MAT Lista de exercícios

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1 1 Curvas no R n 1. Esboce a imagem das seguintes curvas para t R a) γ(t) = (1, t) b) γ(t) = (t, cos(t)) c) γ(t) = (t, t ) d) γ(t) = (cos(t), sen(t), 2t) e) γ(t) = (t, 2t, 3t) f) γ(t) = ( 2 cos(t), 2sen(t)) 2. Esboce a imagem das seguintes curvas para t 0 a) γ(t) = (t, 2t, 3t) b) γ(t) = (t, t, 1) c) γ(t) = (cos(t), sen(t), e t ) d) γ(t) = (sen(t), sen(t), t) e) γ(t) = (e t cos(t), e t sen(t), e t ) 3. Calcule, caso exista a) lim ( tan(3t), e2t 1, t 3 ) t 0 t t b) lim t 1 ( t2 1 t 1, t3 1 t 1, t4 1 t 1 ) 4. Ache a equação da reta tangente à γ(t) no instante t 0 a) γ(t) = (cos(t), sen(t), t), t 0 = π/3 b) γ(t) = (t 2, t), t 0 = 1 c) γ(t) = ( 1 t, 1 t, t), t 0 = 2 d) γ(t) = (cos(t), sen(t)), t 0 = π/4 5. Uma circunferência de raio R rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente na origem. (Esta curva é chamada de ciclóide). 1 11

2 2 Funções reais de duas ou três variáveis 1. Determine e esboce o domínio de cada uma das funções a) 1 1 x2 y 2 b) arctan( y x ) c) x y d) ln(y x 3 ) 2. Determine o domínio e esboce os gráficos das funções a) x 2 + y 2 b) (x 2 + y 2 ) 1 c) x 2 d) x 2 + y 2 e) 2x 2 + y 2 f) x 2 y 2 g) e h) 11 i) y 3 x2 +y 2 j) 1 x 2 k) x 3. Calcule, caso existam, os seguintes limites a) lim xsen( 1 (x,y) (0,0) x 4 + y 3 ) x b) lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 c) x 2 lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 d) xy lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2 e) x + y lim (x,y) (0,0) x y f) xy lim (x,y) (0,0) y x 3 2x 2 + 3xy + 4y 2 g) lim (x,y) (0,0) 3x 2 + 5y

3 4. Calcule, caso existam, os seguintes limites ( ) x 3 a) lim (x,y) (0,0) x 4 + y 2 sen(x 2 + y 2 ) e x2y 1 b) lim (x,y) (0,0) y 3 x 3 (1 cos(x 2 + y 2 )) c) lim (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) 3 x 3 y + y 4 + x 4 d) lim (x,y) (0,0) x 3 y xy 3 x 3 + sen(x 2 + y 2 ) e) lim (x,y) (0,0) y 4 + sen(x 2 + y 2 ) 5. Calcule f f (x, y) e (x, y) para (x, y) R2 x y a) x 2 + cos(xy 7 + 9) b) x 5 y 4 sen(x 5 y) + cos(xy) c) e x6 y 2 d) cos(x 2 + yx) ln(1 + x 2 + y 2 ) e) x 3 6. Calcule, caso existam, as derivadas parciais das funções a) xy b) c) d) x 3 x 3 y 2 x

4 7. Seja φ : R R uma função real derivável. Mostre que a) Se e y φ(x y), então f x + f y = f b) Se (x 2 + y 2 )φ(x/y), então x f x + y f y = 2 f c) Se e x/2 φ(2y x), então 2 f x + f y = f d) Se φ(y) + φ(x/y), então x f x + y f y = yφ (y) e) Se φ(x 2 y 2 ), então y f x + x f y = 0 8. Seja f : R 2 R a função dada por x 3 Sendo u = (a, b) um vetor unitário, calcule f (0, 0). u 9. Sendo f : R 2 R dada por x 2 + y 2, calcule f (1, 1) onde u é o versor de cada um dos vetores u a) v = ( 1, 1) b) v = ( 1, 2) c) v = (2, 1) d) v = (1, 1) 10. Determine as superfícies de nível de f : R 3 R onde a) f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 b) f (x, y, z) = x 2 y 2 c) f (x, y, z) = x 2 + y 2 d) f (x, y, z) = x e) f (x, y, z) = x 2 + 4y 2 + z

5 3 Funções diferenciáveis 1. Determine todos pontos do R 2 onde as seguintes funções são diferenciáveis: a) x 3 b) c) 2xy 2 x 2 +y 4 x 4 2. Determine todos pontos do R 2 onde a seguinte função é diferenciável ( ) (x 2 + y 2 )sen 1 3. Determine todos pontos do R 2 onde a seguinte função é diferenciável ( ) 1 e 1 x 2 + y 2 < 1 0 x 2 + y Determine as equções do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado a) 2x 2 y, em (1, 1, f (1, 1)) b) x 2 + y 2, em (0, 1, f (0, 1)) c) 3x 3 y xy, em (1, 1, f (1, 1)) 5. Seja φ : R R uma função de classe C 1. Considere a função xφ( x y ) definida em D onde D = R 2 {(x, 0) : x R} a) Mostre que f é diferenciável b) Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f em pontos de D passam pela origem. 5 11

