Lista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018
|
|
- Amélia de Almada
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Lista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018 Professor Marcos Leandro 17 de Junho de Sejam M um subespaço de um espaço de Hilbert H e f M. Mostre que f admite uma única extensão para H preservando norma. Solution: Considere a aplicação de dualidade F denida em H por F (x) = {f H : f = x e f, x = x 2 }. Pelo Teorema de Hahn-Banach, F (x) para cada x H. no entanto, F (x) pode ter mais de um elemento, o que não ocorre se H for estritamente convexo, como veremos. Lembremos: Um espaço vetorial normado E é dito ser estritamente convexo, se dados x y em E com x = y = 1, tivermos x + y 2 < 1. Assumamos inicialmente que F (x) tem apenas um elemento para cada x H (mostraremos que isso de fato ocorre, em seguida), e com isso mostremos que vale a conclusão do exercício. Ora, como cada funcional linear contínuo em M se estende unicamente para um funcional linear contínuo em M, podemos considerar M como sendo um subespaço vetorial fechado. É claro que o produto escalar (, ) em H restrito a M faz de M um espaço de Hilbert. Seja g M. Pelo Teorema da Representação de Riesz-Fréchet, existe y M tal que { g, x = (y, x) x M g = y. Seja f H extensão de Hahn-Banach para g, de modo que f = g = y e f, y = g, y = (y, y) = y 2, mas pelo o que assumimos, temos que existe único f H que satisfaz essas duas condições. De onde segue a conclusão do exercício. Mostremos o que falta. Armação 1: H é estritamente convexo. Sejam f 1 f 2 funcionais unitários em H. Novamente pelo Teorema da Representação de Riesz-Fréchet (aplicado em H ), existem y 1 y 2 vetores unitários em H tais que f 1, = (y 1, ) e f 2, = (y 2, ). Assim, pela identidade do paralelogramos, temos que 2 2 f 1 + f 2 2 = y 1 + y 2 2 = ( y y 2 2 ) y 1 y = 1 y 1 y 2 2 < 1. Armação 2: F (x) é um conjunto unitário, x H. Se x = 0, nada há pra mostrar. Considere x H \ {0} e sejam f 1 f 2 em F (x). Então f 1 / x = 1 = f 2 / x, e pela 1
2 atirmação 1 devemos ter o que é absurdo. 1 > f 1 + f 2 2 x f1 + f 2 2 x, x x = 1 2 x 2 ( f 1, x + f 2, x ) = 1 2 x 2 2 x 2 = 1, 2. Mostre que se H é um espaço de Hilbert, então H também o é. Solution: Seja H um espaço de Hilbert. Observe que H é um espaço de Banach com a norma induzida pelo produto interno. Daí, basta mostrar que a norma em H é induzida por um produto interno, pois H é completo. Dado ψ, ϕ H, pelo Teorema de Riesz-Fréchet, existem únicos y 0, y 1 H tais que ψ(x) = (x, y 0 ) H e ϕ(x) = (x, y 1 ) H para todo x H, ψ H = y 0 H e ϕ H = y 1 H É fácil vericar que a expressão (ψ, ϕ) H := (y 1, y 0 ) H dene um produto interno em H. De (ψ, ψ) = (y 0, y 0 ) = y 0 2 = ψ 2 segue que esse produto interno induz a norma em H. 3. Seja N l 2 constituído por elementos com apenas um número nito de entradas não nulas. Prove que ξ n f(ξ 1, ξ 2,...) = n, ξ := (ξ 1, ξ 2,...) N n=1 é tal que f N, porém f H. Isso prova que a hipótese de H ser completo é fundamental no Teorema da Representação de Riesz. Solution: A hipótese de H ser completo é fundamental no Teorema da Representação de Riesz. De fato, f N mas f H, pois não existe η N de forma que ξ N, pois o vetor (1, 1 2, 1 3, ) N. f, ξ = η, ξ = ξ n n n=1 4. Sejam H um espaço de Hilbert e f H /{0}. Prove que dim(ker(f) ) = 1. Solution: Como f 0 ker(f) H. Armação: ker(f) 0. De fato, suponha que ker(f) = 0. f(v) = (u, v), v H. Daí, Pelo Teorema de Riesz, existe um único u H, tal que (u, v) = 0 v ker(f) u ker(f) u = 0. Além disso, f H = u H = 0 f = 0 Page 2
3 o que é um absurdo. Logo, ker(f) 0. Seja z 0 0 ker(f). Necessariamente f(z 0 ) 0, pois caso contrário teríamos que z 0 ker(f) e como z 0 ker(f) (z 0, v) = 0 v ker(f). Em particular, (z 0, z 0 ) = 0 z 0 = 0. Seja u = z0 f(z 0) ker(f) e f(u) = f(z0) f(z 0) = 1. Como 0 ker(f) H é subespaço fechado temos que H = ker(f) ker(f). Daí, para todo x H, x = y 1 + y 2 onde y 1 ker(f) e y 2 ker(f). Sendo z ker(f) H e f(z) = b. Temos que z = (z bu) + bu. Porém, (z bu, v) = (z, v) b(u, v) = 0, v ker(f), donde (z bu) ker(f). Por outro lado, f(z bu) = b bf(u) = 0 z bu ker(f) (z bu) ker(f) ker(f) = 0 z = bu dim(ker(f) ) = Prove que (C[0, 1],. ) não é um espaço com produto interno. Solution: Vamos mostrar que a norma denida por x = max t [0,1] x(t) não pode ser obtida de um produto interno porque não satisfaz a Desigualdade do Paralelogramo. De fato, tome x : [0, 1] R e y : [0, 1] R funções denidas por x(t) = 1 e y(t) = t. Então x = max 1 = 1 = max t = y e t [0,1] t [0,1] x + y = max x(t) + y(t) = max 1 + t = 2, t [0,1] t [0,1] x y = max x(t) y(t) = max 1 t = 1. t [0,1] t [0,1] Logo, e o que mostra que x + y 2 + x y 2 = 5 2( x 2 + y 2 ) = 4, x + y 2 + x y 2 2( x 2 + y 2 ). 