Prova Escrita - ÁLGEBRA

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1 Ministério da Educação Programa de Pós-Graduação em Matemática Prova Escrita - ÁLGEBRA Aluno: ) Seja G um grupo finito, tal que G = mn, com mdc(m,n) =. Suponha que existe um subgrupo H de G, tal que H = n. Prove que H é o único subgrupo de G de ordem n se, e somente se, H G. 2) Mostre que se um grupo de ordem p n, com p primo, contém exatamente um subgrupo com ordens p,p 2,...,p n, então ele é cíclico. 3)SejaF umcorpoef(x) F[X], ondef(x)possuigraun. Opolinômiog(X) := X n f(/x) é dito o polinômio reverso de f(x). Prove que f é irredutível se, e somente se, g é irredutível. 4) Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes para qualquer anel R. (a) P é um ideal primo de R. (b) Para todo a,b R, arb P implica a P ou b P. (c) Para todos os ideais à direita A,B de R, AB P implica A P ou B P. (d) Para todos os ideais à esquerda A,B de R, AB P implica A P ou B P. Além disso, mostre que se P é um ideal primo de R, então (0) é um ideal primo de R/P. 5) Encontre os grupos de Galois do polinômio x 3 2 sobre Z 5 e Z.

2 Exame de Qualicação do Doutorado - Análise Funcional - 0/0/208 Questão. Seja X um espaço vetorial e T : X X uma tranformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial V X é invariante por T se T (V ) V. Dê exemplo de uma tranformação linear T, denida em um espaço vetorial X de dimensão innita, cujos subespaços invariantes são apenas X e {0}. Questão 2. Seja L ([0, ]) o dual topológico de L ([0, ]). a) Identique, através de uma transformação linear isométrica, o espaço L ([0, ]) com um subespaço de L ([0, ]). b) Mostre que L ([0, ]) \ L ([0, ]). Questão 3. Sejam X um espaço de Banach e K(X) o espaço dos operadores compactos T : X X. a) Prove que se T K(X) e P : X X é uma transformação linear contínua, então T P K(X). b) Dê exemplo de uma transformação linear contínua, não compacta T : X X tal que T T é compacta. Sugestão: Considere X = l 2. Questão 4. a) Dê exemplo de um espaço de Banach X e uma sequência x n X, com n N, tal que x n converge fraco a x X, mas x n não converge forte a x. b) Classique os espaços de Banach X, para os quais a topologia forte coincide com a topologia fraca. c) É verdade que em todo espaço de Banach de dimensão innita existem sequências convergindo fraco mas não forte? Justique e relacione com o item b). Questão 5. Seja X um espaço de Banach. a) Mostre que para todo x X, existe T X tal que T = x e T (x) = x 2. b) Seja P(X ) o conjunto das partes de X e dena o operador dualidade J : X P(X ) por J(x) = {T X : T = x, T (x) = x 2 }. Prove que J(x) = {T X : T x, T (x) = x 2 } e conclua que para todo x X, o conjunto J(x) é não-vazio, fechado e convexo. c) Construa um exemplo onde J(x) não é unitário para algum x X. d) Demonstre que se X é estritamente convexo então, J(x) contém um único elemento, e portanto, podemos escrever J : X X. e) Nas mesmas condições do item d) prove que J(x) = J( x). f) Seja p [, ) e J p o operador dualidade J p : L p (Ω) (L p (Ω)) = L q (Ω), onde /p + /q = e Ω é um conjunto aberto. Descreva J p (f) como um elemtento de L q (Ω).

