Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta)

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1 Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta) Ryuichi Fukuoka: DMA-UEM 18 de outubro de Introdução Comecemos com um exemplo para ilustrar o tema do nosso mini-curso. Mais tarde formalizaremos as idéias expostas nesta seção. Imagine que você está em um balão, sobrevoando um parque que possui um lago em seu centro (Vide figura 1). Sua margem é uma curva fechada e simples. Lá embaixo você nota um sujeito com um enorme sombrero mexicano, caminhando pela pista que circunda o lago. Existe uma enorme seta desenhada no sombrero, que está apontando para a frente. Ele sempre anda para a frente, no sentido anti-horário. O tempo passa e você se dá conta que o sujeito acaba de dar uma volta no parque. Com isso demonstramos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π... O que uma coisa tem a ver com a outra? O entendimento deste fato nos levará à nossa primeira generalização a respeito do teorema sobre a soma interna dos ângulos de um triângulo no plano. Suponha, por simplicidade, que a pista tenha formato de uma circunferência. Por conveniência, coloque a pista em um plano cartesiano, com o centro na origem e raio r. Suponha que o nosso mexicano comece a sua caminhada no ponto (r, 0). Podemos identificar a seta no sombrero mexicano com o vetor (0, 1). A medida que o mexicano vai caminhando no sentido anti-horário, a seta vai se inclinando e apontando para a esquerda, até que o nosso amigo chega no ponto (0, r). Nesse ponto, a seta no chapéu do mexicano pode ser identificado com o vetor ( 1, 0). A viagem prossegue no sentido anti-horário, até que no ponto ( r, 0), a seta do sombrero pode ser identificada com o vetor (0, 1). Observe 1

2 Figura 1: que depois de dar uma volta completa, a seta no sombrero do mexicano pode ser novamente identificado com o vetor (1, 0), mas durante a viagem, a seta deu uma volta no sentido anti-horário. Em outras palavras, se identificarmos a seta a um vetor unitário e o colocarmos no ciclo trigonométrico, esse vetor terá completado uma volta de 2π radianos. Afirmação: Se o mexicano anda no sentido anti-horário de uma curva fechada e simples C que possui uma reta tangente em todos os seus pontos, então a rotação total da seta será de 2π radianos: De fato, podemos deformar C gradualmente, através de uma família de curvas fechadas e simples com uma reta tangente em todos os pontos, até C virar uma circunferência (vide figura???). Peça para o mexicano dar uma volta em cada uma dessas curvas, sempre no sentido anti-horário e com a seta voltada para frente (como no exemplo do lago). Já notamos que na circunferência, a seta completará uma rotação de 2π radianos. Além disso, em cada uma das curvas, a seta completará uma rotação que é múltiplo de 2π (omitiremos o termo radianos daqui em diante). Mas a deformação das curvas se dá de modo gradual. Portanto, em todas as curvas da família, a seta completará uma rotação de 2π. Qual a relação disso com a soma interna dos ângulos de um triângulo? Antes 2

3 disso, definamos polígono: Um polígono é uma seqüência finita de segmentos de reta tal que as extremidades estão identificadas, formando uma curva fechada e simples (vide figura???). Nos pontos onde as extremidades dos segmentos se identificam, podemos definir um ângulo externo, conforme mostra a figura???. Parametrize o polígono de modo anti-horário. O ângulo externo de um vértice é o ângulo formado entre vetor que incide no vértice e o vetor que sai do vértice. Tome uma circunferência C e um triângulo T. Chame os vétices do triângulo de V 1, V 2 e V 3. Você pode imaginar uma circunferência se deformando até se transformar em um triângulo (vide figura???). Se o mexicano caminha no sentido anti-horário de cada curva da deformação, observamos que a variação angular total da seta do sombrero é sempre 2π. Pela figura??? podemos perceber que a soma dos ângulos externos α 1, α 2 e α 3 coincide com a variação angular da seta do sombrero, que é 2π. Com isso, mostramos que a soma dos ângulos externos de um triângulo é 2π. Mas observe que o a soma do ângulo interno β i de um vértice V i com o respectivo ângulo externo α i é igual a π para i = 1, 2, 3. Daí temos que 2π = β i = (π α i ) = 3π α i = π que é o teorema clássico da soma dos ângulos internos de um triângulo. Seja P um polígono qualquer, cujos vértices serão indicados por V 1,..., V k e os respectivos ângulos externos por α 1,..., α k. Podemos deformar uma circunferência até obtermos P, de maneira análoga ao que foi feito com o triângulo. Além disso, podemos mostrar, do mesmo modo, que a soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 2π. Se β 1,..., β k são os ângulos internos dos vértices, temos que k k β i = π α i = (k 2)π, que é a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de k lados. Com isso concluímos que o teorema sobre a soma dos ângulos internos de um polígono se expressa mais naturalmente como um teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polígono. Na próxima seção, formalizaremos aquilo que foi feito intuitivamente nesta seção. α i 3