6. Sejam H um espaço de Hilbert e {e 1,..., e n } um conjunto ortonormal de H. Prove que: (i) n (x, e i) x 2, para cada x H (Desigualdade de Bessel); (ii) (x n (x, e i)e i ) e j, j = 1,..., n. Solution: Para o item i), temos que Page 3
4 0 = x x 2 x, e i e i x, e i e i, x x, e i e i n = x 2 x, e i e i, x = x 2 = x 2 x, e i 2 x, e i 2 Logo, n (x, e i) 2 x 2. Para o item ii), temos que, x x, n x, e j e j + x, e i e i, x, e j e j j=1 x, e i 2 + x, e i e i, e j = x, e j x, e i 2 j=1 x, e i e j, e i = x, e j x, e j = 0 Disso obtemos que para cada j = 1, 2,..., n, o vetor (x n (x, e i)e i ) é perpendicular a e j. 7. Sejam H um espaço de Hilbert e Θ := {e j } j I um conjunto ortonormal de H, não necessariamente enumerável. Prove que: (i) Dado x H o conjunto S x := {e j Θ (x, e j ) = 0} é contável; (ii) i I (x, e i) x 2, para cada x H (Desigualdade de Bessel); (iii) (x n (x, e i)e i ) e j, e j S x. Solution: (i) Para cada inteiro positivo n, considere o conjunto { S n x = e i : x, e i 2 > x 2 n Daí, podemos armar que S n tem no máximo n 1 vetores. De fato, pois caso contrário a desigualdade de Bessel não iria valer. A conclusão segue do fato que S = n=1 S n. (ii) Considere o conjunto S x como está denido no item anterior. Se S x for vazio dena i I (x, e i) sendo 0, assim a desigualdade dada no enunciado é trivialmente satisfeita. Agora consideremos que S x não é vazio. Assim, pelo item anterior, segue que este é nito ou innito contável. Se S x for nito dena S x = {e 1, e 2,..., e n }. Usando a ortonormalidade de {e j } n j=1 segue que n 0 x 2 x, e i e i = x x, e i e i, x }. x, e j e j = x, x j=1 Page 4
5 x, e i x, e i x, e j x, e j + j=1 j=1 x, e i x, e j e i, e j = x 2 Agora nos resta provar o caso em que S x é contável e innito. Dena S x = {e 1, e 2,..., e n,...} Como o n tomado no caso nito, provado acima, é arbitrário segue que (iii) Note que x x, e n 2 x 2. n=1 x, e i e i, e j = x, e j x, e i 2. x, e i e i, e j = x, e j x, e j = Sejam H um espaço de Hilbert e Θ := {e j } j I um conjunto ortonormal de H. Prove que as seguintes armaçãoes são equivalentes: (i) Θ é completo; (ii) Se x Θ, então x = 0; (iii) Dado x H, então x = i I (x, e i )e i é contável (Série de Fourier); (iv) Dado para cada x H, então (x, e i ) = x 2. i I Solution: Dado x H, armamos que é enumerável. I x := {j I; (x, e j ) 0} De fato, ponha J k = {j I : (x, e j ) > 1/k} para cada k N. Então, I x = J k. k=1 Vejamos que cada J k é nito, e portanto, I x é enumerável. Para isso, usaremos o seguinte LEMA 1 (Mujica, Proposição 21.1): Para todo x H, temos que (x, e ji ) 2 x 2. Com isso, se J J k é nito, então x 2 j J (x, e j ) 2 > j J 1 k 2 = J k 2, e daí, J < k 2 x 2 < e portanto J k k 2 x 2. Ou seja, temos que J k é nito, para cada k N, conforme armamos. Agora, as séries que aparecem em (iii) e (iv) fazem sentido. [(i) (ii)] Temos, por hipótese que span(θ) = H. Tome x Θ. Devemos mostrar que x = 0. Existe uma sequência {x n } span(θ) tal que lim x n = x. É claro que (x n, x) = 0 para cada n n N. Assim, x 2 = (x, x) = (lim x n, x) = lim(x n, x) = 0, Page 5
6 e portanto, x = 0. [(iii) (iv)] Seja x H. Por hipótese, temos que x = j I(x, e j )e j. Assim, x 2 = (x, x) = (x, e j )e j, e j )e j j I j I(x, = j Ix(x, e j )e j, ( ) (x, e j )e j = (x, e ji )e ji, (x, e ji )e ji j Ix ( m ) = lim (x, e ji )e ji, (x, e jk )e jk = lim m,n = lim m,n k=1 = j I m (x, e j ) 2. k=1 (x, e ji )(x, e jk )δ jij k = lim m,n m,n min{m,n} ( ) m (x, e ji ) e ji, (x, e jk )e jk (x, e ji ) 2 k=1 x 2 = j I (x, e j ) 2 [(ii) (iii) e (iv) (i)] Usaremos o seguinte LEMA 2 (Mujica, Proposição 21.3): Dado x H, a série j I x (x, e j )e j é incondicionalmente convergente, ou seja, é convergente e sua soma independe da ordem escolhida em I x. Solution: Tome x H e considere p = j I(x, e j )e j e q = x p. Como (q, e i ) = (x, e i ) (p, e i ) = (x, e i ) j I(x, e j )(e j, e i ) = (x, e i ) (x, e i ) = 0 para todo i I, temos q Θ. Supondo (ii), temos q = 0, de onde x = p = j I(x, e j )e j, que é (iii). Suponhamos que vale (iv) e seja M = span(θ). Então, p M e q M. Pelo Teorema de Pitágoras, x 2 = p 2 + q 2 = (x, e j ) 2 + q 2, j I e como vale (iv), q = 0. Assim, x = p + q = p M. Da arbitrariedade de x H, temos que H = span(θ), ou seja, Θ é completo. 9. Seja H um espaço de Hilbert e A, B : H H lineares limitados. Mostre que os operadores adjuntos A, B : E E satisfazem: Page 6
