Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n

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1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n 1. Exercícios do livro Análise Real, volume 2, Elon Lages Lima, páginas 36, 37, 38, Seja f : X Y uma aplicação. Dados B Y e B i Y para cada i I, prove que: (a) f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ). (b) f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ). (c) f 1 (Y \B) = Y \f 1 (B i ). 3. Seja f : X Y uma aplicação. Dados A X e A i X para cada i I, prove que: (a) f( i I A i) = i I f(a i). (b) f( i I A i) i I f(a i), com igualdade se f for injetiva. (c) f(x\a) Y \f(a), se f for injetiva. (d) f(x\a) Y \f(a), se f for sobrejetiva. 4. Seja f : X Y uma aplicação. Dados A X e B Y, prove que: (a) A f 1 (f(a)), com igualdade se f for injetiva. (a) f(f 1 (B)) B, com igualdade se f for sobrejetiva. 5. Se x + y = x + y com u 0, prove que existe α > 0 tal que v = α.u. 6. Se x = y, prove que z = 1 (x + y) é ortogonal a y x Sejam x = y = r. Se 0 < t < 1, prove que (1 t)x + ty < r. Conclua que a esfera S(0; r) não contém segmentos de reta. 8. Prove que o conjunto X = {(x, y) R 2 ; x 2 y} é convexo. 9. Para todo conjunto X R m, prove que int.x é um conjunto aberto, isto é, int.int.x = int.x. 10. Prove que o int.x é o maior conjunto aberto contido em X, ou seja, se A é aberto e A X então A int.x. 11. Mostre que se todo conjunto Y R n homeomorfo a X for fechado então X é compacto. 1

2 12. Seja π i : R n R a projeção sobre a i ésima coordenada, isto é, se x = (x 1,..., x n ) então π i (x) = x i. Prove que se A R n é aberto então sua projeção π i (A) R é um conjunto aberto. 13. Prove que a coleção de abertos dois a dois disjuntos e não-vazios em R n é enumerável. 14. Prove a identidade de polarização em R n para todo x, y R n. < x, y >= 1 4 ( x + y 2 x y 2 ), 15. Mostre que em R vale a lei do paralelogramo para todo x, y R n. x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ), 16. Sejam (X 1, 1 ) e (X 2, 2 ) espaços normados. Mostre que X = X 1 X 2 é um espaço normado com a norma definida por para todo (x, y) X 1 X 2. (x, y) = x 1 + y 2, 17. Qualquer que seja a norma em R n (n > 1), a esfera unitária S n 1 = {x R n ; x = 1} é um conjunto infinito. 18. Seja E R n um subspaço vetorial. Se E R n então inte =. 19. Seja E um espaço vetorial normado de dimensão finita e M um subespaço própio de E. Mostre que existe y E com y = 1 e para todo x M. y x Um conjunto X R n tem interior vazio se, e somente se, seu complementar é denso em R n. 21. Dada a sequência (x k ) k N em R n, sejam N e N subconjuntos infinitos de N tais que N = N N. Se as subsequências (x k ) k N e (x k ) k N convergem para o mesmo limite a, prove que lim k N = a. 22. Sejam A R n aberto e a A. Prove que se lim k = a então existe k 0 N tal que k > k 0 implica x k A. 23. Prove que lim x k = a se, e somente se, lim < x k, y >=< a, y > para todo y R n. 24. (a) Mostre que se x y (ambos não-nulos), então {x, y} é um conjunto linearmente independente. 2

