) ϕ ij ϕ 1 (U ijk ) = ϕ ik ϕ 1 Escrevemos mais rapidamente ϕ jk ϕ ij = ϕ ik. i i (U ijk ). Observação Escolhendo i = j = k em (6), deduzimos que ϕ ii ϕ ii = ϕ ii, logo, sendo ϕ ii um homeomorfismo, ϕ ii = id Vi. Consequentemente, escolhendo i = k em (6), obtemos que ϕ ji = ϕ 1 ij. Estas duas relações seguem imediatamente da definição (5). Definição Seja X um espaço localmente euclidiano e fixemos um atlas Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I de X. As funções ϕ ij, definidas por (5), são chamadas de funções de transição de X relativas a Φ U. Exercício Calcule as funções de transição do atlas de S n definido na demonstração do lema e do atlas de C n definido na demonstração do corolário Resolução. Consideremos duas cartas (U i, B n, ϕ i ) e (U j, B n, ϕ j ). Temos que U ij = S n {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x i, x j > 0}. Os dois homeomorfismos são dados por: ϕ i (x 1,..., x n ) = ( x 1,..., x i 1, 1 x 2 1 x2 n, x i,..., x n ) ϕ j (x 1,..., x n ) = ( x 1,..., x j 1, 1 x 2 1 x2 n, x j,..., x n ). Consideremos a função de transição ϕ ij = ϕ 1 j ϕ i ϕ 1 i (U ij ). Supondo, a menos da ordem, que i < j, o domínio é B n {(x 1,..., x n ) R n : x j 1 > 0}, enquanto o contra-domínio é B n {(x 1,..., x n ) R n : x i > 0}. A função é definida por: (7) ϕ ij (x 1,..., x n ) = ( x1,..., x i 1, 1 x 2 1 x2 n, x i,..., x j 2, x j,..., x n ). Considerando as cartas U i e U j, chamamos de ϕ ij a função de transição correspondente. A fórmula que define ϕ ij continua sendo a (7), mas o domínio é B n {(x 1,..., x n ) R n : x j 1 < 0}. Considerando as cartas U i e U j, obtemos: (8) ϕ i j (x 1,..., x n ) = ( x1,..., x i 1, 1 x 2 1 x2 n, x i,..., x j 2, x j,..., x n ). A mesma expressão vale para ϕ i j, mas o domínio de ϕ i j é B n {(x 1,..., x n ) R n : x j 1 > 0}, enquanto o domínio de ϕ i j é Bn {(x 1,..., x n ) R n : x j 1 < 0}. Enfim, é fácil verificar que as funções de transição do atlas de C n são as mesmas. Observação Conforme a notação 1.3.5, as funções de transição do atlas ψ 1 (Φ U ) coincidem com as de Φ U. De fato, a função de transição da carta (ψ 1 (U i ),

19 1.3. ATLAS E FUNÇÕES DE TRANSIÇÃO 19 V i, ψ 1 ϕ i ) à carta (ψ 1 (U j ), V j, ψ 1 ϕ j ) é (ψ 1 ϕ j ) 1 (ψ 1 ϕ i ) = ϕ 1 j ψψ 1 ϕ i = ϕ ij (subentendendo as restrições adequadas). As funções de transição determinam a estrutura global de X. De fato, o homeomorfismo ϕ i identifica cada aberto U i X com V i R k e a função de transição ϕ ij identifica um subconjunto aberto de V i com um subconjunto aberto de V j. Dessa maneira o espaço X fica descrito, a menos de homeomorfismo, como a união de uma família de abertos de R k, colados entre si através das funções de transição. Podemos afirmar que as funções de transição são as instruções que explicam como montar X a partir de uma família de peças euclidianas. Vamos analisar mais em detalhe esta ideia. Definição Uma família de peças euclidianas é uma tripla (9) ({V i } i I, {V ij } i,j I, {ϕ ij } i,j I ) tal que: (i) V i R k é um subconjunto aberto conexo; (ii) V ij V i é um subconjunto aberto (que pode ser vazio); (iii) ϕ ij : V ij V ji é um homeomorfismo; (iv) ϕ jk Vjki ϕ ij Vijk = ϕ ik Vikj, sendo V ijk := V ij V ik. Seja X um espaço localmente euclidiano conexo e seja Φ U = {(U i, V i, ϕ i )} i I um atlas de X. Este atlas define uma família de peças euclidianas da seguinte maneira, conforme a notação (9): a família {V i } i I é uma componente de Φ U mesmo, V ij := ϕ 1 i (U ij ) e ϕ ij é definido por (5). A condição (iv) da definição é equivalente à (6). Reciprocamente, suponhamos de partir de uma família de peças euclidianas da forma (9). Podemos construir um espaço localmente euclidiano X da seguinte maneira: ( (10) X := V i )/, x ϕ ij (x) x V ij. i I O leitor pode verificar que a relação é uma relação de equivalência, graças à condição (iv) da definição (v. observação 1.3.6), portanto X é um espaço topológico bem definido. Trata-se da ideia intuitiva da qual partimos, ou seja, colamos os abertos euclidianos V i através dos homeomorfismos ϕ ij, montando o espaço X. Vamos verificar que X é localmente euclidiano, construindo um atlas. Seja π : i I V i X a projeção ao quociente. Um atlas de X é dado por (11) Φ U := {(π(v i ), V i, π Vi : V i π(v i ))}. As funções de transição correspondentes são precisamente as funções ϕ ij. maneira, acabamos de construir a seguinte correspondência: (12) { Espaços loc. euclidianos com um atlas fixado } Ξ Ψ { Famílias de peças euclidianas }. Desta O leitor pode verificar que a composição Ξ Ψ é a identidade. A composição Ψ Ξ não coincide precisamente com a identidade, mas é canonicamente isomorfa à identidade.