7 (i) (A + B) = A + B, (ii) (αa) = αa, onde α é um escalar, (iii) (AB) = B A, (iv) A = A, (v) A = A, (vi) AA = A Sejam H um espaço de Hilbert, e a : H H R uma forma sesquilinear de H. Mostre que: a = sup{ : u, v H, u 1, v 1} = sup{ : u, v H, u = 1, v = 1} = inf{c > 0 : C u v, u, v H}. Solution: Notação: Seja a(u, v) uma forma sesquilinear limitada de um espaço de Hilbert H. Denotaremos por a o numero : { } a = sup ; u, v He u, v 0 u v Provaremos primeiramente que a = sup{ : u, v H, u = 1, v = 1} (1) Sejam u, v H tais que u, v 0.Temos ( ) u v = u a u, v sup v u,v H; u = v =1 o que implica que Por outro lado, a sup (2) u,v H; u = v =1 {a(u, v); u, v H tal que u = v = 1} {a(u, v); u, v H tal que u 0 e v 0} Daí, {a(u, v); u, v H tal que u = v = 1} { } ; u, v H tal que u 0 e v 0 u v o que implica que sup a (3) u,v H; u = v =1 Portanto por (2) e (3) obtemos (1). Agora provaremos a = inf{c > 0 : C u v, u, v H} (4) Se a = 0 temos que a = 0 e portanto a igualdade segue trivialmente. Consideremos a 0 e C > 0 tal que C u v u v C, para todo u, v H, tal que u, v 0 o que implica a = sup u,v H;u,v 0 u v C Page 7
8 Desta forma, a C, para todo C > 0, tal que C u v para todo u, v H.Assim, tomando-se o inmo obtemos Por outro lado, notemos que u v a inf{c > 0; C u v para todo u, v H}. (5) a a u v para todo u, v H, tal que u, v 0 Se u = 0 ou v = 0 temos imediatamente que = a u v = 0,assim, concluimos que a u v, para todo u, v H, tal que u, v 0. O que implica que a {C > 0; C u v para todo u, v H}. Conseqüentemente, Portanto por (5) e (6) obtemos (4). Finalmente, provaremos que Devido a (1) basta provar que a inf{c > 0; C u v para todo u, v H} (6) a = sup{ : u, v H, u 1, v 1} sup{ : u, v H, u = v = 1} = sup{ : u, v H, u 1, v 1} (7) De fato, como Resulta que {a(u, v); u, v H tal que u = v = 1} {; u, v H tal que u 1 e v 1} sup{ : u, v H, u = v = 1} sup{ : u, v H, u 1, v 1} (8) Por outro lado, sejam u, v H tais que u 1, v 1 e u, v 0. Então u v 1, e portanto, 1 1 u v, o que nos leva a Se u = 0 ou v = 0 temos que = 0 sup u,v H; u = v =1 u v a = sup u,v H; u = v =1 sup. u,v H; u = v =1 para todo u, v H com u 1 e v 1. O que implica que Logo sup{ : u, v H, u 1, v 1} sup{ : u, v H, u = v = 1} (9) Portanto por (8) e (9) obtemos (7). O que conclui a prova. 11. Sejam H um espaço de Hilbert, e a : H H C uma forma sesquilinear de H. Mostre que as armações são equivalentes: (a) a é contínua em H H; (b) a é contínua em (0, 0); (c) existe C > 0 tal que C u v, u, v H; (d) a é Lipschitziana em cada parte limitada de H H. Page 8
9 Solution: (a) (b). Se a é contínua em H H, em particular o é em (0, 0). (b) (c). Se a é contínua em (0, 0), então para todo ɛ > 0, existe δ > 0 tal que (u, v) (0, 0) < δ a(u, v) a(0, 0) < ɛ, isto é, (u, v) < δ < ɛ. Lembrando que a norma denida em H H está dada por (u, v) = u + v temos que Assim, para ɛ = 1 existe δ 1 > 0 tal que u + v < δ < ɛ. u + v < δ 1 < 1. (10) Sejam C > 0 tal que 0 < 1 C < δ 1 e u, v H com u, v 0. Logo ( u 2C u, v 2C v ), e assim ( ) u 2C u, v = u v 2C v 2C u 2C v = 1 2C + 1 2C = 1 C < δ 1. (11) Das equações 10 e 11 obtemos que ( ) u a 2C u, v < 1 2C v 4C 2 u v < 1, e portanto < 4C 2 u v, assim ca demostrado para u, v 0. Por outro lado, se u 0 ou v 0, teríamos que a(u, v) = 0 e a desigualdade (c.) ca provada, mais ainda, para todo C > 0. (c) (d).suponhamos que existe C > 0 tal que C u v para todo u, v H e seja E H H um subconjunto limitado, isto é, existe r > 0 tal que E B r (0), onde B r (o) é a bola centrada em 0 e de raio r. Isto é, para todo (u, v) E cumpre-se (u, v) < r, ou melhor u + v < r (u, v) E. (12) Agora vamos mostrar que a(u, v) é Lipschitziana em E. Sejam (u 1, v 1 ), (u 2, v 2 ) E, pelo fato de a se uma aplicação limitada temos que a(u 1, v 1 ) a(u 2, v 2 ) = a(u 1, v 1 ) a(u 1, v 2 ) + a(u 1, v 2 ) a(u 2, v 2 ) = a(u 1, v 1 v 2 ) + a(u 1 u 2, v 2 ) a(u 1, v 1 v 2 ) + a(u 1 u 2, v 2 ) C u 1 v 1 v 2 + C v 2 u 1 u 2 C u 1 v 1 v 2 + C v 1 v 1 v 2 + C v 2 u 1 u 2 + C u 2 u 1 u 2 = C v 1 v 2 ( u 1 + v 1 ) + C u 1 u 2 ( u 2 + v 2 ) Cr v 1 v 2 + Cr u 1 u 2 = Cr( (u 1, v 1 ) (u 2, v 2 ) ). O que conclui que a(u, v) é Lipschitziana em E com constante de Lipschitz igual a Cr. (d) (a). Suponhamos que a(u, v) é Lipschitziana em limitados de H H. Sejam (u 0, v 0 ) H H e ɛ > 0. Como a(u, v) é Lipschitziana em limitados de H H, existe r > 0 tal que a(u, v) é Lipschitziana em B r ((u 0, v 0 )). Isto é, existe uma constante de Lipschitz L r (que depende de r) tal que a(u, v) a(u 0, v 0 ) L r (u u 0, v v 0 ) (u, v) B r ((u 0, v 0 )), (13) Page 9
10 agora, escolhendo δ < min(ɛ/l r, r) obtemos junto com a equação 13 (u u 0, v v 0 ) < δ a(u, v) a(u 0, v 0 ) ɛ. Portanto a(u, v) é continua em H H pela arbitrariedade na escolha do u 0, v 0. Page 10
Convergência em espaços normados
Chapter 1 Convergência em espaços normados Neste capítulo vamos abordar diferentes tipos de convergência em espaços normados. Já sabemos da análise matemática e não só, de diferentes tipos de convergência
Leia maisFísica Matemática II: Notas de aula
Física Matemática II: Notas de aula Rafael Sussumu Y. Miada Nessas notas, faremos uma introdução à teoria dos espaços métricos e normados, e aos operadores lineares em espaços normados. Os resultados obtidos
Leia maisQuinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período Professor: João Marcos do Ó. { 0 se j = 1 y j = (j 1) 1 x j 1 se j 2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Quinta lista de Exercícios - Análise Funcional, período 2009.2. Professor:
Leia maisTopologia. Fernando Silva. (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) 13-agosto-2018
Topologia (Licenciatura em Matemática, 2007/2008) Fernando Silva 13-agosto-2018 A última revisão deste texto está disponível em http://webpages.fc.ul.pt/~fasilva/top/ Este texto é uma revisão do texto
Leia maisDANIEL V. TAUSK. se A é um subconjunto de X, denotamos por A c o complementar de
O TEOREMA DE REPRESENTAÇÃO DE RIESZ PARA MEDIDAS DANIEL V. TAUSK Ao longo do texto, denotará sempre um espaço topológico fixado. Além do mais, as seguintes notações serão utilizadas: supp f denota o suporte
Leia maisCompacidade de conjuntos e operadores lineares
Compacidade de conjuntos e operadores lineares Roberto Imbuzeiro Oliveira 13 de Janeiro de 2010 No que segue, F = R ou C e (X, X ), (Y, Y ) são Banach sobre F. Recordamos que um operador linear T : X Y
Leia maisMAT Cálculo Avançado - Notas de Aula
bola fechada de centro a e raio r: B r [a] = {p X d(p, a) r} MAT5711 - Cálculo Avançado - Notas de Aula 2 de março de 2010 1 ESPAÇOS MÉTRICOS Definição 11 Um espaço métrico é um par (X, d), onde X é um
Leia maisTeoremas fundamentais dos espaços normados
Capítulo 9 Teoremas fundamentais dos espaços normados 9.1 Teorema de Hahn-Banach O próximo teorema, conhecido como teorema de Hahn-Banach, é uma generalização do Teorema 4.12, o qual, recordamos para conveniência
Leia maisMEDIDAS COM SINAL.. Uma medida com sinal σ-aditiva (ou, simplesmente, uma medida com sinal) µ(a n ) def = lim
MEDIDAS COM SINAL DANIEL V. TAUSK 1. Definição. Seja C uma coleção de conjuntos tal que C. Uma medida com sinal finitamente aditiva em C é uma função µ : C R tal que: µ( ) = 0; se (A n ) t é uma seqüência
Leia mais1 Álgebra linear matricial
MTM510019 Métodos Computacionais de Otimização 2018.2 1 Álgebra linear matricial Revisão Um vetor x R n será representado por um vetor coluna x 1 x 2 x =., x n enquanto o transposto de x corresponde a
Leia maisEspaço Dual, Transposta e Adjunta (nota da álgebra linear 2)
Espaço Dual, Transposta e Adjunta nota da álgebra linear 2) Sadao Massago Outubro de 2009 1 Espaço Dual Dado um espaço vetorial V sobre o corpo F, o espaço dual V é o espaço de todas transformações lineares
Leia maisComeçamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial. x = λ 1 x λ r x r. (1.1)
CAPÍTULO 1 Espaços Normados Em princípio, os espaços que consideraremos neste texto são espaços de funções. Isso significa que quase todos os nossos exemplos serão espaços vetoriais de dimensão infinita.