3 (b) Confira que se x y, então x + y 2 = x 2 + y 2 (Teorema de Pitágoras). (c) Se x k y, k, e lim x k = x, conclua que x y. 25. Seja L(R n ; R n ) o espaço vetorial real de todos os operadores lineares de A : R n R n. Defina A = sup { Ax ; x 1}, em que a norma considerada em R n é a euclidiana. Mostre que: (a). é uma norma em L(R n ; R n ); (b) Se A L(R n ; R n ) então Ax A x, x R n. (c) Se A L(R m ; R n ), B L(R n ; R p ) então, fixada a norma euclidiana em R p, tem-se BA B A. (d) Conclua que se A L(R n ; R n ), então A é uma aplicação contínua. (e) A L(R n ; R n ) é injetiva se, e somente se, existe uma constante c > 0 tal que Ax c x, x R n. (f) Seja G o conjunto dos operadores inversíveis. Mostre que G é um conjunto aberto em L(R n ; R n ). 26. Dada uma sequência de aplicações lineares A k : R m R n suponha que, para todo x R m, exista Ax = lim k A k x. Prove que a aplicação assim definida é linear, que lim k A k = A relativamente à norma definida no exercício acima em L(R n ; R n ) e que a convergência A k x Ax é uniforme em toda parte limitada de R n. 27. Seja φ : R m R n R p uma aplicação bilinear. (a) Mostre que existe c > 0 tal que ϕ(x, y) c x y, (x, y) R m R n. (b) Mostre que φ é Lipschtziana em limitados de R m R n. (c) Se f : X R m, g : X R n, com lim x a f(x) = 0 e g é limitada, então lim x a ϕ(f(x), g(x) = Dadas A, B L(R m ; R n ) defina A, B = tr(ab T ). Prove que A, B = ij a ijb ij, conclua que A, B = tr(b T A) = tr(a T B) = tr(ba T ), que A, B é um produto interno em L m n (R) e que, pondo A = A, A, tem-se Ax A x, para todo x R n.( x, Ax são normas euclidianas.) 29. O conjunto das matrizes invertíveis n n é aberto em R n Mostre que duas normas quaisquer no espaço R n são equivalentes. 31. Seja X R m. Mostre que: (a) A aplicação f : X R n é contínua no ponto a X se, e somente se, suas funçõescoordenadas f 1, f 2,..., f n : X R são contínuas nesse ponto. 3

4 (b) Se as aplicações f, g : X R n e α : X R são contínuas no ponto a X então são também contínuas nesse ponto as aplicações f + g : X R n, f, g : X R, f : X R e αf : X R n. 32. A aplicação f : X R m R n é contínua se, e somente se, f 1 (F ) é um conjunto fechado de X para todo conjunto fechado F R n. 33. Sejam φ : K R n contínua no compacto K R m e L = φ(k) a imagem compacta de φ. A fim de que uma aplicação f : L R p seja contínua, e necessário e suficiente que a composta f φ : K R p seja contínua. 34. Seja f : R n R uma funã o contínua tal que lim x f(x) = 0. Mostre que existe x 0 R n tal que f(x) f(x 0 ), x R n. 35. Seja det : ( M 2 2 (R) ) R a11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 21 a 12 (a) Mostre que det é contínua. (b) Mostre que S = {A M 2 2 (R); det A 0} é aberto e não conexo. (c) Seja f : S M 2 2 (R) a função definida por f(x) = X 1. Mostre que f é contínua em S.(Sugestão: X 1 X0 1 = X 1 (X 0 X)X0 1 ). 36. Uma aplicação f : X R m R n, chama-se localmente Lipschitziana quando, para todo x X, existe uma bola aberta B de centro x, tal que f B X é Lipschitziana. (a) Mostre que a função f : (0, 1] R dada por f(x) = x é localmente Lipschitziana. (b) Mostre que a função g : [0, 1] R, g(x) = x, embora contínua, não é localmente Lipschitziana. 37. Toda aplicação localmente Lipschitziana definida num conjunto compacto é Lipschtziana. 38. Dado E R n não-vazio, seja ρ : R n R definida por ρ E (x) = d(x, E) = inf y E x y. Mostre que: (a) ρ E (x) = 0 se, e só se, x E. (b) ρ E (x) ρ E (y) x y para todo x, y E. 39. Sejam f, g : X R funções contínuas no ponto a X. Se f(a) g(a) então existe uma bola B de centro a tal que x, y B f(x) g(y). 40. Seja f : R n R contínua em 0 e tal que f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R n. Mostre que existe a R n tal que f(x) = a, x, x R n. 41. Mostre que para toda função real contínua f : S n R existe um ponto x 0 S n tal que f(x 0 ) = f( x 0 ). 4