20 20 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Isso significa o seguinte. Partindo de um par (X, Φ U ) e aplicando Ψ Ξ, obtemos o espaço (10), construído a partir de Ξ(X, Φ U ), que denotamos por X, com o atlas (12), que denotamos por Φ U. Não podemos afirmar que X = X, mas existe um homeomorfismo canônico η : X X, definido mandando [x] π(v i ) em ϕ i (x) U i. Ademais, conforme a notação 1.3.5, temos que η(φ U ) = Φ U, portanto η manda o par (X, Φ U ) no par (X, Φ U). As funções de transição coincidem por causa da observação Isso demonstra que as duas funções Ξ e Ψ, definidas em (12), são inversas entre si a menos de homeomorfismo canônico, portanto os espaços localmente euclidianos de um lado e as famílias de peças euclidianas do outro são essencialmente o mesmo conceito. Para completar esta construção, teríamos que tirar a dependência do atlas fixado na correspondência (12). Por isso, deveríamos introduzir uma adequada relação de equivalência entre as famílias de peças euclidianas, de modo que a cada classe de equivalência corresponda uma única classe de homeomorfismo de espaços localmente euclidianos. Isso definiria as seguintes bijeções Ξ e Ψ, inversas entre si: (13) { Espaços loc. euclidianos } / hom. Ξ Ψ { Fam. de peças euclidianas } /. Evitamos de mostrar a construção da relação, pois não será necessário conhecer os detalhes a respeito nos próximos capítulos Variedades topológicas abstratas Para justificar a definição que daremos de variedade topológica, precisamos discutir alguns detalhes técnicos, que é bem conhecer para trabalhar neste contexto. Vimos que um espaço localmente euclidiano é localmente homeomorfo a R k, portanto o imaginamos como um espaço suficientemente regular. Contudo, se não acrescentarmos algumas hipóteses, esta regularidade não é garantida. Por exemplo, a definição pode ser satisfeita também por espaços não de Hausdorff, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo Seja X = R {0}, ou seja, acrescentamos mais uma cópia de 0 a R. Indicamos por R 1 e R 2 os dois subconjuntos de X obtidos considerando uma das duas cópias de 0 e os demais números reais. Dotamos X da seguinte topologia: um subconjunto A X é aberto se, e somente se, A R 1 e A R 2 são abertos a respeito da topologia euclidiana. Equivalentemente, se trata da topologia gerada pelos intervalos abertos de R 1 e R 2. O espaço X, com esta topologia, é localmente euclidiano de dimensão 1, pois, para todo ponto x X, existe um intervalo aberto que contém x, homeomorfo ao intervalo correspondente de R. Todavia, X não é um espaço de Hausdorff, pois, se U for uma vizinhança de 0 R 1 e V for uma vizinhança de 0 R 2, necessariamente U V. O espaço do exemplo precedente dificilmente pode ser considerado uma curva. Uma construção análoga pode ser repetida para espaços de qualquer dimensão, portanto a condição de Hausdorff deve ser imposta por definição.