Leia maisUniversidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Universidade Estadual Paulista Campus de Rio Claro Instituto de Geociências e Ciências Exatas Análise Funcional: um texto para iniciação científica Liliane Martinez Antonow Orientadora: Prof a. Dr a. Simone
Leia maisd(t x, Ty) = d(x, y), x, y X.
Capítulo 6 Espaços duais 6.1 Preliminares A análise funcional foi nos seus primórdios o estudo de funcionais. Assim, nos dias de hoje um princípio fundamental da análise funcional é a investigação de espaços
Leia maisNotas de Aula. Análise Funcional
Notas de Aula Análise Funcional Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula do curso Análise Funcional
Leia maisde Operadores Lineares
Universidade Federal de Itajubá Programa de PósGraduação em Matemática Majoração, Inclusão de Imagens e Fatoração de Operadores Lineares Raquel Maria Nogueira Wood Noronha Orientador: Prof. Dr a. Márcia
Leia mais3 - Subespaços Vetoriais
3 - Subespaços Vetoriais Laura Goulart UESB 16 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 1 / 10 Denição Um subespaço vetorial é um subconjunto de um e.v.r. que
Leia maisOperadores em espaços normados
Capítulo 7 Operadores em espaços normados Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normados os quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendo operadores.
Leia maisAdo Raimundo Dalla Costa. Teorema de Hahn-Banach
Ado Raimundo Dalla Costa Teorema de Hahn-Banach Florianópolis 2014 Ado Raimundo Dalla Costa Teorema de Hahn-Banach Trabalho de conclusão de curso apresentado na Universidade Federal de Santa Catarina para
Leia mais1. Não temos um espaço vetorial, pois a seguinte propriedade (a + b) v = a v + b v não vale. De fato:
Sumário No que se segue, C, R, Q, Z, N denotam respectivamente, o conjunto dos números complexos, reais, racionais, inteiros e naturais. Denotaremos por I (ou id) End(V ) a função identidade do espaço
Leia maisFaremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas.
Capítulo 2 Espaços de Banach Faremos aqui uma introdução aos espaços de Banach e as diferentes topologías que se podem definir nelas. 2.1 Espaços métricos O conceito de espaço métrico é um dos conceitos
Leia maisDefinição 2.1 Seja X um espaço linear complexo. Uma aplicação
2 Preliminares 2.1 Álgebra Definição 2.1 Seja X um espaço linear complexo. Uma aplicação ϕ: X X C x, y ϕ(x, y) com as propriedades i) ϕ(x 1 + x 2, y) = ϕ(x 1, y) + ϕ(x 2, y) ii) ϕ(αx 1, y) = αϕ(x 1, y)
Leia maisParte II. Análise funcional II
Parte II Análise funcional II 12 Capítulo 5 Produto de Operadores. Operadores inversos Neste capítulo vamos introduzir a noção de produto de operadores assim como a de operador invertível. Para tal precisamos
Leia maisCap. 5 Estabilidade de Lyapunov
Cap. 5 Estabilidade de Lyapunov 1 Motivação Considere as equações diferenciais que modelam o oscilador harmônico sem amortecimento e sem força aplicada, dada por: M z + Kz = 0 Escolhendo-se x 1 = z e x
Leia maisMAT 5798 Medida e Integração IME 2017
MAT 5798 Medida e Integração IME 2017 http://www.ime.usp.br/ glaucio/mat5798 Lista 11 - Integral de Bochner Fixemos um espaço de medida completo (X, M, µ) até o final desta lista. As duas primeiras questões
Leia maisTopologia do espaço Euclidiano
Capítulo 1 Topologia do espaço Euclidiano 1 O espaço vetorial R n iguais a R: Seja n N. O espaço euclidiano n dimensional é o produto cartesiano de n fatores R n = R R R }{{} n cópias Os pontos de R n
Leia maisCDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 1) 2 Norma. Distância. Bola. R n = R R R
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 1) 1 Notação R n = R R R x R n : x = (x 1, x 2,, x n ) ; x
Leia maisCapítulo 7: Espaços com Produto Interno
7 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 7: Espaços com Produto Interno Sumário 1 Produto Interno.................... 178 2 Ângulos entre Vetores e
Leia maisCapítulo 2. Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt. Curso: Licenciatura em Matemática
Capítulo 2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves de Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula
Leia maisTeoria Espectral em Espaços de Hilbert
Teoria Espectral em Espaços de Hilbert Departamento de Análise Instituto de Matemática e Estatística Universidade Federal Fluminense 22 de setembro de 2016 Espaços Vetoriais de Dimensão Finita Sejam V
Leia maisProduto interno e produto vetorial no espaço
14 Produto interno e produto vetorial no espaço Sumário 14.1 Produto interno.................... 14. Produto vetorial.................... 5 14..1 Interpretação geométrica da norma do produto vetorial.......................