4 2 Formalização das idéias da Seção 1. Nesta seção, formalizaremos as idéias expostas na seção anterior. Definição 2.1 Uma curva planar é uma função f : I R 2, onde I é um intervalo (aberto, fechado, semi-fechado ou inclusive o próprio R). Dizemos que f é regular, se f for diferenciável e se f (t) (0, 0) para todo t I. Observação 2.2 Recordamos que a noção de diferenciabilidade de f na fronteira a de um intervalo [a, b) é dado pela existência de uma extensão diferenciável f : (a ε, b) R 2 de f, ou seja, f é uma função diferenciável tal que f(t) = f(t) para todo t [a, b). A noção de regularidade em a se define da mesma maneira. Observação 2.3 Dada uma curva planar f : I R 2, ela pode ser vista como a trajetória de uma partícula ao longo do intervalo de tempo I. Neste contexto, f (t) pode ser vista como o vetor velocidade à curva no ponto f(t). Em particular f (t) é paralelo à reta tangente da curva no ponto f(t) (vide figura). Definição 2.4 A imagem de uma curva f é denominada o traço de f. Exemplo 2.5 Considere a curva f : R R 2 definida por f(t) = (cos t, sen t). Primeiramente observe que a curva é regular, pois f (t) 1, onde é a norma do vetor. Além disso, note que o seu traço é a circunferência de raio unitário no plano centrado na origem (Exercício). Teorema 2.6 Seja f : I R uma curva regular. Então existe um intervalo J R e uma função diferenciável h : J I tal que (f h) (s) = 1 para todo s J. Definição 2.7 Dizemos que uma curva f : J R está parametrizada por comprimento de arco se f (s) = 1 para todo s J. Observação 2.8 Lembre-se que se considerarmos I como a variável tempo e f como a função trajetória, o teorema 2.6 diz simplesmente que podemos percorrer o traço de f com velocidade 1. Daqui em diante, sempre que utilizarmos o intervalo J, estará implícito que estaremos utilizando a parametrização por comprimento de arco. Considere uma curva f = (f 1, f 2 ) : J R 2, onde (f 1, f 2 ) é a decomposição de f em coordenadas. (f 1, f 2) é o campo de vetores tangente ao longo de f. Temos duas escolhas para o vetor normal unitário a f: (f 2, f 1) e ( f 2, f 1). As curvas fechadas simples são muito importantes para a teoria que segue: 4

5 Definição 2.9 Dizemos que uma curva f : [a, b] R 2 é fechada e simples se f(x) = f(y) se e somente se x = y ou {x, y} = {a, b} Além disso, dizemos que uma curva fechada e simples f : I R 2 é regular se f é regular e f (a) = f (b). Uma curva fechada e simples e regular é k vezes diferenciável (ou derivável) se f é k vezes diferenciável e além disso f (i) (a) = f (i) (b) para 1 i k. Estaremos estudando freqüentemente curvas regulares simples e fechadas, e neste caso, escolheremos f de modo escolheremos. Definição 2.10 Observe que mudamos um pouco a linguagem em relação à Seção 1. O que chamávamos de curva na Seção 1 é o traço de uma curva, sendo que uma curva é uma função de I em R 2 por definição. Isso não trará confusão, pois os objetos matemáticos que definiremos para uma curva serão corresponderão à objetos análogos definidos no traço de uma curva. Considere uma curva??? curvatura de uma curva?????? curvatura como medida de variação angular?????? Teorema de Gauss-Bonnet para curvas fechadas simples???. 3 Poliedros bidimensionais Comecemos pela definição de polígono: Definição 3.1 Uma linha poligonal é uma seqüência de segmentos de reta no plano, com a extremidade de um segmento ligado a uma extremidade do segmento posterior, de modo que a união dos segmentos formam uma linha quebrada no plano. Um polígono é a região limitada por uma linha poligonal fechada que não se auto intercepta (o polígono inclui a linha poligonal). Os pontos da linha poligonal que formam ângulos são chamados de vértices do polígono. Cada segmento da linha poligonal é chamada de aresta do polígono. Definição 3.2 Um poliedro Π é um subconjunto de R 3 tal que: 1. Π pode ser escrito como uma união n P i de polígonos. 2. Dois polígonos P j e P k são disjuntos ou eles se interceptam em uma aresta em comum. 5

6 4 Uma noção do Teorema de Gauss Bonnet para superfícies fechadas Seja M R 3 uma superfície... 6