MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 2

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1 MAT036 - Geometria Diferencial 1 - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 19 de outubro de Superfícies - parte ; Exercício 1. Mostre que, em um ponto hiperbólico, as direções principais bissectam as direções assintóticas. Exercício. Seja C S uma curva regular sobre uma superfície S com curvatura Gaussiana K > 0. Mostre que a curvatura κ de C em p S satisfaz κ min( k 1, k ), onde k 1 e k são as curvaturas principais de S em p. Exercício 3. Mostre que se a curvatura média é zero em um ponto não-planar, então esse ponto tem as direções assintóticas ortogonais. Exercício 4. Seja x(u, v) uma superfície parametrizada regular. Denotemos por k n (θ) a curvatura normal de x em q = (u 0, v 0 ), em uma direção do plano tangente, que forma um ângulo θ com uma direção principal. Prove que: (i) H(q) = 1 ( ( )) kn (θ) + k n θ + π ; (ii) H(q) = m 1 (k n(θ 1 ) + + k n (θ m )), onde θ k = kπ/m, k = 1,,..., m e m > ; (iii) H(q) = π 1 π 0 k n (θ) dθ. (Dica: Em (ii) prove primeiro que m k=1 cos(θ k) = 0. Números complexos são seus amigos.) Exercício 5. Suponha que o plano osculador de uma linha de curvatura C S, que não é tangente a uma direção assintótica, faça um ângulo constante com o plano tangente a S ao longo de C. Prove que C é uma curva plana. Exercício 6. Mostre que os meridianos de um toro são linhas de curvatura. Exercício 7. Mostre que se H 0 em S e S não tem pontos planares, então a aplicação de Gauss N : S S tem a seguinte propriedade: dn p (w 1 ), dn p (w ) = K(p) w 1, w, para todo p S e w 1, w T p S. Mostre que a condição acima implica que o ângulo de as curvas que se intersectam em S e o ângulo das suas imagens esféricas (suas imagens via N em S ) são iguais a menos de sinal. (Dica: se α é uma curva que realiza um vetor tangente v T p S, i.e., α(0) = p e α (0) = v, então vale que dn p (v) = d dt t=0 N(α(t)).) terek@ime.usp.br 1

2 Exercício 8. Mostre que para o ponto (0, 0, 0) do hiperboloide z = axy temos K = a e H = 0. Exercício 9. Determine as curvas assintóticas e as linhas de curvatura de z = xy. Exercício 10 (Superfície de Enneper). Considere a superfície parametrizada: ) x(u, v) = (u u3 3 + uv, v v3 3 + vu, u v e mostre que: (i) Os coeficientes da Primeira Forma Fundamental são: E(u, v) = G(u, v) = (1 + u + v ) e F 0. (ii) Os coeficientes da Segunda Forma Fundamental são (iii) As curvaturas principais são e = g e f 0. k 1 (u, v) = k (u, v) = (iv) As linhas de curvatura são as curvas coordenadas. (v) As linhas assintóticas são u + v = cte. e u v = cte.. (1 + u + v ) Exercício 11. Considere a superfície obtida pela rotação da curva y = x 3, com x ] 1, 1[, em torno da reta x = 1. Mostre que os pontos obtidos pela rotação da origem (0, 0) da curva são pontos planares da superfície. Exercício 1 (Superfícies paralelas). Seja x uma superfície parametrizada regular. Uma superfície paralela a x é uma superfície parametrizada onde a é uma constante e N é a normal à x. y(u, v) = x(u, v) + a N(u, v), (i) Prove que y u y v = (1 ah + a K)(x u x v ), onde K e H são as curvaturas média e Gaussiana de x. (ii) Prove que em pontos regulares, as curvaturas média e Gaussiana de y são dadas por H ak 1 ah + a K e K 1 ah + a K. (iii) Prove que se x tem curvatura média constante igual a c = 0 e a superfície paralela y dista de x de a = 1/(c), então a curvatura Gaussiana da superfície paralela é 4c. Exercício 13. Prove que não existem superfícies mínimas compactas (i.e., fechadas e limitadas) em R 3. (Dica: verifique que toda superfície mínima tem curvatura Gaussiana negativa e que toda superfície compacta tem pelo menos um ponto com curvatura Gaussiana positiva, analisando o máximo de f : S R dada por f (p) = p, p.)