Leia maisNoções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno. André Arbex Hallack
Noções (básicas) de Topologia Geral, espaços métricos, espaços normados e espaços com produto interno André Arbex Hallack Setembro/2011 Introdução O presente texto surgiu para dar suporte a um Seminário
Leia maisLeandro F. Aurichi de novembro de Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - Universidade de São Paulo, São Carlos, SP
Espaços Métricos Leandro F. Aurichi 1 30 de novembro de 2010 1 Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - Universidade de São Paulo, São Carlos, SP 2 Sumário 1 Conceitos básicos 5 1.1 Métricas...........................................
Leia maisConvergência, séries de potência e funções analíticas
Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 13, 2015 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova
Leia maisMini Curso. O Lema de Lax-Milgram e Aplicações
Goiânia, 07 a 10 de outubro Mini Curso O Lema de Lax-Milgram e Aplicações Prof. Dr. Maurílio Márcio Melo - IME/UFG O LEMA DE LAX-MILGRAM E APLICAÇÕES MELO,M.M. 1. Introdução O principal objetivo destas
Leia maisFundamentos de Controle Não Linear: Conceitos Matemáticos Importantes (em Progresso)
Fundamentos de Controle Não Linear: Conceitos Matemáticos Importantes (em Progresso) Leonardo A. B. Torres PPGEE/UFMG October 2, 2018 Leonardo A. B. Torres (PPGEE/UFMG) FCNL: Conceitos Matemáticos October
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia maisSobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro
Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro Fernando Oliveira U. F. de Minas Gerais EMALCA 2010 Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 1 Modos de convergência Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência
Leia maisf(x) = max{f 1 (x),..., f k (x)}. a + b + a b, a, b R., f 2 (x) =
Solução dos Exercícios Capítulo 4 Exercício 4.1: Sejam f 1 e f 2 duas funções de R n em R e considere g: R n R definida por g(x) = max{f 1 (x), f 2 (x)}. Prove se verdadeira ou dê contra-exemplo se falsa:
Leia maisNo que segue, X sempre denota um espaço topológico localmente compacto
O TEOREMA DE REPRESENTAÇÃO DE RIESZ PARA MEDIDAS DANIEL V. TAUSK No que segue, sempre denota um espaço topológico localmente compacto Hausdorff. Se f : R é uma função, então supp f denota o{ suporte (relativamente
Leia maisA Projeção e seu Potencial
A Projeção e seu Potencial Rolci Cipolatti Departamento de Métodos Matemáticos Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro C.P. 68530, Rio de Janeiro, Brasil e-mail: cipolatti@im.ufrj.br
Leia maisEspaços com Produto Interno
CAPÍTULO 2 Espaços com Produto Interno Espaços com produto interno foram introduzidos em um curso de Álgebra Linear. 1 Algumas propriedades de um espaço com produto interno independem de sua dimensão ser
Leia maisUniversidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Fundamentos de Análise Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Prove que para todo x 0 IR
Leia maisTeoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov
Teoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov 13 de Maio de 013 1 Introdução Nestas notas Z 1, Z, Z 3,... é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Buscaremos determinar condições sob
Leia maisTeoria Escalar da Difração
Teoria Escalar da Difração Em óptica geométrica, o comprimento de onda da luz é desprezível e os raios de luz não contornam obstáculos, mas propagam-se sempre em linha reta. A difração acontece quando
Leia maisUma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real
Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real Jonas Renan Moreira Gomes 1 e Fernanda S. P. Cardona (orientadora) 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
Leia maisUma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real
Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real Jonas Renan Moreira Gomes 1 e Fernanda S. P. Cardona (orientadora) 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
Leia maisA TRANSFORMAÇÃO DE GAUSS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A TRANSFORMAÇÃO DE GAUSS Tales Villas Boas dos Santos São Carlos - SP Dezembro - 200 UNIVERSIDADE
Leia mais5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2009
5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 29 Soluções dos exercícios Devido ao fato de A ser simétrica, existe uma base ortonormal {u,, u n } formada por autovetores de A, então
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Subespaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Subespaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais menores. Tais conjuntos S são chamados
Leia maisMAT ÁLGEBRAS DE OPERADORES 2 SEMESTRE DE 2017 LISTA DE PROBLEMAS
MAT 5818 - ÁLGEBRAS DE OPERADORES 2 SEMESTRE DE 2017 LISTA DE PROBLEMAS 1) Mostre que M n (C) munida da norma ((a jk )) 1 j,k n = k=1 2) Defina na álgebra C[X] dos polinômios complexos na variável X a
Leia maisProdutos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
Leia maisUm curso de Análise Funcional para a graduação. Ricardo P. da Silva
Um curso de Análise Funcional para a graduação Ricardo P. da Silva Sumário 1 Espaços Normados 3 1.1 Definições básicas...................................... 3 1.2 Espaços de Banach.....................................
