MAT Geometria Diferencial 1 - Lista 1

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1 MAT Geometria Diferencial - Lista Monitor: Ivo Terek Couto 9 de outubro de 206 Observação. Assuma que todas as curvas e superfícies são diferenciáveis. Aquecimento Exercício. Seja α : I R R 3 uma curva parametrizada que não passa pela origem. Suponha que αt 0 ) é o ponto do traço de α que esteja o mais próximo da origem e que α t 0 ) = 0. Mostre que αt 0 ) e α t 0 ) são ortogonais. Exercício 2. Seja α : I R R 3 uma curva parametrizada e v R 3 um vetor fixado. Suponha que α t), v = 0 para todo t I e que αt 0 ), v = 0 para algum t 0 I. Prove que αt) é ortogonal à v para todo t I. Exercício 3. Seja α : I R R 3 uma curva parametrizada regular. Mostre que αt) é constante se e somente se α t) e αt) são sempre ortogonais. Interpretação geométrica? Curiosidade. Tem alguns resultados sobre curvas como por exemplo os três exercícios acima) que não usam o fato de a curva estar no R 3 - podia ser no R n. Vamos continuar focando no R 3 e um pouco no R 2 ), mas como um exercício mental, tente prestar atenção quando é possível fazer alguma generalização desse jeito. Exercício 4. Considere o conjunto C = {x, y) R 2 x 3 + y 3 = 3axy}, denominado o fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é C, de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo y = 0 e o vetor posição x, y). Dica: experimente y = tx.) Exercício 5. Considere um círculo de raio a rolando sobre o eixo y = 0 sem deslizamento. Um ponto dessa circunferência descreve uma ciclóide. Supondo que, para o tempo t = 0, o ponto da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a ciclóide. Esta curva é regular? Dica: decomponha o movimento em dois - a rotação e o movimento horizontal.) Exercício 6. Sejam α, β : I R R 2 curvas regulares do plano tais que, para todo t I, a reta determinada por αt) e βt) é ortogonal a α e β em t. Verifique que o comprimento do segmento de reta de αt) a βt) não depende de t. terek@ime.usp.br

2 2 Curvas no Plano Exercício 7. Seja α : R R 2 dada por αt) = ae bt cos t, ae bt sin t) com a > 0 e b < 0 constantes. Mostre que Esboce o traço de α. lim t + α t) = 0, 0) e que + 0 α t) dt < +. Exercício 8 Tratriz). Considere a aplicação: αt) = sen t, cos t + log tg t )), t 0, π). 2 Prove que: i) α t) = 0 para todo t = π 2 ii) o comprimento do segmento de reta tangente, compreendido entre αt) e o eixo y é constante igual a. O traço desta curva é chamado tratriz. Definição "Diedro" de Frenet). Seja α : I R R 2, parametrizada por comprimento de arco. O vetor tangente à α em s I é o vetor Ts) = α s). O vetor normal à α em s I é o vetor obtido de Ts) após aplicar uma rotação de π/2 no sentido anti-horário você sabe fazer isso?). Como T tem comprimento constante, T é ortogonal a T isto segue do exercício 3 com T fazendo o papel de α), e portanto é proporcional à N. A função κ : I R R caracterizada pela relação T s) = κs) Ns) é dita a curvatura de α em s I. Se a curva α não estiver parametrizada por comprimento de arco, defina todo o aparato acima para α como sendo o aparato de uma reparametrização por comprimento de arco, que sempre existe. Por que existe? Por que não depende da reparametrização? ) Observe que esta noção de curvatura é um pouco diferente da noção dada para curvas no espaço. A curvatura no plano tem sinal, enquanto a do espaço não tem. Isso causa umas diferenças sutis no desenvolvimento da teoria de curvas planas, dependendo de como o approach é feito. Exercício 9. Seja α : I R R 2 uma curva regular, digamos, αt) = xt), yt) ). Mostre que seus vetores tangente, normal e sua curvatura com sinal) são dados, respectivamente, por: Tt) = x t), y t)) x t) 2 + y t) 2, Nt) = Observação. Note que y t), x t)) x t) 2 + y e κt) = x t)y t) + x t)y t) t) 2 x t) 2 + y t) 2 ) 3/2. κt) = detα t), α t)) α t) 3. É mais fácil lembrar assim. Além do mais, a fórmula serve mesmo se α não estiver parametrizada por comprimento de arco. Spoiler: duas reparametrizações por comprimento de arco, digamos, βst)) = γst)) acabam satisfazendo s = ±s + a para alguma constante a R. Prova? 2