3 Exercício 14. Verifique que as superfícies x(u, v) = (u cos v, u sen v, log u), u > 0, x(u, v) = (u cos v, u sen v, v), tem a mesma curvatura Gaussiana nos pontos x(u, v) e x(u, v), mas que a aplicação x x 1 não é uma isometria. Isto mostra que a recíproca do Theorema Egregium de Gauss é falsa. Exercício 15. Se as curvas coordenadas formam uma rede de Chebyshev, então E = G = 1 e F(u, v) = cos θ(u, v) para alguma reparametrização conveniente de x. Neste caso, mostre que K = θ uv sen θ. Exercício 16. Existe uma superfície x(u, v) com E = g = 1, F = f = 0, e G = e = cos u? (Dica: Use as equações de Codazzi-Mainardi e conclua que u deve ser da forma nπ para n inteiro. Isso é um problema? Por que?) Superfícies Regradas Exercício 17. Mostre que o helicoide é uma superfície regrada, que a sua linha de estricção é o eixo Oz, e que seu parâmetro de distribuição é constante. Exercício 18. Mostre que no hiperboloide de revolução x + y z = 1, o paralelo com menor raio é a linha de estricção, que as geratrizes a intersectam sob um ângulo constante, e que o parâmetro de distribuição é constante. Exercício 19. Seja x(t, v) = α(t) + vw(t) uma superfície desenvolvível. Prove que em um ponto regular temos N v, x v = N v, x t = 0. Conclua que o plano tangente a uma superfície desenvolvível é constante ao longo dos pontos regulares de uma geratriz fixada. 3 Geodésicas e afins Exercício 0. (i) Mostre que se uma curva C S é ao mesmo tempo uma linha de curvatura e uma geodésica, então C é uma curva plana. (ii) Mostre que se uma geodésica (que não seja uma reta) é uma curva plana, então ela é uma linha de curvatura. (iii) Dê um exemplo de uma linha de curvatura que é uma curva plana mas que não é uma geodésica. Exercício 1. Prove que uma curva C S é ao mesmo tempo uma linha assintótica e uma geodésica se e somente C é uma reta (ou um segmento de linha reta). (Sugestão: se α parametriza C, olhe para α (t) = α (t) tan + α (t) nor.) 3