3 Exame de Qualicação do Mestrado - Análise no R N - 08/0/208 Questão. Sejam a, b, c, n 0. Suponha que a + b + c > n. Prove que lim (x,y,z) (0,0,0) x a y b z c (x 2 + y 2 + z 2 ) n 2 Questão 2. Sejam N = 2, 3, e J : R N R uma função da forma J(x) = f(x) g(x), onde f, g são funções positivas (a menos da origem) de classe C, e positivamente homogêneas de grau p e γ respectivamente, com < p < γ. Para cada x R N \ {0}, considere a função ϕ x : [0, ] R dada por ϕ x (t) = J(tx). Dena N = {x R N \ {0} : ϕ x() = 0}. Suponha que a única solução do sistema pf(x) γg(x) = p 2 f(x) γ 2 g(x) = 0 seja x = 0. a) Prove que N é uma superfície de classe C difeomorfa a esfera de dimensão N. b) Mostre que existe c > 0 tal que x c para todo x N. c) Demonstre que se Ĵ inf x N J(x), então Ĵ > 0 e existe x 0 N satisfazendo J(x 0 ) = Ĵ. d) Prove que o ponto x 0 encontrado no item c) é um ponto crítico para a função J. e) Prove que x 0 é um ponto crítico do tipo sela. f) Sejam y R N tal que J(y) < 0 e Γ = {γ C([0, ] : R N ) : γ(0) = 0, γ() = y}. Dena Prove que Ĵ = M. Questão 3. = 0. M = inf γ Γ max t [0,] J(γ(t)). a) Prove que cada x R N \ {0} pode ser escrito de maneira única como x = rω, onde r > 0 e ω S = {x R N : x = }. b) Seja f : A α,β R uma função integrável, onde 0 < α < β e A α,β = {x R N, α x β}. Mostre que β f(x)dx = f(rω)r N drdω. A α,β S α c) Determine os valores de k R para os quais a integral imprópria dx converge, onde B x k B = {x R N : x }. Questão 4. Seja K um conjunto compacto com interior não vazio e f : K R uma função limitada. Dena a oscilação de f em um ponto x K por ) ω(f, x) = lim r 0 onde B(x, r) = {y R N : y x r}. a) Prove que ( sup{ f(u) f(v) : u, v K B(x, r)} sup{ f(u) f(v) : u, v K B(x, r)} = sup f(k B(x, r)) inf f(k B(x, r)). b) Prove que ω(f, x) é uma função semicontínua superiormente na variável x K. c) Relacione a função oscilação com a integrabilidade de f.,

4 Prova de Geometria Diferencial Fazer 7 questões. Justifique cada paso de sua resposta, resultados diretos não são considerados.!boa prova!. Mostre que se α(i) p.c.a esta contida em uma esfera de centro C e raio r, então r 2 = ( k ) 2 k 2 (s) + (s) k 2 (s)τ(s) 2. Prove que, se f : U R 3 R é uma função diferenciavel e a f(u) é um valor regular de f, então f (a) é uma superficie regular em R Seja α : R R 3 uma curva p.c.a. em R 3 com t(u), n(u), b(u) seu referencial de Frenet, k(u), τ(u) suas funções curvatura e torção e X(u, v) = α(u) + vn(u). i) Qual é a condição de regularidade de X ii) Calcule a curvatura media e Gaussiana de X iii) Encontre uma curva α para que X seja minima. 4. Considere a superficie de rotação X(u, v) = (f(u)cov, f(u)senv, g(u), onde f, g : I R, f(u) > 0. a) Prove que todos os pontos da superficie são parabolicos se, e só se, a superficie descreve um cilindro circular ou um cone. b) Determine as superficies de rotação que tem curvatura Gaussiana constante. 5. Seja X uma superficie em que todos os pontos são hiperbolicos. Prove que, se as linhas assintoticas são ortogonais, então X é uma superficie minima. 6. Considere a superficie X(u, v) = (u, v, uv), verifique que: a) As curvas coordenadas de X são linhas assintoticas. b) As linhas de curvatura de X podem ser representadas por arcsenhv ± arcsenhu = c onde c é uma constante c) A curva determinada por u = v é uma geodesica de X 7. Seja superficie da forma X(u, v) = (u, v, e u senv). a) Calcule a aplicação normal de Gauss N = (N, N 2, N 3 ). b) Calcule a curvatura Media H e Gaussiana K. H c) Verifique que a função N 3 K é uma função harmonica, (lembramos que uma função f(u, v) é harmonica se f uu + f vv = 0) 8.a) Mostre que não existe superficie X(u, v) tal que E = G =, F = 0, e =, g =, f = 0. b) Existe uma superficie X(u, v) tal que E =, F = 0, G = cos 2 u, e = cos 2 u, f = 0, g =.?