6 4 A regra da cadeia 1. Seja γ : R R 2 dada por γ(t) = ( cos(t 2 ), t 3). Seja também f : R 2 R dada por xy 3 + cos(x). Calcule ( f γ) (t) para todo t R. 2. Dada uma função diferenciável f : R 2 R, defina F : R R pela seguinte expressão F(t) = f (cos(t 2 ), cos(t 2 )) Calcule F (t) para todo t R. 3. Dada uma função diferenciável f (x, y) definida em todo o R 2. Defina F : R 2 R pela seguinte expressão F(u, v) = f (u 2 v 3, uv 2 ) Calcule F F (u, v) e u v (u, v) para todo (u, v) R2. 4. Dada uma função diferenciável f (x, y) definida em todo o R 2. Defina F : R 2 R pela seguinte expressão Calcule: F(r, θ) = f (r cos(θ), rsen(θ)) a) F (r, θ) para todo (r, θ) R2 r b) F (r, θ) para todo (r, θ) R2 θ c) f x d) f y (r cos(θ), rsen(θ)) em termos de F r (r cos(θ), rsen(θ)) em termos de F r F (r, θ) e (r, θ) θ F (r, θ) e (r, θ) θ 5. Seja f : R 2 R uma função diferenciável. Suponha que γ : R R 2 é uma curva derivável cuja imagem está contida no gráfico de f. Fixe um ponto t 0 R e escreva γ(t 0 ) = (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )). Mostre que a reta tangente à curva γ no instante t 0 está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )). 6. Seja f : R 2 R diferenciável. Tome a R tal que Defina g : R R por f ( 2, 2) = (a, 4) g(t) = f (2t 3 4t, t 4 3t) Determine a R para que a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 1 seja paralela à reta y = 2x

7 7. Seja v(r, s) uma função de classe C 2 em R 2 e defina a função u(x, t) = v(x + ct, x ct), onde c é constante. a) Mostre que u tt (x, t) c 2 u xx (x, t) = w(x + ct, x ct), onde w(r, s) = 4c 2 v rs (r, s) b) Mostre que se u(x, t) é uma solução da equação da onda u tt = c 2 u xx, então existem funções reais F e G tais que u(x, t) = F(x + ct) + G(x ct) 8. Seja u = u(x, y) função de classe C 2 em R 2 e defina v(r, θ) = u(r cos θ, rsen θ). Verifique que v rr (r, θ) + 1 r v r(r, θ) + 1 r 2 v θθ(r, θ) = u(r cos θ, rsen θ) onde u, por definição, é dado por u = u xx + u yy. 9. Seja f = f (x, y) uma função de classe C 2 em R 2. Defina u(s, t) = f (e s cos(t), e s sen(t)) e mostre que [ f x ] 2 + [ f y ] 2 = e 2s [ u 2 s(s, t) + u 2 t (s, t) ] f xx + f yy = e 2s [u ss (s, t) + u tt (s, t)] onde f x, f xx, f y e f yy são calculados em (e s cos(t), e s sen(t)). 10. Seja f : R 2 R de classe C 2. Seja 2x + y + z = 7 o plano tangente ao gráfico de f no ponto (0, 2, f (0, 2)). Defina g(u, v) = u f (sen(u 2 v 3 ), 2u 2 v)) para todo (u, v) R 2. Ache a R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, g(1, 1)) seja paralelo ao vetor (4, 2, a). 11. Seja f : R 2 R uma função diferenciável tal que as imagens das curvas α(t) = (2, t, 2t 2 ) e β(t) = (2t 2, t, 2t 4 ), com t R, estejam contidas no gráfico de f. Determine o gradiente de f no ponto (2, 1). 12. Seja r a reta tangente à curva x 3 + 3xy + y 3 + 3x = 18 no ponto (1, 2). Determine as retas que são tangentes à curva x 2 + xy + y 2 = 7 e paralelas à reta r. 13. Seja F(r, s) = G(e rs, r 3 cos(s)), onde G = G(x, y) é uma função de classe C 2 em R 2. Calcule: a) F rr (r, s) em função das derivadas parciais de G b) F rr (1, 0), se G y (t 2 + 1, t + 1) = t 2 2t + 3 para t R 14. Seja f : R 2 R dada por x 2 + 4y 2. Calcule o vetor gradiente de f no ponto (2, 1) e use-o para achar a reta tangente à curva de nível 8 de f no ponto (2, 1). E ainda faça um esboço da curva de nível, da reta tangente e do vetor gradiente determinados acima. 7 11