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 Modos de convergência
Leia maisPropriedades das Funções Contínuas
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005- UEM Sumário 1 Seqüências 2 1.1 O Corpo dos Números Reais.......................... 2 1.2 Seqüências.................................... 5
Leia mais(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)
Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados
Leia maisInvariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor
Invariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor Roberto Imbuzeiro Oliveira 6 de Abril de 20 Preliminares Nestas notas, U C sempre será um aberto e f : U C é contínua. Duas curvas
Leia maisNotas de Algebra Linear. Eduardo Hernandez, Michelle Pierri
Notas de Algebra Linear Eduardo Hernandez, Michelle Pierri Sumário 1 Espaços Vetoriais 3 11 Exercícios 7 12 Exercicios 9 121 Interseção e Soma de Subespaços vetoriais 9 13 Exercícios 11 131 Subespaços
Leia maisConvergência, séries de potência e funções analíticas
Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 16, 2011 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova
Leia maisÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT32 12 a Lista de exercícios
Leia maisApontamentos III. Espaços euclidianos. Álgebra Linear aulas teóricas. Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico
Apontamentos III Espaços euclidianos Álgebra Linear aulas teóricas 1 o semestre 2017/18 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice i 1 Espaços euclidianos 1 1.1
Leia maisIntroduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;
META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar
Leia maisNoções de Álgebra Linear
Noções de Álgebra Linear 1. Espaços vetoriais lineares 1.1. Coordenadas 2. Operadores lineares 3. Subespaços fundamentais 4. Espaços normados 5. Espaços métricos 6. Espaços de Banach 7. Espaços de Hilbert
Leia maisTeoria espectral de operadores lineares limitados
Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores,
Leia maisANÁLISE FUNCIONAL E ALGUMAS APLICAÇÕES
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA FRANCIS KALUWANDIMIO MATONDO ANÁLISE FUNCIONAL E ALGUMAS APLICAÇÕES TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Leia maisCálculo avançado. 1 TOPOLOGIA DO R n LISTA DE EXERCÍCIOS
LISTA DE EXERCÍCIOS Cálculo avançado 1 TOPOLOGIA DO R n 1. Considere o produto interno usual, no R n. ostre que para toda aplicação linear f : R n R existe um único vetor y R n tal que f (x) = x, y para
Leia maisA (u + iv) = (a + ib) (u + iv) = (au bv) + i (av + bu).
DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4 EDO II - MAP 036 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/EDO Os exercícios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge
Leia maisde modo que γ (t) 2 = 3e t. Pelo Proposição 6.3, γ é retificável no intervalo [0, T], para cada T > 0 e lim γ (t) 2 dt = 3, )) se t 0 0 se t = 0
Solução dos Exercícios Capítulo 6 Exercício 6.1: Seja γ: [, + [ R 3 definida por γ(t) = (e t cos t, e t sen t, e t ). Mostre que γ é retificável e calcule seu comprimento. Solução: γ é curva de classe
Leia maisNotas Para o Curso de Medida e. Daniel V. Tausk
Notas Para o Curso de Medida e Integração Daniel V. Tausk Sumário Capítulo 1. Medida de Lebesgue e Espaços de Medida... 1 1.1. Aritmética na Reta Estendida... 1 1.2. O Problema da Medida... 6 1.3. Volume
Leia maisVersão geométrica do teorema de Hahn-Banach
Versão geométrica do teorema de Hahn-Banach Eduardo Marques de Sá Centro de Matemática da Universidade de Coimbra Outubro 2013 Convexos e Funcionais de Minkowski V é um espaço vetorial sobre R. Dado um
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n 1. Exercícios do livro Análise Real, volume 2, Elon Lages Lima, páginas
Leia maisESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma
Leia maisLema. G(K/F ) [K : F ]. Vamos demonstrar usando o Teorema do Elemento Primitivo, a ser provado mais adiante. Assim, K = F (α).
Teoria de Galois Vamos nos restringir a car. zero. Seja K/F uma extensão finita de corpos. O grupo de Galois G(K/F ) é formado pelos isomorfismos ϕ : K K tais que x F, ϕ(x) = x. Lema. G(K/F ) [K : F ].
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia maisGivanildo Donizeti de Melo. Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n
Givanildo Donizeti de Melo Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n São José do Rio Preto 2016 Givanildo Donizeti de Melo Sobre
Leia maisAula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015
bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias
Leia maisTopologia geral Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR
Topologia geral Professor: Fernando de Ávila Silva Departamento de Matemática - UFPR LISTA 1: Métricas, Espaços Topológicos e Funções Contínuas 1 Métricas Exercício 1 Sejam M um espaço métrico e A M um
Leia maisSéries de Laurent e Teoremas de Cauchy
Séries de Laurent e Teoremas de Cauchy Roberto Imbuzeiro Oliveira 3 de Abril de 20 A maior parte destas notas tem como refererência o livro de David Ullrich, Complex Made Simple. Preliminares sobre séries
Leia mais= f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 )
6 a aula, 26-04-2007 Formas Quadráticas Suponhamos que 0 é um ponto crítico duma função suave f : U R definida sobre um aberto U R n. O desenvolvimento de Taylor de segunda ordem da função f em 0 permite-nos
Leia maisLema. G(K/F ) [K : F ]. Vamos demonstrar usando o Teorema do Elemento Primitivo, a ser provado mais adiante. Assim, K = F (α).