5 Prova de Geometria Riemanniana Fazer 7 questões. Justifique cada passo de sua resposta.. Prove que as isometrias de S n R n+ com a metrica induzida são as restrições a S n das transformações lineares ortogonais de R n+. 2. No espaçõ Euclideano, o transporte paralelo de um vetor entre dois pontos não depende da curva que liga estes dois pontos. Mostre, por um exemplo, que isto não é verdade numa variedade Riemanniana qualquer. 3. Prove que, se M é uma variedade diferenciavel com uma conexão simetrica e s : A M é uma superficie parametrizada então: D s v u = D u s v 4. Seja σ T p M um subespaço bidimencional do espaço tangente T p M e sejam os vetores x, y σ dois vetores linearmente independentes. Então K(x, y) = não depende da escolha dos vetores x, y σ (x, y, x, y) x y 2 5. Seja M uma variedade Riemanniana com curvatura seccional não positiva. Prove que, para todo p, o lugar geometrico dos pontos conjugados C(p) é vazio. 6. Prove que a curvatura seccional da variedade Riemannniana S 2 S 2 com a metrica produto, onde S 2 é a esfera unitaria em R 3, é não negativa. Ache um toro plano, totalmente geodesico, T 2, mergulhado em S 2 S Prove que o semi-plano superior H 2 + com a metrica de lobatchevski: é completo. g = g = y 2, g 2 = 0 8. Mostre com um exemplo a existencia de um difeomorfismo entre duas variedades Riemannianas que preserva curvatura, mais que não é uma isometria. 9. Seja c : [o, a] M uma curva e sejam L(c) = a 0 dc dt dt, E(c) = a 0 dc dt 2 dt, prove que a). L(c) 2 ae(c). b). Sejam p, q M e γ : [0, a] M uma geodesica minimizante ligando p a q. Então para toda curva ligando p a q, E(γ) E(c) e vale a igualdade se e somente se c é uma geodesica minimizante.

6 Caixa Postal 3 - Campus Samambaia Goiânia - (62) Exame Qualificação Doutorado Questão. Sejam h : R n R m e g : R n R k são funções continuamente diferenciáveis. Considere o seguinte problema de programação não linear { (P ) min f(x) sujeito a h(x) = 0, g(x) 0. i) Fale sobre as condições de otimalidade de primeira e segunda ordem para o problema (P). ii) Assuma que f, g i, i =, k, são convexas, e h(x) = Ax + b, onde A é uma aplicação linear e b R m. Mostre que se x satisfaz as condições de otimalidade de Karush-Kun-Tucker então x é um minimizador global do problema (P). Questão 2. Seja f : S n R uma função convexa diferenciável. Considere o problema de otimização convexa { min f(x) (P ) sujeito a X S+. n Mostre que X é uma solução de (P ) se, e somente se, X S n +, f(x ) S n +, tr ( f(x )X ) = 0. Notação: O espaço das matrizes simétricas de ordem n n é denotado por S n e S+ n := {A S n tr(x) o traço da matriz X. : u T Au 0, u IR n }. Denote por Questão 3. Sejam b R n, Q uma matriz simétrica e positiva definida de ordem n n e f : R n R definida por f(x) = 2 xt Qx x T b. (0.) Seja também x o único ponto de mínimo de f. Considere o método do gradiente, com busca linear exata: dado x 0 R n, defina onde t k := argmin{f(x k ta f(x k )) : t > 0}. x k+ = x k t k f(x k ) k = 0,, 2..., (0.2) i) Mostre que a iteração do método do gradiente em (0.2) pode ser escrita da seguinte forma ( f(x x k+ = x k k ) T f(x k ) ) f(x k ) T Q f(x k f(x k ), k = 0,, 2,.... ) (ii) Defina em R n a seguinte norma de vetores x Q := x T Qx, para x R n. Denote por λ min e λ max o menor e o maior autovalor de Q, respectivamente. Mostre a seguinte desigualdade x k+ x Q λ max λ min λ max + λ min x k x Q, k = 0,, 2,.... (iii) Conclua que {x k } converge para x com taxa linear na norma Q. Sugestão: Para mostrar o ítem (ii) use o seguinte resultado: (x T x) 2 (x T Qx)(x T Q x) 4λ maxλ min (λ max + λ min ) 2, x Rn. Prof: Orizon P. Ferreira, Data: Goiânia, 8 de Janeiro de 208