3 Exercício 0. Seja r = rθ) uma curva regular dada em coordenadas polares. Verifique que o comprimento do arco da curva de θ 0 a θ é obtido por: e a curvatura por: l = θ θ 0 rθ) 2 + r θ) 2 dθ κθ) = 2r θ)) 2 rθ)r θ) + rθ) 2 rθ) 2 + r θ) 2 ) 3/2. Dica: parametrize a curva pondo αθ) = xrθ), θ), yrθ), θ)), abuse da regra da cadeia e use o exercício anterior.) Exercício. Considere a elipse αt) = a cos t, b sin t), t R. Determine os pontos onde a curvatura de α é máxima e onde é mínima. Exercício 2. Seja f : ]a, b[ R R uma função suave C ). Mostre que a curvatura do gráfico de f é dada por f κ = + f ) 2) 3/2. Dê uma interpretação para o sinal de κ em termos da concavidade de f. Como toda curva regular no plano é localmente o gráfico de uma função você sabe por que?), essa interpretação vai servir pra qualquer curva regular no plano. Exercício 3 Evolutas). Seja α : I R R 2 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s. A evoluta de α é a curva definida por βs) = αs) + Ns), onde Ns) κs) é o vetor normal e κs) é a curvatura de α. Prove que: i) Suponha que κs) = 0, s. Então β é regular se κ s) = 0, s. ii) Nas condições do item i), o vetor tangente à evoluta em s é paralelo ao vetor normal a α em s. iii) Suponha que κ s) > 0, s. Verifique que o comprimento de arco da evoluta de α entre s 0 e s é igual à diferença entre os raios de curvatura 2 de α em s 0 e s. Exercício 4. Descreva todas as curvas planas regulares tais que: i) todas suas retas tangentes se interceptam num ponto fixado; ii) todas suas retas normais se interceptam num ponto fixado. 3 Curvas no Espaço Exercício 5. Prove que se α : I R 3 é uma curva regular, então valem as expressões: i) Bt) = α t) α t) α t) α t) ; ii) κt) = α t) α t) α t) 3 ; 2 O raio de curvatura é o inverso da curvatura, a saber, /κs). 3

4 iii) τt) = α t) α t), α t) α t) α t) 2. Observação. Você vai achar as páginas de 28 a 30 da a edição do livro Differential Geometry and Its Applications - John Oprea bem legais. O objetivo deste exercício é que você acompanhe e entenda os cálculos realizados para obter essas expressões. Comparar a expressão de κt) encontrada aqui com a expressão encontrada no exercício 9, e notar que α t) α t), α t) = detα t), α t), α t)) pode ser instrutivo. Exercício 6. Calcule o triedro de Frenet, a curvatura e a torção das seguintes curvas: i) αs) = 4 5 cos s, sin s, 3 5 cos s) ; ii) αt) = t, t 2, t 3 ); iii) αs) = a cos ) s c, a sin sc ) ), bs c, onde c 2 = a 2 + b 2 ; iv) αs) = 3 + s) 3/2, 3 s)3/2 s, ); 2 v) αt) = e t cos t, e t sin t, e t ). Exercício 7. Prove que se duas curvas em R 3 são simétricas em relação à origem, então têm a mesma curvatura e suas torções diferem de sinal. Exercício 8. i) Verifique que a curva α : ]0, + [ R 3 dada por αt) = plana. t, +t t ), t2 t é uma curva ii) Verifique que toda curva regular de R 3, cujas funções coordenadas são polinômios de grau menor ou igual a dois, é uma curva plana. 3 Curiosidade. Será que uma curva no R n cujas entradas sejam polinômios de grau até k estão contidas num subespaço afim de R n de dimensão até k? Dependendo da sua solução dada acima, a resposta pode ser óbvia ou não. Pense nisso. Exercício 9 Vetor de Darboux). Se um corpo rígido se move ao longo de uma curva α no R 3 com velocidade unitária i.e., parametrizada por comprimento de arco), seu movimento consiste de uma translação ao longo de α e de uma rotação ao longo de α. A rotação é determinada por um vetor velocidade angular ω que satisfaz T = ω T, e expressões análogas para N e B. O vetor ω é chamado o vetor de Darboux de α. Mostre que ω = τ T + κ B e que T T = κ 2 ω. Dica: escreva ω como combinação do triedro de Frenet de α e aplique produtos vetoriais. Estas expressões assumem a convenção B = τ N.) Exercício 20 Curvas Esféricas). Seja α : I R 3 uma curva parametrizada por comprimento de arco, com curvatura e torção não-nulas. Se α está contida em uma esfera de centro c R 3 e raio r > 0, então vale que: αs) c = ) ) κs) Ns) + 2 ) ) 2 κs) τs) Bs) e r2 = +, κs) κs) τs) 3 O item i) logo acima é um contra-exemplo para a recíproca. 4