5 42. Mostre que a aplicação f : B(0, 1) R n, definida por f(x) = não é uniformemente contínua. x 1 x 43. Sejam F, G fechados em X = F G. Se f : X R n é tal que suas restrições f F e f G são contínuas então f é contínua. 44. Seja E R n um subespaço vetorial. Se E R n então inte =. 45. Seja B uma bola (fechada ou aberta) em R n, com n 2. Para todo x B, o conjunto B {x} é conexo. 46. Mostre que as matrizes ortogonais formam um subconjunto compacto de R n Um conjunto X R n tem interior vazio se, e somente se, seu complementar é denso em R n. 48. O conjunto das matrizes n n com determinante 1 é um fechado ilimitado com interior vazio em R n2. (dica: Use que o conjunto das matrizes invertíveis n n é denso em R n2.) 49. (a) Sejam X R n, a X, f, g, h : X R satisfazendo f(x) g(x) h(x) para todo x X, 0 < x a < δ. Suponha que lim f(x) = lim h(x) = L R. Mostre x a x a que lim g(x) = L. x a ( ) ) (b) Determine (e 1 x 2 +y 2 +z 2 1 cos, sin(xyz) x, 3. xy xyz x 2 +y 2 +z 2 lim (x,y,z) (0,0,0) 50. Seja K R m compacto. Toda aplicação contínua f : K R n é fechada, isto é, se F K é fechado então f(f ) é fechado em R n. 51. Se o aberto U contém a interseção K = K i de uma sequência decrescente K 1 K 2 i=1... K i... de conjuntos compactos, então existe um índice i N tal que K i U. (dica: Use o teorema de Borel-Lebesgue.) 52. Seja X R m compacto. Uma aplicação f : X R n é contínua se, e somente se, seu gráfico é um subconjunto compacto de X R n. 53. Prove o teorema de Lindelof: Seja X R n um conjunto arbitrário. Toda cobertura aberta X A λ admite uma subcobertura enumerável X A λ1 A λ2... A λi Prove que: (a) O cone C = {(x, y, z) R 3 ; z 0, x 2 + y 2 z 2 = 0} é homeomorfo a R 2. (b) Para cada c > 0, o hiperbolóide de revolução H = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 z 2 = c} é homeomorfo a S 1 R. 5

6 55. Seja h : B R n o homeomorfismo da bola de centro 0 e raio 1 em R n dado por h(x) = x. Fixado arbitrariamente a 1 x Rn seja T : R n R n a translação T (x) = x + a. Considere o homeomosfismo ϕ = h 1 T h : B B. Prove que lim ϕ(x) = b para todo x b b fr(b). Conclua que, dados arbitrariamente c, d B existe um homeomorfismo ϕ : B B tal que ϕ(c) = d e ϕ(x) = x para todo x fr(b). 56. Um conjunto X R n chama-se topologicamente homogêneo quando, dados a, b X quaisquer, existe um homeomorfismo h : X X tal que h(a) = b. Prove que, para todo n N, o espaço R n e a bola fechada B de centro 0 e raio 1 são topologicamente homogêneos. Por outro lado, o intervalo fechado [0, 1] não é topologicamente homogêneo. 57. Sejam E, F espaços vetoriais normados e f : E F uma aplicação linear sobrejetora. Mostre que f é um homeomorfismo linear se, e somente se, existem α > 0, β > 0 tais que α x f(x) β x, x E. 58. Mostre que o conjunto das matrizes ortogonais n n tem duas componentes conexas. 59. Um conjunto M R n chama-se uma superfície de dimensão m quando, para todo x M, existem A aberto em M contendo x, A 0 aberto em R m e um homeomorfismo ϕ : A 0 A. Prove que a esfera S n R n+1 é uma superfície de dimensão n. 60. Mostre que uma superfície é conexa se, e somente se, é conexa por caminhos. 6