7 Caixa Postal 3 - Campus Samambaia Goiânia - (62) Questão 4. Sejam Ω R n um conjuto aberto e F : Ω R n uma função continuamente diferenciável. Tome A e B matrizes de ordem n n não-singulares e defina a aplicação G : Ω R n como G(u) = AF (Bu), onde Ω = B (Ω). Suponha que as sequências {x k } e {u k }, geradas pelo método de Newton para resolver as equações F (x) = 0 e G(u) = 0 com ponto inicial u 0 Ω e x 0 = Bu 0, respectivamente, estejam bem definidas. Assuma que {x k } converge para x. i) Mostre que a sequência {u k } é convergente e calcule o seu limite; ii) Mostre que se {x k } converge com taxa Q-quadrática então {u k } também converge com esta mesma taxa. Questão 5. Sejam A,..., A m S n linearmente independentes, b R m e C S n. Defina a aplicação linear A : S n R m por AX := (tr (A X),..., tr (A m X)), Defina também a aplicação linear A : R m S n como A y = m k= y ia i. Considere os seguintes problemas: min tr (CX) max b T y (P ) := AX = b, (D) := A y + S = C, X S+. n S S+. n (0.3) Mostre que se (P ) e (D) tem conjuntos viáveis não vazios então tr (CX) b T y, para X viável para (P ) e (y, S) viável para (D). Notação: O espaço das matrizes simétricas de ordem n n é denotado por S n e S+ n := {A S n tr(x) o traço da matriz X. : u T Au 0, u IR n }. Denote por Observação: A prova vale 0 pontos. A clareza das idéias e argumentação lógica, precisas e organizada na solução das questões serão fortemente consideradas na correção da prova. Prof: Orizon P. Ferreira, 2 Data: Goiânia, 8 de Janeiro de 208

8 EXAME DE QUALIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS IME/UFG, 2 JAN. 208 PROVA ELABORADA POR R. GARCIA ) i) Mostre que todo campo de vetores de classe C na esfera S 2 possui um ponto singular. ii) Dê exemplo de um campo de vetores C por partes na esfera S 2 que possui uma curva regular de descontinuidade mas que não possui nenhum ponto singular. Esboce o retrato de fase do exemplo construído. iii) Construa um campo de linhas no toro T 2 sem pontos singulares e que não seja definido por campo de vetores. Obs: Não é necessário explicitar equações. 2) Considere o campo de vetores X : R 3 R 3 definido por X(x, y, z) = ( y + 2 xz, x + 2 yz, [2q(x2 y 2 ) + a](x 2 + y 2 ) + z 2 ). i) Calcule os pontos de equilibrio de X e analise a natureza dos mesmos. ii) Mostre que o círculo unitário γ(t) = (cos t, sin t, 0) é uma órbita periódica de X (verifique se a parametrização está correta). iii) Calcule a derivada da transformção de Poincaré associada a γ. 3) Seja X = (P, Q) : R 2 R 2 um campo de classe C possuindo uma conexão de sela γ entre os pontos singulares hiperbólicos p e p 2. i) Mostre que o comprimento L(γ) é finito. ii) Dado L > 0, mostre que existe um campo de vetores de classe C r, r, no plano possuindo uma conexão de sela γ B(0, ) = {p R 2 : p < } tal que L(γ) > L. Faça figuras para ilustrar o contexto. iii) No item ii) é possivel construir X polinomial? Justifique. 4) i) Defina a classe dos campos Kupka-Smale e enuncie o Teorema de Kupka-Smale para campos de vetores em variedades compactas (cap 3, livro Palis-Melo). ii) Faça um esboço detalhado (roteiro) dos principais ingredientes da prova do Teorema de Kupka-Smale. iii) Dê exemplos de campos Kupka-Smale nas esferas S 2 e S 3. 5) i) Enuncie o Teorema de Peixoto para campos de vetores Morse-Smale em superfícies compactas orientadas (cap 4, livro Palis-Melo). ii) Faça um esboço detalhado (roteiro) dos principais ingredientes da prova do Teorema de Peixoto para os sistemas Morse-Smale. iii) Dê exemplos de campos Morse-Smale na esfera S 2 e no toro T 2. 6) i) Elabore um problema (se possível original) que reflita a sua maturidade matemática adquirida na disciplina de Sistemas Dinâmicos e indique (resenhe) os passos principais para a sua solução. ii) Cite um problema em aberto que você tem conhecimento sobre os sistemas Morse-Smale. Justifique sua escolha. OBS: Resolver/comentar todos os problemas propostos. Caso não conseguir resolver algum item comente a dificuldade encontrada e não suplantada.