8 5 Gradiente e derivada direcional 1. Seja f : U R 2 R diferenciável em (x 0, y 0 ) U. Tome agora u = (a, b) um vetor unitário. Mostre que vale a seguinte igualdade f u (x 0, y 0 ) = f (x 0, y 0 ) u 2. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2). x 3 y 3 xy = 6 3. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2). x 2 + xy + y 2 3y = 1 4. Determine uma reta tangente à curva 2x 2 + y 2 = 3 que seja paralela à reta 2x + y = Seja f : R 3 R dada pela seguinte expressão f (x, y, z) = xyz + x 3 + y 3 + z 3 3z Ache a equação do plano tangente à superfície de nível 0 de f no ponto (1, 1, 2). 6. Seja f : R 2 R dada por x 2 y. a) Determine o vetor unitário u tal que f seja máximo u b) Qual é o valor máximo do item anterior? 7. Considere a seguinte família de curvas no plano R 2 4x 2 + y 2 = c, c [0, + [ Encontre uma curva γ : [0, + [ R 2 com γ(0) = (1, 1) e que intercepta ortogonalmente as curvas da família acima. Resposta: γ : [0, + [ R 2 dada por γ(t) = (e 8t, e 2t ). 8. Seja f : R 2 R dada por xy. Determine uma reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, 2, 2) e que forma com o plano xy um ângulo máximo. 8 11

9 6 O teorema do valor médio 1. Dada f : A R 2 R diferenciável, sejam P 0, P 1 dois pontos interiores de A tais que o segmento [P 0, P 1 ] está contido no interior de A. Mostre que existe (a, b) no interior do segmento [P 0, P 1 ] tal que f (P 1 ) f (P 0 ) = f (a, b) (P 1 P 0 ) 2. Suponha que f : A R 2 R é diferenciável. Suponha A um aberto conexo por caminhos. Mostre que se a função f satisfaz (0, 0) para todo (x, y) A, então f é uma função constante. 3. Suponha que f, g : A R 2 R são diferenciáveis. Suponha A um aberto conexo por caminhos. Mostre que se g(x, y) para todo (x, y) A, então temos que f = g + k, onde k R é constante. 4. Suponha que P, Q : R 2 R sejam funções de classe C 1. Suponha que existe função diferenciável f : R 2 R tal que (P(x, y), Q(x, y)). Mostre que P y para todo (x, y) R 2. Q (x, y) = (x, y) x 5. Determine todas as funções f : R 2 R com (3x 2 y 2 + 4, 2x 3 y + y 2 ) 6. Determine todas as funções f : R 2 R com (x, y e y ) 7. Determine todas as funções f : R 2 R com (9x 2 y 2 10x, 6x 3 y + 1) 8. Mostre que não existe f : R 2 R diferenciável com (xy, y) 9. Determine todas as funções f : R 2 R com (y cos(xy), x cos(xy)) 10. Determine todas as funções f : R 2 R com (2xy 3 2x, 3x 2 y 2 + 2y 1) 9 11

10 7 Máximos e mínimos 1. Determine e classifique os pontos críticos das seguintes funções definidas em todo o R 2 a) x 3 y 3 b) x 2 y 2 c) xye x2 y 2 d) (2x x 2 )(2y y 2 ) e) ln(3x 2 + 4y 2 2x + 7) f) 2x 2 + xy + 3y x 9y + 11 g) x + 2y 2. Determine os valores reais de a para os quais a função 2ax 4 + y 2 ax 2 2y a) Tenha exatamente uma sela e dois mínimos locais b) Tenha exatamente duas selas e um mínimo local Existe a R para o qual a função f tenha ao menos um máximo local? Existe a R para o qual a função f tenha mais do que 3 pontos críticos? 3. Considere as seguintes funções f, g : R 2 R dadas pelas expressões 3xe y x 3 e 3y & g(x, y) = 4x 2 e y 2x 4 e 4y a) Verifique que a função f possui apenas um ponto crítico e que ele é de máximo local. Mostre que esse ponto não é de máximo global. b) Verifique que a função g possui apenas dois pontos de máximo local e nenhum outro ponto crítico

11 4. Determine os pontos de máximo e de mínimo globais da função f no compacto C, onde a) 5 3x + 4y e C é a região limitada pelo triângulo de vértices (0, 0), (4, 0) e (4, 5). b) xye x2 y 2 e C é o compacto dado por C = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 2, x 0, y 0 } 5. Determine os extremantes de 3x + 2y com a restrição x 2 + y 2 = Encontre o ponto da curva xy = 1 que se encontra mais próximo da origem. 7. Determine a reta tangente à curva 4x 2 + y 2 = 4, com x > 0 e y > 0, que forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo de área mínima. 8. Determine os extremantes de cada função f abaixo com a restrição dada ao lado. a) xy, x 2 + 4y 2 = 8 b) x 2 2xy + y 2, x 2 + y 2 = 1 9. Determine o ponto do elipsóide x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1 cuja soma das coordenadas é máxima. 10. Determine a equação do plano que passa por (2, 2, 1) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume. 11. Encontre as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 27cm 2 de papelão. 12. Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = 0 e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x 2 y 2 com z >