5 para todo s I. Por outro lado, se ) 2 ) ) 2 + = r 2 κs) κs) τs) para todo s I, então α está contida em uma esfera de raio r. Dica: todo vetor é combinação linear do Triedro de Frenet de α, em particular αs) c. Talvez introduzir as notações ρs) = /κs) e σs) = /τs) ajude a simplificar a escrita.) Exercício 2. Considere uma curva α : I R R 3 parametrizada por comprimento de arco tal que κs) > 0 para todo s I e que todos os planos osculadores de α tem um ponto em comum. Prove que α é uma curva plana. Exercício 22 Hélices). Lembremos que uma curva α : I R R 3 é uma hélice se existe v R 3 unitário tal que α, v é constante. Supondo τs) = 0 mostre que: i) α é uma hélice se e somente se κ τ é constante; i) α é uma hélice se e somente se as retas passando por αs) na direção de Ns) são todas paralelas a um plano fixado. i) α é uma hélice se e somente se as retas passando por αs) na direção de Bs) fazem ângulo constante com uma direção fixada. Exercício 23. Mostre que uma curva regular α : I R R 3 é uma circunferência de raio a > 0 se e somente se κ a e τ 0. 4 Superfícies - Parte Exercício 24. Verifique que as aplicações: i) xu, v) = 0, u, v), u, v) R 2 ; ii) xu, v) = u + v, 2u + v), u), u, v) R 2 ; iii) xu, v) = cos u, 2 sen u, v), u, v) R 2 são superfícies parametrizadas regulares. Em cada item, descreva o traço de x na forma S = {x, y, z) R 3 Fx, y, z) = 0} = F 0) para alguma função F : R 3 R diferenciável conveniente. Exercício 25 Projeção Estereográfica). Considere a esfera unitária S 2 = {x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = }. Seja N = 0, 0, ) o polo norte de S 2. Para cada u, v) R 2 a reta em R 3 que liga o ponto u, v, 0) a N intercepta S 2 \ {N} em precisamente um ponto St u, v). Isto determina uma parametrização St : R 2 S 2 \ {N}. i) Escreva uma expressão para St. Esta parametrização é regular? 5

6 ii) Escreva uma expressão para a inversa St: S 2 \ {N} R 2. Dica: pensar geometricamente e fazer um raciocínio análogo ao do item acima é mais rápido do que inverter a expressão lá encontrada.) iii) Reescreva a expressão de St identificando R 2 C via u, v) z = u + iv, em termos de z, z, Rez) e Imz). Curiosidade. A aplicação St é chamada de projeção estereográfica. Sendo S n = {x,, x n+ ) R n+ x xn n+ = } a esfera unitária de dimensão n, você pode repetir o feito acima para conseguir uma aplicação St : R n S n \ {N} quem é N dessa vez?). Talvez você até ache mais limpo fazer para o caso geral logo, identificando R n R n {0} R n com v = ṽ, 0). Não existe uma expressão análoga à encontrada em iii) para n = 2 em geral. Você vai se deparar com isso novamente quando fizer o curso de Funções Analíticas. Ainda mais, você pode repetir toda essa discussão utilizando o polo sul da esfera ao invés do polo norte. A moral da história é que dá pra cobrir a esfera usando apenas duas parametrizações. Exercício 26 Superfícies de Revolução). Seja α : I R R 3 uma curva regular cuja imagem está contida no plano Oxz e nunca toca o eixo Oz, isto é, αt) é da forma αu) = f u), 0, gu) ), onde f, g : I R são funções diferenciáveis e, para todo u I, f u) > 0. i) Obtenha uma parametrização para a superfície obtida pela rotação desta curva em torno do eixo Oz. ii) Mostre que esta superfície é regular. iii) Descreva as curvas coordenadas dessa parametrização. As curvas u = u 0 são chamadas de paralelos e as curvas v = v 0 são chamadas de meridianos. Dica: cada ponto αu) vai percorrer um círculo de raio f u), num plano de altura gu), e você sabe parametrizar círculos, certo?) Exercício 27. Seja α uma curva como a do exercício 26. Mostre que a aplicação xu, v) = f u) cos v, f u) sin v, gu) + av ), u, v) R 2 é uma parametrização de superfície regular, para toda constante a R. Determine as curvas coordenadas dessa parametrização e descreva a superfície quando: i) gu) é uma função constante; ii) a = 0. Exercício 28. Verifique que a aplicação: xu, v) = u cos v, u sen v, φv)), onde u ]0, + [, v R, e φ : R R é uma função diferenciável, é uma superfície parametrizada regular. Determine a função φ de modo que o traço de x esteja contido no paraboloide hiperbólico: P = {x, y, z) R 3 ax = yz}. 6

7 Exercício 29. Se uma vizinhança coordenada de uma superfície regular pode ser parametrizada na forma xu, v) = α u) + α 2 v), onde α e α 2 são curvas parametrizadas regulares, mostre que os planos tangentes ao longo de uma curva coordenada fixa desta vizinhança são todos paralelos a uma reta. Exercício 30. Prove que se uma superfície regular S encontra um plano Π em um único ponto p S, mostre que Π = T p S. Exercício 3. Mostre que a área A de uma região limitada R da superfície z = f x, y) é A = onde Q é a projeção ortogonal de R sobre o plano xy. Q + f 2 x + f 2 y dx dy, Exercício 32. As curvas coordenadas de uma parametrização x constituem uma rede de Chebyshev se os comprimentos dos lados opostos de qualquer quadrilátero na superfície) formado por elas são iguais. Mostre que isto acontece se e somente se Bons estudos! E v = G u = 0. 7