21 1.4. VARIEDADES TOPOLÓGICAS ABSTRATAS 21 Outro fato que pode criar problemas é o seguinte. Um espaço localmente euclidiano pode não ser paracompacto, portanto pode não acontecer que todo atlas admita uma partição da unidade subordinada. Como já afirmamos no vol. 0, as partições da unidade são uma ferramenta fundamental no estudo das variedades, portanto é necessário impor também a paracompacidade por definição. O seguinte lema mostra uma condição equivalente e bastante natural. Lema Um espaço localmente euclidiano, conexo e de Hausdorff é paracompacto se, e somente se, é de base enumerável. 5 Demonstraremos o lema no apêndice??. Não é complicado construir um exemplo de espaço localmente euclidiano, conexo e de Hausdorff que não é de base enumerável (equivalentemente, não é paracompacto), mas precisamos de algumas ferramentas de teoria dos conjuntos; mostraremos os detalhes no apêndice??. Considerando tudo isso, vamos dar a seguinte definição, mais restritiva que a Definição Um espaço topológico X é dito variedade topológica de dimensão k se é conexo, de Hausdorff, de base enumerável e localmente euclidiano de dimensão k. Quando X for um subespaço topológico de R n, é sempre de Hausdorff e de base enumerável, portanto voltamos à definição de variedade mergulhada em R n. Com estas hipóteses podemos responder à pergunta que formulamos depois da definição Teorema Para toda variedade topológica X existe n N tal que X é homeomorfa a uma variedade mergulhada em R n. A demonstração será mostrada no capítulo Produto cartesiano. O seguinte lema é a restrição do às variedades. Lema Sejam X e Y variedades topológicas de dimensão respetivamente k e h. O produto cartesiano X Y, dotado da topologia produto, é uma variedade topológica de dimensão k + h. Demonstração. Segue imediatamente do lema e do fato que o produto cartesiano de dois espaços conexos, de Hausdorff e de base enumerável satisfaz as mesmas propriedades Variedades e homeomorfismos. Analogamente, o seguinte lema é a restrição do às variedades. Lema Sejam X uma variedade topológica e Y um espaço topológico. Se Y for homeomorfo a X, então Y é uma variedade topológica e dim Y = dim X. 5 Tirando a conexidade das hipóteses, um espaço localmente euclidiano e de Hausdorff é de base enumerável se, e somente se, é para-compacto e tem uma quantidade finita ou enumerável de componentes conexas.

22 22 1. VARIEDADES TOPOLÓGICAS Demonstração. Segue imediatamente do lema e do fato que, para um espaço topológico, as propriedades de ser conexo, de Hausdorff e de base enumerável são invariantes por homeomorfismo Variedades e homeomorfismos locais. O lema não pode ser enunciado para as variedades sem variações. De fato, seja f : Y X um homeomorfismo local. O fato que X seja conexo não implica que Y o seja, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo Sejam X = R e Y = R R. Seja f : Y X a função que atua como a identidade em ambas as cópias de R em Y. Claramente f é um homeomorfismo local, X é conexo mas Y não o é. Analogamente, o fato que X seja de Hausdorff não implica que Y o seja, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo Sejam X = R, Y o espaço do exemplo e f : Y X a função que manda cada número real em si mesmo, mandando as duas origens de Y em 0. A função f é um homeomorfismo local, X é um espaço de Hausdorff mas Y não o é. Enfim, o fato que X seja de base enumerável não implica que Y o seja, mesmo se os dois são conexos e de Hausdorff. Mostraremos um exemplo no apêndice??. Por estes motivos, para enunciar o lema em relação às variedades, precisamos acrescentar por hipótese que o espaço Y seja conexo, de Hausdorff e de base enumerável, como mostra o seguinte lema. Lema Sejam X uma variedade topológica e Y um espaço topológico conexo, de Hausdorff e de base enumerável. Se f : Y X for um homeomorfismo local, então Y é uma variedade topológica e dim Y = dim X. Demonstração. Segue imediatamente do lema Em relação ao lema , precisamos acrescentar menos hipóteses. De fato, seja f : Y X um homeomorfismo local sobrejetor. Pelos lemas e , se Y for conexo e de base enumerável, então também X o é. Isso não vale a respeito da condição de Hausdorff, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo Seja X = S 1 {1}, ou seja, acrescentamos mais uma cópia de 1 a S 1. Dotamos X da topologia construída analogamente à do exemplo 1.4.1, a partir da topologia euclidiana de S 1. Sejam Y = S 1 e f : Y X a função que manda z em z 2, mandando 1 em uma cópia de 1 e 1 na outra. A função f é um homeomorfismo local sobrejetor, Y é um espaço de Hausdorff mas X não o é. Por este motivo, para enunciar o lema em relação às variedades, só precisamos acrescentar por hipótese que o espaço X seja de Hausdorff, como mostra o seguinte lema. Lema Sejam X um espaço topológico de Hausdorff e Y uma variedade topológica. Se f : Y X for um homeomorfismo local sobrejetor, então X é uma variedade topológica e dim X = dim Y.