Teoria de Galois Vamos nos restringir a car. zero. Seja K/F uma extensão finita de corpos. O grupo de Galois G(K/F ) é formado pelos isomorfismos ϕ : K K tais que x F, ϕ(x) = x. Lema. G(K/F ) [K : F ].
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS 1 - MATEMÁTICA 3 (CCM0213)
LISTA DE EXERCÍCIOS - MATEMÁTICA 3 (CCM3) PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/ PPLOPES/MATEMATICA3 Os exercícios a seguir foram selecionados do livro do Apostol e do Domingues Callioli Costa. Exercício.
Leia maisAlgebra Linear. 1. Espaços Vetoriais Lineares. 2. Coordenadas em Espaços Lineares. 3. Operadores Lineares. 4. Transformação de Similaridade
Algebra Linear 1 Espaços Vetoriais Lineares Coordenadas em Espaços Lineares 3 Operadores Lineares 4 Transformação de Similaridade Matriz como Operador Norma de Vetores e Produto Interno pag1 Teoria de
Leia maisAlguns fatos interessantes sobre os reais
Alguns fatos interessantes sobre os reais 1 Gabriel Zanetti Nunes Fernandes 1 e Lúcia Renato Junqueira (Orientadora) 2 1 (Aluno) Universidade de São Paulo (USP), Brasil gabriel.zanetti@hotmail.com 2 Universidade
Leia maisEquações Diferenciais (M2011)
Equações Diferenciais (M2011) ICruz - FCUP Aula 16-16 abr 18 (ICruz - FCUP) Equações Diferenciais (M2011) Aula 16-16 abr 18 1 / 12 Estabilidade de pontos de equilíbrio de sistemas LHCC No caso de sistemas
Leia maisCapítulo 5. Operadores Auto-adjuntos. Curso: Licenciatura em Matemática. Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo
Capítulo 5 Operadores Auto-adjuntos Curso: Licenciatura em Matemática Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza Wilberclay Gonçalves Melo Disciplina: Álgebra Linear II Unidade II Aula 5: Operadores Auto-adjuntos
Leia maisAnálise Funcional MATEMÁTICA. Curso de pós-graduação lato sensu
MATEMÁTICA Curso de pós-graduação lato sensu Análise Funcional Carlos Alberto Raposo da Cunha Fábio Alexandre de Matos Guilherme Chaud Tizziotti Waliston Rodrigues Silva Universidade Aberta do Brasil Núcleo
Leia maiss Gabarito da 1. a Prova de PMA Fundamentos de Cálculo Prof. Wagner - 3 de maio de a PARTE
1 s Gabarito da 1. a Prova de PMA56 - Fundamentos de Cálculo Prof. Wagner - 3 de maio de 019 1.a PARTE 1. a Questão: Sejam f : X Y e g : Y Z funções dadas. Mostre que: (a) se a função f é injetora, então
Leia maisCapítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes
6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações
Leia mais4 Expansão de Caos Polinomial
4 Expansão de Caos Polinomial Neste capítulo, apresentaremos a teoria fundamental da Expansão por Caos Polinomial (ECP) que utilizaremos para representar a resposta de um modelo aleatório. Começamos com
Leia maisσ-álgebras, geradores e independência
σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de
Leia maisAnálise II (a parte no IR n )
Análise II (a parte no IR n ) Notas de aulas André Arbex Hallack Janeiro/2008 Índice 1 Noções Topológicas no IR n 1 1.1 O espaço vetorial IR n................................ 1 1.2 Seqüências......................................
Leia maisNotas de Análise Real. Jonas Renan Moreira Gomes
Notas de Análise Real Jonas Renan Moreira Gomes 6 de novembro de 2008 ii Sumário 1 Séries de Fourier 1 1.1 Produto Hermitiano......................... 1 1.1.1 Definições........................... 1 1.1.2
Leia maisNotas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares
Notas de Aulas 3(Segunda Avaliação)-Produto Interno II Prof. Carlos Alberto S Soares Neste capítulo, estaremos generalizando a noção de projeção ortogonal já desenvolvida em cursos anteriores. Definição
Leia maisALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral
Módulo 9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral Contents 9.1 Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos) 136 9. Teorema espectral para operadores auto-adjuntos...........
Leia maisÁlgebra Linear I - Aula 2. Roteiro
Álgebra Linear I - Aula 2 1. Produto escalar. Ângulos. 2. Desigualdade triangular. 3. Projeção ortugonal de vetores. Roteiro 1 Produto escalar Considere dois vetores = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2,
Leia maisMAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos
MAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos Prof. Edson de Faria 30 de Março de 2014 Observação: O objetivo desta lista é motivar uma revisão dos conceitos e fatos básicos sobre
Leia maisIntrodução à Geometria
Introdução à Geometria - 2007-2008 Algumas noções 1. Norma de um vector Seja E um espaço vectorial real de dimensão finita E munido de um produto interno (u, v) u v. Dado um vector v E chama-se norma ou
Leia maisCapítulo 3: Espaços Vetoriais
3 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 3: Espaços Vetoriais Sumário 1 Subespaços Vetoriais................. 58 1.1 Caracterização dos Subespaços
Leia maisO Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que
O Teorema de Peano Equações de primeira ordem Seja D um conjunto aberto de R R n, e seja f : D R n (t, x) f(t, x) uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e
Leia mais