4 Exercício. Calcule a curvatura geodésica do paralelo superior do toro gerado pela rotação do círculo (x a) + z = r, y = 0 em torno do eixo z. (O paralelo superior é a órbita do ponto (a, r), como você provavelmente adivinhou ) Exercício 3. Mostre que a curvatura geodésica de uma curva orientada C S em um ponto p C é igual à curvatura da curva plana obtida projetando-se C sobre T p S ao longo da direção normal à S em p. (Dica: lembre que κ g + κ n = κ e aplique o Teorema de Meusnier ao cilindro projetante (todas as curvas numa superfície passando por p com a mesma direção tangente tem todas a mesma curvatura normal)) Exercício 4. Seja S R 3 uma superfície regular homeomorfa a uma esfera com K = 0. Seja Γ S uma geodésica simples e fechada, e A, B S as regiões de S que tem Γ como fronteira. Sendo N a aplicação de Gauss de S, prove que N(A), N(B) S tem a mesma área. Exercício 5. Prove que em uma superfície com curvatura Gaussiana constante, os círculos geodésicos têm curvatura geodésica constante. Exercício 6. Um difeomorfismo ϕ : S 1 S é chamado uma aplicação geodésica se leva geodésicas de S 1 em geodésicas de S. Se U é uma vizinhança de p em S 1, ϕ : U S é uma aplicação geodésica local se existe uma vizinhança de V de ϕ(p) em S tal que ϕ : U V seja uma aplicação geodésica. (i) Mostre que se ϕ : S 1 S é ao mesmo tempo uma aplicação geodésica e conforme, então ϕ é uma semelhança, isto é, v, w p = λ dϕ p (v), dϕ p (w) ϕ(p) para todos os p S 1, v, w T p S 1, onde λ é uma constante. (ii) Considere a esfera unitária S, e S seu hemisfério inferior (excluindo o equador z = 0) e P o plano de equação geral z = 1. Prove que a projeção central ϕ : S P que leva p S na interseção de P com a reta que liga p ao centro de S é uma aplicação geodésica. (iii) Mostre que toda superfície S com curvatura constante admite uma aplicação geodésica local sobre o plano, para todo p S. Exercício 7 (Teorema de Beltrami). Este exercício é um roteiro para provar um tipo de recíproca do item (iii) do exercício anterior: se S é uma superfície regular e conexa tal que todo p S admite uma aplicação geodésica local sobre o plano, então S tem curvatura Gaussiana constante. (i) Se v = v(s) é uma geodésica (dada em coordenadas (u, v)) que não coincide com u = const., então d ( ) v dv 3 ( ) dv ( ) dv = Γ1 + (Γ 1 1 Γ ) + (Γ 1 11 Γ 1 ) Γ 11. (ii) Se S admite uma aplicação geodésica local ϕ : V R de uma vizinhança V de um ponto p, é possível parametrizar V por coordenadas (u, v) tais que Γ 1 = Γ 11 = 0, Γ = Γ1 1, Γ1 11 = Γ 1. 4

5 (iii) Nas condições de (ii) valem KE = Γ 1 Γ 1 (Γ 1 ) u KF = Γ 1 1 Γ 1 (Γ 1 ) v KG = Γ 1 Γ1 1 (Γ1 1 ) v KE = Γ 1 Γ1 1 (Γ1 1 ) u. (iv) Nas condições de (ii) e (iii), a curvatura Gaussiana é constante em V. (v) Use o argumento padrão de conexidade para provar o Teorema de Beltrami. (Dica: O argumento padrão é fixar p 0 S e considerar A = {p S K(p) = K(p 0 )}. Prove que A é não-vazio (óbvio), fechado (K é contínua) e aberto (por (iv)). Por conexidade... ) Exercício 8. A energia E[α] de uma curva α : [a, b] S é definida por E[α] = 1 b a α (t) dt. (i) Mostre que L[α] (b a)e[α] e que vale a igualdade se e somente se t é proporcional ao comprimento de arco. (ii) Conclua a partir de (i) que se γ : [a, b] S é uma geodésica minimizante com γ(a) = p e γ(b) = q, então para qualquer curva α : [a, b] S ligando p a q, tem-se E[γ] E[α], com a igualdade valendo se e somente se α for uma geodésica minimizante. Exercício 9. Seja S o cone de equação z = x + y, com k > 0, e (x, y) = 0. Seja V o aberto de R dado em coordenadas polares por ρ > 0 e θ ]0, nπ sen β[ onde cotg β = k e n é o maior inteiro tal que nπ sen β < π. Seja ϕ : V S dada por ϕ(ρ, θ) = ( ρ sen β cos (i) Prove que ϕ é uma isometria local. ( θ sen β ), ρ sen β sen ( θ sen β ) ), ρ cos β (ii) Seja q S. Suponha que β < π/6 e seja k o maior inteiro tal que kπ sen β < π. Prove que existem, pelo menos, k geodésicas que partem de q e retornam a q. Mostre que essas geodésicas são quebradas em q e que, portanto, nenhuma delas é uma geodésica fechada. (iii) Nas condições de (ii) mostre que na verdade temos exatamente k geodésicas. (Dica: ver as páginas de 66 até 69 e também a 370 da 5 a edição do Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies do Manfredo pode ajudar.) Bons estudos! 5